北京市2025-2026学年八年级上学期学业水平测试 数学 试题

北京市学业水平测试 Beijing Academic Proficiency Test 测试时间：2025年12月 Test time: December 2025 初二年级 数学 试题册 ☆ 敬告考生 ☆ 欢迎参加北京市二〇二五学年度学业水平测试。请仔细阅读以下考试须知，并严格遵守。 一、答题前，请先检查试卷有无缺页、漏印或字迹不清等问题。如有异常，请立即向监考员报告。 二、请在试卷封面相应位置准确填写姓名与准考证号。 三、所有答案须填写在答题卡指定区域，试卷上作答无效。选择题须使用2B铅笔填涂，非选择题须使用黑色字迹签字笔作答。 四、考试过程中，严禁旁窥、抄袭、交换试卷等舞弊行为；考试结束后，不得将试卷、答题卡或草稿纸带出考场。 北 京 市 教 育 考 试 院 请考生准确填写以下个人信息 考生姓名 报考单位 准考证号 考场编号 座位编号 请开始答题，祝你考试顺利 学科网（北京）股份有限公司 （试卷共7页，100分。考试时长120分钟） 第一部分（选择题 共16分） 一、选择题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）要使代数式有意义，则x的取值范围是 （A） （B） （C） （D） （2）下列数，π，，0.021021021…中，无理数的个数是 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （3）面积为3的正方形的边长为 （A） （B）1.5 （C） （D）9 （4）正五边形ABCDE中，∠BEC的度数为 （A）18º （B）30º （C）36º （D）72º （5）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC=1．点Q在直线BC上，且AQ=2，则线段BQ的长为 （A） （B） （C）或 （D）或 （6）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的动点（点D与B，C不重合），△ABD和△ACD的面积分别表示为S1和S2，下列条件不能说明AD是△ABC角平分线的是 （A）BD=CD （B）∠ADB=∠ADC （C）S1=S2 （D）AD =BC （7）已知长方形ABCD可以按图示方式分成九部分，在a，b变化的过程中，下面说法正确的有 ①图中存在三部分的周长之和恰好等于长方形ABCD 的周长 ②长方形ABCD的长宽之比可能为2 ③当长方形ABCD为正方形时，九部分都为正方形 ④当长方形ABCD的周长为60时，它的面积可能为100 （A）①② （B）①③ （C）②③④ （D）①③④ （8）如图，从一个大正方形中截去面积为30cm2和48cm2的两个小正方形，则剩余部分的面积为 （A）78 cm2 （B） （C） （D） 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题共8小题，每小题2分，共16分。 （9）分解因式：_______． （10）如图，右图中的两个三角形是全等三角形，其中一些角和边的大小如图所示，那么的值是_______． （11）写出一个比大且比小的无理数___________． （12）如图，△ABC中，AC=7，BC=4，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，那么△BCE的周长为　 　　． （13）如图，经过直线AB外一点C作这条直线的垂线，作法如下： （1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁． （2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E． （3）分别以点D和点E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点F． （4）作直线CF． 则直线CF就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定是等腰三角形的为　 　　． （14）某地需建设内部场馆，此场馆为圆形设计，面积为（a，b均为正数）平方米，请你根据所学的知识计算出此场馆内部的半径为 米．（用含有a，b的式子表示） （15）如图所示，在长方形ABCD的对称轴上找点P，使得△PAB，△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P有 个． （16）下面的图表是我国数学家发明的“杨辉三角”， 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律． （1）的展开式共有 项； （2）的展开式共有 项，各项的系数和是 ． 三、解答题共8小题，共68分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （17）（本小题25分） （Ⅰ）； （Ⅱ）； （Ⅲ）； （Ⅳ）． （Ⅴ）； （Ⅵ）解分式方程：； （Ⅶ）； （Ⅷ）先化简，再求值：，其中； （Ⅸ）先化简：，然后从，，，中选一个你认为合适的值，代入求值． （18）（本小题5分） 列方程解决实际问题： 食品安全是老百姓关注的话题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输．某饮料加工厂生产的A、B两种饮料均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，已知生产100瓶A、B两种饮料中，共添加270克该添加剂，求A、B两种饮料各生产了多少瓶. （19）（本小题5分） 证明：如果两个三角形有两个角及它们的夹边的高分别相等，那么这两个三角形全等． （20）（本小题6分） 如图，AB⊥AC，AB=AC，过点B，C分别向射线AD作垂线，垂足分别为E，F. （Ⅰ）依题意补全图形； （Ⅱ）求证：BE=EF+FC. （21）（本小题6分） 已知，． （Ⅰ）用x表示y； （Ⅱ）求代数式的值． （22）（本小题7分） 如图，点A在直线l上，点B在直线l外，点B关于直线l的对称点为C，连接AC，过点B作BD⊥AC于点D，延长BD至E使BE=AB，连接AE并延长与BC的延长线交于点F． （Ⅰ）补全图形； （Ⅱ）若∠BAC=2α，求出∠AEB的大小（用含α的式子表示）； （Ⅲ）用等式表示线段EF与BC的数量关系，并证明． （23）（本小题7分） 如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP，∠ACP=（0°<<60°），点A关于射线CP的对称点为点D，BD交CP于点E，连接AD，AE． （Ⅰ）求∠DBC的大小（用含的代数式表示）； （Ⅱ）在（0°<<60°）的变化过程中，∠AEB的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出变化的范围；如果不发生变化，请直接写出∠AEB的大小； （Ⅲ）用等式表示线段AE，BD，CE之间的数量关系，并证明． （24）（本小题7分） 阅读下面材料： 数学课上，老师给出了如下问题： 如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE=EF．求证：AC=BF． 老师给出了其中一种解题思路： 如图添加辅助线： 依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE=EF可以进一步证得∠G=∠FAE=∠AFE =∠BFG，从而证明结论. 完成下面问题： （1）简述思路中的辅助线的作法； （2）请你给出另一种不同的证明方法 （要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，并写出证明过程）． （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效） 初二年级（数学） 第 1 页（共 7 页） 学科网（北京）股份有限公司 $