精品解析：北京市东直门中学2025-2026学年第一学期九年级数学第一次阶段学情自测

2025-2026学年第一学期月考试卷（10月） 九年级数学 考试时间：100分钟 试卷分值：100分 一、计算题：（每小题3分，共30分） 1. 若是关于x的一元二次方程，则(　 　) A. B. C. D. 2. 一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 方程的两根倒数之和为 （ ） A. B. C. D. 以上答案都不对． 4. 在实数范围内分解因式的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 以上答案都不对． 5. 已知二次函数，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（ ） A. 有最大值﹣1，有最小值﹣2 B. 有最大值0，有最小值﹣1 C. 有最大值7，有最小值﹣1 D. 有最大值7，有最小值﹣2 6. 若，是方程的两根，则 A. B. C. D. 7. 一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，则p的值为（　　） A. 1 B. 2 C. ﹣1 D. ﹣2 8. 某城市为绿化环境，改善城市容貌，计划经过两年时间，使绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④(为实数)．其中结论正确的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值是（ ） A. 23 B. 24 C. 25 D. 26 二、填空题：（每小题3分，共15分） 11. 若方程是关于的一元二次方程，则___________． 12. 已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣3＝0的两根，不解方程可求得x12+x22＝_____． 13. 某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛28场，则参加此次比赛的球队数是______． 14. 将二次函数的图象先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到函数的图象的表达式是________． 15. 某药品两次涨价，零售价涨为原来的倍，已知两次涨价的百分率一样，求每次涨价的百分率________（精确到，） 三、计算题（每小题5分，共20分） 16. 用适当方法解下列方程 （1） （2） 17. 用配方法解下列方程 （1） （2） 四、解答题（每题各7分，共35分） 18. 有5个人患了流感，经过两轮传染后共有245个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染多少人？ 19. 已知关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，满足，求m的值． 20. 某商场服装专柜在销售中发现，某款童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量．经过调查发现，每件童装降价4元，平均每天就可多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装降价多少元？ 21. 如图，二次函数的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称．已知一次函数的图象经过该二次函数图象上的点及点B． （1）求二次函数与一次函数的表达式． （2）根据图象，写出满足的x的取值范围 22. 如图，要设计一幅宽，长的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3∶2．如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度（结果保留小数点后一位）？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期月考试卷（10月） 九年级数学 考试时间：100分钟 试卷分值：100分 一、计算题：（每小题3分，共30分） 1. 若是关于x的一元二次方程，则(　 　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义可得，求解即可． 【详解】根据一元二次方程的定义可得，即， 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义，正确理解一元二次方程的定义是解题的关键． 2. 一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据题意给出的一次项系数列方程求解即可． 【详解】解： 展开右侧得 移项合并同类项得 由题意，该方程一次项系数为，可得 解得． 3. 方程的两根倒数之和为 （ ） A. B. C. D. 以上答案都不对． 【答案】A 【解析】 【详解】设方程2x2+3x−4=0的两根为α、β，则α+β=−，αβ=−2， ∴+=== ， 故选A. 4. 在实数范围内分解因式的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 以上答案都不对． 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查实数范围内的因式分解，利用平方差公式逐步分解，需分解到每个因式都不能再分解为止． 【详解】解： 5. 已知二次函数，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（ ） A. 有最大值﹣1，有最小值﹣2 B. 有最大值0，有最小值﹣1 C. 有最大值7，有最小值﹣1 D. 有最大值7，有最小值﹣2 【答案】D 【解析】 【分析】把函数解析式整理成顶点式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答． 【详解】解：∵y＝x2−4x＋2＝（x−2）2−2， ∴在−1≤x≤3的取值范围内，当x＝2时，有最小值−2， 当x＝−1时，有最大值为y＝9−2＝7． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式是解题的关键． 6. 若，是方程的两根，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用根与系数的关系，求出x2+2x=2006，a+b=-2，即可解决． 【详解】∵a，b是方程x2+2x-2006=0的两根， ∴x2+2x=2006，a+b=-2 则a2+3a+b=a2+2a+a+b=2006-2 =2004 故选C． 【点睛】此题主要考查了根与系数的综合应用，题目非常典型，是中考中一个热点问题． 7. 一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，则p的值为（　　） A. 1 B. 2 C. ﹣1 D. ﹣2 【答案】C 【解析】 【详解】∵一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2， ∴22+2p﹣2=0， 解得：p=﹣1． 故选：C． 8. 某城市为绿化环境，改善城市容貌，计划经过两年时间，使绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设这两年平均每年绿地面积的增长率为x，然后根据题意可列方程为，进而求解即可． 【详解】解：设这两年平均每年绿地面积的增长率为x，由题意得： ， 解得：（不符合题意，舍去）， 故选B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的增长率问题是解题的关键． 9. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④(为实数)．其中结论正确的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】①由抛物线开口方向得到，对称轴在轴右侧，得到与异号，又抛物线与轴负半轴相交，得到，可得出，选项①错误；②把代入中得，所以②正确；③当时，，即， 当时，，即，即可判断选项③正确；④由对称轴为直线，即时，有最小值，可得结论，即可得到④正确． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴在轴右侧， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，①错误； ②当时，， ∴， ∵， ∴， 把代入中得，所以②正确； ③由图象可知，当时，，即， 当时，，即，  ， 即，所以③正确 ④∵抛物线的对称轴为直线， ∴时，函数的最小值为， ∴， 即，所以④正确． 综上所述，结论正确的有②③④，共3个． 10. 如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值是（ ） A. 23 B. 24 C. 25 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，两个不相等的实数，都满足同一个二次关系式，因此，是一元二次方程的两个不等实根，利用根与系数的关系得到两根和与两根积，再对所求代数式降次变形，整体代入计算即可． 【详解】解：，是两个不相等的实数，且满足，， ，是一元二次方程的两个不相等实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得：，， 又， ， 将代入所求代数式得： ． 二、填空题：（每小题3分，共15分） 11. 若方程是关于的一元二次方程，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元一次不等式，绝对值方程等知识点，深刻理解一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义可得，，解该一元一次不等式和绝对值方程即可得出答案． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ，， 解得：， 故答案为：． 12. 已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣3＝0的两根，不解方程可求得x12+x22＝_____． 【答案】15 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可. 根据根与系数的关系得到x1+x2和x1·x2的值，再根据x12+x22＝（x1+x2）2-2x1·x2，代入计算即可． 【详解】∵x1，x2是方程x2﹣3x﹣3＝0的两根， ∴x1+x2=3，x1·x2=-3， ∴x12+x22＝（x1+x2）2-2x1·x2=32-2×（-3）=15． 故答案为15. 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根与系数的关系，若x1，x2为方程的两个根，则x1，x2与系数的关系式：， . 13. 某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛28场，则参加此次比赛的球队数是______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据球赛问题模型列出方程即可求解． 【详解】解：设参加此次比赛的球队数为x队，根据题意得： ， 化简，得 解得 (舍去)， 答：参加此次比赛的球队数是8队． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握一元二次方程应用问题中的球赛问题． 14. 将二次函数的图象先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到函数的图象的表达式是________． 【答案】或 【解析】 【分析】首先将原式转化为顶点式，进而利用二次函数平移规律进而求出即可． 【详解】∵y=2x2−4x+3=2(x−1)2+1， ∴抛物线y=2x2−4x+3先向左平移3个单位，再向下平移1个单位， 平移后的函数关系式是：y=2(x+2)2或y=2x2+8x+8. 故答案为y=2(x+2)2或y=2x2+8x+8. 【点睛】本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换,熟知“上加下减,左加右减”的原则是解答此题的关键. 15. 某药品两次涨价，零售价涨为原来的倍，已知两次涨价的百分率一样，求每次涨价的百分率________（精确到，） 【答案】约为 【解析】 【详解】解：设药品的原始零售价为，每次涨价的百分率为， 则， 解得：（舍），， 即每次涨价的百分率约为． 三、计算题（每小题5分，共20分） 16. 用适当方法解下列方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：    ∴或  解得，． 【小问2详解】 解：  移项得  开平方得  解得，． 17. 用配方法解下列方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程．先将方程整理为标准形式，第二题先将二次项系数化为1，再通过配方将方程化为完全平方等于常数的形式，最后用直接开平方法求解即可． 【小问1详解】 解： 移项得 配方，方程两边同时加16得 整理得 开方得 解得，． 【小问2详解】 解： 移项得 二次项系数化为1得 配方，方程两边同时加得 整理得 解得． 四、解答题（每题各7分，共35分） 18. 有5个人患了流感，经过两轮传染后共有245个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染多少人？ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列一元二次方程解答即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了人，初始有5个人患流感，第一轮传染后，总患病人数为，第二轮传染后，总患病人数为， 根据题意列方程得：， 解得，（舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染6人． 19. 已知关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，满足，求m的值． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据根的判别式求出m的取值范围，利用根与系数的关系可以求得方程的根的和与积，将，转化为关于m的方程，求出m的值并检验． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：或， 由判别式大于零，得， 解得， ∴． 20. 某商场服装专柜在销售中发现，某款童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量．经过调查发现，每件童装降价4元，平均每天就可多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装降价多少元？ 【答案】每件童装降价元 【解析】 【分析】本题利用总盈利=每件盈利×平均每天销售量的数量关系列一元二次方程求解，根据题目扩大销售量的要求，选取符合题意的解即可． 【详解】解：设每件童装降价元．由题意可知，每降价元，平均每天可多售出件， 因此降价元后，每件盈利为元，平均每天销售量为件， 根据总盈利为元，列方程得： 整理方程得 因式分解得 解得， ∵要求扩大销售量，降价越多销售量越大， ∴ 答：每件童装降价元． 21. 如图，二次函数的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称．已知一次函数的图象经过该二次函数图象上的点及点B． （1）求二次函数与一次函数的表达式． （2）根据图象，写出满足的x的取值范围 【答案】（1）二次函数的解析式为；一次函数的解析式为； （2）或． 【解析】 【分析】本题考查二次函数与不等式、待定系数法求函数解析式等知识： （1）把点代入，可得求出抛物线的解析式为，对称轴为直线，从而得到点B的坐标为，即可求解； （2）观察图象得：当或时，二次函数的图象位于一次函数的图象的上方，即可求解． 【小问1详解】 解：把点代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为，对称轴为直线， 当时，， ∴点C的坐标为， ∵点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称． ∴点B的坐标为， 把点，代入得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：观察图象得：当时，二次函数的图象位于一次函数的图象的上方， ∴当或时，， 即的x的取值范围为或． 22. 如图，要设计一幅宽，长的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3∶2．如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度（结果保留小数点后一位）？ 【答案】设计横彩条的宽度约为1.8cm，竖彩条的宽度约为1.2cm． 【解析】 【分析】设横彩条的宽度为3xcm，则竖彩条的宽度为2xcm，根据题意得30×20×＝30×20-(30-4x)(20-6x)，进而求解即可． 【详解】解：设横彩条的宽度为3xcm，则竖彩条的宽度为2xcm，根据题意，得： 30×20×＝30×20-(30-4x)(20-6x)， 整理，得12x2-130x＋75＝0， 解得x1＝，x2＝． 因为30-4x>0，且20-6x>0，所以x<， 所以x＝（不符合题意，舍去）， 所以x＝≈0.6， 所以3x≈1.8，2x≈1.2． 答：设计横彩条的宽度约为1.8cm，竖彩条的宽度约为1.2cm． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $