北京市东直门中学2025-2026学年上学期八年级数学第一次学情自测

**基本信息** 聚焦三角形全等与性质，通过现实情境（如窗钩固定）和分层问题设计，考查几何直观、推理能力的八年级数学月考试卷。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角形边关系、等腰三角形周长、全等判定|第3题结合窗户固定情境考查三角形稳定性，体现数学眼光| |填空题|6/18|中线取值范围、全等条件补充、内角和计算|第11题通过中线构造全等考查空间观念| |解答题|6/52|全等证明、角度计算、综合应用|第19题结合全等证明与平行判定，第22题综合高、中线、角平分线考查推理能力|

2025-2026学年（上）第一次月考 八年级数学答题卡 (时间：100分钟满分：100分) 一、选择题(10小题，每小题3分，共30分) 题号 1 2 3 5 答案 题号 6 2 8 9 10 中心国 答案 二、填空题（本大题共6小题， 每小题3分，计18分，不需要写出解答过程，请把答案写在 答题纸的指定位置上) 11 12. 13. 14 15 16. 三、解答题（本大题共6小题，计52分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤， 请把答案写在答题纸的指定区域内) 17、 相 18、 D 19、 C E I F 20、 C 0 21、 D B 22、 ( 考号 班级 姓名 座位号 . —————————————— 密 —————————————— 封 —————————————— 线 ———————————————————— )2025-2026学年（上）第一次月考 八年级数学试卷 （时间：100分钟 满分：100分 ） 一、选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．以下列各组线段为边能组成三角形的是（　　） A．1cm，2cm，4cm B．2cm，3cm，5cm C．4cm，6cm，8cm D．5cm，6cm，12cm 2．一个等腰三角形的两边长分别为3和5，则它的周长为（　　） A．11 B．12 C．13 D．11或13 3.如图，一扇窗户打开后，用窗钩 AB 可将其固定，这里所运用的几何原理是（ ） A．三角形的稳定性 B． 两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 4．三角形的角平分线、中线和高（　　） A．都是线段 B．都是射线 C．都是直线 D．不都是线段 5．对于两个图形，给出下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长和面积都相等；④两个图形的形状相同，大小也相等．其中能获得这两个图形全等的结论共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，a、b、c分别表示△ABC的三边长，则下面与△ABC一定全等的三角形是（　　） A． B． C． D． 7．使两个直角三角形全等的条件是（　　） A．一个锐角对应相等 B．两个锐角对应相等 C．一条边对应相等 D．两条边对应相等 8.尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以 O 为圆心，任意长为半径画弧交 OA，OB 于 C，D，再分别以点 C，D 为圆心，以大于CD 长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线 OP 由作法得△OCP≌△ODP 的根据是（ ） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS （第 8 题） （第 9 题） （第 10题） 9．如图，已知AD=AE，BE=CD，∠1=∠2=110°，∠BAC=80°，则∠CAE的度数是（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 10．如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（　　） A．△ACE≌△BCD B．△BGC≌△AFC C．△DCG≌△ECF D．△ADB≌△CEA 二．填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．在△ABC中，AB=6，AC=4，则BC边上的中线AD的取值范围是　　． 12．如图，∠1=∠2，要使△ABD≌△ACD，需添加的一个条件是　　（只添一个条件即可）． 13．已知 a、b、c 是三角形的三边长，化简：|a﹣b+c|+|a﹣b﹣c|= ． 14．如图，∠1+∠2+∠3+∠4= 度． （第 12 题） （第 14 题） （第 15 题） （第 16 题） 15．如图所示，△ABE≌△ACD，∠B=70°，∠AEB=75°，则∠CAE= °． 16.如图所示,△ABC 中，∠A=100°，BI、CI 分别平分∠ABC，∠ACB，则∠BIC= ，若 BM、CM 分别平分∠ABC，∠ACB 的外角平分线，则∠M= 。 三．解答题（6小题，共52分） 17．（5 分）若等腰三角形一边长为 12cm，且腰长是底边长的 ，求这个三角形的周长． 18． （7 分）如图所示，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高，H是BD、CE的交点，求∠BHC的度数． 19．（10 分）如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得AB=DE，AC=DF，BF=EC． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）指出图中所有平行的线段，并说明理由． 20．（8 分）已知：如图，AD=BC，AC=BD．求证：∠C=∠D． 21．（10 分）如图，在直角三角形 ABC 中，∠ACB=90°，CD 是 AB 边上的高，AB=13cm，BC=12cm，AC=5cm，求： (1) CD 的长； (2) 作出△ABC 的边 AC 上的中线 BE，并求出△ABE 的面积． 22．（12分）如如图，在中，为边上的高，为边上的中线，平分，交于点． (1)若，的面积为20，求的长； (2)若，，求的度数． ( 第 3 页 共 5 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ ( 考号 班级 姓名 座位号 . —————————————— 密 —————————————— 封 —————————————— 线 ———————————————————— )2025-2026学年（上）第一次月考 八年级数学学科试卷答案 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 答案 C D A A A 题号 6 7 8 9 10 答案 B D D A D 2、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，计15分，不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） ( 1 ＜ AD ＜ 5　 12. CD=BD 13. 2c 14. 360 ° 15. 5 ° 16. 140 ° ， 40 ° ) 三、解答题（本大题共10小题，计55分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 17、 18、如图所示，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高，H是BD、CE的交点，求∠BHC的度数． 【考点】多边形内角与外角． 【分析】根据高的定义得∠ADB=∠AEC=90°，于是利用四边形内角和为360°可计算出∠EHD，然后根据对顶角相等得到∠BHC的度数． 【解答】解：∵BD、CE分别是△ABC边AC、AB上的高， ∴∠ADB=∠AEC=90°， 而∠A+∠AEH+∠ADH+∠EHD=360°， ∴∠EHD=180°﹣60°=120°， ∴∠BHC=120°． 19、如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得AB=DE，AC=DF，BF=EC． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）指出图中所有平行的线段，并说明理由． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【分析】（1）先证明BC=EF，再根据SSS即可证明． （2）结论AB∥DE，AC∥DF，根据全等三角形的性质即可证明． 【解答】（1）证明：∵BF=CE， ∴BF+FC=FC+CE，即BC=EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SSS）． （2）结论：AB∥DE，AC∥DF． 理由：∵△ABC≌△DEF， ∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE， ∴AB∥DE，AC∥DF． 20、 21、（1） （2） 22、 一、选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．以下列各组线段为边能组成三角形的是（　　） A．1cm，2cm，4cm B．2cm，3cm，5cm C．4cm，6cm，8cm D．5cm，6cm，12cm 【考点】三角形三边关系． 【分析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边进行分析即可． 【解答】解：A、1+2＜4，不能组成三角形，故此选项错误； B、2+3=5，不能组成三角形，故此选项错误； C、6+4＞8，能组成三角形，故此选项正确； D、5+6＜12，不能组成三角形，故此选项错误； 故选：C． 2．一个等腰三角形的两边长分别为3和5，则它的周长为（　　） A．11 B．12 C．13 D．11或13 【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系． 【分析】由等腰三角形两边长为3、5，分别从等腰三角形的腰长为3或5去分析即可求得答案，注意分析能否组成三角形． 【解答】解：①若等腰三角形的腰长为3，底边长为5， ∵3+3=6＞5， ∴能组成三角形， ∴它的周长是：3+3+5=11； ②若等腰三角形的腰长为5，底边长为3， ∵5+3=8＞5， ∴能组成三角形， ∴它的周长是：5+5+3=13， 综上所述，它的周长是：11或13． 故选D．　 3．D 4．三角形的角平分线、中线和高（　　） A．都是线段 B．都是射线 C．都是直线 D．不都是线段 【考点】三角形的角平分线、中线和高． 【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 【解答】解：三角形的角平分线、中线和高都是线段． 故选（A） 　 5．对于两个图形，给出下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长和面积都相等；④两个图形的形状相同，大小也相等．其中能获得这两个图形全等的结论共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】全等图形． 【分析】能够完全重合的两个图形叫做全等形．强调能够完全重合，对选择项进行验证可得答案． 【解答】解：①周长相等的两个图形不一定重合，所以不一定全等； ②如果面积相同而形状不同也不全等； ③如果周长相同面积相同而形状不同，则不全等， ④两个图形的形状相同，大小也相等，则二者一定重合，正确． 所以只有1个正确，故选A． 6．如图，a、b、c分别表示△ABC的三边长，则下面与△ABC一定全等的三角形是（　　） A． B． C． D． 【考点】全等三角形的判定． 【分析】根据全等三角形的判定方法进行逐个验证，做题时要找准对应边，对应角． 【解答】解：A、与三角形ABC有两边相等，而夹角不一定相等，二者不一定全等； B、选项B与三角形ABC有两边及其夹边相等，二者全等； C、与三角形ABC有两边相等，但角不是夹角，二者不全等； D、与三角形ABC有两角相等，但边不对应相等，二者不全等． 故选B． 　 7．使两个直角三角形全等的条件是（　　） A．一个锐角对应相等 B．两个锐角对应相等 C．一条边对应相等 D．两条边对应相等 【考点】直角三角形全等的判定． 【分析】利用全等三角形的判定来确定．做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证． 【解答】解：A、一个锐角对应相等，利用已知的直角相等，可得出另一组锐角相等，但不能证明两三角形全等，故A选项错误； B、两个锐角相等，那么也就是三个对应角相等，但不能证明两三角形全等，故B选项错误； C、一条边对应相等，再加一组直角相等，不能得出两三角形全等，故C选项错误； D、两条边对应相等，若是两条直角边相等，可利用SAS证全等；若一直角边对应相等，一斜边对应相等，也可证全等，故D选项正确． 故选：D． 　 8.D 9．如图，已知AD=AE，BE=CD，∠1=∠2=110°，∠BAC=80°，则∠CAE的度数是（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 【考点】等腰三角形的性质． 【分析】由题意知，△ABD和△ABC是等腰三角形，可求得顶角∠DAE的度数，及∠BAD=∠EAC，进而求得∠CAE的度数． 【解答】解：∵AD=AE，BE=CD， ∴△ABE和△ABC是等腰三角形． ∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED． ∵∠1=∠2=110°， ∴∠ADE=∠AED=70°． ∴∠DAE=180°﹣2×70°=40°． ∵∠1=∠2=110°，∠B=∠C， ∴∠BAD=∠EAC． ∵∠BAC=80°． ∴∠BAD=∠EAC=（∠BAC﹣∠DAE）÷2=20°． 故选A． 　 10．如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（　　） A．△ACE≌△BCD B．△BGC≌△AFC C．△DCG≌△ECF D．△ADB≌△CEA 【考点】全等三角形的判定；等边三角形的性质． 【分析】首先根据角间的位置及大小关系证明∠BCD=∠ACE，再根据边角边定理，证明△BCE≌△ACD；由△BCE≌△ACD可得到∠DBC=∠CAE，再加上条件AC=BC，∠ACB=∠ACD=60°，可证出△BGC≌△AFC，再根据△BCD≌△ACE，可得∠CDB=∠CEA，再加上条件CE=CD，∠ACD=∠DCE=60°，又可证出△DCG≌△ECF，利用排除法可得到答案． 【解答】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形， ∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°， ∴∠BCA+∠ACD=∠ECD+∠ACD， 即∠BCD=∠ACE， ∴在△BCD和△ACE中， ∴△BCD≌△ACE（SAS）， 故A成立， ∴∠DBC=∠CAE， ∵∠BCA=∠ECD=60°， ∴∠ACD=60°， 在△BGC和△AFC中， ∴△BGC≌△AFC， 故B成立， ∵△BCD≌△ACE， ∴∠CDB=∠CEA， 在△DCG和△ECF中， ∴△DCG≌△ECF， 故C成立， 故选：D． 11．在△ABC中，AB=6，AC=4，则BC边上的中线AD的取值范围是　1＜AD＜5　． 【考点】全等三角形的判定与性质；三角形三边关系． 【分析】延长AD到E，使AD=DE，连接BE，证△ADC≌△EDB，推出AC=BE=8，在△ABE中，根据三角形三边关系定理得出AB﹣BE＜AE＜AB+BE，代入求出即可． 【解答】解：延长AD到E，使AD=DE，连接BE， ∵AD是BC边上的中线， ∴BD=CD， 在△ADC和△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴AC=BE=4， 在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE， ∴6﹣4＜2AD＜6+4， ∴1＜AD＜5， 故答案为：1＜AD＜5． 12．如图，∠1=∠2，要使△ABD≌△ACD，需添加的一个条件是　CD=BD　（只添一个条件即可）． 【考点】全等三角形的判定． 【分析】由已知条件具备一角一边分别对应相等，还缺少一个条件，可添加DB=DC，利用SAS判定其全等． 【解答】解：需添加的一个条件是：CD=BD， 理由：∵∠1=∠2， ∴∠ADC=∠ADB， 在△ABD和△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD（SAS）． 故答案为：CD=BD． 17．如图，△ABC 中，∠A=100°，BI、CI 分别平分∠ABC，∠ACB，则∠BIC= 140° ，若 BM、CM 分别平分∠ABC，∠ACB 的外角平分线，则∠M= 40° ． 解答：解：∵∠A=100°， ∵∠ABC+∠ACB=180°﹣100°=80°， ∵BI、CI 分别平分∠ABC，∠ACB， ∴∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB， ∴∠IBC+∠ICB=∠ABC+∠ACB=（∠ABC+∠ACB）=×80°=40°， ∴∠I=180°﹣（∠IBC+∠ICB）=180°﹣40°=140°； ∵∠ABC+∠ACB=80°， ∴∠DBC+∠ECB=180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB=360°﹣（∠ABC+∠ACB）=360°﹣80°=280°， ∵BM、CM 分别平分∠ABC，∠ACB 的外角平分线， ∴∠1=∠DBC，∠2=ECB， ∴∠1+∠2=×280°=140°， 学科网（北京）股份有限公司 $