学易金卷：九年级数学上学期9月学情自测卷（北京专用，范围：新教材人教版九上第二十五～二十六章）

**基本信息** 聚焦一元二次方程与二次函数，以卢沟桥拱、蔬菜大棚等现实情境为载体，设置基础巩固（选择填空）、能力提升（根的判别式应用）、创新应用（新定义“t相关函数”）三级梯度，培养抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|一元二次方程定义（第1题）、二次函数对称轴（第3题）|基础概念辨析，突出符号意识| |填空题|8/16|抛物线与坐标轴交点（第9题）、实际问题建模（第13题卢沟桥拱）|结合文化传承，强化几何直观| |解答题|12/68|方程应用（第20题利润问题）、函数与几何综合（第27题矩形运动）、新定义探究（第28题“t相关函数”）|梯度设计明显，注重推理能力与创新意识|

11 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9._______________ 13. ______________ 10. ___________ 14. ___________ 11. _________________ 15.________________ 12. ________________ 16. ________________ 三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17.（5分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（5分） 19．（5分） 20．（6分） 21．（5分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（6分） 23．（5分） 24．（6分） 25．（5分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26．（6分） 27．（7分） 28． （7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 1 2 3 4 5 6 7 8 D B D A 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分 9.(0,6) 10kx5 11.=3,5=1 12.-2≤x≤1 13.22 14.9 15 62cm 、Jcm 2 3 16. s、 2+3 16 42 三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 1 17.(5分)【详解】解：2-3x-5=0 1 a= 2’b=-3’c=-5, ∴.b2-4ac=(-3)2-4×5×(-5)=19>0, 2 x=3±9 (3分) .x=3+V19,x2=3-V19 (5分) 1/13 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 18.(5分)【详解】解：设关于x的一元二次方程x2+mx-6=0的另一个根为t,则-3t=6, 解得t=2, (3分) .另一个根是2 (5分) 19.(5分)【详解】解：：二次函数'=r+br+ 的图象经过点 （-1,0)(1,-2) 1-b+c=0 ∴.1+b+c=-2, b=-1 解得，c=-2, (4分) ·二次函数的解析式为》=r-x-2 (5分) 20.(6分)【详解】(1)解：由题意得，pr-8=1250, 即(50-2x)x-(30x+500)=1250 (x-30)2=25 整理得， 解得， x=25x2=35 即当月产量为25辆或35辆时，每月可获得1250元利润. (3分) (2)解：记利润为W元， W=px-g=(150-2x)x-(30x+500)=-2(x-30)2+1300 则 -2<0,0<x≤50」 “当x=30用 Wmax=1300 时， 即当月产量为30辆时，可获得最大利润，最大利润是1300元. (6分) 21.(5分)【详解】(1)解：由题意得，△=(4)-4(k-2) =16-4k+8 =24-4k20, 解得k≤6； (3分) 2/13 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 x+x2=4,xx3=k-2 (2)解：由题意得， +352=1 ∴.4-(k-2)=1 解得k=5<6,符合题意. (5分) 2.(6分)【f解1(4解：yx-2旷-4.时0 2,-4) .二次函数的开口方向向上，顶点坐标为 对称轴为直线x=2； (2 分) 2解：-2-4. 列表如下： t 。。，，，4 -2 … 0 2 4 6 y 0 -3 -4 -3 0 图象如下： 5 (6分) 1Q1234.57.8x x+1.5) 23.(5分)【详解】(1)解：设每个肉松青团的价格为元，则每个红豆青团的价格为 元 6x+8(x+1.5)=54 由题意得： 解得x=3, ∴每个红豆青团的价格为x+1.5=4.5(元)， 答：每个肉松青团的价格为3元，每个红豆青团的价格为4.5元； (2分) (2)解：由题意得，降价后，肉松青团单价为3-0.5=2.5（元），红豆青团单价为4.5-0.5=4（元）， 3/13 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 则每盒A礼盒：m个肉松、 (16-m) 2.5m+4(16-m）=64-1.5m 个红豆，单盒价格为 每盒B礼盒：m个红豆、(16-m）个肉松，单盒价格为 .5(16-m)+4m=40+1.5m 根据思意，得2m+18)(64-1.5m）+(80-5m)(40+1.5m)=410 m2-2m-24=0 m1=6m2=-4 解得 (不符合实际，舍去)， 即m的值为6. (5分) 24.(6分) 【详解】(1)解：设函数的表达式为=a(x-2+9 A(-1,0)、0=a(-1-2)2+9 将点 0代入得 解得0=-1 故二次函数的表达式为'=-x-2》+9 即y=-x2+4x+5 (3分) (2)解：y=-x2+4x+5 当x=0时，y=5, C(0,5) A点坐标为(-1,0)，对称轴为直线x=2, .B(5,0) 设直线BC的解析式为y=acr+5, 把B(5.0)代入，符5班+5=0，解得k=-1, ∴.直线BC函数表达式为y=-x+5, 4/13 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 把x=2代入得y=3, 过点M作y轴的平行线交BC于点H,则点H(2,3), Sa-MxB0-6x5=15, 2 (6分) 25.(5分)【详解】(1)解：由题意知点A坐标 为0，），点B坐标为 12,3) c=1 将人为坐标代入y=方2++c得： 3=-1x122+12b+c 12 7 b= 6 解得：c=19 (2分) ay解=r+名+1=-1-12=-+g 6 61 6 当x=7时，y有最大值12，即大棚最高处到地面的距离为12米： 6*+1=25 架当高动.日+名 12 解得=513 .0≤x≤12. ∴.大棚内可以搭建支架的土地的宽为12-1=11（米）， 又，大棚的长为160米， “需要搭建支架部分的土地面积为160×1=1760（平方米） 5/13 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴共需要1760×4=7040（根）竹竿. (5分) 26.(6分) 【详解】(1)证明：当m=0时，原方程为-2x+2=0,解得x=1,原方程有实数根： 当m≠0时△=[-(2m+2J-4m(m+2)=4m2+8m+4-4m2-8m=4>0, 此方程有两个不相等的实数根， ∴.无论取任何实数时，方程恒有实数根： (3分) (2)解：当m=0时，由(1)知x=1为正整数，符合题意： 当m≠0时，解方程m2-(2m+2x+m+2=0,得气=m+2=1+2 m m’x3=1, ,原方程的根均为正整数，为整数， 或2，对应的=3或5=2 ms 或 均符合题意， 综上，整数m的值为0或1或2. (6分) 27.(7分)【详解】(1)解：由已知可得， BO=DP=tcm AP=CO=(6-t)cm 在矩形ABCD中，∠B=90°，AD川BC,AD=BC, 当BQ=AP时，四边形ABQP为矩形， t=6-t, 解得：t=3, 故当t=3时，四边形ABQP为矩形： (1分) (2)解：：B0=DP=cm,AD=BC, ..AD-DP=BC-BO, 即AP=CQ, AD‖BC, .四边形AQCP为平行四边形， 6/13 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴当AQ=CQ时，四边形AQCP为菱形， 根据勾股定理得：A0=AB+B0=32+2CQ2=(6-} 此时 2+=(6-) 9 解得=4， 9 故当=4时，四边形A0CP为菱形： (3分) (3)不存在某一时刻t使得P№1PC;理由如下： 过O作OM L AD,交AD于M,如图所示： D 则 ∠QMD=∠QMA=90° :∠QMM=∠BAM=∠B=90°， ∴四边形ABOM是矩形， .AM=BO=tcm,OM=AB=3cm, MP=(6-2t)cm :P2=PM+QM2=(6-2}+3 ,矩形ABCD中D=90°， .△PDC为直角三角形， .PC2=PD2+CD2=t2+32, .PO L PC」 7/13 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .∠QPC=90° PO2+PC2=CO2 :(6-2)+32++32=(6- .2t2-6t+9=0, .△=b2-4ac=36-72=-36<0, 此方程无实数根， .不存在某一时刻t使得PQ⊥PC: (5分) (4)解：如图2， D B 图2 根据折叠可知：∠AQB=∠AQB',AB'=AB=3cm,BQ=B'Q=1cm,∠AB'Q=∠B=90°， 在矩形ABCD中，AD‖BC, .∠AQB=∠PAQ. .∠AQB=∠PAQ. 、PA=PQ=(6-t)cm B'P=6-t-t=(6-2t)cm .∠ABP=180°-90°=90°， 在Rt△ABP中，由勾股定理得：AB2+B'P2=PA, 3+6-2刘=6-，即：F-4+3=0, 8/13 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 4=1t3=3 解得： 即当t等于1或3时，翻折后点B的对应点B恰好落在P边上， (7分) 28.(7分)【详解】(1)解：根据题意，当x<1时，y=-2x,当x≥1时，y=2x, 在点1-2）.B12)中， x=-1<1, “当x=1时，y=-2x)=2 ÷点B(12）符合盟意： 在点B-2）,P2)中， ,x=1, 当x=1时，y=2×1=2, 点02 符合题意： 故答案为： P(-1,2)P(1,2) ②一次函数y=2x+b是关于“2-相关函数”， 当<2时，y=-(2+)=-2-,当≥2时，y=2x+b, .x=2时，y=-2×2-b=-4-b,y=2×2+b=4+b, “2-相关函数”的图象是轴对称图形， ∴当x=2时，两个函数的值相等，即-4-b=4+b, 解得b=-4: (3分) (2)解：O已知12,1，B(2-,C(-4-).D(4,1) 如图所示， 9/13 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 y 4 3 2 D -6-54-3-2-10 1 34 B -2 一3 -4 二次面数=(（-的顶点坐标为a0 ,对称轴为直线x=h, 当x<m时，-(-心，与原函数图像关于x轴对称， 当x≥m时，=(-，与原函数致 二次面数'=(：-的m一相关函数”图象要与四边形1BCD始整有2个公共点， 需=(（-的图俊与四边形48CD始终有2个公共点， 结合图形得到，-4≤x≤2，-1≤y≤1， 令y=1,(（x-h)=1 x=h-1,x3=h+1 解得， :如图所示，)=(-与四边形4BCD只有一个交点， y个 2 6-54-3-2-10 1234 -2 4 10113 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 二次函数=(：-与四边形ABCD始终有2个交点， 「-4<h+1 则h-1<2,解得-5<h<3, ∴.h的取值范围为-5<h<3: (4分) ②y=r+2x+n=(x++(n-1) 由题意得，当x<1时，y=-[++n-]=-(x+-n-) 当x≥1时，y=(x++(n-) 作二次函数)=(+旷（≥）与”=-(+1旷x<)的图像如下图， 6 5 4 3 D A -6-5-4-3-2-1汉 1 234x -1 -4 情况一：当x<1时=-(+1旷-(-少的图象与线段AD有两个交点，x2l时=(+1旷+a-)的图象与 线段AD没有交点，如图， 11/13 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 6 5 4 3 2 D 6-5-4--2-10 234x -1 2 -3 -4 图1 -(1+1)2-(n-1)<1 .-(1+102-(n-1)>1, (1+1)+(n-1)>1 解得-2<n<0, 情祝二：当x<1时=-(x+-(n-的图象与线段D有一个交点，x2l时=(++a-)的图象与 线段AD有一个交点，如图， 7 6 5 3 2 A 654-3-2-10 1 234x 3 4 图2 -(-4+1)2-(n-1)<1 -(1+1)}-(n-1)21 ·.(1+1)2+(n-1)<1 (2+1)+(n-1)≥1 12113 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 解得-7≤n≤-4， 综上所述，n的取值范围为-7≤n≤-4或-2<n<0. (7分) 13/13………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九年级上册第25~26章。 第Ⅰ卷 1、 选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为（　　） A． B． C． D．或 3．二次函数图象的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 4．抛物线可以看作由抛物线如何变换得到的（　　） A．向上平移个单位长度 B．向下平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 5．关于的一元二次方程有两个不相等的同号实数根，则的取值范围是（  ） A．且 B． C．且 D． 6．若，，均在抛物线上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．某服装店，当把进价为40元/件的衣服以100元/件的价格出售时，每天能卖出20件，经统计调查发现，若每降价1元，可多卖出6件，若降价x元，每天可盈利1800元，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 8．已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④；⑤，其中所有正确结论的序号是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 第Ⅱ卷 2、 填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．抛物线与轴的交点的坐标是_____． 10．若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______． 11．方程的根为______． 12．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是___________ ． 13．卢沟桥如图①，“卢沟晓月”是著名的北京八景之一，古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一蝀分波夹镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为24米，若按如图②所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，则主桥拱最高点到水中倒影的距离为_____米． 14．如图，二次函数的图像的顶点为C，该二次函数的图像与x轴相交于A、B两点，连接，若，，则a的值是_______． 15．图是一个瓷碗，图是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度． （1）当面汤的深度为时，汤面的直径长为______； （2）如图，把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，此时碗中液面宽度______． 16．有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用函数 来表示，已知 米，距离 点米处的棚高 为 米，抛物线解析式为__________ ， 若借助横梁 建一个门，要求门的高度为米，则横梁 的长度是__________米． 3、 解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（5分）解方程：． 18．（5分）已知关于的一元二次方程的一个根为，求其另一根． 19．（5分）已知二次函数的图象经过点，求该二次函数的表达式． 20．（6分）某玩具厂计划生产一种变形金刚汽车玩具，已知每月生产x辆玩具汽车的成本为g（元），售价每辆为p（元），且g，p与x之间的关系式分别为，． (1)当月产量为多少辆时，每月可获得1250元利润？ (2)当月产量为多少辆时，可获得最大利润？最大利润是多少？ 21．（5分）若是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求出实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 22．（6分）已知二次函数 (1)写出二次函数图象的顶点坐标、对称轴及开口方向； (2)请在所给的坐标系中画出此二次函数的图象． 23．（5分）2026年4月5日是清明节，清明节前一周，铂航妈妈到超市购买了6个肉松青团和8个红豆青团，共付款54元，已知每个红豆青团比每个肉松青团贵元． (1)求每个肉松青团和每个红豆青团各多少元． (2)为进一步提升青团的销量，超市将两种青团分别包装成A，B两种礼盒销售，两种礼盒每盒都有16个青团（包装成本忽略不计），A礼盒中有个肉松青团，B礼盒中有个红豆青团．包装后每个青团降价元，统计发现，A，B两种礼盒的销量分别为盒、盒，A，B两种礼盒的销售总额为4100元，求m的值． 24．（6分）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为为二次函数图象的顶点． (1)求二次函数的表达式． (2)求的面积． 25．（5分）在蔬菜之乡寿光，高温蔬菜大棚（如图1）种植技术已十分成熟．付峰同学家建有一个长为160米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的透明墙体A处（墙体A的一面，面向正南），另一端固定在离地面高3米的墙体处（B处为厚实土墙），现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体A的水平距离（米）之间的关系满足，现测得两墙体之间的水平距离为12米． (1)直接写出的值； (2)求大棚的最高处到地面的距离； (3)付峰同学的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？ 26．（6分）已知关于x的方程． (1)求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根． (2)若关于x的方程根均为正整数，求整数m的值． 27．（7分）如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、．设点P、Q运动的时间为． (1)当______时，四边形是矩形； (2)当______时，四边形是菱形； (3)是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由； (4)在运动过程中，沿着把翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 28．（7分）在平面直角坐标系中，对于给定的两个关于x的函数，任取自变量x的一个值，当时，它们对应的函数值互为相反数；当时，它们对应的函数值相等，则称这样的两个函数互为“相关函数”． (1)①在点，，，中， 在正比例函数的“相关函数”图象上的点是________； ②若一次函数的“相关函数”的图象是轴对称图形，则b的值为________； (2)已知，，，． ①若二次函数的“相关函数”图象与四边形始终有2个公共点，求h的取值范围； ②若二次函数的“相关函数”的图象与线段有2个公共点，直接写出n的取值范围． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 日 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 一==-■==。。==-一=-■-。===。=●一一=▣- 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][√][/] 一、 单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][c][D] 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 10. 11. 13 14. 15. 16 三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 17.(5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(5分) 19. (5分) 20.(6分) 21.(5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.（6分) YA 23.(5分) 24.(6分) B 25.(5分) A 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(6分) 27.(7分) 28.(7分) 2 D 2 A 6543201卫34 654-32-101234 B -2 3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九年级上册第25~26章。 第Ⅰ卷 1、 选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为（　　） A． B． C． D．或 3．二次函数图象的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 4．抛物线可以看作由抛物线如何变换得到的（　　） A．向上平移个单位长度 B．向下平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 5．关于的一元二次方程有两个不相等的同号实数根，则的取值范围是（  ） A．且 B． C．且 D． 6．若，，均在抛物线上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．某服装店，当把进价为40元/件的衣服以100元/件的价格出售时，每天能卖出20件，经统计调查发现，若每降价1元，可多卖出6件，若降价x元，每天可盈利1800元，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 8．已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④；⑤，其中所有正确结论的序号是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 第Ⅱ卷 2、 填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．抛物线与轴的交点的坐标是_____． 10．若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______． 11．方程的根为______． 12．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是___________ ． 13．卢沟桥如图①，“卢沟晓月”是著名的北京八景之一，古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一蝀分波夹镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为24米，若按如图②所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，则主桥拱最高点到水中倒影的距离为_____米． 14．如图，二次函数的图像的顶点为C，该二次函数的图像与x轴相交于A、B两点，连接，若，，则a的值是_______． 15．图是一个瓷碗，图是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度． （1）当面汤的深度为时，汤面的直径长为______； （2）如图，把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，此时碗中液面宽度______． 16．有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用函数 来表示，已知 米，距离 点米处的棚高 为 米，抛物线解析式为__________ ， 若借助横梁 建一个门，要求门的高度为米，则横梁 的长度是__________米． 3、 解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（5分）解方程：． 18．（5分）已知关于的一元二次方程的一个根为，求其另一根． 19．（5分）已知二次函数的图象经过点，求该二次函数的表达式． 20．（6分）某玩具厂计划生产一种变形金刚汽车玩具，已知每月生产x辆玩具汽车的成本为g（元），售价每辆为p（元），且g，p与x之间的关系式分别为，． (1)当月产量为多少辆时，每月可获得1250元利润？ (2)当月产量为多少辆时，可获得最大利润？最大利润是多少？ 21．（5分）若是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求出实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 22．（6分）已知二次函数 (1)写出二次函数图象的顶点坐标、对称轴及开口方向； (2)请在所给的坐标系中画出此二次函数的图象． 23．（5分）2026年4月5日是清明节，清明节前一周，铂航妈妈到超市购买了6个肉松青团和8个红豆青团，共付款54元，已知每个红豆青团比每个肉松青团贵元． (1)求每个肉松青团和每个红豆青团各多少元． (2)为进一步提升青团的销量，超市将两种青团分别包装成A，B两种礼盒销售，两种礼盒每盒都有16个青团（包装成本忽略不计），A礼盒中有个肉松青团，B礼盒中有个红豆青团．包装后每个青团降价元，统计发现，A，B两种礼盒的销量分别为盒、盒，A，B两种礼盒的销售总额为4100元，求m的值． 24．（6分）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为为二次函数图象的顶点． (1)求二次函数的表达式． (2)求的面积． 25．（5分）在蔬菜之乡寿光，高温蔬菜大棚（如图1）种植技术已十分成熟．付峰同学家建有一个长为160米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的透明墙体A处（墙体A的一面，面向正南），另一端固定在离地面高3米的墙体处（B处为厚实土墙），现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体A的水平距离（米）之间的关系满足，现测得两墙体之间的水平距离为12米． (1)直接写出的值； (2)求大棚的最高处到地面的距离； (3)付峰同学的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？ 26．（6分）已知关于x的方程． (1)求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根． (2)若关于x的方程根均为正整数，求整数m的值． 27．（7分）如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、．设点P、Q运动的时间为． (1)当______时，四边形是矩形； (2)当______时，四边形是菱形； (3)是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由； (4)在运动过程中，沿着把翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 28．（7分）在平面直角坐标系中，对于给定的两个关于x的函数，任取自变量x的一个值，当时，它们对应的函数值互为相反数；当时，它们对应的函数值相等，则称这样的两个函数互为“相关函数”． (1)①在点，，，中， 在正比例函数的“相关函数”图象上的点是________； ②若一次函数的“相关函数”的图象是轴对称图形，则b的值为________； (2)已知，，，． ①若二次函数的“相关函数”图象与四边形始终有2个公共点，求h的取值范围； ②若二次函数的“相关函数”的图象与线段有2个公共点，直接写出n的取值范围． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九年级上册第25~26章。 第Ⅰ卷 1、 选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程“只含一个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程”三个条件逐一判断选项． 【详解】解：一元二次方程需同时满足三个条件：只含有1个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程. 对各选项分析如下： A选项含有两个未知数，不满足条件，排除； B选项未知数的最高次数为1，不满足条件，排除； C选项分母含有未知数，不是整式方程，不满足条件，排除； D选项只含1个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，满足一元二次方程的定义． 2．若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为（　　） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是由一元二次方程的解求参数，解题关键是熟练掌握由一元二次方程的解求参数． 将方程的根代入原方程即可求出的值． 【详解】解：依题意得：， ． 故选：． 3．二次函数图象的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的性质．二次函数的顶点坐标是，对称轴为直线．据此求解即可． 【详解】解：二次函数图象的对称轴是直线， 故选：A． 4．抛物线可以看作由抛物线如何变换得到的（　　） A．向上平移个单位长度 B．向下平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】B 【分析】本题考查的是抛物线的平移规律，掌握“上加下减、左加右减”的平移法则是解题关键．根据抛物线平移时“常数项变化对应上下平移”的规律，分析与的常数项差异，进而判断平移方向和距离． 【详解】解：， 将抛物线向下平移个单位长度得到． 故选：． 5．关于的一元二次方程有两个不相等的同号实数根，则的取值范围是（  ） A．且 B． C．且 D． 【答案】D 【分析】本题需要结合一元二次方程定义，二次根式有意义的条件，根的判别式和根同号的要求，列出不等式组求解即可． 【详解】解：原方程是关于的一元二次方程，且含二次根式， 且， 解得：且， 方程有两个不相等的实数根， 判别式， 解得：， 两个根同号，同号两数乘积为正，两根乘积为， ，即， 综上所述，可得：． 6．若，，均在抛物线上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据抛物线顶点式确定开口方向和对称轴，再计算各点到对称轴的距离，结合开口向下的抛物线的性质比较函数值大小． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴，抛物线开口向下，对称轴为直线， 开口向下的抛物线上的点，到对称轴的距离越大，对应的y值越小， 点A到对称轴的距离：， 点B到对称轴的距离：， 点C到对称轴的距离：， ∵， ∴． 7．某服装店，当把进价为40元/件的衣服以100元/件的价格出售时，每天能卖出20件，经统计调查发现，若每降价1元，可多卖出6件，若降价x元，每天可盈利1800元，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，盈利由每件利润和销量决定，每件利润为售价减进价，销量随降价增加而线性增加． 【详解】解：进价40元/件，售价100元/件，降价x元后，售价为元， 每件利润为元， 原销量20件，每降价1元多卖6件，降价x元多卖件， 销量为件， 每天盈利1800元， 方程为， 故选：C． 8．已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④；⑤，其中所有正确结论的序号是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点，对称轴的两种表示方法，抛物线的增减性等解答即可； 【详解】解：根据图象，当时，直线与抛物线的交点位于第四象限，纵坐标小于0，此时对应的函数值为， ∴， 故①正确； 根据图象，当时，直线与抛物线的交点位于第二象限，纵坐标大于0，此时对应的函数值为，且为函数的最大值， ∵抛物线的图象与y轴的交点在正半轴上， ∴； ∴， 故②正确； ∵二次函数开口向下， ∴， ∵抛物线的图象与y轴的交点在正半轴上， ∴； ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 故③正确； 设抛物线与x轴的正半轴的交点为，与负半轴的交点为， ∵对称轴为直线， ∴， 解得， 根据图象，得， ∴， 解得， 根据图象，当时，直线与抛物线的交点位于第二象限，纵坐标大于0，此时对应的函数值为， 故， 故④错误； ∵抛物线的图象与y轴的交点在正半轴上， ∴； ∵二次函数开口向下， ∴， ∴， ∴， ∴， 故⑤正确； 第Ⅱ卷 2、 填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．抛物线与轴的交点的坐标是_____． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，令，则，即可得到交点坐标． 【详解】解：令，则， 抛物线与轴的交点的坐标是， 故答案为：． 10．若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的计算是关键． 根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到，即可求解． 【详解】解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得，， ∴的取值范围为， 故答案为： ． 11．方程的根为______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解法求一元二次方程的解：先移项，得，再提公因式，得，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 则或 解得 故答案为： 12．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是___________ ． 【答案】 【分析】观察函数图象，二次函数的图象不在一次函数的图象上方时自变量的取值范围，即为不等式的解集． 【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，, ∴由图象可得，不等式的解集是． 13．卢沟桥如图①，“卢沟晓月”是著名的北京八景之一，古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一蝀分波夹镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为24米，若按如图②所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，则主桥拱最高点到水中倒影的距离为_____米． 【答案】22 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，把代入求出k，根据镜面对称可得，即可求得结果． 【详解】解：∵约为24米， ∴， 把代入得：， 解得， ∴， ∴主桥拱最高点点坐标为， ∵P和关于x轴对称， ∴（米）， 即主桥拱最高点到水中倒影的距离为22米． 故答案为：22． 14．如图，二次函数的图像的顶点为C，该二次函数的图像与x轴相交于A、B两点，连接，若，，则a的值是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查抛物线与坐标轴交点问题，勾股定理，正确运用待定系数法是解题关键． 过作轴于点，可求，设出各点坐标，则，，重新设抛物线表达式为，代入点C即可求解． 【详解】解：过作轴于点． 由题意可知， ， ∴由勾股定理得，， 设，则，， 抛物线解析式为， 把代入得： ， 解得：， 故答案为：． 15．图是一个瓷碗，图是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度． （1）当面汤的深度为时，汤面的直径长为______； （2）如图，把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，此时碗中液面宽度______． 【答案】 【分析】（）设点的坐标为，则抛物线的表达式为则点的坐标为： ，点再用待定系数法即可求解； （）确定直线的表达式为，求出，进而求解； 本题考查了二次函数 ，一次函数 以及直角三角形在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系和待定系数法求解析式是解题的关键． 【详解】（）以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，如图： 设点的坐标为：，则抛物线的表达式为， 则点的坐标为，点， 将点的坐标代入抛物线表达式得： ， 解得：， 即抛物线的表达式为：， ∴， 故答案为：； （）将瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止， ∴所以旋转前与水平方向的夹角为， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入上式的：直线的表达式为：， 联立并整理得：， 则，， 则， 则， 由的表达式知，其和轴的夹角为，则， 故答案为：． 16．有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用函数 来表示，已知 米，距离 点米处的棚高 为 米，抛物线解析式为__________ ， 若借助横梁 建一个门，要求门的高度为米，则横梁 的长度是__________米． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．直接利用待定系数法求出二次函数解析式进而得出答案；再利用代入解方程即可求出横梁 的长度． 【详解】解：由题意可得，抛物线经过，， 故， 解得：， 故抛物线解析式为：； 当时， ， 解得：，， 故． 故答案为：；． 3、 解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（5分）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握求根公式是解题的关键． 确定，，，计算根的判别式，采用求根公式法解答即可． 【详解】解： ，，， ， ， ． 18．（5分）已知关于的一元二次方程的一个根为，求其另一根． 【答案】2 【分析】本题考查了根与系数的关系，设该一元二次方程的另一根为，则根据根与系数的关系得到，由此易求的值． 【详解】解：设关于的一元二次方程的另一个根为，则， 解得， ∴另一个根是2． 19．（5分）已知二次函数的图象经过点，求该二次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，根据题意，把点代入计算即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得，， ∴二次函数的解析式为． 20．（6分）某玩具厂计划生产一种变形金刚汽车玩具，已知每月生产x辆玩具汽车的成本为g（元），售价每辆为p（元），且g，p与x之间的关系式分别为，． (1)当月产量为多少辆时，每月可获得1250元利润？ (2)当月产量为多少辆时，可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)当月产量为25辆或35辆时，每月可获得1250元利润 (2)当月产量为30辆时，可获得最大利润，最大利润是1300元 【分析】本题主要考查了一元二次方程与二次函数的应用，解题的关键是正确列出方程或解析式． （1）根据题意列出方程，再解方程即可； （2）根据题意得出二次函数的解析式，再根据二次函数的图象与性质，进行解答即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 即， 整理得，， 解得，，， 即当月产量为25辆或35辆时，每月可获得1250元利润． （2）解：记利润为元， 则． ，， 当时，， 即当月产量为30辆时，可获得最大利润，最大利润是1300元． 21．（5分）若是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求出实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，再结合题意即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ， 解得； （2）解：由题意得，， ∵ ， 解得，符合题意． 22．（6分）已知二次函数 (1)写出二次函数图象的顶点坐标、对称轴及开口方向； (2)请在所给的坐标系中画出此二次函数的图象． 【答案】(1)顶点坐标为，对称轴为直线，开口向上 (2) 解：， 列表如下： 0 2 4 6 0      0 图象如下： 【分析】本题考查二次函数的图象性质，画二次函数图象，掌握相关知识是解决问题的关键。 （1）结合的图象性质进行作答即可； （2）利用列表，描点，连线画出函数图象即可。 【详解】（1）解：∵，且 ∴二次函数的开口方向向上，顶点坐标为，对称轴为直线； （2）略 23．（5分）2026年4月5日是清明节，清明节前一周，铂航妈妈到超市购买了6个肉松青团和8个红豆青团，共付款54元，已知每个红豆青团比每个肉松青团贵元． (1)求每个肉松青团和每个红豆青团各多少元． (2)为进一步提升青团的销量，超市将两种青团分别包装成A，B两种礼盒销售，两种礼盒每盒都有16个青团（包装成本忽略不计），A礼盒中有个肉松青团，B礼盒中有个红豆青团．包装后每个青团降价元，统计发现，A，B两种礼盒的销量分别为盒、盒，A，B两种礼盒的销售总额为4100元，求m的值． 【答案】(1)每个肉松青团的价格为3元，每个红豆青团的价格为元 (2)6 【分析】（1）设每个肉松青团的价格为元，则每个红豆青团的价格为元，根据“6个肉松青团和8个红豆青团，共付款54元”列方程求解即可； （2）降价后，肉松青团单价为元，红豆青团单价为元，则每盒A礼盒有个肉松、个红豆，单盒价格为；每盒B礼盒有个红豆、个肉松，单盒价格为；根据“A，B两种礼盒的销售总额为4100元”列方程求解即可． 【详解】（1）解：设每个肉松青团的价格为元，则每个红豆青团的价格为元， 由题意得： 解得， ∴每个红豆青团的价格为（元）， 答：每个肉松青团的价格为3元，每个红豆青团的价格为元； （2）解：由题意得，降价后，肉松青团单价为（元），红豆青团单价为（元）， 则每盒A礼盒：个肉松、个红豆，单盒价格为； 每盒B礼盒：个红豆、个肉松，单盒价格为； 根据题意，得 解得，（不符合实际，舍去）， 即m的值为6． 24．（6分）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为为二次函数图象的顶点． (1)求二次函数的表达式． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，过点M作y轴的平行线交于点H，利用分割法求出三角形的面积即可. 【详解】（1）解：设函数的表达式为， 将点代入得，解得， 故二次函数的表达式为， 即； （2）解：∵， ∴当时，， ． ∵A点坐标为，对称轴为直线， ， 设直线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴直线函数表达式为， 把代入得， 过点M作y轴的平行线交于点H，则点， ∴． 25．（5分）在蔬菜之乡寿光，高温蔬菜大棚（如图1）种植技术已十分成熟．付峰同学家建有一个长为160米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的透明墙体A处（墙体A的一面，面向正南），另一端固定在离地面高3米的墙体处（B处为厚实土墙），现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体A的水平距离（米）之间的关系满足，现测得两墙体之间的水平距离为12米． (1)直接写出的值； (2)求大棚的最高处到地面的距离； (3)付峰同学的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？ 【答案】(1)； (2)大棚最高处到地面的距离为米； (3)共需要（根）竹竿． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）将（1）中函数解析式化为顶点式，然后求解即可； （3）根据题意得出，然后结合题意即可求解． 【详解】（1）解：由题意知点坐标为，点B坐标为 将、坐标代入得： 解得：； （2）解： 当时，有最大值，即大棚最高处到地面的距离为米； （3）解：当时， 解得， ∵， ∴大棚内可以搭建支架的土地的宽为（米）， 又∵大棚的长为160米， ∴需要搭建支架部分的土地面积为（平方米） ∴共需要（根）竹竿． 26．（6分）已知关于x的方程． (1)求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根． (2)若关于x的方程根均为正整数，求整数m的值． 【答案】(1)证明：当时，原方程为，解得，原方程有实数根； 当时， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴无论m取任何实数时，方程恒有实数根； (2)整数的值为或或 【分析】（1）分为和两种情况，结合一元一次方程的根和一元二次方程根与判别式的关系可得结论； （2）分为和两种情况，解方程得到方程的解，根据题中条件即可求得m的值． 【详解】（1）略 （2）解：当时，由（1）知为正整数，符合题意； 当时，解方程，得，， ∵原方程的根均为正整数，m为整数， ∴或2，对应的或均符合题意， 综上，整数的值为或或． 27．（7分）如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、．设点P、Q运动的时间为． (1)当______时，四边形是矩形； (2)当______时，四边形是菱形； (3)是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由； (4)在运动过程中，沿着把翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 【答案】(1) (2) (3) 不存在某一时刻t使得；理由如下： 过Q作，交于M，如图所示： 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵矩形中， ∴为直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴此方程无实数根， ∴不存在某一时刻t使得； (4)当等于或时，翻折后点的对应点恰好落在边上 【详解】（1）解：由已知可得，，， 在矩形中，，，， 当时，四边形为矩形， ∴， 解得：， 故当时，四边形为矩形； （2）解：∵，， ∴， 即， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形， 根据勾股定理得：，， ∴此时， 解得， 故当时，四边形为菱形； （3）略 （4）解：如图2， 根据折叠可知：，，，， 在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 在中，由勾股定理得：， ∴，即：， 解得：，， 即当t等于1或3时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 28．（7分）在平面直角坐标系中，对于给定的两个关于x的函数，任取自变量x的一个值，当时，它们对应的函数值互为相反数；当时，它们对应的函数值相等，则称这样的两个函数互为“相关函数”． (1)①在点，，，中， 在正比例函数的“相关函数”图象上的点是________； ②若一次函数的“相关函数”的图象是轴对称图形，则b的值为________； (2)已知，，，． ①若二次函数的“相关函数”图象与四边形始终有2个公共点，求h的取值范围； ②若二次函数的“相关函数”的图象与线段有2个公共点，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2)①；②或． 【分析】（1）①根据“相关函数”的定义，将分段函数表示出来，再将分别代入对应的函数中求出解，找出正确的答案即可； ②“相关函数”的图象是轴对称图形，得到当时，两个函数的值相等，从而求出答案； （2）①根据“相关函数”的定义，将分段函数表示出来，根据当时，，与原函数图像关于轴对称，当时，，与原函数一致，所以要使二次函数的“相关函数”图象要与四边形始终有2个公共点，需的图像与四边形始终有2个公共点，根据图像找出特殊情况的值求解； ②转化为，然后根据“相关函数”的定义将分段函数表示出来，根据图像找出端点位置，根据图像判断的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意，当时，，当时，， 在点，中， ∵， ∴当时，， ∴点符合题意； 在点，中， ∵， ∴当时，， ∴点符合题意； 故答案为：，； ②一次函数是关于“相关函数”， ∴当时，，当时，， ∴时，，， ∵“相关函数”的图象是轴对称图形， ∴当时，两个函数的值相等，即， 解得； （2）解：①已知，，，，如图所示， 二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线， 当时，，与原函数图像关于轴对称， 当时，，与原函数一致， ∴二次函数的“相关函数”图象要与四边形始终有2个公共点， 需的图像与四边形始终有2个公共点， 结合图形得到，， 令，， 解得，， ∴如图所示，与四边形只有一个交点， 二次函数与四边形始终有2个交点， 则，解得， ∴的取值范围为； ②， 由题意得，当时，， 当时，， 作二次函数与的图像如下图， 情况一：当时的图象与线段有两个交点，时的图象与线段没有交点，如图， ∴， 解得， 情况二：当时的图象与线段有一个交点，时的图象与线段有一个交点，如图， ∴， 解得， 综上所述，的取值范围为或． 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