5.2二次函数的图像同步练习 2026～2027学年北师大版九年级上册数学

**基本信息** 聚焦二次函数图像性质，通过基础巩固、综合应用、拓展探究三层设计，实现从概念理解到问题解决的递进，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|图像基本性质（开口、对称轴、顶点）|选择1-5题直接考查图像与系数关系，填空21-23题强化概念辨析| |中档|图像综合应用（增减性、交点、最值）|选择6-15题结合几何图形分析，解答32-38题训练推理与运算能力| |拔高|动态与探究问题（旋转、存在性、实际应用）|选择16-20题融入动点与图形变换，解答43-44题培养模型观念与创新意识|

2026~2027学年北师大版九年级上册数学5.2二次函数的图像同步练习 一．选择题（共20小题） 1．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则点（b，c）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 3．如图，二次函数y＝ax2﹣4ax+3（a＜0）的图象所在坐标系的原点可能是（　　） A．点O1 B．点O2 C．点O3 D．点O4 4．如图，根据二次函数y＝x2+x﹣6的图象，下列说法正确的是（　　） A．抛物线的对称轴为直线x＝1 B．当时，y的值随x值的增大而增大 C．A，B两点之间的距离为6 D．抛物线的顶点坐标为 5．已知抛物线y＝x2﹣4mx+m，当﹣2＜x＜1时，y的值随x值的增大而增大，则此抛物线的顶点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列结论错误的是（　　） A．bc＞0 B．2a+b＝0 C．3a+c＞0 D．b2﹣ac＞0 7．已知点A（﹣4，y1），B（3，y2）在抛物线y＝x2+bx+2上，若2＜b＜4，则下列判断正确的是（　　） A．2＜y1＜y2 B．y1＜2＜y2 C．2＜y2＜y1 D．y2＜2＜y1 8．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+c（a，c为常数，a＜0）的图象经过（x1，y1），（x2，y2）两点，若0≤x2≤m，x2﹣x1≥2，则下列说法错误的是（　　） A．若0＜m＜2，则y2≥c B．若0＜m＜3，则y2＞y1 C．若0＜m≤4，则y2≥c D．若3＜m＜4，则y1＞y2 9．二次函数y＝x2﹣4x﹣2写成形如y＝a（x+m）2+n的形式，则m，n的值分别是（　　） A．， B．m＝﹣2，n＝﹣6 C．m＝2，n＝6 D．m＝2，n＝﹣2 10．下表记录了二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）中两个变量x与y的3组对应值， x … ﹣5 ﹣1 3 … y … m m … 根据表中信息，当﹣5＜x＜0时，直线y＝k与该二次函数图象有两个公共点，则k的取值范围是（　　） A． B． C．﹣5＜k≤3 D．﹣5＜k＜3 11．如图，二次函数y＝2x2+bx+c的图象经过平面直角坐标系中的A、B、C三个点，则该二次函数解析式可能为（　　） A．y＝2x2+3x+2 B．y＝2x2﹣3x﹣3 C．y＝2x2﹣4x+2 D．y＝2x2+4x﹣2 12．将二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m+1配成顶点式后，发现其顶点的纵坐标比横坐标大1．如图，在矩形ABCD中，点A（﹣1，1），点D（2，1），则二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m+1与矩形ABCD有交点时m的取值范围是（　　） A．﹣2≤m≤0 B．≤m≤0 C．﹣2≤m≤2 D．≤m≤2 13．定义：若一个函数图象存在横坐标与纵坐标互为相反数的点，则称该点为函数图象的“反点”．例如，求函数y＝x﹣2图象的“反点”．可以看成是函数y＝x﹣2图象与函数y＝﹣x图象的交点坐标，联立方程组，即可求解．下列说法中正确的有（　　） ①若一次函数y＝2x+b的图象上“反点”坐标为（﹣3，3），则b的值为9； ②设反比例函数的图象上的“反点”分别为A，B，线段AB的长度，则k的值为﹣1； ③若二次函数y＝x2﹣5x+c的图象上有且只有一个“反点”，M（t﹣1，y1），N（t，y2）是该函数图象上的两点，则y1+y2的最小值为﹣6； ④若函数y＝|x2﹣2mx+m2﹣4|的图象上有三个“反点”，则m的值为． A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 14．平面直角坐标系中，原点O（0，0），点E（m，﹣2）在直线y＝﹣x上，矩形ABCD的顶点坐标分别为A（0，2），B（2，2），C（2，5），D（0，5）．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿边AB，边BC，边CD，边DA向终点A运动．若点Q在直线y＝﹣x上，且PQ⊥x轴．设点P运动的时间为ts． 当t＝1s时，P，Q两点的位置如图所示．有下列结论： ①当t＝1s时，PQ＝3.5； ②当1＜t＜7时，△POE的面积的最大值为7； ③t有两个不同的值满足△POE的面积为1．其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 15．如图，一段抛物线y＝﹣x（x﹣5）（0≤x≤5），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，若P（2026，m）是其中某段抛物线上一点，则m为（　　） A．4 B．﹣4 C．﹣6 D．6 16．已知y1与y2是关于x的二次函数，函数图象如图所示，则函数y＝y1﹣y2的图象可能是（　　） A． B． C． D． 17．已知点A（﹣3，y1），B（﹣m+6，y2）在抛物线y＝﹣x2﹣mx+4上，若5＜m＜6，则下列判断正确的是（　　） A．y1＜y2＜4 B．y2＜y1＜4 C．y1＜4＜y2 D．y2＜4＜y1 18．已知关于x的二次函数y＝2ax2﹣4ax+3，当x＝1时，该二次函数有最大值．若该函数图象经过两点A（t，y1），B（3﹣t，y2），且，则下列关系正确的是（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．y1≥y2 19．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）过A（0，﹣2），B（4，﹣2），C（6，0），D（8，﹣2）四个点中的其中三个点，则符合要求的所有函数表达式中a+b+c的最小值是（　　） A． B． C． D． 20．如图，正方形ABCD的顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣2，﹣1），C（3，﹣1）．抛物线经过点D，顶点坐标为（1，0），将此抛物线在正方形ABCD内（含边界）的部分记为图象G．若直线y＝kx﹣2k+2（k≠0）与图象G有唯一交点，则k的取值范围是（　　） A．k＞2或 B．或0＜k＜2 C．k＞1或k＜﹣3 D．k＞1或k＜﹣3或k＝﹣2 二．填空题（共10小题） 21．已知点A（1，y1），B（﹣2，y2）在抛物线y＝﹣（x+1）2+k（k为常数）上，则y1　 　 y2．（用“＞”、“＜”或“＝”填空） 22．已知A（x1，y1），B（x2，y2），C（m，y3），D（m+3，y4）都在二次函数y＝ax2﹣2ax+b的图象上，当|x1﹣1|＞|x2﹣1|时，y1＜y2．若y3＞y4，则m的取值范围是　 　 ． 23．二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，那么a的值可以是　 　 ．（写出一个即可） 24．设实数a，b，c满足，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象过定点　 　 ． 25．把二次函数y＝x2﹣2x+4变形为y＝a（x﹣h）2+k的形式，则h+k的值为　 　 ． 26．如图，点D为等边三角形ABC边BC上一动点，AB＝4，连接AD，以AD为边作正方形ADEF，连接CE、CF，则△CEF的面积为最小值　 　 ． 27．在平面直角坐标系中，点M的坐标为（m，m2﹣bm），其中b为常数且b＞4．若，且，则m的取值范围是　 　 ． 28．已知点A（1，y1），B（2，y2），C（5，y3），D（6，y4）是抛物线y＝x2+bx+c上的点，其中点A，C在抛物线对称轴的两侧．若y1＜y2，则c，y2，y4的大小关系是　 　 ． 29．如图，关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+m2+1的图象为抛物线C，直线y＝a与抛物线C交于A，B两点，过抛物线C的顶点作x轴的平行线l，过A，B分别作l的垂线，垂足为M，N．若四边形ABNM为正方形，则a＝　 　 ． 30．如图，已知矩形ABCD，AB＝2，BC＝3，E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，将△BCF沿着BC方向向右平移到△EGH，连接DH、DE，在运动过程中，△DEH的面积的最小值是　 　 ． 三．解答题（共14小题） 31．请按要求画出函数y＝x2的图象： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 y … （1）表格补充完整； （2）画出图象； （3）写出抛物线的增减性． 32．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣9． （1）求证：无论m为何值，该抛物线与x轴总有两个交点； （2）若该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，且△ABC的面积为9，求m的值． 33．若对于实数r，s，满足r＜s，且当r≤x≤s时，对应的函数值y的取值范围也为r≤y≤s，则称区间[r，s]为该函数的一个“保值区间”． （1）若二次函数y＝x2存在“保值区间”，且当x≥0时的一个“保值区间”为[0，t]，求t的值； （2）已知[a，b]为二次函数y＝x2﹣4x+5的“保值区间”，且2≤a＜b，求a（a﹣b）+5b+1的值． 34．综合与实践 【项目主题】n个四边形最多可以把平面分成多少个区域？ 【项目探究】为了探究规律，先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论． 【预备知识】设s＝1+2+3+⋯+n＝n+n﹣1+n﹣2+n﹣3+⋯+1，则2s＝（1+n）+（2+n﹣1）+⋯+（n+1）＝n（n+1），∴． 【探究一】n条直线最多可以把平面分成几个区域？ n的数量 思考方式 结果与算式 1条直线 如图1﹣1，1条直线把平面分成2个区域； 2个区域 2条直线 如图1﹣2，要使分成的区域尽可能的最多，则第2条直线要与第1条直线相交可以将平面分成4个区域； 2+2＝4（个）区域 3条直线 如图1﹣3，将第3条直线与前面2条直线尽可能两两相交，这样就会得到2个交点，这2个交点将第3条直线分为了2条射线和1条线段，这样就多了2+1＝3（个）区域，所以3条直线最多将平面分成7个区域； 2+2+3＝7（个）区域 4条直线 如图1﹣4，平面中有4条直线时，将第4条直线与前面3条相交直线尽可能两两相交，这样就会得到3个交点，这3个交点将第4条直线分为了2条射线和4﹣2＝2（条）线段，这样就多了2+2＝4（个）区域，所以4条直线最多将平面分成11个区域； 2+2+3+4＝11（个）区域 5条直线 如图1﹣5，… 最多有①　 　 个区域 （1）最多有①　 　 个区域； 【结论归纳】 （2）n条直线最多可以把平面分成②　 　 （个）区域；（用含n的代数式表示并化简） 【探究二】n个圆最多可以把平面分成几个区域？ n的数量 思考方式 结果与算式 1个圆 如图2﹣1，1个圆将平面分成2个区域； 2个区域 2个圆 如图2﹣2，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前1个圆有2个交点，将新增加的圆分成2个区域，从而增加2个区域，所以用2个圆最多能把平面分成4个区域； 2+2×1＝4（个）区域 3个圆 如图2﹣3，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前2个圆分别有2个交点，将新增加的圆分成2×2＝4（个）区域，从而增加4个区域，所以用3个圆最多能把平面分成8个区域； 2+2×1+2×2＝8（个）区域 4个圆 如图2﹣4，… 最多共有③　 　 个区域 （3）最多共有③　 　 个区域； 【结论归纳】 （4）n个圆最多可以把平面分成④　 　 （个）区域；（用含n的代数式表示并化简） 【探究三】n个三角形最多可以把平面分成几个区域？ n的数量 思考方式 结果与算式 1个三角形 如图3﹣1，1个三角形将平面分成2个区域； 2个区域 2个三角形 如图3﹣2，1条直线最多与三角形的两条边相交，故第2个三角形的每条边最多与前面1个三角形的各两条边相交，共可产生3×（1×2）＝6（个）交点，即能新增加6个区域； 2+6×1＝8（个）区域 3个三角形 如图3﹣3，1条直线最多与三角形的两条边相交，故第3个三角形的每条边最多与前面2个三角形的各两条边相交，共可产生3×（2×2）＝12（个）交点，即能新增加12个区域； 2+6×1+6×2＝20（个）区域 … … … n（n≥2） 第n个三角形的每条边最多与前面已画的（n﹣1）个三角形的各两条边相交，共可产生交点：3×[（n﹣1）×2]＝6（n﹣1）（个），即能新增加6（n﹣1）个区域． 2+6×[1+2+⋯+（n﹣1）]＝⑤　 　 （个）区域．（用含n的代数式表示并化简） （5）2+6×[1+2+⋯+（n﹣1）]＝⑤　 　 （个）区域；（用含n的代数式表示并化简） 【规律拓展】 （6）n个四边形最多可以把平面分成⑥　 　 （个）区域．（用含n的代数式表示并化简） 35．已知抛物线y＝ax2+4与y＝﹣2x2的形状相同，求a的值． 嘉佳和晓莉的解法如下： 嘉佳：∵抛物线y＝ax2+4与y＝﹣2x2的形状相同，∴a＝﹣2． 晓莉：∵抛物线y＝ax2+4与y＝﹣2x2的形状相同，∴|a|＝|﹣2|，∴a＝﹣2或2． 判断嘉佳和晓莉的解法正确与否，并说明理由． 36．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝a（x﹣m）（x﹣n）（a≠0）． （1）若m＝1﹣2a，n＝a﹣2，求抛物线的对称轴（用含a的代数式表示）； （2）在（1）的条件下，设该抛物线的顶点坐标为（p，q），当a≠1时，求证：． 37．已知抛物线y＝ax2+bx+2（a＞0）经过点（1，0），设a、b是常数． （1）求b的值（用含a的式子表示）； （2）点M（x1，y1）和点N（x2，y2）（x1≠x2）是抛物线y＝ax2+bx+2上的任意两点，且满足x1+x2＝2，记．若T的值为整数，求a的所有整数值． 38．【阅读理解】 我们将函数的自变量的值与函数值相等时的函数值，称为函数的和谐值，此时的点称为函数的和谐点．例如，对于函数y＝2x﹣1，当x＝y时，可得x＝y＝1，我们就说1是函数y＝2x﹣1的和谐值，点（1，1）是函数y＝2x﹣1的和谐点． 【问题解决】 （1）已知函数，求它的和谐点坐标； （2）若二次函数y＝x2﹣x+m只有一个和谐点，求实数m的值． 39．一道习题及其错误的解答过程如下： 将二次函数y＝﹣2x2+4x+3通过配方化成y＝a（x﹣h）2+k的形式． 解：y＝﹣2x2+4x+3 ＝﹣2（x2+2x）+3…第①步 ＝﹣2（x2+2x+1﹣1）+3…第②步 ＝﹣2（x+1）2﹣1+3…第③步 ＝﹣2（x+1）2+2…第④步 （1）这道习题的解答过程最先开始出现错误的步骤是第　 　 （填序号）步，正确值为　 　 ，k的值为　 　 ； （2）用配方法解一元二次方程：﹣2x2+4x+3＝0． 40．设二次函数（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点． （1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴． （2）若函数y1的表达式可以写成（h是常数）的形式，求b+c的最小值． 41．在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0）和点C（0，3）． （1）求该二次函数的表达式； （2）已知点M（m，n）在该二次函数的图象上，当﹣2≤m＜2时，求n的取值范围； （3）当t≤x≤t+1时，二次函数的最大值为2t，求出t的值． 42．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+4的图象过点A（2，t），B（3，t）． （1）求a与b之间关系； （2）已知二次函数的y＝ax2+bx+4最小值为． ①求该二次函数的表达式； ②若M（x1，m），N（x2，m）为该二次函数图象上的不同两点，且m≠0，求证：． 43．综合与实践：制作一个长方体礼盒． 素材：一张矩形卡纸（长为30cm，宽为24cm，如图①）． 【实验操作】 操作一：如图②，将矩形卡纸剪去两个完全相同的小正方形和两个完全相同的矩形； 操作二：如图③，将剩余部分卡纸以矩形ABCD为底面（阴影部分）折成一个长方体礼盒（接缝处忽略不计）． 【问题解决】 设剪去的小正方形边长为xcm． （1）长方体礼盒底面长AB为　 　 cm，宽BC为　 　 cm（用含有x的式子表示）； （2）若礼盒的底面积为140cm2，求x的值； （3）是否存在x，使礼盒的侧面积最大？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由． 44．如图，函数y＝x2﹣1的图象C1与函数y＝﹣x2+bx+c的图象C2相交于A（﹣1，0），B（2，3）两点．直线x＝t（﹣1＜t＜2）与图象C1，C2分别交于E，F两点． （1）求b，c的值． （2）设直线x＝t（﹣1＜t＜2）与线段AB交于点D，记△BDF和△ADE的面积分别为S1，S2，当S1＝S2时，求t的值． （3）若t满足a≤t≤a+1，且﹣1＜a＜1，试问t取何值时，线段EF的长度最大？并求出这个最大长度． 2026~2027学年北师大版九年级上册数学5.2二次函数的图像同步练习 参考答案与试题解析 一．选择题（共20小题） 1．【解答】解：根据抛物线的开口方向判断a的符号，根据对称轴的位置判断b的符号，根据抛物线与y轴的交点位置判断c的符号，可得： 观察函数图象可知：抛物线开口向下， ∴a＜0， 对称轴在y轴左侧，即， ∵a＜0， ∴b＜0， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴c＞0 ∵b＜0，c＞0， ∴点（b，c）在第二象限． 故选：B． 2．【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误； B、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＜0，得b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项正确； C、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＞0，得b＞0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项错误； D、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误； 故选：B． 3．【解答】解：由题意可得：对称轴为直线， 当x＝0时，y＝3，与y轴交点为（0，3）， ∴点O2是坐标原点． 故选：B． 4．【解答】解：y＝x2+x﹣6， 对称轴直线为：x＝﹣＝﹣，故A错误； 由图象可知当x＞﹣时，y的值随x值的增大而增大，故B正确； 令y＝0， 0＝x2+x﹣6， 解得x1＝﹣3，x2＝2， ∴AB＝2﹣（﹣3）＝5， ∴A，B两点之间的距离为5，故C错误； 当x＝﹣时，y＝﹣6＝，故D错误； 故选：B． 5．【解答】解：由题意知a＞0， ∴开口向上， ∵当﹣2＜x＜1 时，y的值随x值的增大而增大， ∴对称轴为直线x＝﹣2或x＜﹣2，如图： ∵抛物线y＝x2﹣4mx+m的对称轴为直线x＝2m， ∵2m≤﹣2， ∴m≤﹣1， ∴Δ＝16m2﹣4m＞0， ∴抛物线与x轴有2个不同的交点， ∴顶点在第三象限． 故选C． 6．【解答】解：由所给函数图象可知， a＞0，b＜0，c＜0， 所以bc＞0．故选项A正确，不合题意． 因为抛物线的对称轴是直线x＝1， 所以﹣＝1，即b＝﹣2a， 所以2a+b＝0．故选项B正确，不合题意． 由函数图象可知， 当x＝﹣1时，函数值小于零， 则a﹣b+c＜0， 又因为b＝﹣2a， 所以3a+c＜0．故选项C错误，符合题意． 因为a＞0，c＜0， 所以ac＜0， 所以b2﹣ac＞0，故选项D正确，不合题意． 故选：C． 7．【解答】解：将A（﹣4，y1）代入y＝x2+bx+2，得， 将B（3，y2）代入y＝x2+bx+2，得， ∵2＜b＜4， ∴﹣16＜﹣4b＜﹣8， ∴2＜18﹣4b＜10，即2＜y1＜10， ∵2＜b＜4， ∴6＜3b＜12， ∴17＜11+3b＜23，即17＜y2＜23， ∴若2＜b＜4，则2＜y1＜y2．A符合题意，其他选项不符合题意， 故选：A． 8．【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣4ax+c（a，c为常数，a＜0）， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣＝2， ∵x2﹣x1≥2， ∴x1≤x2﹣2， ∵0≤x2≤m， ∴x1≤m﹣2， 当x＝0时，y＝c， 选项A：当0＜m＜2时， 则二次函数y＝ax2﹣4ax+c在0≤x2≤m范围内，y随x增大而增大， ∴y2≥c， 故A选项说法正确，不符合题意； 选项B：当0＜m＜3时，都有y2≥c， ∵x1≤m﹣2＜1， ∴x1在对称轴左侧，此时y随x增大而增大， ∴y1＜c， ∴y2＞y1， 故B选项说法正确，不符合题意； 选项C：∵点（0，c）与点（4，c）关于对称轴对称， ∴当0＜m≤4，则y2≥c， 故C选项说法正确，不符合题意； 选项D：结合B、C选项可知y2≥c，y1＜c， ∴y2＞y1， 故D选项说法正确，不符合题意； 故选：D． 9．【解答】解：∵y＝x2﹣4x﹣2， ＝（x﹣2）2﹣6， ∴将二次函数y＝x2﹣4x﹣2写成形如y＝a（x+m）2+n的形式后，m，n的值分别是﹣2、﹣6； 故选：B． 10．【解答】解：∵点（﹣5，m）和（3，m）关于对称轴对称， ∴对称轴， ∴， ∴b＝2a， ∴y＝ax2+bx+3化简为y＝ax2+2ax+3． 当x＝﹣1时，，抛物线经过点， 得：， ， ∴，， ∴， ∵， ∴二次函数开口向上， 当﹣5＜x＜0时， 当x＝0时，y＝3， 当x＝﹣5时，y＝8， 当x＝﹣1时，有最小值， ∵直线y＝k与该二次函数图象有两个公共点， ∴． 故选：B． 11．【解答】解：如图，二次函数y＝2x2+bx+c的图象经过平面直角坐标系中的A、B、C三个点， 由图可知二次函数与y轴交于正半轴可知c＞0，故B选项、D选项不符合题意； 二次函数对称轴为，故b＜0，故A选项不符合题意； C选项：c＞0，b＜0符合题意． 故选：C． 12．【解答】解：∵y＝x2﹣2mx+m2+m+1＝（x﹣m）2+m+1， ∴抛物线顶点坐标为（m，m+1）， ∴抛物线顶点在直线y＝x+1上， 如图， 当抛物线顶点在AD上时，m+1＝1， ∴m＝0， 如图，当抛物线经过点A（﹣1，1）时， 1＝1+2m+m2+m+1， 解得m＝（舍）或m＝， ∴≤m≤0， 故选：B． 13．【解答】解：①∵一次函数y＝2x+b的图象上“反点”坐标为（﹣3，3）， ∴﹣6+b＝3， 解得b＝9， 故①符合题意； ②当﹣x＝时，解得x＝﹣或x＝， ∴A（﹣，），B（，﹣）， ∴AB＝2＝2， ∴k＝﹣1， 故②符合题意； ③当x2﹣5x+c＝﹣x时，Δ＝16﹣4c＝0， 解得c＝4， ∴y＝x2﹣5x+4， ∴y1＝t2﹣7t+10，y2＝t2﹣5t+4， ∴y1+y2＝2t2﹣12t+14＝2（t﹣3）2﹣4， ∴y1+y2的最小值为﹣4， 故③不符合题意； ④如图，m＜0时符合题意， 当函数经过原点时，m2﹣4＝0，解得m＝±2，则m＝﹣2； 当函数y＝﹣x2+2mx﹣m2+4与y＝﹣x有唯一交点时，即﹣x2+2mx﹣m2+4＝﹣x， Δ＝4m+17＝0， ∴m＝﹣； 综上所述：m的值为﹣2或﹣； 故④不符合题意； 故选：A． 14．【解答】解：原点O（0，0），点E（m，﹣2）在直线y＝﹣x上，矩形ABCD的顶点坐标分别为A（0，2），B（2，2），C（2，5），D（0，5）． ①当t＝1s时，点 P 从 A（0，2）出发，沿 AB 运动1秒，则 P（1，2）， ∵PQ⊥x 轴，且 Q 在直线 y＝﹣x 上，则 Q（1，﹣1）， ∴PQ＝|2﹣（﹣1）|＝3，①错误； ②当 1＜t＜7 时， ∵点E（m，﹣2）在直线y＝﹣x上， ∴m＝2，分三段讨论： 当P在AB上时即 1＜t≤2： P（t，2），Q（t，﹣t），PQ＝t+2， △POE面积为，最大值在 t＝2 时为4； 当P在BC上时，即 2＜t≤5， P1（2，t），P1E＝t+2， △POE面积为 ，最大值在 t＝5 时为7； 当P在CD上时，即 5＜t＜7， P2（7﹣t，5），Q（7﹣t，t﹣7），P2Q＝5+7﹣t＝12﹣t， △POE面积为 ，最大值趋近于7（但不包含7）； 最大值7在 t＝5 时取得②正确； 当P在DA上时，即 7≤t≤10， P3O＝OA+CABCD﹣t＝12﹣t，△POE面积为 ， ③由②可知使得△POE 的面积为1， 则在 0≤t≤5 区间，S＝t+2≥2，无解； 在 5＜t≤10 区间，S＝12﹣t，令其等于1得 t＝11，不符合题意； ③错误； 故选：B． 15．【解答】解：由题意可得：C1与x轴交点坐标为：O（0，0），A1（5，0）， ∵将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2（10，0）； 将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3（15，0）； … 如此进行下去，直至得C406． ∴C406的解析式与x轴的交点坐标为A405（2025，0），A406（2030，0），且图象在x轴下方， ∴C406的解析式为：y406＝（x﹣2025）（x﹣2030）， 当x＝2026时，m＝（2026﹣2025）（2026﹣2030）＝﹣4． 故选：B． 16．【解答】解：设， ∴， 由条件可知a1＞0，a2＜0，c1＜0，c2＞0， ∴a1﹣a2＞0，c1﹣c2＜0，据此逐项分析判断如下： 二次函数的图象开口向上，与y轴负半轴相交，选项D，不符合题意； 由图象知：x＝0时，y1＜﹣1，0＜y2＜1，y＝y1﹣y2＜﹣1，选项C，不符合题意； x＝1时，y1与y2相交，即y1＝y2， ∴x＝1时，y＝0，即与x轴交点是（1，0），选项B，不符合题意； 故选：A． 17．【解答】解：由题知， 因为二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣mx+4， 所以抛物线的对称轴为直线x＝． 因为5＜m＜6， 所以0＜﹣m+6＜1，， 则点A在对称轴左侧，点B在对称轴右侧． 因为，， 则点A离对称轴更近， 又因为抛物线的开口向下， 所以y1＞y2． 当x＝0时，y＝4， 所以点（0，4）在抛物线上． 因为， 所以点（0，4）比点A离抛物线远，比点B离抛物线近， 所以y2＜4＜y1． 故选：D． 18．【解答】解：二次函数y＝2ax2﹣4ax+3，的对称轴为直线x＝1， ∵当x＝1时，该二次函数有最大值，得到抛物线开口向下， ∵0＜t＜，得到点A离对称轴近，抛物线开口向下，离对称轴近对应的函数值会大，∴y1＞y2， 故选：A． 19．【解答】解：∵A、B、D的纵坐标相同， ∴二次函数不会同时经过A、B、D三点， ∴分三种情况讨论：①经过A、B、C；②经过B、D、C；③经过A、D、C； 三种图象如图所示， 很明显，经过B、D、C三点的二次函数，当x＝1时，y＝a+b+c的值最小， 将B（4，﹣2），C（6，0），D（8，﹣2）代入y＝ax2+bx+c可得： ， 解得， 所以二次函数的表达式为y＝﹣x2+6x﹣18， 令x＝1得y＝﹣， 故a+b+c的最小值为﹣， 故选：C． 20．【解答】解：设抛物线与正方形边长另一个交点为E， 由条件可知D（3，4）， ∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2， 把D（3，4）代入得到4＝a（3﹣1）2，解得a＝1， ∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）2， 当y＝（x﹣1）2＝4时，解得x1＝3，x2＝﹣1， ∴E（﹣1，4）， ∵直线y＝kx﹣2k+2＝（x﹣2）k+2， ∴直线y＝kx﹣2k+2＝（x﹣2）k+2过定点F（2，2）， 当x＝2时y＝（x﹣1）2＝（2﹣1）2＝1＜2， ∴直线y＝kx﹣2k+2（k≠0）与y＝（x﹣1）2必有两个交点， ∵直线y＝kx﹣2k+2（k≠0）与图象G有唯一交点， ∴当x＝3时，抛物线过D（3，4），y＝kx﹣2k+2＞4，即3k﹣2k+2＞4，解得k＞2， 当x＝﹣1时，抛物线过E（﹣1，4），y＝kx﹣2k+2＞4，即﹣k﹣2k+2＞4，解得， 综上所述，k＞2或， 故选：A． 二．填空题（共10小题） 21．【解答】解：抛物线的顶点坐标为 （﹣1，k），开口向下，二次项系数为负， 点 B（﹣2，y2） 到顶点的水平距离为|﹣2﹣（﹣1）|＝1，点 A（1，y1） 到顶点的水平距离为|1﹣（﹣1）|＝2， 由于抛物线开口向下，距离顶点越近，函数值越大， 因此 y2＞y1，即 y1＜y2， 故答案为：＜． 22．【解答】解：二次函数y＝ax2﹣2ax+b可化为y＝a（x﹣1）2+（b﹣a）， 故抛物线的对称轴为x＝1， 由|x1﹣1|＞|x2﹣1|时，y1＜y2，可知离对称轴越远函数值越小， 故抛物线开口向下，即a＜0， 由y3＞y4，得|m+3﹣1|＞|m﹣1|， 整理得，|m+2|＞|m﹣1|， 当m＞1时，m+2＞m﹣1恒成立； 当﹣2≤m≤1时，m+2＞1﹣m， 整理得，2m＞﹣1， 解得， 当m＜﹣2时，﹣m﹣2＞1﹣m，即﹣2＞1，无解， 综上所述，m的取值范围是． 故答案为：． 23．【解答】解：二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下， 对于二次函数y＝ax2+bx+c，根据二次函数的性质，图象开口向下时，二次项系数满足a＜0， 取a＝﹣1，符合条件， ∴a的值可以是﹣1（答案不唯一）． 故答案为：﹣1（答案不唯一）． 24．【解答】解：由题知， 因为， 则两边平方得， ， 整理得， a+b+c＝0， 所以二次函数y＝ax2+bx+c的图象过定点（1，0）． 故答案为：（1，0）． 25．【解答】解：y＝x2﹣2x+4＝x2﹣2x+1+3＝（x﹣1）2+3， ∵二次函数y＝x2﹣2x+4变形为y＝a（x﹣h）2+k的形式， ∴h＝1，k＝3， ∴h+k＝1+3＝4． 故答案为：4． 26．【解答】解：如下图所示，过点C作CM⊥AF于点M，延长MC交DE于点N，过点A作AH⊥BC于点H， ∵四边形ADEF是正方形， ∴AF∥DE， ∴MN⊥NE， ∵AB＝4，△ABC是等边三角形， ∴，AB＝BC＝AC＝4， ∴， 设BD＝x，则DH＝BH﹣BD＝2﹣x，CD＝BC＝BD＝4﹣x， ∴， ∴正方形ADEF的面积为， ∴， ∴， ∵四边形ADEF是正方形， ∴，∠AFE＝∠BEF＝90°， ∵MN⊥NE， ∴四边形MNEF是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴S△CEF＝S正方形ADEF﹣S△ACD﹣（S△CAF+S△CDE） ＝ ＝ ＝， 当时， 有最小值， 最小值为． 故答案为：． 27．【解答】解：由条件可知m2﹣bm﹣3+b＞0， 令m2﹣bm﹣3+＝0， 则（m﹣）（m+）＝0， 则m﹣＝0或m+＝0， 解得：m1＝，m2＝b﹣， 二次函数y＝x2﹣bx﹣3+开口向上，与x轴交点为x1，x2，（且x1＜x2）， 则当y＞0时，x＜x1，或x＞x2， 令x＝m，则y＝m2﹣bm﹣3+，解得m1＝，m2＝b﹣，， ∵b＞4＞＝2， ∴b﹣， 即m1＜m2， ∴当m2﹣bm﹣3+＞0时，m＜或m＞b﹣， ∵， ∴m≤2， 若m，b＞4， 则m＞b﹣＞4﹣＞2， ∴m不成立（舍去）， ∴m＜， 故答案为：m＜． 28．【解答】解：由题知， 因为抛物线的解析式为y＝x2+bx+c， 所以抛物线的对称轴为直线x＝且开口向上． 因为点A（1，y1），B（2，y2）在该抛物线上且y1＜y2， 所以||＜||， 所以． 又因为点A，C在抛物线对称轴的两侧， 所以， 所以． 因为当x＝0时，y＝c， 所以点（0，c）在该抛物线的图象上． 因为，，， 所以y2＜c＜y4． 故答案为：y2＜c＜y4． 29．【解答】解：由题知， 因为y＝x2﹣2mx+m2+1＝（x﹣m）2+1， 所以抛物线的顶点坐标为（m，1）． 因为点B在直线y＝a上且BN⊥l， 所以BN＝a﹣1． 由x2﹣2mx+m2+1＝a得， x＝， 所以AB＝＝． 因为四边形ABNM为正方形， 所以AB＝BN， 则， 解得a＝1（舍去）或a＝5， 所以a的值为5． 故答案为：5． 30．【解答】解：延长AD和GH，交于点M，连接FH， 由平移可知，FH∥BE，FH＝BE，CF∥GH，CF＝GH． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BCD＝90°， ∴∠FCG＝∠G＝90°． 又∵BE＝CF， ∴FH＝CF， ∴四边形CFHG为正方形． 令BE＝CF＝x（0≤x≤2）， 则CG＝GH＝x． 又∵AB＝2，BC＝3， ∴S矩形ABGM＝2（x+3）＝2x+6，＝，＝x+3，＝， ∴S△DEH＝2x+6﹣（）﹣（x+3）﹣＝， ∴当x＝时，S△DEH取得最小值． 故答案为：． 三．解答题（共14小题） 31．【解答】解：（1）将x的数值代入y＝x2即可补全表格，表格如下： x ⋯⋯ ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 y … 9 4 1 0 1 4 9 （2）描点连线如图： （3）根据图象可知， 当x＜0时，随着x的增大y减小；当x＞0时，随着x的增大y增大． 32．【解答】（1）证明：令y＝0，则x2﹣2mx+m2﹣9＝0 ∵Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣9）＝36＞0， ∴无论m为何值，该抛物线与x轴总有两个交点； （2）解：解方程x2﹣2mx+m2﹣9＝0，得x1＝m﹣3，x2＝m+3， 令x＝0，则y＝m2﹣9， ∵该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C， ∴m2﹣9＞0， ∵△ABC的面积为9， ∴，即m2＝12， 解得． 33．【解答】解：（1）当x≥0时，y＝x2随x的增大而增大， ∵当x≥0时的一个保值区间”为[0，t]，且t＞0， ∴当x＝t时，t2＝t， ∴t1＝0，t2＝1， 又∵t＞0， ∴t＝1． （2）∵y＝x2﹣4x+5对称轴为直线x＝2， ∴当x＞2时，y随x的增大而增大， ∵[a，b]为二次函数y＝x2﹣4x+5的“保值区间”， ∴当x＝b时，b2﹣4b+5＝b， ∴当x＝a时，a2﹣4a+5＝a， 整理得a2﹣5a+5＝0，b2﹣5b+5＝0， ∴a，b为关于x的一元二次方程x2﹣4x+5＝0的根， ∴a•b＝5，a+b＝5， ∴a（a﹣b）+5b+1＝a2﹣ab+5b+1＝5a﹣5+5b﹣ab+1＝25﹣5﹣4＝16． 34．【解答】解：（1）设s＝1+2+3+⋯+n＝n+n﹣1+n﹣2+n﹣3+⋯+1，则2s＝（1+n）+（2+n﹣1）+⋯+（n+1）＝n（n+1）， ∴． 由1条直线，2个区域； 2条直线，2+2＝4（个）区域； 3条直线，2+2+3＝7（个）区域； 4条直线，2+2+3+4＝11（个）区域； 5条直线，2+2+3+4+5＝16（个）区域； 故答案为：16； （2）设s＝1+2+3+⋯+n＝n+n﹣1+n﹣2+n﹣3+⋯+1，则2s＝（1+n）+（2+n﹣1）+⋯+（n+1）＝n（n+1）， ∴． n条直线最多可以把平面分成2+2+3+4+5+⋯n ＝1+（1+2+3+4+5+⋯n） ＝ ＝（个）， 故答案为：； （3）由1个圆，2（个）区域； 2个圆，2+2×1＝4（个）区域； 3个圆，2+2×1+2×2＝8（个）区域； ∴4个圆，2+2×1+2×2+2×3＝14（个）区域； 故答案为：14； （4）n个圆最多可以把平面分成2+2×1+2×2+2×3+⋯+2×（n﹣1） ＝2+2[1+2+3+⋯+（n﹣1）] ＝ ＝2+n（n﹣1） ＝n2﹣n+2（个）区域， 故答案为：（n2﹣n+2）； （5）2+6×[1+2+⋯+（n﹣1）] ＝ ＝2+3n（n﹣1） ＝3n2﹣3n+2（个）区域， 故答案为：3n2﹣3n+2； （6）当画第n（n≥2）个四边形时，每条边最多与前面已画的（n﹣1）个四边形的各两条边相交，共可产生交点4×[（n﹣1）×2]＝8（n﹣1）（个），即能新增加8（n﹣1）个区域， ∵1个四边形时有2个区域， ∴n个四边形最多将平面分成的区域数是2+8×1+8×2+8×3+⋯+8×（n﹣1） ＝2+8[1+2+3+⋯+（n﹣1）] ＝ ＝2+4n（n﹣1） ＝4n2﹣4n+2（个）区域， 故答案为：4n2﹣4n+2． 35．【解答】解：晓莉的解法正确，嘉佳的解法不正确， ∵抛物线y＝ax2+4与y＝﹣2x2的形状相同，存在两种情况，一个是开口方向相同，另一个是开口方向相反， ∴a＝2或﹣2， 36．【解答】解：（1）∵令y＝a（x﹣m）（x﹣n）＝0， 则：x1＝m，x2＝n， ∴抛物线与x轴的交点坐标为（m，0），（n，0）， 当m＝1﹣2a，n＝a﹣2时，抛物线与x轴的交点坐标为（1﹣2a，0），（a﹣2，0）， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）， ∵该抛物线的顶点坐标为（p，q），抛物线的对称轴为直线， ∴，， ∴， ∴当时，取得最大值，最大值为， 即． 37．【解答】解：（1）由条件可知a+b+2＝0， ∴b＝﹣a﹣2； （2）由条件可知x1＝2﹣x2，x1≠x2≠1， ∴， ∴，， ∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝， ＝ ＝（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b] ＝（2﹣2x2）（2a﹣a﹣2） ＝2（a﹣2）（1﹣x2）， ∴ ＝ ＝ ＝， ∵T的值为整数， ∴a＝±1，±2， ∵a＞0， ∴a＝1或2． 38．【解答】解：（1）当x＝y时，则x2+2x﹣3＝0， ∴（x﹣1）（x+3）＝0， ∴x1＝1，x2＝﹣3， 答：它的和谐点坐标为（1，1），（﹣3，﹣3）； （2）令x＝y，则可得方程x＝x2﹣x+m， 移项化为一元二次方程的一般形式：x2﹣2x+m＝0， ∵二次函数只有一个和谐点，所以一元二次方程x2﹣2x+m＝0有且只有一个解， 即判别式Δ＝（﹣2）2﹣4m＝0， 解得m＝1， 答：实数m的值为1． 39．【解答】解：（1）①出现错误的是第①步， 正确过程： y＝﹣2x2+4x+3 ＝﹣2（x2﹣2x）+3 ＝﹣2（x2﹣2x+1﹣1）+3 ＝﹣2（x﹣1）2+2+3 ＝﹣2（x﹣1）2+5 故h＝1，k＝5 故答案为：①，1，5； （2）﹣2x2+4x+3＝0， ， ， 即， ， 解得或． 40．【解答】解：（1）∵二次函数y＝2x2+bx+c过点A（1，0）、B（2，0）， ∴y＝2（x﹣1）（x﹣2）， 即y＝2x2﹣6x+4． ∴抛物线的对称轴为直线． （2）把化成一般式得， ． ∴b＝﹣4h，c＝2h2﹣2． ∴b+c＝2h2﹣4h﹣2， ＝2（h﹣1）2﹣4． ∵2＞0， ∴该二次函数开口向上， ∴把b+c的值看作是h的二次函数，有最小值， ∴当h＝1时，b+c的最小值是﹣4． 41．【解答】解：（1）由条件可得： ， 解得， ∴该二次函数表达式为 y＝﹣x2﹣2x+3． （2）由（1）得该二次函数表达式为 y＝﹣x2﹣2x+3， 对称轴x＝﹣1，函数图象开口向下， 在对称轴左侧 y 随 x 增大而增大，右侧 y 随 x 增大而减小， 点M（m，n）在该二次函数的图象，当﹣2≤m＜2时， ∴当m＝﹣1 时，n取得最大值为﹣1+2+3＝4． 当m＝﹣2时，n＝﹣4+4+3＝3； 当m＝2时，n＝﹣4﹣4+3＝﹣5， ∵m＜2， ∴n取不到﹣5， ∴n 的取值范围为﹣5＜n≤4， （3）二次函数y＝﹣x2﹣2x+3，对称轴为x＝﹣1， 当t+1＜﹣1，即t＜﹣2时， 在t≤x≤t+1上，y 随 x 增大而增大， ∴当 x＝t+1，y有最大值为2t， ∴﹣（t+1）2﹣2（t+1）+3＝2t， 化简得t2+6t＝0，解得t＝﹣6或 t＝0（舍）， 当t≤﹣1≤t+1，即﹣2≤t≤﹣1时， 当 x＝﹣1时，y有最大值为2t， ∴﹣1+2+3＝2t，解得 t＝2，不符合题意，舍去， 当t＞﹣1时， 在t≤x≤t+1上，y 随 x 增大而减少， ∴当 x＝t，y有最大值为2t， ∴﹣t2﹣2t+3＝2t， 解得或 （舍）， 综上，t＝﹣6 或 ． 42．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+4的图象的对称轴为， ， ， ∴； （2）①由（1）可得b＝﹣5a， ∴， 则函数图象的顶点坐标为． ∴a＞0，且， 解得a＝1，或a＝﹣26（舍去）． ∴该二次函数的表达式为y＝x2﹣5x+4． ②证明：∵点M（x1，m）在函数y＝x2﹣5x+4的图象上， ∴． 由①知，点M（x1，m），N（x2，m）关于直线对称， 不妨设x1＜x2，则， ∴x1+x2＝5，即x1＝5﹣x2， ∴， ∴． 43．【解答】解：（1）由题意得：长方体礼盒底面长AB＝（24﹣2x）cm， 宽； 故答案为：（24﹣2x）；（15﹣x）； （2）由条件可得（24﹣2x）•（15﹣x）＝140， 解得：x1＝5，x2＝22（不合题意舍去）， （3）存在x，使礼盒的侧面积最大，理由如下： 设礼盒的侧面积为ycm2，由题意得： y＝2（24﹣2x）x+2（15﹣x）x ＝﹣6x2+78x ＝ ＝﹣6（x﹣6.5）2+253.5， ∵， 解得：0＜x＜12， ∴当x＝6.5时，y最大为253.5， 即存在x使礼盒的侧面积最大，此时x＝6.5． 44．【解答】解：（1）由题意得， ∴b＝2，c＝3； （2）由题意，设直线AB为y＝kx+d， ∴， ∴， ∴直线AB为y＝x+1； ∵直线x＝t（﹣1＜t＜2）与图象C1，C2分别交于E，F两点，与线段AB交于点D． ∴E（t，t2﹣1），F（t，﹣t2+2t+3），D（t，t+1）， ∴FD＝（﹣t2+2t+3）﹣（t+1）＝﹣t2+t+2，ED＝（t+1）﹣（t2﹣1）＝﹣t2+t+2， ∴FD＝ED． 过点B作直线x＝t的垂线交EF于点P，设直线x＝t与x轴的交点为点Q． ∴BP＝2﹣t，AQ＝t+1． ∵S1＝S2， ∴2﹣t＝t+1， ∴； （3）线段EF＝（﹣t2+2t+3）﹣（t2﹣1） ＝﹣2t2+2t+4 ＝． ∵若t满足a≤t≤a+1，且﹣1＜a＜1， ∴直线x＝t始终满足﹣1＜t＜2． i．若，即， 当t＝a+1时，线段EF的长度取得最大值﹣2a2﹣2a+4． ⅱ．若，即， 当时，线段EF的长度取得最大值． ⅲ．若，即， 当t＝a时，线段EF的长度取得最大值为﹣2a2+2a+4． 学科网（北京）股份有限公司 $