专题6 二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数a，b，c之间的关系&专题7 二次函数的最值问题（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）

专题6二次函数y=ax2+bx十 例二次函数y=ax2十bx+c(a≠0)的图 象如图所示，对称轴是直线x=1,根据函数 图象用“>”“<”“≥”“≤”或“=”填空. (1)根据函数图象判断a,b,c: a0,b0,c0; (2)根据函数图象判断 =1 b2-4ac:b2-4ac0; (3)根据函数图象判断 b 2a :2a tb: 0, 2a 2a十b0; (4)当x=土1，士2时： a+b+c 0,a-b+c 0, 4a+2b+c0,4a-2b+c0; (5)最值： a+b+c am2十bm十c(m为任意实数). 结论形式 解题思路 由开口方向决定（上：a>0,下：a<0) 由对称轴及a的符号共同决定（左同 6 右异) 由抛物线与y轴交点的位置决定 b 由对称轴的位置决定 2a b 2a+b 2a 与1比较 2a-b 2a与-1比较 b2-4ac 由抛物线与x轴的交点个数决定 a+b+c 令x=1,看纵坐标 a-b+c 令x=一1，看纵坐标 4a+26+c 令x=2,看纵坐标 4a-2b十c 令x=一2，看纵坐标 【针对训练】 1.(2025·凉山州)二次函数y=ax2十bx十c的 部分图象如图所示，其对称轴为直线x= 2,且图象经过点(6,0)，则下列结论错误的 是 () A.bc0 B.4a+b=0 C.若ax十bx1=ax十bx2,且x1≠x2,则 x1十x2=4 c的图象与系数a,b,c之间的关系 D.若（一1，y1),(3,y2)两点都在二次函数 y=ax2十bx十c的图象上，则y2<y1 y 02 6 第1题图 第2题图 2.如图，已知抛物线y=ax2十bx十c,有下列 结论：①abc<0;②b2>4ac;③4a十 2b+c>0;④3a+c>0;⑤a+b≤ m(am十b)(m为任意实数)；⑥当x<-1 时，y随x的增大而增大.其中正确的结论 是 A.②③⑤ B.②④⑤ C.①②③④ D.①②③④⑥ 3.(2024·丹东二模改编)如图，抛物线y= ax2十bx十c的对称轴为直线x=一1，与x 轴的一个交点在（一3,0）和（一2,0）之间， 与y轴的交点在(0,1)和(0,2)之间，其部 分图象如图所示.有下列结论：①2a一b= 0:@36+2:<0:0若点(-3.(-8 y,(y)是抛物线上的点，则< y2<y3;④4a<4ac-b2;⑤m(am+b)≤ a一b(m为任意实数).其中正确的结论是 .(填序号) y 3/-2-10 第3题图 第4题图 4.(2024·沈阳模拟)如图，函数y=ax2十bx十 2a≠0)的图象的顶点坐标为(-多，m).有 下列结论：①ab<0;②b-3a=0;③ax2十 bx≥m-2;④若点(-4.5，y1)和点(1.5， y2)都在此函数图象上，则y1=y2;⑤9a= 8一4m.其中正确的结论是 .(填序号) 第二章二次函数11 专题7二次 例【一题多问】已知二次函数y=x2 2x一3，根据下列要求，回答相应问题， (1)将其化为顶点式为 ,请 在方框内画出该函数图象的草图，并标明其 顶点及与x轴的交点， (2)请根据草图填空： ①当x= 时，y有最 小值，为 ②当-2≤x≤0时，函数y 的最大值为 ,最小 值为 ； ③当一1≤x≤4时，函数y的最大值为 ,最小值为 ； ④当t≤x≤6时，函数y的最小值为一2，则 t的值为 ⑤当x≤a时，函数y有最小值一4，则a的 取值范围是 ⑥当t≤x≤t十2时，函数y的最大值是5， 则t的值为 ●方法总结解决此类题，一般先画出二次函数的 草图（画出顶点及与x轴的交点或画出对称轴及开 :口方向)，再根据题意在草图上标出符合题意的一 段函数图象，从而求出最值，也可根据最值求参数 的值或取值范围 【针对训练】 1.如果二次函数y=x2一4x十c的最小值为 0,那么c的值为 ( ) A.2 B.4 C.-2 D.8 2.已知二次函数y=一x2十6x一7，当一1≤ x≤5时，函数的最大值和最小值分别 为 ( A.2,-2 B.3,-14 C.2,-14 D.3,-2 12 一本·初中数学9年级下册BS版 函数的最值问题 3.已知二次函数y=2x2一4x-1,当0≤x≤a 时，y取得最大值15，则a的值为() A.1 B.2 C.3 D.4 [变式1]已知二次函数y=-(x-h)2(h 为常数)，当2≤x≤5时，函数y的最大值 为一4，则h的值为 [变式2](2025·西安新城区三模改编)已知 二次函数y=一x2+4x+9在t≤x≤t十2 的范围内的最大值为4，则实数t的值 为 [变式3](2025·广州天河区月考)已知二次 112 函数y=a(x一 21 -a(a≠0)，当-1≤x≤ 时，y的最小值为一6，则a的值为() 5 A.6或-2 B.一6或2 C.-6或一2 D.6或2 4.已知函数y=x2+x-1在m≤x≤1上的 最大值是1，最小值是一，则加的取值范 围是 ) 1 A.m≥-2 B.0≤m≤2 C.-2≤m≤-2 D.m≤-2 1 5.(2024·乐山)已知二次函数y=x2一2x (-1≤x≤t-1),当x=一1时，函数取得 最大值，当x=1时，函数取得最小值，则 t的取值范围是 () A.0<t≤2 B.0<t≤4 C.2≤t≤4 D.t≥2 6.已知二次函数y=a.x2+2a.x+3a2(其中x 是自变量)，当x≥2时，y随x的增大而增 大，且当一2≤x≤1时，y的最大值为6，则 a的值为2.(1)y=-2x+300(2)90元 (3)当销售单价定为99元时，可获得最大利润，最大利润是 3978元 1 3.(1)该抛物线的函数表达式为y=一6x2+2x十4， 隧道顶部D到地面OA的距离为10m (2)这辆货车能安全通过.理由略 (3)4√3m 4,解：1)y=-12(x-2》+3 (2②)当x=0时y=-2×4+8= 1 3>2.44, ∴球不能射进球门. (3)1m 专题6二次函数y=ax2十b.x十c的图象与 系数a,b,c之间的关系 【例】(1)<>>(2)>(3)>= (4)>=><(5)≥ 【针对训练】 1.D2.B3.①②⑤4.②④⑤ 专题7二次函数的最值问题 【例】(1)y=(x-1)2-4 y 1x=1 (-1,0八 (3,0) 1(1,-4) (2)①1-4②5-3③5-4④√2+1⑤a≥1 ⑥-2或2 【针对训练】 1.B2.C3.D【变式1】0或7【变式2】-3或5 【变式3】A4.C5.C6.1 专题8动点与函数图象 1.B2.B 3.D【解析】如图，过点P作PG⊥AB于点G Q G K B P 当x=1时，动点Q运动到点H的位置，由题意和图象可 知，PH=225km,当，点Q运动到点G时，PQ2的值最 小，即PG2=81km2. 在Rt△PGH中，由勾股定理，得GH=√PH一PG= ·答 12km,.AG=13km,∴.m=13,.选项A错误. 当x=n时，点Q运动到点B, 则PB2=225=PH2,.PB=PH .PG⊥AB,∴.BG=HG=12km, ∴.AB=13+12=25(km),.选项B错误. 当x=0,即点Q在点A处时， AP2=AG2+PG2=132+81=250(km2), .点C的纵坐标为250，.选项C错误. 当x=15时，点Q运动到点K, ∴.AK=15km,∴.GK=AK-AG=2(km), ∴.PK2=KG2+PG2=4+81=85(km2), ∴.点（15,85)在该函数图象上，.选项D正确.故选D. 4.24 专题9二次函数与儿何图形的综合— 线段、面积、存在性问题 1.(1)抛物线的函数表达式为y=一x2十2x十3 (2)PM=-t2+3t(3)9 2.(1)y=x2-5x-6 (2)点P的坐标为(3，一12)，BD+PE的最小值为4⑤ 3ay7-2-2 (2)点P的坐标为(2，一3) 4.(1)b=-6,c=5 (2)存在 点P的横坐标为5+，④或5二④ 2 2 5.(1)二次函数的表达式为y=一x2十2x十3 (2)存在 符合条件的点P的坐标为(3+5,5一5)或2,3) 、2’2 6.解：(1)y=-x2+4x+5 (2)如图，过，点C作CH垂直抛物线的对称轴于点H,过点 N作NK⊥y轴于点K,则∠NKC=∠MHC=90. 1V P 由翻折，得CN=CM,∠BCN=∠BCM. B(5,0),C(0,5),.OB=OC, .∴.∠OCB=∠OBC=45°. 案11·