天津市第一中学滨海学校2025-2026学年高二上学期第一次质量检测数学试卷

天津市第一中学滨海学校2024级高二数学学科 第一次质量检测试卷 本训练分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，训练时间100分钟. 第I卷 选择题（50分） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分. 1. 若直线的斜率为，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知是空间直角坐标系中的一点，下列点的坐标与点M关于平面对称的点是（ ）. A. B. C. D. 3. 已知，分别为直线，的方向向量（，不重合），，分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若直线与直线垂直，则实数a的取值是（ ） A. 或 B. C. D. 5. 设，已知直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 直线与直线在同一坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 7. 与直线关于y轴对称的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，则用表示为（　　） A. B. C. D. 9. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 10. 点到直线的最大距离是（ ） A. B. 2 C. D. 不存在 11. 在空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成空间直角坐标系，若任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：已知分别为“空间斜坐标系”下三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作．如图，在平行六面体中，，以为基底建立“空间斜坐标系”，若，且与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 2 12. 在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，为底面的中心，点在正方体的表面上运动，且满足，下列说法正确的个数（ ） ①点可以是棱的中点；②点轨迹的长度为； ③点的轨迹是平行四边形；④点轨迹所围成的图形面积为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 第II卷 非选择题（90分） 二、填空题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分. 13. 已知是直线的一个方向向量，则的斜率为_____________. 14. 设向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三点共线，则______． 15. 已知两点到直线的距离相等，则实数a的值为________． 16. 若直线与直线的交点位于第一象限，则实数的取值范围是______． 17. 已知正方体的边长为，点是的中点，则点到直线的距离为___________. 18. 如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为______． 19. 设直线的倾斜角，则其斜率的取值范围是____________；若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是____________. 20. 在梯形中，，，点满足，则______；若与相交于点，为线段延长线上的动点，则的最大值为______． 三、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 21. 已知，，，求（均写出一般式方程）： （1）边上的中线所在的直线方程； （2）过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程； （3）边垂直平分线方程及点关于的对称点的坐标. 22. 已知正三棱柱中，侧棱长为，底面边长为2，为的中点. （1）证明：； （2）求平面和平面夹角的大小； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 23. 已知的两条边所在直线的方程分别是：，且它的对角线的交点是． （1）求顶点的坐标； （2）求这个平行四边形另外两条边所在直线的斜截式方程； （3）求的面积． 24. 如图，四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，． （1）若点为线段的中点， ①证明：∥面； ②求直线与平面间的距离； （2）若点为直线上的动点，当直线与底面所成角的正弦值取最大值时，求三棱锥的体积． 天津市第一中学滨海学校2024级高二数学学科 第一次质量检测试卷 本训练分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，训练时间100分钟. 第I卷 选择题（50分） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分. 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】A 【9题答案】 【答案】A 【10题答案】 【答案】D 【11题答案】 【答案】B 【12题答案】 【答案】B 第II卷 非选择题（90分） 二、填空题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分. 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】0 【15题答案】 【答案】0或##或0 【16题答案】 【答案】 【17题答案】 【答案】## 【18题答案】 【答案】## 【19题答案】 【答案】 ①. ②. 【20题答案】 【答案】 ①. ②. 三、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【21题答案】 【答案】（1） （2） 或 （3）， 【22题答案】 【答案】（1）证明：由为正三棱柱可知，平面， 又平面，所以， 又因点D为正三角形的边AB的中点，所以； 又，平面，所以平面； 又平面，所以. （2） （3） 【23题答案】 【答案】（1）的坐标为，的坐标为 （2）和 （3）50 【24题答案】 【答案】（1） ①如图，取的中点，连接，有，， 又，，所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以∥面； ② （2） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $