5.3二次函数应用 同步练习 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数应用，分层设计基础巩固（7题）、中档提升（6题）、综合拓展（4题）三级梯度，通过生活、运动、几何情境构建从单一建模到综合应用的知识路径，培养模型观念与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一模型应用（利润、面积）|如填空题8矩形面积最值，直接应用二次函数顶点公式，强化建模基础| |中档提升|复杂情境分析（运动轨迹、参数）|如选择题3小球压缩弹簧，结合函数图象分析速度变化，发展几何直观与推理能力| |综合拓展|跨情境综合（分段函数、多变量）|如解答题14农产品销售利润，需分段构建函数并结合实际取值范围，提升应用意识|

5.3二次函数应用 同步练习 北师大新版九上 一．选择题（共7小题） 1．某服装店衣服售价为280元时，获得的利润是进价的40%，此时每天可卖出200件衣服．为尽快清空库存，店主决定降价处理，当衣服售价每降低5元时，每天销量增加25件．店主要想每天获得的利润最大，则需要将售价定为多少元？（　　） A．200 B．220 C．240 D．260 2．如图，体育课上，小强某次掷出的实心球的飞行高度h（m）与水平距离x（m）之间的关系大致为抛物线，则小强本次投掷实心球的成绩为（　　） A．8m B．9m C．10m D．3m 3．如图1，质量为m的小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为15cm）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），小球的速度v（cm/s）和弹簧被压缩的长度x（cm）之间的函数关系（可近似看作二次函数）如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（　　） A．小球从刚开始接触弹簧就开始减速 B．当小球的速度最大时，弹簧的长度是9cm C．若a＝3，则小球的最大速度为4cm/s D．当弹簧的长度为10cm时，小球的速度与刚接触弹簧时的速度相同 4．如图，利用一面墙，用40米长的篱笆围成一块矩形场地，如果墙长为25米，那么围成矩形场地的最大面积是（　　） A．150m2 B．200m2 C．250m2 D．400m2 5．如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m．设矩形菜园的边AB的长为xm，面积为Sm2，其中AD≥AB．有下列结论： ①S与x之间的函数关系式为S＝﹣2x2+30x； ②x的取值范围是2≤x≤10； ③AB的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为100m2． 其中，正确的结论是（　　） A．①② B．①②③ C．②③ D．① 6．某湖面上有一座抛物线型拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽AB为16m，此时拱顶O到水面AB的距离为（　　） A．4m B．3m C．2m D．1m 7．为规避碰撞风险，两艘渔船在航行时需测量两船实时距离．如图1，甲船位于乙船的正西方向，甲船从点A出发朝正北方向匀速航行，同时乙船从点B出发朝正西方向匀速航行，当乙船到点A时，两船均停止航行．设乙船航行的时间为t（单位：h），甲、乙两船距离的平方为y（单位：km2）．如图2，y关于t的函数图象与y轴交于点D（0，900），最低点E（m，n），且经过点F（2.4，900）．下列结论中正确的有（　　） ①AB＝30； ②m＝1.1； ③甲船的速度为12km/h； ④若存在2个时刻t1，t2（t1＜t2）对应的两船距离相等，且，则t1时刻对应的两船距离平方为585km2． A．②③④ B．①③ C．①③④ D．①④ 二．填空题（共6小题） 8．用一根长为20米的绳子，围成一个矩形，设矩形一边长x米，则面积y＝　 　 ，围成的矩形的最大面积是 　 　 m2． 9．一个小球从水平面开始竖直向上发射，小球的高度h（m）关于运动时间t（s）的函数表达式为h＝at2+bt，其图象如图所示．若小球在发射后第2s与第6s时的高度相等，则小球从发射到回到水平面共需时间　 　 （s）． 10．某商店销售一种玩具，每件的进货价为40元，经市场调研，当该玩具每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件，现该商店决定涨价销售，若该玩具每件销售价不低于57元，则销售该玩具每天获得的利润w最大为　 　 元． 11．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加　 　 m． 12．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，动点P从点A开始沿边AB向B以1cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以2cm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P，Q分别从A，B同时出发，那么经过　 　 秒，四边形APQC的面积最小． 13．如图是小明借助工具设计的抛物线型帐篷．在抛物线上取A，B，C，D四点，且线段AB，CD都与地面平行，抛物线最高点P到AB的距离为0.6m，AB＝2m，CD＝4m，则点B到CD的距离为　 　 m． 三．解答题（共4小题） 14．随着国家乡村振兴战略的实施，一村民在政府帮助下因地制宜种植某种农产品，获得了较为可观的经济收入．经过几年的种植销售，该村民发现此农产品在上市季节，日销售数量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足如图所示的函数关系，并且当销售单价x超过14元/kg时，此农产品下市不再销售． （1）当x≥10时，求日销售数量y关于销售单价x的函数关系式； （2）已知此农产品种植成本为每千克5元，请你帮该村民计算，此农产品销售单价定为每千克多少元时，才能使日销售利润达到最大？并求出最大利润． 15．某文创公司设计了一款纪念章，若按利润率20%定价，可获利10元；若以每个高于成本价且不超过成本150%的价格销售，当定价为55元时，销售量为700个，售价每增加1元，则销量减少20个．设售价为x（元/个），销售量为y（个）． （1）求该纪念章的成本价； （2）求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （3）求当x为何值时，每天的利润最大． 16．如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗．设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：m），面积为S（单位m2）． （1）直接写出y与x，S与x之间的函数解析式（不要求写x的取值范围）； （2）当x的值为多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 17．独竹漂是国家级非物质文化遗产，被誉为“河上的轻功”．如图1，表演者脚踩单根楠竹，在河面上滑行，互动表演时常常向观众抛红色绸球，是特色的民俗节目．某次表演中，表演者在距离水面1米处，抛出一个红色绸球，绸球的运动轨迹为抛物线（不计空气阻力），建立如图2的平面直角坐标系，绸球从抛球点A（0，1）离开后，在点B（4，3）处达到最高． （1）求抛物线的解析式； （2）若观众区边缘点P与原点O的水平距离为10米，问绸球能否抛到观众区，并说明理由． 5.3二次函数应用 同步练习 北师大新版九上 参考答案与试题解析 一．选择题（共7小题） 1．某服装店衣服售价为280元时，获得的利润是进价的40%，此时每天可卖出200件衣服．为尽快清空库存，店主决定降价处理，当衣服售价每降低5元时，每天销量增加25件．店主要想每天获得的利润最大，则需要将售价定为多少元？（　　） A．200 B．220 C．240 D．260 【解答】解：设衣服的进价为a元/件． 280﹣a＝40%a． 解得：a＝200． ∵衣服售价每降低5元时，每天销量增加25件， ∴衣服售价每降低1元时，每天销量增加5件． 设售价定为x元． ∵要降低售价， ∴衣服售价降低了（280﹣x）元． ∴每天销量增加了5（280﹣x）件． ∴现在的销量为[200+5（280﹣x）]件． 设每天的利润为w元． w＝（x﹣200）[200+5（280﹣x）] ＝（x﹣200）（1600﹣5x）． ＝﹣5x2+2600x﹣320000． ∵a＝﹣5＜0， ∴x260时，w有最大值． 故选：D． 2．如图，体育课上，小强某次掷出的实心球的飞行高度h（m）与水平距离x（m）之间的关系大致为抛物线，则小强本次投掷实心球的成绩为（　　） A．8m B．9m C．10m D．3m 【解答】解：令h＝0，则， 解得x＝8或x＝﹣2（舍）， ∴小强本次投掷实心球的成绩为8m， 故选：A． 3．如图1，质量为m的小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为15cm）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），小球的速度v（cm/s）和弹簧被压缩的长度x（cm）之间的函数关系（可近似看作二次函数）如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（　　） A．小球从刚开始接触弹簧就开始减速 B．当小球的速度最大时，弹簧的长度是9cm C．若a＝3，则小球的最大速度为4cm/s D．当弹簧的长度为10cm时，小球的速度与刚接触弹簧时的速度相同 【解答】解：A、小球从刚开始接触弹簧速度并未开始减速，该选项错误，故不符合题意， B、由图象，可知当弹簧被压缩的长度为2cm时，小球的速度最大，此时弹簧的长度为15﹣2＝13（cm），故不符合题意； C、由图象，抛物线的对称轴为直线x＝2， ∴（6，0）的对称点为（﹣2，0）， 假设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）（x+2）， 将（0，3）代入解析式得，3＝﹣12a， 解得， ∴抛物线解析式为， 当x＝2时，函数值最大，最大值为， ∴在小球压缩弹簧的过程中，最大速度为4cm/s，该选项正确，符合题意； D、当弹簧的长度为10cm时，被压缩了15﹣10＝5cm，即x＝5， 由图象可知，二次函数的对称轴是直线x＝2，则x＝0与x＝4对应的速度相等，所以x＝5时，小球的速度与小球刚接触弹簧时速度不等，该选项错误，故不符合题意． 故选：C． 4．如图，利用一面墙，用40米长的篱笆围成一块矩形场地，如果墙长为25米，那么围成矩形场地的最大面积是（　　） A．150m2 B．200m2 C．250m2 D．400m2 【解答】解：如图，用40米长的篱笆围成一块矩形场地，如果墙长为25米， 设AB＝x米，则BC＝（40﹣2x）米， ∴40﹣2x≤25， 解得：， 令矩形场地的面积为y＝x（40﹣2x）＝﹣2（x﹣10）2+200， ∴当x＝10时，y有最大值200， ∴围成矩形场地的最大面积是200m2， 故选：B． 5．如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m．设矩形菜园的边AB的长为xm，面积为Sm2，其中AD≥AB．有下列结论： ①S与x之间的函数关系式为S＝﹣2x2+30x； ②x的取值范围是2≤x≤10； ③AB的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为100m2． 其中，正确的结论是（　　） A．①② B．①②③ C．②③ D．① 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴S＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x，故①符合题意； 设这个菜园垂直于墙的一边AB的长为xm．则BC的长为（30﹣2x）m， ∵墙长为18m，AD≥AB， ∴ 解得， ∴x的取值范围为6≤x≤10，故②不符合题意； 当y＝100时，即x（30﹣2x）＝100， 解得x1＝5，x2＝10， ∵6≤x≤10， ∴x＝10， ∴AB的长有1个值满足该矩形菜园的面积为100m2，故③不符合题意． 故选：D． 6．某湖面上有一座抛物线型拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽AB为16m，此时拱顶O到水面AB的距离为（　　） A．4m B．3m C．2m D．1m 【解答】解：由题意得： 把x＝8代入为中得：y82＝﹣4， ∴B（8，﹣4）， ∴此时拱顶O到水面AB的距离为4m， 故选：A． 7．为规避碰撞风险，两艘渔船在航行时需测量两船实时距离．如图1，甲船位于乙船的正西方向，甲船从点A出发朝正北方向匀速航行，同时乙船从点B出发朝正西方向匀速航行，当乙船到点A时，两船均停止航行．设乙船航行的时间为t（单位：h），甲、乙两船距离的平方为y（单位：km2）．如图2，y关于t的函数图象与y轴交于点D（0，900），最低点E（m，n），且经过点F（2.4，900）．下列结论中正确的有（　　） ①AB＝30； ②m＝1.1； ③甲船的速度为12km/h； ④若存在2个时刻t1，t2（t1＜t2）对应的两船距离相等，且，则t1时刻对应的两船距离平方为585km2． A．②③④ B．①③ C．①③④ D．①④ 【解答】解：∵y关于t的函数图象与y轴交于点D（0，900）， ∴根据题意，当t＝0时，AB2＝900， ∴AB＝30，故①正确； 设甲船的速度为v甲，乙船的速度为v乙， 根据题意，由勾股定理得y＝（v甲t）2+（30﹣v乙t）2 ＝v甲2t2+900﹣60v乙t+v乙2t2 ＝（v甲2+v乙2）t2﹣60v乙t+900， ∴y与t满足二次函数关系， ∵点D（0，900），点F（2.4，900）， ∴根据二次函数图象性质得，最低点E的横坐标m，故②错误； 根据题意，乙船航行的时间t时，v乙t＝30， 解得v乙＝9， ∵y＝（v甲2+v乙2）t2﹣60v乙t+900过点F（2.4，900）， ∴（v甲2+92）×2.42﹣60×9×2.4+900＝900， 解得v甲＝12，故③正确； ∵若存在2个时刻t1，t2（t1＜t2）对应的两船距离相等， ∴根据二次函数图象性质得，， 又∵， 解得t1＝1， ∵y＝（v甲2+v乙2）t2﹣60v乙t+900，其中v甲＝12，v乙＝9， ∴当t1＝1时，代入得y＝585，故④正确． 故选：C． 二．填空题（共6小题） 8．用一根长为20米的绳子，围成一个矩形，设矩形一边长x米，则面积y＝　﹣x2+10x ，围成的矩形的最大面积是 　25　 m2． 【解答】解：由题意得：y＝x（10﹣x）＝﹣x2+10x＝﹣（x﹣5）2+25， ∵﹣1＜0， ∴当x＝5时，y有最大值，最大值为25， 故答案为：﹣x2+10x，25． 9．一个小球从水平面开始竖直向上发射，小球的高度h（m）关于运动时间t（s）的函数表达式为h＝at2+bt，其图象如图所示．若小球在发射后第2s与第6s时的高度相等，则小球从发射到回到水平面共需时间　8　 （s）． 【解答】解：由题意可知：小球在发射后第2s与第6s时的高度相等， 则函数h＝at2+bt的对称轴t4， 故小球从发射到回到水平面共需时间8秒， 故答案为：8． 10．某商店销售一种玩具，每件的进货价为40元，经市场调研，当该玩具每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件，现该商店决定涨价销售，若该玩具每件销售价不低于57元，则销售该玩具每天获得的利润w最大为　2210　 元． 【解答】解：设每件玩具涨价x元，当该玩具每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件， 则利润w＝（50+x﹣40）（200﹣10x）＝﹣10x2+100x+2000＝﹣10（x﹣5）2+2250， ∵每件销售价不低于57元销售， ∴50+x≥57，解得x≥7， ∵﹣10＜0，抛物线开口向下，当x＞5时，w随x的增大而减小， ∴当x＝7时，w有最大值，为w＝﹣10×（7﹣5）2+2250＝2210， ∴最大利润w为2210元． 故答案为：2210元． 11．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加　（24）　 m． 【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点， 抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，可求出OA和OB为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2）， 设顶点式y＝ax2+2，代入A点坐标（﹣2，0）， 得：a＝﹣0.5， 所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2， 把y＝﹣1代入抛物线解析式得出： ﹣1＝﹣0.5x2+2， 解得：x＝±， 所以水面宽度增加到2米，比原先的宽度当然是增加了24， 故答案为：（24）． 12．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，动点P从点A开始沿边AB向B以1cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以2cm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P，Q分别从A，B同时出发，那么经过　3　 秒，四边形APQC的面积最小． 【解答】解：设移动时间为x（x≤6）秒，四边形APQC的面积为ycm2， 由题意得：BP＝AB﹣AP＝（6﹣x）cm，BQ＝2xcm， ∵∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm， ∴y＝SRt△ABC﹣SRt△BPQ， ， ， 整理得：y＝x2﹣6x+36＝（x﹣3）2， 由二次函数的性质可知，当x＝3时，y取得最小值0， 即经过3秒，四边形APQC的面积最小， 故答案为：3． 13．如图是小明借助工具设计的抛物线型帐篷．在抛物线上取A，B，C，D四点，且线段AB，CD都与地面平行，抛物线最高点P到AB的距离为0.6m，AB＝2m，CD＝4m，则点B到CD的距离为　1.8　 m． 【解答】解：如图建立坐标系： ∵AB＝2m，CD＝4m，抛物线最高点P到AB的距离为0.6m， ∴B（1，0），P（0，0.6）， 设y＝ax2+0.6，将B（1，0）代入得0＝a+0.6， 解得a＝﹣0.6，即y＝﹣0.6x2+0.6， 当时，y＝﹣0.6×22+0.6＝﹣1.8， 即点B到CD的距离为1.8m， 故答案为：1.8． 三．解答题（共4小题） 14．随着国家乡村振兴战略的实施，一村民在政府帮助下因地制宜种植某种农产品，获得了较为可观的经济收入．经过几年的种植销售，该村民发现此农产品在上市季节，日销售数量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足如图所示的函数关系，并且当销售单价x超过14元/kg时，此农产品下市不再销售． （1）当x≥10时，求日销售数量y关于销售单价x的函数关系式； （2）已知此农产品种植成本为每千克5元，请你帮该村民计算，此农产品销售单价定为每千克多少元时，才能使日销售利润达到最大？并求出最大利润． 【解答】解：（1）由题意，当x≥10时，设日销售数量y关于销售单价x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 又∵图象过（10，50），（14，42）， ∴． ∴． ∴所求函数关系式为y＝﹣2x+70； （2）由题意，设日销售利润为W元，单件利润为（x﹣5）元/千克，可分两段讨论： ①当8≤x≤10时，此时y＝50， ∴利润W＝50（x﹣5）＝50x﹣250， ∵k＝50＞0， ∴W随x增大而增大， ∴当x＝10时，Wmax＝50×10﹣250＝250（元）； ②当10≤x≤14时，此时y＝﹣2x+70， ∴利润W＝（x﹣5）（﹣2x+70） ＝﹣2x2+80x﹣350 ＝﹣2（x2﹣40x+400﹣400）﹣350 ＝﹣2（x﹣20）2+450． ∵﹣2＜0且10≤x≤14， ∴当x＝14时，W取最大值，最大值为378． 答：此农产品销售单价定为每千克为14元时，才能使日销售利润达到最大，最大利润是378元． 15．某文创公司设计了一款纪念章，若按利润率20%定价，可获利10元；若以每个高于成本价且不超过成本150%的价格销售，当定价为55元时，销售量为700个，售价每增加1元，则销量减少20个．设售价为x（元/个），销售量为y（个）． （1）求该纪念章的成本价； （2）求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （3）求当x为何值时，每天的利润最大． 【解答】解：（1）设成本价x元，由题意得20%•x＝10， ∴x＝50， ∴该纪念章的成本价是50元； （2）∵定价为55元时，销售量为700个，售价每增加1元，则销量减少20个， y＝700﹣20（x﹣55）， ∴y＝﹣20x+1800； （3）设利润为W元， ∵每个高于成本价且不超过成本150%的价格销售， ∴50≤x≤75， W＝（x﹣50）（﹣20x+1800）， W＝﹣20x2+2800x﹣90000， ∵﹣20＜0，∴抛物线开口向下，二次函数有最大值， 当x＝70时，每天的利润最大． 16．如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗．设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：m），面积为S（单位m2）． （1）直接写出y与x，S与x之间的函数解析式（不要求写x的取值范围）； （2）当x的值为多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 【解答】解：（1）设矩形实验田与墙垂直的一边长为xm，与墙平行的一边长为ym，面积为S， ∴2x+y＝80， ∴y＝﹣2x+80， ∵S＝xy， ∴S＝x（﹣2x+80）＝﹣2x2+80x； （2）S＝﹣2x2+80x＝﹣2（x2﹣40x）＝﹣2（x2﹣40x+400﹣400）＝﹣2（x﹣20）2+800， ∵y≤42， ∴﹣2x+80≤42， ∴x≥19， ∴19≤x＜40， ∴当x＝20m时，S有最大值800m2． ∴当x＝20时，矩形实验田的面积S最大，最大面积是800m2． 17．独竹漂是国家级非物质文化遗产，被誉为“河上的轻功”．如图1，表演者脚踩单根楠竹，在河面上滑行，互动表演时常常向观众抛红色绸球，是特色的民俗节目．某次表演中，表演者在距离水面1米处，抛出一个红色绸球，绸球的运动轨迹为抛物线（不计空气阻力），建立如图2的平面直角坐标系，绸球从抛球点A（0，1）离开后，在点B（4，3）处达到最高． （1）求抛物线的解析式； （2）若观众区边缘点P与原点O的水平距离为10米，问绸球能否抛到观众区，并说明理由． 【解答】解：（1）根据题意，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+3， 代入A（0，1），得16a+3＝1， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）不能抛到观众区，理由如下： 令y＝0，则， 解得，， ∵， ∴， ∵观众区边缘点P与原点O的水平距离为10米， ∴若观众区边缘点P与原点O的水平距离为10米，不能抛到观众区． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/9/5 14:29:23；用户：曙光；邮箱：15046884347；学号：19101398 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $