学易金卷：八年级数学上学期9月学情自测卷（北京专用，范围：新教材人教版八上第十三～十四章）

**基本信息** 聚焦人教版八年级上册13-14章三角形知识，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查几何直观、推理能力与应用意识，如测量楼高情境题（19题）和动态几何探究题（27题）体现核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|三角形三边关系、全等判定、角平分线作图依据|基础概念辨析，如第2题尺规作图依据考查推理意识| |填空题|8/16|中线性质、折叠变换、角平分线性质|空间观念考查，如第12题折叠求角度体现几何直观| |解答题|12/68|全等证明、实际测量、动态几何、坐标系创新题|分层设计，基础证明（17题）、能力提升（23题等腰直角三角形证明）、创新应用（28题“相关点”定义），契合中考几何探究趋势|

2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版八年级上册第13~14章。 第Ⅰ卷 1、 选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．以下列各组长度的线段为边长，其中能组成三角形的是（     ）． A． B． C． D． 2．如图，用直尺和圆规作已知角的平分线，则说明为的平分线的依据是（   ） A． B． C． D． 3．一个三角形，其中有两个角分别是和，第三个角是（     ） A． B． C． D． 4．中，已知点D，E，F分别是，，边上的中点，且，则为（     ） A． B． C． D． 5．如图，，，，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 6．如图，小明从一张三角形纸片的边上选取一点N，将纸片沿着对折一次使得点A落在处后，再将纸片沿着对折一次，使得点C落在上的处，已知，，则原三角形中的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图， 在中，，，平分交于D，于E，若，则的周长是 （ ） A． B． C． D． 8．如图，在中，是的平分线，F是延长线上一点，且于点D，，，则（     ） A．88° B．85° C．65° D．72° 第Ⅱ卷 2、 填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．如图，是的中线，若，则_____． 10．如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为___________． 11．如图，中，是边上的高，，，是的平分线，则的度数为________． 12．如图，在三角形纸片中，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点处，折痕为．则___________． 13．如图，在中，点在边上，连接，，平分交于点，于点，若，则的长为_____． 14．如图，在中，平分于点的面积为，则的长是___________ 15．如图，在等腰直角三角形中，，点分别是上的动点，且，当最小时，的大小是______度． 16．如图，中，和的角平分线交于点，经过点与交于点，以为边向两侧作等边和等边，分别和，交于点G，H，连接．若，，，．则下列结论中正确的有_____（填序号） ①； ②是等边三角形； ③与互相垂直平分； ④． 3、 解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（5分）．已知,D，C在上，且，求证： 18．（5分）如图，已知，利用尺规作图法在边上求作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 19．（5分）如图，阳阳为了测量楼高，在旗杆与楼之间选定一点P，使，量得点P到楼底距离与旗杆高度都为，旗杆与楼之间的距离． (1)请判断和是否全等？若全等，请说明理由； (2)求楼高的长度． 20．（6分）如图，在中，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，，为垂足，且．求证： (1)； (2)． 21．（5分）已知如图，中，为上一点，连接．平分，分别交、于点、． (1)如图1：若，，为边上的高，求的度数； (2)如图2：若且．求证：． 22．（6分）如图，在中，，，是的角平分线． (1)求的度数； (2)若，垂足为D，，求证：是直角三角形． 23．（5分）如图，在中，，，为的中点，连接，过点作于点，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)试判断与之间的数量关系，并说明理由． 24．（6分）已知：如图，四边形中，，，于点，交于点，连接，平分． (1)求证：； (2)若，，求的长． 25．（5分）如图，中，． (1)尺规作图：在AC边上确定点D，使得（保守作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，将，判断是否为等腰三角形．并说明理由． 26．（6分）如图，在等腰中，，点是延长线上一点，过点作，分别交，的延长线于点，点． (1)求证： (2)若，用等式表示，，的数量关系，并证明． 27．（7分）如图，为等腰直角三角形，，在内作射线，过点作的垂线交线段的延长线于点，在射线上截取，连接，过点作交线段于点． (1)依题意补全图形； (2)求的大小； (3)猜想与的数量关系，并证明． 28．（7分）在平面直角坐标系中，对于点和点，若存在点，使得且，这样得到的点称为点关于点的“相关点”． (1)如图1，已知点的坐标为， ①则点关于点的“相关点”坐标为_______； ②在这三个点中，点为点关于点_______的“相关点”． (2)如图2，若点坐标为，点坐标为， ①在下列三个点中：，能成为点关于点的“相关点”的是_______； ②直接写出点关于点的“相关点”的坐标_______（用表示）． / 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 (考试时间：120分钟，分值：100分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3.测试范围：新教材人教版八年级上册第13~14章。 第I卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.以下列各组长度的线段为边长，其中能组成三角形的是()· A.23、6 B.359 C.3、6、9 D.379 【答案】D 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，选取每组线段中较小的两条边求和，与最长边比较大小， 可快速判断能否组成三角形. 【详解】解：A选项，2+3=5<6，不能组成三角形，不符合题意. B选项，3+5=8<9，不能组成三角形，不符合题意。 C选项，3+6=9，不能组成三角形，不符合题意， D选项，3+7=10>9，能组成三角形，符合题意. 2.如图，用直尺和圆规作已知角的平分线，则说明OC为∠AOB的平分线的依据是() A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS 【答案】A 1/31 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 【分析】根据作图得到OM=ON,CM=CN,以及OC为公共边，则可利用SSS证明△OCM≌aOCN,即 可求解。 【详解】解：由作法得OM=ON,CM=CN,而OC为公共边， OCM≌AOCN(SSS) 所以 所以∠AOC=∠BOC 3.一个三角形，其中有两个角分别是50°和70°，第三个角是() A.50° B.60° C.70° D.80° 【答案】B 【分析】根据三角形的内角和定理即可求解， 【详解】解：第三个角的度数为180°-50°-70°=60° 4.△1BC中，已知点D,B,F分别是BC.AD,CE边上的中点，且5=32c,则Se为() A.8cm2 B.4cm2 C.2cm2 D.1cm2 【答案】A 【分析】根据三角形的中线平分该三角形的面积求解即可。 【详解】解：4c=32cm2 点D是BC边上的中点， S4m-=S.o=25.4c=l6cm, 1 ,点E是AD边上的中点， 1 ∴S.ae=25.am=8cm，5.came-25,4om=8cm2 S.c+.co=16cm 点F是CE边上的中点， 2/31 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ·.SBE= 5.如图，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,∠1=25°，∠2=30°，则∠3的度数是() A.45° B.50° C.55o D.60° 【答案】C 【分析】利用“SAS”证明△ABD≌△ACE,从而得到∠ABD=∠2=30°，然后根据三角形外角性质计算 ∠3的度数即可 【详解】解：∠BAC=∠DAE, 即∠I+∠DAC=∠DAC+∠CAE」 ∴.∠1=∠CAE. 在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠1=∠CAE AD=AE ∴.△ABD≌△ACE(SAS) ∴∠ABD=∠2=30°， :∠3是△ABD的一个外角， ∴.∠3=∠1+∠ABD=25°+30°=55° 6.如图，小明从一张三角形纸片ABC的AC边上选取一点N,将纸片沿着BN对折一次使得点A落在A处 后，再将纸片沿着BA对折一次，使得点C落在BN上的C处，己知∠CMB=68°，∠A=18°，则原三角形 中∠C的度数为() 3/31 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 A1 M A.90° B.88° C.87° D.86° 【答案】C 【分析】根据折叠的性质可知∠ABN=∠A'BN=∠ABC,根据三角形内角和定理可得 ∠A'BC+∠C+∠CMB=180°，∠A+3∠A'BC+∠C=180° ∠C 进而可得原三角形的的度数。 【详解】解：由折叠的性质可知∠ABN=∠A'BN=∠A'BC,则∠ABC=3∠ABC, ∠A'BC+∠C+∠CMB=180°，∠A+3∠ABC+∠C=180°∠CMB=68°∠A=18 ∠A'BC+∠C+68°=180° 即18°+3∠A'BC+∠C=180°， 解得∠C=87 7.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC,AD平分∠CAB交BC于D,DE⊥AB于E,若AB=9cm, 则△DEB的周长是() A.6cm B.7cm C.8cm D.9cm 【答案】D 【分析】先利用“角角边”证明△ACD和△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=AE, CD=DE,然后求出BD+DE=AE,进而可得△DEB的周长， 【详解】解：DE⊥AB, ∴.∠C=∠AED=90°， :AD平分∠CAB, ∴.∠CAD=∠EAD, 4/31 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 在△ACD和△AED中， [∠C=∠AED ∠CAD=∠EAD AD=AD △ACD≌△AED(AAS) ∴AC=AE,CD=DE, .BD+DE=BD+CD=BC=AC=AE. BD+DE+BE=AE+BE=AB=9. ∴.△DEB的周长为9cm. 8.如图，在△ABC中，AE是∠BAC的平分线，F是AE延长线上一点，且FD⊥BC于点D,∠B=28°， ∠F=18°，则∠BAC=() A.88 B.85° C.65° D.72 【答案】A 【分析】利用直角三角形两锐角互余求出∠DEF,根据对顶角相等得到∠AEC,再利用三角形外角性质求 出∠BAE,最后根据角平分线定义计算即可， 【详解】解：FD⊥BC, .∠FDE=90°， ∠F=18°， .∠DEF=90°-∠F=72°， ∠AEC=∠DEF, .∠AEC=72°， '∠AEC=∠B+∠BAE,∠B=28°， .∠BAE=72°-28°=44°， :AE平分∠BAC, 5/31 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴.∠BAC=2∠BAE=88° 第IⅡ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9.如图，D是△MBC的中线，若5m=6,则5.m B D 【答案】3 【分析】根据三角形的中线的性质即可求解。 【详解)】解：：AD是△1BC的中线， S△MBc=6 .'.S.ACD 2c=3 10,如图，在1C中，∠1BC=90,过点C作CDL1C,且CD=4C,连接D,若m=2 的长为 【答案】8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识.作DE⊥BC交BC延长线于点E,证明 △ABC≌△CED 到C=D,根据Sao=2得到8C=4,即可求出C=8 【详解】解：如图，作DE⊥BC交BC延长线于点E. 6/31 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 D C E ,∠ABC=90°，DE⊥BC,CD⊥AC, ∴∠ABC=∠ACD=∠E=90°， ∴.∠A+∠ACB=∠ACB+∠DCE=90°， ∴∠A=∠DCE 在△ABC和△CED中， ∠ABC=∠E ∠A=∠DCE AC=CD △ABC≌△CED(AAS) .'BC=ED, S.BCD=32 CDE32 即BC2=64, BC=8(负值已舍). 故答案为：8 11.如图，△ABC中，CD是边AB上的高，∠BCD=30°，∠ACB=80°，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB 的度数为， D B 【答案】100 【分析】先根据角的和差关系求出∠ACD的度数，再在Rt△ADC中，利用三角形的内角和定理求出∠CAB 7/31 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 结合角平分线的定义求出∠CAE,最后根据三角形的内角和定理求解。 【详解】解：∠BCD=30°，∠ACB=80, :∠ACD=∠ACB-∠BCD=50°， :CD是边AB上的高， .∠ADC=90°， ∴∠CAB=180°-∠ADC-∠ACD=40°， :AE是∠CAB的平分线， ÷∠C4E=)∠CAB=20° ,∠AEC=180°-∠CAE-∠ACB=180°-20°-80°=80°， :.∠AEB=180°-∠AEC=100° 12.如图，在三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠A=60°，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在 AB边上的点E处，折痕为BD.则∠EDB= 【答案】75°175度 【分析】根据折叠的性质得出△BCD兰△BED,从而得到对应角相等，结合三角形内角和定理即可求解 【详解】解：：在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，∴.∠ABC=180°-∠A-∠C=30° 由折叠的性质可知，∠C8D=∠EBD-BC=15”,BD∠C-w ∴.在△BED中，∠EDB=180°-∠BED-∠EBD=180°-90°-15°=75°. 13.如图，在△ABC中，点D在边BC上，连接AD,CD=5BD,CI平分∠ACB交AD于点I,IH⊥AC C=64C=&5m=2,则H的长为 于点H,若 8/31 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 H B D 20,7 【答案】3八3 【分析】过点I作E⊥BC于点E,根据角平分线的性质得到IE=H,根据CD=5BD得到CD=5, S.4CD=5S.ABD=10 So=S,a+S.m求解即可。 ，根据 【详解】解：过点I作E⊥BC于点E, H 平分 交于点， 于点， d BED C..CI ∠ACB AD I IH⊥ACH :IE=IH, CD=5BD BC=6,S.ABD=2 :CD=5BC=5,S.m=5Sm=10, 6 S.ACD=S.4cl+S.DCl AC=8 CCD-IE=10 1 1 ×8IH+-×5IH=10 2 解得H=20 13 14.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB,DE⊥BC于点E,△ABC的面积为28，DE=4,BC=9,则AC的 长是 9/31 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 C B D 【答案】5 【分析】过点D作DF1 C于点F,利用角平分线的性质得出DF=DE=4 再根据 SAABC=S△ACD+SABCD 即可求解。 【详解】解：过点D作DF⊥AC于点F, E B D :CD平分∠ACB,DE⊥BC,DE=4, .DF=DE=4. 1 .S.AC=SCD+S.cD= 4AC+1x4BC. 2 SAABC =28 BC=9 ∴28=2AC+18, .2AC=10, ..AC=5 15.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，点D,E分别是BC,AC上的动点，且AE=CD,当 AD+BE最小时，∠AEB的大小是度， D 【答案】67.5 【详解】解：如图，过点C作CF⊥BC,且CF=AB,连接DF、AF,设AF交BC于点H, 10/31 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 F.∴∠FCD=∠BAC=90 在△CFD和△ABE中， CF=AB ∠FCD=∠BAC=90° AE=CD ∴.△CFD≌AABE(SAS) ∴.DF=BE,∠CDF=∠AEB, ∴AD+BE=AD+DF, 根据“两点之间线段最短”得：AD+DF≥AF, ∴当点A、D、F在同一条直线上时，AD+DF为最小，即AD+BE为最小， 当点A、D、F在同一条直线上时，∠CDF=∠CHF=∠AEB, :△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°， .∠ABC=∠ACB=45°，AB=AC, CF⊥BC, .∠ACF=135°， ..CF=AB=AC, a∠CMF=∠CFA=80°-∠ACF)=2.5°， .∠CHF=∠ACB+∠CAF=45°+22.5°=67.5°， .当AD+BE为最小时，∠AEB=∠CHF=67.5°， 故答案为：67.5」 16.如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O,AD经过点O与BC交于点D,以AD为边向 两侧作等边△ADE和等边△ADF,分别和AB,AC交于点G,H,连接GH.若∠BOC=120°，AB=a, AC=b,AD=c.则下列结论中正确的有 (填序号) 11/31 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 G ①LBAC=60°： ②△AGH是等边三角形： ③AD与GH互相垂直平分： ④5c-ia+bje. 【答案】①② 【详解】解：，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O, :∠OBC=)∠ABC,∠OCB=∠ACB 2 2 ∠B0C=120°， ∴.∠0BC+∠OCB=180°-120°=60°. :∠ABC+∠4CB=2∠0BC+2∠0CB-2(0BC+∠0CB)=120° ∠BAC=180°-（∠ABC+∠ACB)=60° ,故①正确： ,三角形的三条角平分线相交于一点， AD为∠BAC的角平分线， ∴.∠BAD=∠CAD=30°， ,以AD为边向两侧作等边△ADE和等边△ADF, AE=AD=AF,∠E=∠F=60°，∠EAD=∠FAD=60°， ∴.∠EAG=∠FAH=30°， 在△EAG和△FAH中， 「∠E=∠F AE=AF ∠EAG=∠FAH △EAG≌△FAH(ASA) 12/31 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ..AG=AH, ,∠BAC=60°， ∴△AGH是等边三角形，故②正确： :AG=AH,AD为∠BAC的角平分线， .AD垂直平分GH, ,△AED是等边三角形，∠EAG=∠DAG=30°， ∴.AG⊥DE,∠ADG=60°， ∠DAG≠∠ADG, AG≠DG, ∴.点G不在线段AD的垂直平分线上， ∴.GH不垂直平分AD,故③错误； :AB=a,AC=b,AD=c,AD为∠BAC的角平分线， .D到AB,AC的距离相等， 设D到AB,AC的距离为h, ∠BAD=∠DAC=30° :h=D= 1 2 2 .=0+.C 1 1 =二ABh+二ACh 2 1 1 =ac+bc 4 a+6.放0错误 ∴.正确的有①② 故答案为：①②. 三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 13/31 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 17.(5分).己知AB=DE,BC=EF,D,C在AF上，且AD=CF,求证：∠B=∠E B E 【答案】 证明：AD=CF, AD+DC=CF+DC,即AC=DF. AB=DE BC=EF 在 和 中， ABC △DEF AC=DF” ∴.△ABC≌△DEF(SSS) ∴.∠B=∠E 18.(5分)如图，己知△ABC,利用尺规作图法在AB边上求作一点D,使得∠ACB=2LACD.(不写 作法，保留作图痕迹) 【答案】 如图所示，点D即为所求. 19.(5分)如图，阳阳为了测量楼高AB,在旗杆CD与楼之间选定一点P,使∠APC=90°，量得点P到 楼底距离PB与旗杆高度CD都为10m,旗杆与楼之间的距离DB=24m. 14131 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 B (1)请判断△CPD和△PAB是否全等？若全等，请说明理由； (2)求楼高AB的长度. 【答案】(1) 全等，理由如下： 由题意得，∠D=∠B=90°， :∠PCD+∠CPD=90°， '∠APC=90° ∴∠APB+∠CPD=90°， .∠PCD+∠CPD=∠APB+∠CPD ∴.∠PCD=∠APB, 在△CPD和△PAB中， ∠D=∠B CD=PB ∠PCD=∠APB' ∴.△CPD≌△PAB(ASA) (2)14m 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键 (1)利用全等三角形的判定定理证明即可： (2)利用全等三角形的性质即可解答. 【详解】(1)略 (2)解：DB=24m,PB=10m, .DP=DB-PB=14m, 由(1)得，△CPD≌△PAB, ∴.AB=DP=14m, 15/31 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴楼高AB的长度为l4m 20.(6分)如图，在△ABC中，AC=BC,直线I经过顶点C,过A,B两点分别作I的垂线AE,BF, E,F为垂足，且AE=CF.求证： (1)AC⊥BC: (2)AE+BF=EF. 【答案】(1)证明：：AE⊥1，BF⊥1， ∴.∠AEC=∠BFC=90 AC=BC, 在RtAACE和Rt△CBF中，AE=CF, .RtACES≌RIACBF(HL) .∠EAC=∠BCF .∠EAC+∠ACE=90°， .∠ACE+∠BCF=90°， 即∠ACB=180°-90°=90°. .AC⊥BC (2) 证明：：Rt△ACE≌Rt△CBF, ∴.CE=BF 又：AE=CF,CF+CE=EF, .AE+BF=EF 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型：垂线模型，熟悉模型的构成及相关结论是解题关键. (1)证Rt△ACE≌Rt△CBF即可求证： (2)由(1)可得CE=BF,据此即可求证. 【详解】(1)略 16131 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2)略 21.(5分)已知如图，△ABC中，D为AB上一点，连接CD.BE平分∠ABC,分别交CD、AC于点F、 E. D B 图1 图2 (1)如图1：若∠A=30°，∠ACB=80°，CD为AB边上的高，求∠CFB的度数： (2如图2：若∠ACB=90°且∠CFE=∠CEF.求证：CD1AB 【答案】(1)125° (2) 证明：：∠ACB=90°， ∴.∠CBE+∠CEB=90°， :BE平分∠ABC, ∴.∠CBE=∠EBD, ∠CEB+∠EBD=90°， .'∠CFE=∠CEF, .∠CFE+∠EBD=90°， 又：∠CFE=∠BFD, ·.∠BFD+∠EBD=90° ∴.∠CDB=180°-（∠BFD+∠EBD)=180°-90°=90° ∴.CD⊥AB 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的高的定义，熟知相关知识是解题 的关键。 (I)先由三角形内角和定理求出∠ABC的度数，再由角平分线的定义求出∠ABE的度数，根据三角形的 高的定义得到∠BDC的度数，据此由三角形内角和定理可得答案； (2)根据∠ACB=90°，得出∠CBE+∠CEB=90°，再由角平分线的定义和∠CFE=∠CEF,得出 ∠CFE+∠EBD=90°，最后根据∠CFE=∠BFD,得到LBFD+∠EBD=9O°，即可求解. 17131 西学科网学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 【详解】(1)解：：∠A=30°，∠ACB=80° .∠ABC=180°-∠A-∠ACB=70°， :BE平分∠ABC, 1 :.∠ABE=号∠ABC=35° :CD为AB边上的高， .∠BDC=90° ,∠CFB=∠BDC+∠ABE=125° (2)略 22.(6分)如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=62°，CE是△ABC的角平分线. ED (1)求∠BCE的度数： (2)若CD⊥AB,垂足为D,∠CDF=74°，求证：△CFD是直角三角形. 【答案】(1)44° (2) 证明：CD⊥AB, .∠CDB=90°， ∠B=62°， ∠BCD=180°-∠B-∠CDB=28°， ∴∠DCE=∠BCE-∠BCD=44°-28°=16°， .∠CDF=74° ∠CFD=180°-∠DCE-∠CDF=90°， ∴.△CFD是直角三角形 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，垂线的定义，掌握三角形内角和等于180°是解 题关键 (1)根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； (2)由垂直可得∠CDB=90°，再根据三角形内角和定理，得到∠BCD=28°，进而得出∠DCE=16°，最 后再利用三角形内角和定理求解即可： 18/31 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 【详解】(1)解：：∠A=30°，∠B=62°， ∴∠ACB=180°-∠A-∠B=88°， :CE是△ABC的角平分线， ∠BCE=4CB=4 (2)略 23.(5分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,D为BC的中点，连接AD,过点D作 DE⊥AB于点E,过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F,连接AF,CF, B (1)求证：△BDF是等腰直角三角形： (2)试判断AD与CF之间的数量关系，并说明理由. 【答案】(1) 证明：，BF∥AC,∠ACB=90°， .∠CBF=90°， ..AC=BC, ∠DBA=45°， DE⊥AB, 、∠DEB=∠BEF=∠DBF=90° ∴.∠BDE=∠BFE=45°， .BD=BF, ∴△BDF是等腰直角三角形 (2) AD=CF,理由如下： 由(1)可知BD=CD=BF, 在△ACD和△CBF中， 19131 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 「CD=BF ∠ACD=∠CBF AC=CB △ACD≌ACBF(SAS) .'AD=CF 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，综合运用以上 知识是解题的关键。 (1)由平行线的性质可求得∠CBF=90°，再结合等腰三角形的判定和性质可求得BF=BD,即可证明结 论： ACD≌aCBF(SAS) (2)先证明 进而可得结论 【详解】(1)略 (2)略 24.(6分)己知：如图，四边形ABCD中，AD=AC,∠B=90°，DE⊥AC于点F,交BC于点E,连 接EA,EA平分∠BEF. D B (1)求证：AB=AF: (2)若BE=3,DF=8,求CE的长. 【答案】(1) 证明：：∠B=90°， AB⊥BE, 又：EA平分∠BEF,DE⊥AC, .'AB=AF: (2)5 【分析】本题考查角平分线的性质、直角三角形全等的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质是解答的关 20/31 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 键。 (1)直接根据角平分线的性质可证得结论： (2)证明RtAABC≌RtAFD(H)得到BC=DF=8,进而线段的和与差可求解. 【详解】(1)略 (2)解：在Rt△ABC和RtAAFD中， (AB=AF AC=AD, ∴.RtAABC≌RtAFD(HL), ∴BC=DF=8, BE=3, ∴.CE=BC-BE=8-3=5 25.(5分)如图，△ABC中，AB=AC」 B (1)尺规作图：在AC边上确定点D,使得∠CBD=∠A(保守作图痕迹，不写作法)； (2)在(1)的条件下，将∠A=36°，判断△DBC是否为等腰三角形.并说明理由. 【答案】(1) (2)△DBC是等腰三角形， 因为H8=4C:∠4=36所以∠A8C=∠C-180,36=72: 2 由(1)知∠CBD=∠A=36° 在△DBC中，∠BDC=180°-∠C-∠CBD=180°-72°-36°=72° 因为∠C=∠BDC=72 21131 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 BD=BC(等角对等边) 所以△DBC是等腰三角形 26.(6分)如图，在等腰△ABC中，AB=AC,点D是BC延长线上一点，过点D作DE L AC,分别交 AC,AB的延长线于点E,点F, B C E (备用图) (1)求证： ∠CDE=∠BAC (2)若DE=AB,用等式表示BF,CE,EF的数量关系，并证明. 【答案】(1) 证明：如图，过点A作AG⊥BC于点G, G D AB=AC, 1 &∠CaG=2∠B1C, ,DE⊥AC, .∠AGC=∠DEC=90°， 又∠ACG=∠DCE, ∴∠CAG=∠CDE, CDE-BAC (2) BF+CE=EF, 22131 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 证明：如图，过点C作CM⊥AE交∠BAC的角平分线于点M,连接MB,MF,ME,过点M作MN⊥EF于 点N, ∴AM垂直平分BC, .BM=CM, 又：AM=AM,AB=AC ÷△MMB≌aAMC(SSS) .∠ABM=∠ACM=90°，即MB⊥AF .DE=AB, DE⊥AC,CM⊥AE, .∠ACM=∠DEC=90°， 又：∠CDE-∠BHC=∠CM,DE=AB=AC, △DEC≌△ACM(ASA) ∴CE=CM, :.△MCE是等腰直角三角形， ∴ME是∠AEF的角平分线，△MNE是等腰直角三角形， ∴.MC=MN,MN=NE, ∴.MN=BM, ∴.MF是∠AFE的角平分线， FM=FM,BM=MN ÷△MFB≌aMFN(HL) 23131 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴FB=FN. ∴.BF+CE=FN+NE=EF,即BF+CE=EF 27.(7分)如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，在∠BAC内作射线AM,过点A作AM的垂 线交线段BC的延长线于点D,在射线AM上截取AE=AD,连接BE,过点E作EF∥BA交线段BC于点 F. B M (1)依题意补全图形： (2)求∠BFE的大小： (3)猜想DF与BC的数量关系，并证明， 【答案】(1) 解：如图所示： A B D M (2)45° (3) 解：DF=2BC 证明：过点A作AH⊥AB交CD于点H,则∠BAH=90°， 24131 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 B D M ∴∠AHB=∠ABC=45°， .AB=AH, ,AD⊥AE, ∴∠BAE=∠HAD=90°-∠EAH, 在△ABE和△AHD中， AB AH ∠BAE=∠HAD AE AD △ABE≌△AHD(SAS) BE=HD,∠ABE=∠AHD=180°-∠AHB=135, .∠EBF=∠ABE-∠ABC=90°，又LBFE=45°， ∴，△BEF是等腰直角三角形， .'BF BE HD, ,∠ACH=180°-∠ACB=90°，∠AHB=45°， :.△ACH是等腰直角三角形， ...CH=AC=BC, .DF HD CH CF BF CF BC BC+BC 2BC 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、余角 性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键。 (1)根据题干要求画图即可： (2)根据等腰直角三角形的性质和平行线的性质可得答案： (3)过点A作AH上AB交CD于点H,连接BE,先证明AB=AH,再证明 ABE≌AAHD(SAS ,得到 BE=HD,∠EBF=90°，进而根据等腰直角三角形的判定和性质得到BF=BE=HD,CH=AC=BC, 25/31 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 然后进行线段的和与差即可得出结论 【详解】(1)略 (2)解：，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90, ∠ABC=45°，AC=BC, EF∥BA, ·.LBFE=∠ABC=45°： (3)略 28.(7分)在平面直角坐标系xO少中，对于点A和点B,若存在点C,使得∠ABC=90°且BC=AB,这 样得到的点C称为点A关于点B的“相关点”. 5 5 3 3 2 21A 1 5-4-3-2-1 012345x -5-4-3-2-1 012345x 92 3 4 图1 图2 (1)如图1，己知点P的坐标为 3,1) ①则点P关于点O的“相关点”坐标为一一一一： ②在D3,EL2),F2-这三个点中，点P为点0关于点的“相关点” 2咖图2，若点4坐标为02八，点8坐标为a0) ①在下列三个点中： M(1,-1),N(-3,),Q(2,-1 ,能成为点A关于点B的“相关点”的是 ②直接写出点A关于点B的“相关点”的坐标 (用a表示)· 【答案1a@L3)或-)：@E,F 或 2@M,v;②a+2.a或a-2,-） 26131 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 【详解】(1)解：①如图，AB⊥OP,且OP=OA=OB,则点A,B即为所求. 过点A作AG⊥x轴于点G,过点P作PH⊥x轴于点H, Ay 5 Gh -5-4-3-2-10 1 2345x 4 B .∠AG0=∠OHP=90°， ∴.∠0AG+∠A0G=90°」 P3) .OH=3,PH=1, AB⊥OP, ∴.∠POH+∠AOG=90°， .∠OAG=∠POH, 在△OAG和△POH中， ∠AGO=∠OHP=90° ∠OAG=∠POH OA=PO △OAG≌APOH(AAS) ..OG=PH=1.AG=OH=3. .A(-1,3) B(1,-3) 同理可得： 六点关于点D的“相关点”坐标为3》或，-) 27131 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (-1,3)(1,-3) 故答案为： 或 ②当所求的点位于OP的上方时， 如图，OK⊥PK,且OK=PK,则点K即为所求 过点K作KS1y轴于点S,过点P作x轴的垂线，交SK延长线于点T, y 4 3 3-2 845x 2 ∴.∠OSK=∠KTP=90° .∠KOS+∠OKS=90°， P3) ST=3,0S-PT=1, OK⊥PK, .∠PKT+∠OKS=90°， .∠KOS=∠PKT, 在△KOS和△PKT中， ∠OSK=∠KTP=90° ∠KOS=∠PKT OK=KP △KOS≌APKT(AAS) ∴.OS=KT,SK=PT, .ST=SK+KT=3. .'.PT+OS=3. 28131 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 PT+OS=3 [0S=2 联立OS-PT=1,解得PT=1, .SK=1, K(1,2) 当所求的点位于OP的下方时， L(2,-1) 同理可得： 故答案为：E,F」 (2)解：①当a>0时， 如图，AB⊥DE,且AB=BD=BE,则点D,E即为所求. 过点DF⊥x轴于点F, AY 5 3 43 D 5-4-3-2-1B2345x .∠AOB=∠BFD=90°， ∴∠0AB+∠0BA=90°， 10,2),B(a,0) .0A=2,OB=a, AB⊥DE, ∴.∠FBD+∠OBA=90°， ∴.∠OAB=∠FBD. 在△OAB和△FBD中， 29131 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∠AOB=∠BFD=90 ∠OAB=∠FBD AB=BD △OAB≌△FBD(AAS) ∴.BF=OA=2,DF=OB=a, ∴.OF=OB+BF=a+2, D(a+2,a) 设点E的坐标为 E(m,n) m+a+2-a 2 .1n+a-0 解得「m=a-2, 2 n=-a E(a-2,-a) 当a<0时， 如图，AB⊥HL,且AB=BL=BH,则点L,H即为所求. 4 3 A -5-4-3-2- 345 图2 L(a-2,-a）H(a+2,a) 同理可得： 综上，点A关于点B的“相关点”的坐标为 a+2,a)t(a-2,-a) )或 30131 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ÷点1关于点B的“相关点”的横、纵坐标满足a+2-a=2或-2+()-2 M(1,-1) 点 的横、纵坐标满足 1-（-1)=2 ,能成为点A关于点B的“相关点”， (-3,1) 点 的横、纵坐标满足3+1=-2，能成为点A关于点B的“相关点”， 点2-) 2-（-1)=3≠22+(-1)=1≠-2 的横、纵坐标满足 ,不能成为点A关于点B的“相关点”， 故答案为：M,N」 ②由(2)①可知，点A关于点B的“相关点”的坐标为 a+2,a(a-2,-a） 或 (a+2,a)(a-2,-a) 故答案为： 或 31/31西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 1 2 3 4 5 6 7 8 D A 0 A 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分 11,100° 12.75° 20 13.13 14.5 15.67.5 16.①② 三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.5分)【详解】证明：“AD=CF, ∴.AD+DC=CF+DCAC=DF ,即 (2分) AB=DE BC=EF 在 。和 中， △ABC ADEF AC=DF' (4分) ∴.△ABC≌△DEF(SSS) .∠B=∠E (5分) 18.(5分)【详解】如图所示，点D即为所求. (5分) 19.(5分)【详解】(1)全等，理由如下： 1/13 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 由题意得，∠D=∠B=90°， .∠PCD+∠CPD=90°， .∠APC=90° .∠APB+∠CPD=90° ∴.∠PCD+∠CPD=∠APB+∠CPD. .∠PCD=∠APB. 在△CPD和△PAB中， ∠D=∠B CD=PB ∠PCD=∠APB' ∴.△CPD≌△PAB(ASA) (3分)】 (2)解：DB=24m,PB=10m, .DP=DB-PB=14m, 由(1)得，△CPD≌△PAB, ∴.AB=DP=14m, AB 14m 楼高的长度为 (5分) 20.(6分)【详解】(1)证明：~AE⊥1，BF⊥1， .∴∠AEC=∠BFC=90 (AC=BC, 在Rt△ACE和Rt△CBF中，AE=CF, :Rt△ACE≌RIACBF(HL) .∠EAC=∠BCF .∠EAC+∠ACE=90°， .∠ACE+∠BCF=90°， 即∠ACB=180°-90°=90. 2/13 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 AC⊥BC (3分) (2) 证明：Rt△ACE≌Rt△CBF, ∴.CE=BF 又：AE=CF,CF+CE=EF, .AE+BF=EF (6分) 21.(5分)【详解】(1)解：：∠A=30°，∠ACB=80°， .∠ABC=180°-∠A-∠ACB=70°， :BE平分∠ABC, &∠AB6=ABC=350】 ,CD为AB边上的高， .∠BDC=90°， .∠CFB=∠BDC+∠ABE=125° (3分) (2)证明：∠ACB=90°， ∴.∠CBE+∠CEB=90°， BE平分∠ABC, .∠CBE=∠EBD」 .∠CEB+∠EBD=90°， .'∠CFE=∠CEF, ∴.∠CFE+∠EBD=90°， 又：∠CFE=∠BFD, .∠BFD+∠EBD=90 ∴.∠CDB=180°-（∠BFD+∠EBD)=180°-90°=90° .CD⊥AB (5分) 22.(6分)【详解】(1)解：∠A=30°，∠B=62°， ∴∠ACB=180°-∠A-∠B=88°， 3/13 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 CE是△ABC的角平分线， ∠BCE=ACB=4 2 (2分) (2)证明：，CD⊥AB, ∴∠CDB=90°， :∠B=62°， ∠BCD=180°-∠B-∠CDB=28°， ∴.∠DCE=∠BCE-∠BCD=44°-28°=16°， ∠CDF=74°. ·∠CFD=180°-∠DCE-∠CDF=90°， ∴△CFD 是直角三角形 (6分) 23.(5分)【详解】(1)证明：：BF∥AC,∠ACB=90°， .∠CBF=90°， ..AC=BC, ∠DBA=45°， DE⊥AB, .∠DEB=LBEF=∠DBF=90°， .∠BDE=∠BFE=45°， .'BD=BF, ∴，△BDF是等腰直角三角形： (2分) (2)AD=CF,理由如下： 由(1)可知BD=CD=BF, 在△ACD和△CBF中， 「CD=BF ∠ACD=∠CBF AC=CB △ACD≌△CBF(SAS) .AD=CF (5分) 4/13 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 24.(6分)【详解】(1)证明：：∠B=90°， AB⊥BE, 又EA平分∠BEF,DE⊥AC, .AB=AF: (2分) (2)解：在Rt△ABC和RtAAFD中， AB=AF AC=AD, .RtAABC≌RteAFD(HL) ∴.BC=DF=8, BE=3, CE=BC-BE=8-3=5. (6分) 25.(5分)【详解】(1) (2分) (2)△DBC是等腰三角形， 因为AB=4C·∠4=36所以∠ABC=∠C=180,36=72. 2 由(1)知∠CBD=∠A=36 在△DBC中，∠BDC=180°-∠C-∠CBD=180°-72°-36°=72° 因为∠C=∠BDC=72 BD=BC(等角对等边) 所以△DBC是等腰三角形 (5分) 26.(6分)【详解】(1)证明：如图，过点A作AG⊥BC于点G, 5/13 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ! B E AB=AC, <CAG=1 BAC DE⊥AC, .∠AGC=∠DEC=90°， 又，∠ACG=∠DCE, .∠CAG=∠CDE. ∠BAC .CDE=2 (3分) (2) BF+CE=EF, 证明：如图，过点C作CM⊥AE交∠BAC的角平分线于点M,连接MB,MF,ME,过点M作MN⊥EF于 点N, M E ,AM垂直平分BC, .BM=CM, 又：AM=AM,AB=AC :.△MMB≌aAMC(SSS) .∠ABM=∠ACM=90°，即MB⊥AF 6/13 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 DE =AB DE⊥AC,CM⊥AE, ∴，∠ACM=∠DEC=90°， 又.∠CDE= 2∠BAC=∠CAM,DE=4B=4C △DEC≌AACM(ASA) .'CE=CM, ∴.△MCE是等腰直角三角形， ,ME是∠AEF的角平分线，△MNE是等腰直角三角形， .MC=MN,MN=NE, .MN =BM, ∴.MF是∠AFE的角平分线， FM=FM,BM=MN ·△MFB≌aMFN(HL) .FB=FN, ∴.BF+CE=FN+NE=EF,即BF+CE=EF, (6分) 27.(7分)【详解】(1)解：如图所示： B D (2分) (2)解：：△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°， ∴.∠ABC=45°，AC=BC, EF∥BA, .∠BFE=∠ABC=45°： (4分) (3)解：DF=2BC 证明：过点A作AH⊥AB交CD于点H,则∠BAH=90°， 7/13 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 B ∠AHB=∠ABC=45°， .AB=AH, .AD⊥AE, ∴.∠BAE=∠HAD=90°-∠EAH, 在△ABE和△AHD中， AB AH ∠BAE=∠HAD AE=AD △ABE≌△AHD(SAS) .BE=HD,∠ABE=∠AHD=180°-∠AHB=135°， .∠EBF=∠ABE-∠ABC=90°，又∠BFE=45°， ∴.△BEF是等腰直角三角形， ∴.BF=BE=HD, .∠ACH=180°-∠ACB=90°，∠AHB=45°， .△ACH是等腰直角三角形， .CH=AC=BC. .DF HD CH +CF BF CF BCBCBC 2BC (7分) 28.(7分)【详解】(1)解：①如图，AB⊥OP,且OP=OA=OB,则点A,B即为所求. 过点A作AG⊥x轴于点G,过点P作PH⊥x轴于点H, 8/13 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 y A 3 G H -5-4-3-2-10 2345x 2 4 .∠AG0=∠OHP=90°. ∴.∠0AG+∠AOG=90°， :P3) .OH=3,PH=1, :AB⊥OP, .∠POH+∠AOG=90°. .∠OAG=∠POH, 在△OAG和△POH中， ∠AGO=∠OHP=90° ∠OAG=∠POH OA=PO △OAG2△POH(AAS) ..OG=PH=1,AG=OH=3, 4(-13) B(1,-3) 同理可得： “点P关于点0的“相关点”坐标为 1,3)或-) 故答案为： (13)康4-) (2分) ②当所求的点位于OP的上方时， 9/13 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 如图，OK⊥PK,且OK=PK,则点K即为所求 过点K作KS上y轴于点S,过点P作x轴的垂线，交SK延长线于点T, AY 5 4 3 2 -5-4-3-2-1 p345 3 .∠OSK=KTP=90°， .∠KOS+∠OKS=90°， .P(3,) ..ST=3,0S-PT=1. OK⊥PK, ∴.∠PKT+∠OKS=90°， .∠KOS=∠PKT, 在△KOS和△PKT中， [∠OSK=∠KTP=90 ∠KOS=∠PKT OK=KP △KOS≌△PKT(AAS) ..OS KT,SK =PT, .ST=SK+KT=3, .'PT+OS=3. [PT+OS=3 0S=2 联立OS-PT=1,解得PT=1, 10113 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .SK=1, :K02) 当所求的点位于OP的下方时， 同理可得： L(2,-1) 故答案为：E,F, (4分) (2)解：①当a>0时， 如图，AB⊥DE,且AB=BD=BE,则点D,E即为所求 过点DF⊥x轴于点F, y 3 D 1 -5-4-3-2-1QB2345x ∴.∠AOB=∠BFD=90° ∴.∠OAB+∠OBA=90°， ·(0,2),Ba,0) ..OA=2,0B=a, .AB⊥DE, .∠FBD+∠OBA=90°， ∴.∠OAB=∠FBD, 在aOAB和△FBD中， 11/13 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∠AOB=∠BFD=90° ∠OAB=∠FBD AB=BD △OAB≌△FBD(AAS) ∴.BF=OA=2,DF=OB=a, ..OF =OB+BF=a+2, ,D(a+2,a) 设点E的坐标为 E(m,n) m+a+2-a 2 .1n+a-0 ,解得[m=a-2, 2 n=-a E(a-2,-a) 当a<0时， 如图，AB⊥HL,且AB=BL=BH,则点LH即为所求. 4 A -5-4-3-2- 345 图2 L(a-2,-a）H(a+2,a） 同理可得： 综上，点A关于点B的“相关点”的坐标为 a+2,a)t(a-2,-a) 或 12113 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 六点4关于点8的“相关点”的横、纵坐标满足a+2-a=2或a-2+(←a)=-2 M(L-)的横、纵坐标满足 -（-1)=2 点 ,能成为点A关于点B的“相关点”， 点(3， 的横、纵坐标满足3+1=-2，能成为点4关于点B的“相关点”， 点(2-)的横、纵坐标满足2 -（-1)=3≠22+(-1)=1≠-2 ,不能成为点A关于点B的“相关点”， 故答案为：M,N ②由(2)①可知，点A关于点B的“相关点”的坐标为 (a+2,a）t(a-2,-a） 或 故答案为： (a+2a或a-2,-a (7分) 13113 11 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9._______________ 13. ______________ 10. ___________ 14. ___________ 11. _________________ 15.________________ 12. ________________ 16. ________________ 三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17.（5分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（5分） 19．（5分） 20．（6分） 21．（5分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（6分） 23．（5分） 24．（6分） 25．（5分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26．（6分） 27．（7分） 28． （7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 日 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 一==-■==。。==-一=-■-。===。=●一一=▣- 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][√][/] 一、 单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1,A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][c][D] 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 10. 11. 13 14. 15. 16 三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 17.(5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(5分) B 19.(5分) B 20.(6分) 21.(5分) E E D B D B 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.（6分) A B E D 23.(5分) 24.(6分) F B E 25.(5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 26.(6分) A E E (备用图) 27.(7分) B C M 28.(7分) y y 54 54 32 P -5-4-3-2-1 012345x -5-4-3-2-1 012345六 -2 3 5 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版八年级上册第13~14章。 第Ⅰ卷 1、 选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．以下列各组长度的线段为边长，其中能组成三角形的是（     ）． A． B． C． D． 2．如图，用直尺和圆规作已知角的平分线，则说明为的平分线的依据是（   ） A． B． C． D． 3．一个三角形，其中有两个角分别是和，第三个角是（     ） A． B． C． D． 4．中，已知点D，E，F分别是，，边上的中点，且，则为（     ） A． B． C． D． 5．如图，，，，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 6．如图，小明从一张三角形纸片的边上选取一点N，将纸片沿着对折一次使得点A落在处后，再将纸片沿着对折一次，使得点C落在上的处，已知，，则原三角形中的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图， 在中，，，平分交于D，于E，若，则的周长是 （ ） A． B． C． D． 8．如图，在中，是的平分线，F是延长线上一点，且于点D，，，则（     ） A．88° B．85° C．65° D．72° 第Ⅱ卷 2、 填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．如图，是的中线，若，则_____． 10．如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为___________． 11．如图，中，是边上的高，，，是的平分线，则的度数为________． 12．如图，在三角形纸片中，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点处，折痕为．则___________． 13．如图，在中，点在边上，连接，，平分交于点，于点，若，则的长为_____． 14．如图，在中，平分于点的面积为，则的长是___________ 15．如图，在等腰直角三角形中，，点分别是上的动点，且，当最小时，的大小是______度． 16．如图，中，和的角平分线交于点，经过点与交于点，以为边向两侧作等边和等边，分别和，交于点G，H，连接．若，，，．则下列结论中正确的有_____（填序号） ①； ②是等边三角形； ③与互相垂直平分； ④． 3、 解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（5分）．已知,D，C在上，且，求证： 18．（5分）如图，已知，利用尺规作图法在边上求作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 19．（5分）如图，阳阳为了测量楼高，在旗杆与楼之间选定一点P，使，量得点P到楼底距离与旗杆高度都为，旗杆与楼之间的距离． (1)请判断和是否全等？若全等，请说明理由； (2)求楼高的长度． 20．（6分）如图，在中，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，，为垂足，且．求证： (1)； (2)． 21．（5分）已知如图，中，为上一点，连接．平分，分别交、于点、． (1)如图1：若，，为边上的高，求的度数； (2)如图2：若且．求证：． 22．（6分）如图，在中，，，是的角平分线． (1)求的度数； (2)若，垂足为D，，求证：是直角三角形． 23．（5分）如图，在中，，，为的中点，连接，过点作于点，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)试判断与之间的数量关系，并说明理由． 24．（6分）已知：如图，四边形中，，，于点，交于点，连接，平分． (1)求证：； (2)若，，求的长． 25．（5分）如图，中，． (1)尺规作图：在AC边上确定点D，使得（保守作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，将，判断是否为等腰三角形．并说明理由． 26．（6分）如图，在等腰中，，点是延长线上一点，过点作，分别交，的延长线于点，点． (1)求证： (2)若，用等式表示，，的数量关系，并证明． 27．（7分）如图，为等腰直角三角形，，在内作射线，过点作的垂线交线段的延长线于点，在射线上截取，连接，过点作交线段于点． (1)依题意补全图形； (2)求的大小； (3)猜想与的数量关系，并证明． 28．（7分）在平面直角坐标系中，对于点和点，若存在点，使得且，这样得到的点称为点关于点的“相关点”． (1)如图1，已知点的坐标为， ①则点关于点的“相关点”坐标为_______； ②在这三个点中，点为点关于点_______的“相关点”． (2)如图2，若点坐标为，点坐标为， ①在下列三个点中：，能成为点关于点的“相关点”的是_______； ②直接写出点关于点的“相关点”的坐标_______（用表示）． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $