广东深圳市红岭教育集团2026-2027学年上学期九年级开学考数学试卷

红岭教育集团2026―2027学年度第一学期 初三入学摸底检测 数学试卷 （说明：本试卷考试时间为90分钟，满分为100分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A． B． C． D． 2．如果，那么下列正确的是（ ） A． B． C． D． 3．如图1，魔术师把4张扑克牌放在桌面上，然后蒙住眼睛，请一位观众把其中1张牌旋转．魔术师睁开眼睛后，看到4张牌如图2所示，则被旋转过的牌是（ ） A． B． C． D． 4．若分式有意义，则满足的条件是（ ） A． B． C． D． 5．根据图中所给的条件，能判定四边形是平行四边形的依据是（ ） A．对角线互相平分 B．一组对边平行且相等 C．两组对边分别相等 D．两组对边分别平行 6．如图，直线与的交点坐标为，则使的的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，其示意图如图所示，菱形的对角线、，则菱形边长应为（ ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的长为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9．因式分解：__________． 10．已知，则分式的值等于__________． 11．如图，已知在中，对角线，相交于点，若，对角线和的和是20，则的周长为__________． 12．图形的密铺（或称图形的镶嵌）指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间既不留空隙、也不互相重叠地把一部分平面完全覆盖．如图①是15世纪艺术家阿尔布雷希特·丢勒利用正五边形和对角相等的四边形创作的镶嵌图案设计，图②是镶嵌图案中的某一片段的放大图，其中四边形的最小内角为__________度． 13．如图，在中，，，是的中线，是的中点，连接，，若，垂足为，则的长为__________． 三、解答题（共7小题，共61分） 14．（8分）解不等式组，并写出满足条件的整数解． 15．（7分）先化简，再求值：，其中． 16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标都在格点上，已知点坐标为． （1）与关于原点成中心对称，请直接写出的坐标__________，并画出． （2）是的边上一点，将平移后点的对称点，请画出平移后的． （3）若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为__________． 17．（9分）宋代是茶文化发展的第二个高峰，宋代的饮茶主要以点茶为主，煎茶为辅，在点茶的基础上升华为斗茶、分茶和茶百戏．某网店销售两种点茶器具套装，已知甲种点茶器具套装的单价比乙种点茶器具套装的单价少30元，花2220元购进甲种点茶器具套装的数量是花1780元购进乙种点茶器具套装数量的1.5倍． （1）求甲、乙两种点茶器具套装的单价； （2）某学校社团开展茶文化学习活动，打算从该网店购进甲、乙两种点茶器具共30套，且经费预算不超过5000元，则学校最多可以购进乙种点茶器具套装多少套？ 18．（9分）如图，四边形是平行四边形． （1）尺规作图：在平行四边形内部作以为对角线的菱形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）求证（1）中作的四边形是菱形． 19．（11分）综合与实践 素材1 为了研究分式与分母的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 素材2 对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分子的次数不低于分母的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：． 问题解决 任务1 （1）①当时，随着的增大，的值______（增大或减小）； ②当时，随着的增大，的值______（增大或减小）； 任务2 （2）当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； （3）当为整数时，请直接写出所有符合条件的正整数x的值； 任务3 （4）若分式的值为，求的取值范围． 20．（9分）综合与探究 【定义】以直角三角形的斜边为直角边向外再作一个直角三角形，且满足两直角三角形的公共边平分所得四边形的一个内角，我们称该四边形为“旋直四边形”，两直角三角形的公共边为“旋直分割线”． 【示例】如图1，在四边形中，，平分，则四边形为“旋直四边形”，为“旋直分割线”． 【概念辨析】 （1）用分别含有或的直角三角形纸板拼出下面①、②、③3个四边形，其中是“旋直四边形”的有____（填序号）； 【问题解决】 （2）如图1，在“旋直四边形”中，，为“旋直分割线”．求证：； 【拓展应用】 （3）如图2，四边形是矩形，，，与交于点．若，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $