北京市东直门中学2025-2026学年第一学期九年级数学11月阶段学情自测

**基本信息** 2025-2026学年九年级数学11月质量监测卷，以校徽图案、工厂产值、流感传染等真实情境为载体，融合几何直观与代数运算，考查中心对称、一元二次方程、圆、二次函数等核心知识，体现数学眼光观察现实世界、数学语言表达实际问题的素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|9题/27分|中心对称图形、圆内接四边形、二次函数性质|校徽图案考中心对称（文化情境），第5题结合外接圆求角度（几何直观）| |填空题|6题/18分|一元二次方程根与系数、扇形弧长、圆锥侧面展开|第11题旋转与圆相切（空间观念），第15题等腰直角三角形阴影面积（运算能力）| |解答题|7题/55分|方程求解、图形变换、二次函数综合、圆的应用|第19题石拱桥拱高计算（模型意识），第20题流感传染问题（数据意识），第22题二次函数与面积综合（推理能力）|

2025一2026学年第一学期11月质量监测 九年级数学答题卡 考试时间：100分钟；考试总分：100分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、 单选题 1 2 3 5 6 7 6 9 二、填空题 阁 10. 11. 12. 13. 14. 15. 三、解答题 16.请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程. ①x2+2x-1=0:②x2-3x=0；③x2-4x=4:④x2-4=0 製 17. 5 4 2 A 0 43-2-1O 2 5 X 3 18. 19. D 20. 21. 22. 2025—2026学年第一学期11月质量监测 九年级数学参考答案 考试时间：100分钟；考试总分：100分. 1．C 【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是中心对称图形，故此选项符合题意； D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 2．B 【分析】设这两个月的产值平均月增长率为x，根据该工厂8月份及10月份的产值，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设这两个月的产值平均月增长率为x， 根据题意得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．A 【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程；由此问题可求解． 【详解】解：A、（m为常数），符合一元二次方程的定义，故符合题意； B、当时，方程就不是一元二次方程，故不符合题意； C、，不符合一元二次方程的定义，故不符合题意； D、，不符合一元二次方程的定义，故不符合题意； 故选A． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 4．D 【分析】根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，即可求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 故选D． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，掌握关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数是解题的关键． 5．A 【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得∠AOB＝120°，再根据三角形内角和定理可得答案． 【详解】∵∠ACB＝60°， ∴∠AOB＝120°， ∵AO＝BO， ∴∠ABO＝（180°﹣120°）÷2＝30°， 故选A． 【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 6．B 【分析】由旋转的性质可得∠D=∠A=110°，，∠AOD=60°，由三角形内角和可求∠DOE=25°，即可求∠AOE的度数． 【详解】解：∵绕点O逆时针旋转60°得到， ∴∠D=∠A=110°，，∠AOD=60°， ∵∠D=110°，∠E=45° ∴∠DOE=25° ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，熟练运用旋转的性质是本题的关键． 7．D 【分析】首先通过同弧所对的圆心角与圆周角的关系求出角A，再利用圆内接四边形的对角互补，可以求出∠BDC． 【详解】解：∵∠BOC=110° ∴∠A=∠BOC=×110°=55° 又∵ABDC是圆内接四边形 ∴∠A+∠D=180° ∴∠D=180°﹣55°=125° 故选D． 8．C 【分析】把点的坐标分别代入抛物线解析式可求得，，的值，比较大小即可． 【详解】解：∵，，是抛物线上的三点， ∴，，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键． 9．D 【分析】作PC⊥AB于点C，由垂径定理即可求得AC的长，根据勾股定理即可求得PA的长，再分点P向上平移与向下平移两种情况进行讨论即可． 【详解】连接，作于点，由垂径定理得： ， 在直角中，由勾股定理得：，即， ∴， ∴的半径是2． 将向上平移，当与轴相切时，平移的距离； 将向下平移，当与轴相切时，平移的距离． 故选D． 【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，通过垂径定理把求线段的长的问题转化为解直角三角形的问题是关键． 10．3 【分析】利用根与系数的关系即可求解． 【详解】解：在中，，， 、是方程的两个根， ， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：熟记、是一元二次方程的两根时，，是解题的关键． 11．60或120/120或60 【分析】由于半径是，因此只需要过O作旋转后的直线的垂线，只要保证旋转后的射线与BC的夹角是30度，则O与垂足的连线就是BO长的一半，即为圆的切线，由此即可得到答案． 【详解】解：射线BA绕点B顺时针旋转60度时，记为射线BE，作OD⊥BE于D， ∵在直角三角形BOD中，∠DBO=∠ABD-∠ABE=30°， ∴，即OD为圆O的半径， ∴BE与圆O相切， 同理将射线BA绕点B顺时针旋转120度时，记为射线B，同理可证BF是圆O的切线， 故答案为：60或120． 【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，切线的判定，解题的关键在于能够熟练掌握切线的判定条件． 12． 【分析】根据题意得，进行计算即可得． 【详解】解：∵一元二次方程没有实数根， ∴ 即k的取值范围为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的个数与根的判别式的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系并正确的计算． 13． 【分析】根据弧长公式进行求解即可． 【详解】解：因为扇形的圆心角为，半径为1， 所以， 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式：． 14．/180度 【分析】先由半径求得圆锥底面周长，再由扇形的圆心角的度数=圆锥底面周长计算． 【详解】解：圆锥底面周长， ∴扇形的圆心角的度数． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是根据圆锥的底面周长得到扇形圆心角的表达式子． 15． 【分析】作F点关于AC的对称点，连接A并延长交BC延长线于点，将的最小值转化为求B点到A 的最短距离，根据垂线段的性质即可解答； 【详解】解：如图作F点关于AC的对称点，连接A 并延长交BC延长线于点B′，作BD⊥AB′于点D， 由对称性可得EF=E ， 由垂线段的性质可得B到AB′的最短距离为BD， ∴EF+EB=E+EB=B≥BD， Rt△ABC中，∠BAC=90°-∠ABC=15°， ∴∠BAD=2∠BAC=30°， Rt△ABD中，AB=5，∠BDA=90°，∠BAD=30°，∴BD=， ∴线段的最小值是， 故答案为：； 【点睛】本题考查了对称的性质，垂线段的性质，30°直角三角形的性质；掌握相关性质是解题关键． 16．①，；②，；③，；④，． 【分析】①③利用配方求解即可；②④利用因式分解法求解即可． 【详解】解：①； 移项得， 配方得，即， 则， ∴，； ②； 因式分解得， 则或， 解得，； ③； 配方得，即， 则， ∴，； ④． 因式分解得， 则或， 解得，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程—因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法． 17．(1)见解析 (2)见解析，点C的对应点的坐标为 【分析】（1）将三顶点向左平移5个单位长度分别得到对应点，顺次连接得所求； （2）分别确定三顶点关于原点的对称点，顺次连接得； 【详解】（1）如图，将三顶点向左平移5个单位长度分别得到对应点，即为所求.    （2）如图，确定三顶点关于原点的对称点，即为所求，点C的对应点的坐标为.    【点睛】本题考查图形平移，中心对称图形；理解两个图形的中心对称是解题的关键． 18．经过秒汽车行驶了米，行驶米需要秒． 【分析】令t=12s，代入S=9t+3t2，即可求出S的值，令S=380m，即可求出t的值． 【详解】解：当t=12时，S=9×12+×122=108+×144=108+72=180（m）， 当S=380m时，9t+t2=380，整理得t2+18t-760=0， 即（t-20）（t+38）=0， 解得t1=20，t2=-38（舍去）． 答：经过12秒汽车行驶了180米，行驶380米需要20秒． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，直接将数值代入二次函数解析式进行计算，要熟悉一元二次方程的解法． 19．13 【分析】延长CD到O，使得OC=OA，则O为圆心，由垂径定理得AD=AB=12（米），设圆弧所在圆O的半径为x米，则OD=（x-8）米，在Rt△AOD中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：延长CD到O，使得OC=OA，如图所示： 则O为圆心， ∵CD为拱高， ∴OC⊥AB， ∴AD=AB=12（米）， 设圆弧所在圆O的半径为x米， 则OD=（x-8）米， 在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD2+OD2=OA2， 即122+（x-8）2=x2， 解得：x=13， 答：圆弧所在圆的半径为13米． 【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，根据题意作出辅助线，由勾股定理得出方程是解题的关键． 20．（1）11；（2）1728 【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x人，由经过两轮传染后共有144人患了流感，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据经过三轮传染后患病的人数＝经过两轮传染后患病的人数+经过两轮传染后患病的人数×11，即可求出结论． 【详解】解：（1）设每轮传染中平均一个人传染了x人， 根据题意得：1+x+x（1+x）＝144， 解得：x1＝11，x2＝﹣13（不合题意，舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了11个人； （2）144+144×11＝1728（人）． 答：三轮传染后，患流感的有1728人． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据题意列式计算． 21．（1）y＝－－4x P1（－2， 4），P2（－2＋2 ，－4），P3（－2－2 ，－4） 【详解】试题分析：（1）把点A原点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答； （2）根据三角形的面积公式求出点P到AO的距离，然后分点P在x轴的上方与下方两种情况解答即可． 试题解析：（1）由已知条件得， 解得， 所以，此二次函数的解析式为y=﹣x2﹣4x； （2）∵点A的坐标为（﹣4，0）， ∴AO=4， 设点P到x轴的距离为h， 则S△AOP=×4h=8， 解得h=4， ①当点P在x轴上方时，﹣x2﹣4x=4， 解得x=﹣2， 所以，点P的坐标为（﹣2，4）， ②当点P在x轴下方时，﹣x2﹣4x=﹣4， 解得x1=﹣2+2，x2=﹣2﹣2， 所以，点P的坐标为（﹣2+2，﹣4）或（﹣2﹣2，﹣4）， 综上所述，点P的坐标是：（﹣2，4）、（﹣2+2，﹣4）、（﹣2﹣2，﹣4）． 考点：1.待定系数法求二次函数解析式，2.二次函数图象上的点的坐标特征 22．(1)直线与相切，证明见解析 (2)6 【分析】（1）连接，证，得到，再由，证得，结合已知点D在上，最后证得直线与相切；（2）连接，设半径为x，在中，运用勾股定理建立关于x的方程，解方程即可求得半径． 【详解】（1）解：直线与相切，证明如下： 如图，连接， ∵点D在上， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵点D在上， ∴是的切线， 即直线与相切． （2）解：如图，连接， 设半径为x， 则， ∵， ∴， ∵， 在中， ∵，，， ∴， 即， 解得，， 即半径为6． 【点睛】本题考查了切线的判定及性质，掌握切线的判定方法，勾股定理是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期11月质量监测 九年级数学试卷 考试时间：100分钟；考试总分：100分. 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1．下列四个名牌大学校徽图案中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．某工厂8月份的产值是5万元，10月份的产值达到万元，设这两个月的产值平均月增长率为x，则列出方程正确的是（　　） A． B． C． D． 3．下列各方程中一定是关于的一元二次方程的是（    ） A．（为常数） B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ACB＝60°，则∠ABO的大小为（　　） A．30° B．40° C．45° D．50° 6．如图，将绕点O逆时针旋转60°后得到，若，，则（    ） A．25° B．35° C．45° D．55° 第5题 第6题 第7题 7．如图，⊙O中，ABDC是圆内接四边形，∠BOC=110°，则∠BDC的度数是（ ） A．110° B．70° C．55° D．125° 8．设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 9．如图，平面直角坐标系中，与轴分别交于、两点，点的坐标为，．将沿着与轴平行的方向平移多少距离时与轴相切 （   ） A．1 B．2 C．3 D．1或3 二、填空题 10．设、是方程的两个根，则 ． 11．如图，∠ABC＝90°，O为射线BC上点，以点O为圆心，BO长为半径作⊙O，当射线BA绕点B按顺时针方向旋转__ ___度时与⊙O相切． 12．关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围为 ． 13．若扇形的圆心角为，半径为1，则扇形的弧长为______． 14．如图，圆锥的底面圆的半径是4，其母线长是8，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角度数是 ． 第14题 第15题 15．1．如图，等腰直角三角形中，．分别以点B、点C为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交、、于点D、E、F，则图中阴影部分的面积为 ． 三、解答题 16．请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程． ①； ②； ③； ④． 17．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，．    (1)请画出向上平移1个单位长度再向左平移5个单位长度后得到的； (2)请画出关于原点对称的，并写出点C的对应点的坐标． 18． 一辆汽车的行驶距离（单位：）关于行驶时间（单位：）的函数解析式是，经过汽车行驶了多远？行驶需要多少时间？ 19．如图翠湖公园一石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度AB=24米，拱高CD为8米，求圆弧所在的圆的半径是多少米？ 20．有一人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感． （1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果不及时控制，三轮传染后，患流感的有多少人？ 21． 如图，直线 AB 经过 ○ O 上的点 C ，并且 OA = OB ， CA = CB . （1） 求证：直线 AB 是 ○ O 的切线 . （2） 若∠AOB＝90°OA=2，求阴影部分的面积. 22．如图，二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣4，0）． （1）求二次函数的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标; （3）在抛物线上存在点P，满足S△AOP=8，请直接写出点P的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $