5.2.4二次函数图象最值 同步练习 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数图象最值，通过基础直接应用、中档参数讨论、提高综合探究的三层设计，实现从单一知识点到综合应用的巩固路径，培养抽象能力与推理意识，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一最值计算|直接考查顶点式求最值（如选择1配方求最大值）| |中档|区间与参数最值|结合区间边界与对称轴关系（如选择4已知最值求参数范围）| |提高|综合应用与参数探究|通过多问设计深化参数讨论（如解答14含参数函数的最值与点坐标关系）|

5.2.4二次函数图象最值 同步练习 北师大新版九上 一．选择题（共7小题） 1．函数y＝﹣x2+4x﹣1的最大值是（　　） A．2 B．0 C．3 D．5 2．若函数y＝x2﹣2x+1在a≤x≤a+2上的最小值为4，则实数a的值为（　　） A．﹣3或3 B．﹣1或1 C．0或2 D．2或4 3．已知x2+x﹣y＝1，则x+y的最小值为（　　） A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2 4．若二次函数y＝﹣x2﹣2x+3，当m≤x≤2时，y有最大值4，最小值﹣5，则m的取值范围是（　　） A．﹣4≤m≤2 B．﹣4≤m≤﹣1 C．m≤﹣1 D．﹣1≤m≤2 5．点（m，n）在二次函数y＝﹣x2+4图象上，m+n的最大值是（　　） A．4 B．8 C． D． 6．若二次函数y＝﹣x2+4x+9在t≤x≤t+3的范围内的最大值为4，则实数t的值为（　　） A．﹣4或5 B．﹣1或5 C．﹣1或7 D．﹣4或7 7．已知二次函数y＝ax2﹣5x+a2﹣2a+4（a为常数，且a≠0）的图象经过点（1，5），且该二次函数有最大值，当﹣3≤x≤2时，该二次函数的最小值为（　　） A．9 B．﹣9 C．6 D．﹣6 二．填空题（共5小题） 8．二次函数y＝x2﹣4x+2的最小值为　 　 ． 9．当0≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+3的最大值为m，最小值为n，则m﹣n＝　 　 ． 10．已知二次函数的解析式为y＝﹣x2+2mx﹣m2+4，当6≤x≤m+3时，函数最大值与最小值的差为8，则m的值等于　 　 ． 11．已知二次函数y＝ax2+4ax+3a（a为不等于0的常数）在﹣3≤x≤1时有最大值16，则a的值为　 　 ． 12．若1≤x≤3时，二次函数y＝2x2﹣3ax+4的最小值为﹣23，则a＝　 　 ． 三．解答题（共4小题） 13．在下列区间内求二次函数y＝x2+2x﹣3的最值． （1）全体实数． （2）﹣4≤x≤﹣2． （3）﹣3≤x≤0． （4）1≤x≤3． 14．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的图象与y轴交于点（0，﹣1），且过点（2，﹣1）． （1）求a与b的关系式． （2）若a＜0，当﹣1≤x≤4时，函数y的最大值与最小值之差为9，求a的值． （3）在（2）的条件下，若点M（t，m），点N（t+1，n）两点在该函数图象上，且﹣9＜n≤m，求t的取值范围． 15．已知二次函数y＝ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（4，﹣1）． （1）求二次函数图象的对称轴； （2）若a＞0，当3≤x≤5时，函数最大值为9，求a的值； （3）已知函数图象经过A（t﹣1，m）、B（3﹣t，n），且n＜m＜b﹣1，求t的取值范围． 16．已知（﹣3，m），（1，n）为抛物线y＝﹣x2+kx（k为常数）上的两个点． （1）当n＝3时，求m的值； （2）若k≤﹣3，且当﹣3≤x≤1时，函数有最大值y＝4，求k的值． 5.2.4二次函数图象最值 同步练习 北师大新版九上 参考答案与试题解析 一．选择题（共7小题） 1．函数y＝﹣x2+4x﹣1的最大值是（　　） A．2 B．0 C．3 D．5 【解答】解：∵y＝﹣x2+4x﹣1＝﹣（x﹣2）2+3， ∴当x＝2时，y取最大值，函数y＝﹣x2+4x﹣1的最大值为3， 故选：C． 2．若函数y＝x2﹣2x+1在a≤x≤a+2上的最小值为4，则实数a的值为（　　） A．﹣3或3 B．﹣1或1 C．0或2 D．2或4 【解答】解：∵函数y＝x2﹣2x+1在a≤x≤a+2上的最小值为4， ∴令y＝4， 解得：x＝﹣1或x＝3， ∵1＞0， ∴函数图象开口向上， ∴a+2＝﹣1或a＝3， ∴a＝﹣3或a＝3． 故选：A． 3．已知x2+x﹣y＝1，则x+y的最小值为（　　） A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2 【解答】解：由条件可知y＝x2+x﹣1， ∴x+y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2． ∴顶点坐标为（﹣1，﹣2）． ∴x+y的最小值为﹣2． 故选：D． 4．若二次函数y＝﹣x2﹣2x+3，当m≤x≤2时，y有最大值4，最小值﹣5，则m的取值范围是（　　） A．﹣4≤m≤2 B．﹣4≤m≤﹣1 C．m≤﹣1 D．﹣1≤m≤2 【解答】解：二次函数y＝﹣x2﹣2x+3，当m≤x≤2时，y有最大值4，最小值﹣5， ∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，开口向下， 当x＝﹣1时，y有最大值4， 当x＝2时，y＝﹣（2+1）2+4＝﹣5， （2，﹣5）关于直线x＝﹣1的对称点为（﹣4，﹣5）， ∵当m≤x≤2时，y有最大值4，最小值﹣5， ∴﹣4≤m≤﹣1， 故选：B． 5．点（m，n）在二次函数y＝﹣x2+4图象上，m+n的最大值是（　　） A．4 B．8 C． D． 【解答】解：∵点（m，n）在二次函数y＝﹣x2+4的图象上， ∴n＝﹣m2+4， ∴m+n＝﹣m2+m+4＝﹣（m2﹣m）+4＝﹣（m）2， ∴当m时，m+n的值最大，最大为． 故选：C． 6．若二次函数y＝﹣x2+4x+9在t≤x≤t+3的范围内的最大值为4，则实数t的值为（　　） A．﹣4或5 B．﹣1或5 C．﹣1或7 D．﹣4或7 【解答】解：若二次函数y＝﹣x2+4x+9在t≤x≤t+3的范围内的最大值为4， ∵y＝﹣x2+4x+9＝﹣（x﹣2）2+13， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，13），为最高点， ①当x≤2时，抛物线随x的增大而增大， ∴当t+3＜2，即t＜﹣1，函数有最大值4， ∴﹣（t+3）2+4（t+3）+9＝4， 解得t＝﹣4或t＝2（舍去，t＜﹣1）， ∴t＝﹣4； ②当x≥2时，抛物线随x的增大而减小， ∴当t＞2时，即函数有最大值4， ∴﹣t2+4t+9＝4， 解得t＝5或t＝﹣1（舍去）， ∴t＝5， 综上，t的值为﹣4或5， 故选A． 7．已知二次函数y＝ax2﹣5x+a2﹣2a+4（a为常数，且a≠0）的图象经过点（1，5），且该二次函数有最大值，当﹣3≤x≤2时，该二次函数的最小值为（　　） A．9 B．﹣9 C．6 D．﹣6 【解答】解：将x＝1，y＝5代入解析式，得a×12﹣5×1+a2﹣2a+4＝5， 整理得a2﹣a﹣6＝0， 解得a＝3 或 a＝﹣2， ∵二次函数有最大值，a≠0 ∴抛物线开口向下，a＜0， ∴a＝﹣2， ∴二次函数解析式为y＝﹣2x2﹣5x+12 抛物线开口向下，对称轴为直线， 在区间﹣3≤x≤2中，端点x＝2到对称轴的距离更远， ∵开口向下的抛物线，点离对称轴越远，函数值越小， ∴当x＝2时，函数取得最小值， 将x＝2代入得y＝﹣2×22﹣5×2+12＝﹣6， 即该二次函数的最小值为﹣6， 故选：D． 二．填空题（共5小题） 8．二次函数y＝x2﹣4x+2的最小值为　﹣2　 ． 【解答】解：y＝x2﹣4x+2 ＝（x﹣2）2﹣2， 故二次函数y＝x2﹣4x+2的最小值为：﹣2． 故答案为：﹣2． 9．当0≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+3的最大值为m，最小值为n，则m﹣n＝　4　 ． 【解答】解：∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴该二次函数二次项系数为1＞0，则开口向上，对称轴为直线x＝2， ∵0≤x≤3，即对称轴在给定区间内，二次函数y＝x2﹣4x+3的最大值为m，最小值为n， ∴当x＝2时，二次函数取得最小值n＝﹣1， 当x＝0时，y＝02﹣4×0+3＝3； 当x＝3时，y＝32﹣4×3+3＝0； 比较得，二次函数的最大值m＝3， 因此m﹣n＝3﹣（﹣1）＝4． 故答案为：4． 10．已知二次函数的解析式为y＝﹣x2+2mx﹣m2+4，当6≤x≤m+3时，函数最大值与最小值的差为8，则m的值等于　5　 ． 【解答】解：∵y＝﹣x2+2mx﹣m2+4＝﹣（x﹣m）2+4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝m， 在6≤x≤m+3中， ①当m＜6时， x＝6时，最大值为y＝﹣（6﹣m）2+4， x＝m+3时，最小值为y＝﹣5， ∴﹣（6﹣m）2+4﹣（﹣5）＝8， ∴m1＝5，m2＝7（舍去）， ②当m时，即6≤m≤9时， x＝m时，最大值为y＝4， x＝m+3时，最小值为y＝﹣5， 此时4﹣（﹣5）＝9，不符合题意； ③当m＞9时， x＝m时，最大值为y＝4， x＝6时，最小值为y＝﹣（6﹣m）2+4， ∴4﹣[﹣（6﹣m）2+4]＝8， m1＝6﹣2（舍去），m2＝6+2（舍去）， 综上所述，m＝5． 故答案为：5． 11．已知二次函数y＝ax2+4ax+3a（a为不等于0的常数）在﹣3≤x≤1时有最大值16，则a的值为　﹣16或2　 ． 【解答】解：∵二次函数解析式为y＝ax2+4ax+3a＝a（x+2）2﹣a， ∴该二次函数对称轴为直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣a）， 当a＜0时，函数在x＝﹣2处有最大值， ∵二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值16， ∴﹣a＝16， ∴a＝﹣16； 当a＞0时，则离对称轴越远函数值越大， ∵二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值16， ∴当x＝1时，y＝16， ∴a+4a+3a＝16， ∴a＝2； 综上所述，a＝﹣16或a＝2． 故答案为：﹣16或2． 12．若1≤x≤3时，二次函数y＝2x2﹣3ax+4的最小值为﹣23，则a＝　5　 ． 【解答】解：∵1≤x≤3时，二次函数y＝2x2﹣3ax+4的最小值为﹣23， ∴最小值可能在x＝1或3时得到，或最小值， ①当x＝1取得最小值，2﹣3a+4＝﹣23，a，此时对称轴为直线x，x＝3时有最小值，所以不合题意． ②当x＝3取得最小值，18﹣9a+4＝﹣23，a＝5，符合题意． ③当23，a＝±2，a＝2时，对称轴为直线x，x＝3时有最小值，不符合题意， 当a＝﹣2时，对称轴为直线x，x＝1时有最小值，不符合题意． ∴a＝5， 故答案为5． 三．解答题（共4小题） 13．在下列区间内求二次函数y＝x2+2x﹣3的最值． （1）全体实数． （2）﹣4≤x≤﹣2． （3）﹣3≤x≤0． （4）1≤x≤3． 【解答】解：y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线为x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣4）， （1）当x为全体实数时， 二次函数y＝x2+2x﹣3有最小值，最小值为﹣4，没有最大值； （2）当﹣4≤x≤﹣2时，y随x的增大而减小， ∴当x＝﹣4时，ymax＝（﹣4+1）2﹣4＝5，当x＝﹣2，ymin＝（﹣2+1）2﹣4＝﹣3； （3）当﹣3≤x≤0时，y随x的增大先减小后增大， ∴当x＝﹣3时，ymax＝（﹣3+1）2﹣4＝0，当x＝﹣1时，ymin＝﹣4； （4）当1≤x≤3时，y随x的增大而增大， ∴当x＝3时，ymax＝（3+1）2﹣4＝12，当x＝1时，ymin＝（1+1）2﹣4＝0． 14．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的图象与y轴交于点（0，﹣1），且过点（2，﹣1）． （1）求a与b的关系式． （2）若a＜0，当﹣1≤x≤4时，函数y的最大值与最小值之差为9，求a的值． （3）在（2）的条件下，若点M（t，m），点N（t+1，n）两点在该函数图象上，且﹣9＜n≤m，求t的取值范围． 【解答】≤解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的图象与y轴交于点（0，﹣1），且过点（2，﹣1）， ∴1， ∴b＝﹣2a； （2）由（1）可知y＝ax2﹣2ax﹣1， ∵a＜0，对称轴为直线x＝1， ∴当﹣1≤x≤4时，x＝1时，函数y有最大值为a﹣2a﹣1＝﹣a﹣1，x＝4时，y有最小值为16a﹣8a﹣1＝8a﹣1， ∵最大值与最小值之差为9， ∴﹣a﹣1﹣（8a﹣1）＝9， ∴a＝﹣1； （3）由（2）知y＝﹣x2+2x﹣1，对称轴x＝1 x＜1，n＞m，x≥1，n≤m，x＝1，y＝0 ∵点M（t，m），点N（t+1，n）两点在该函数图象上， ∴m＝﹣t2+2t﹣1，n＝﹣（t+1）2+2（t+1）﹣1＝﹣t2， ∵﹣9＜n≤m， ∴﹣9＜n≤m≤0 ∴﹣9＜﹣t2≤﹣t2+2t﹣1≤0， ， 解得t＜3． 15．已知二次函数y＝ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（4，﹣1）． （1）求二次函数图象的对称轴； （2）若a＞0，当3≤x≤5时，函数最大值为9，求a的值； （3）已知函数图象经过A（t﹣1，m）、B（3﹣t，n），且n＜m＜b﹣1，求t的取值范围． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（4，﹣1）， ∴16a+4b﹣1＝﹣1， ∴b＝﹣4a， ∴x2． ∴二次函数图象的对称轴为直线x＝2； （2）∵对称轴为直线x＝2，a＞0， ∴抛物线的开口向上，当x＞2时，y随x的增大而增大， ∵当3≤x≤5时，函数最大值为9， ∴当x＝5时，函数最大值为9， 由（1）知：b＝﹣4a， ∴y＝ax2﹣4ax﹣1， ∴25a﹣20a﹣1＝9， ∴a＝2． （3）∵y＝ax2+bx﹣1， ∴当x＝2时，y＝b﹣1， 即二次函数的极值为b﹣1， ∵n＜m＜b﹣1， ∴二次函数有最大值， ∴a＜0，且t﹣1≠2， ∴t≠3． ∵n＜m， ∴|t﹣1﹣2|＜|3﹣t﹣2|， 解得：t＞2 综上，t的取值范围为t＞2且t≠3． 16．已知（﹣3，m），（1，n）为抛物线y＝﹣x2+kx（k为常数）上的两个点． （1）当n＝3时，求m的值； （2）若k≤﹣3，且当﹣3≤x≤1时，函数有最大值y＝4，求k的值． 【解答】解：（1）当n＝3时，则（﹣3，m），（1，3）为抛物线y＝﹣x2+kx（k为常数）上的两个点， ∴﹣1+k＝3，解得k＝4， ∴y＝﹣x2+4x， 当x＝﹣3时，m＝﹣（﹣3）2+4×（﹣3）＝﹣21， 故m的值为：﹣21； （2）抛物线y＝﹣x2+kx（k为常数）的对称轴为直线x， 若k≤﹣3，则， ∵当﹣3≤x≤1时，函数有最大值y＝4， ∴当﹣3，即﹣6＜k≤﹣3时，x时，y＝4， ∴4，解得k＝﹣4或k＝4（不合题意，舍去）； 当3，即k≤﹣6时，x＝﹣3时，y＝4， ∴﹣9﹣3k＝4， ∴k（不合题意，舍去）． ∴k的值是﹣4． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/9/5 14:01:52；用户：曙光；邮箱：15046884347；学号：19101398 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $