专题06 二次函数问题综合（题型专练）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 以“题型分类-方法提炼-典例变式”为框架，系统构建二次函数综合问题解题体系，强化抽象能力与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线段周长问题|1典例+2变式|横纵差表示线段、将军饮马模型|从距离公式到周长最值，构建坐标化思维| |面积问题|1典例+3变式|铅垂法求面积、分割补形技巧|以水平宽铅垂高为核心，实现面积代数化| |角度问题|1典例+3变式|斜率法、相似转化角度|通过斜率与相似将角度条件转化为坐标关系| |特殊三角形问题|1典例+3变式|分类讨论+距离公式/斜率|从等腰/直角性质出发，建立方程求解存在性| |特殊四边形问题|1典例+3变式|中点坐标公式+附加条件验证|以平行四边形为基础，叠加矩形/菱形特殊性质| |相似三角形问题|1典例+3变式|AA/SAS判定+对应顶点分类|通过坐标表示边长，列比例式解决相似存在性| |其他问题|1典例+3变式|变换坐标关系+通用建模步骤|整合平移/旋转等变换，强化模型意识与应用|

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06二次函数问题综合 (题型突破举一反三) 目录 题型01线段周长问题 题型02面积问题 题型03角度问题 题型04特殊三角形问题 题型05特殊四边形问题 题型06相似三角形问题 题型07其他问题 题型01线段周长问题 E 典例精析 【典例1】(2026广东中考真题)如图1，设0为坐标原点，二次函数y=-x+bx+3的图象经过点 A(-3,0),与y轴交于点B,其对称轴与x轴交于点C,连接AB,BC. YA C:O C:O 图1 图2 (1)求二次函数的解析式： (②)如图2，动点P在线段AB上，过点P作AB的垂线P吧，与二次函数在第二象限的图象交于点， 求BP+2PO的最大值， 【答案】(1)解：：二次函数y=-x2+bx+3的图象经过点A(-3,0), 将点A(-3,0)代入y=-x2+bx+3,则-9-3b+3=0 1/48 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解得b=-2 .二次函数的解析式为y=-x2-2x+3, (2)解：过点作OE⊥x轴交AB、x轴于点D,E E CO 图2 由(2)知OA=OB=3, .∠AOB=90° .∠A=45°， ∠ADE=∠QDP=45°，△ADE为等腰直角三角形 ,QP⊥AB :△QDP为等腰直角三角形，QP=DP ∴.QD=VQP2+DP2=√2DP 设PQ=PD=m,则QD=√2m, 同理设DE=AE=n,则AD=√2n ∴.OE=OA-AE=3-n gn-3,n+2m）, 将点0n-3,n+V2m)代入y=-x2-2x+3, 则-(n-3}-2(n-3)+3=n+V2m, 整理得，m=-2,+32 n, 2 2 .BP=AB-AP=3√2-√2n-m ∴BP+2P0=32-V2m-m+2m=3W2-2n-52+3y2， 2 2 整理得，BP+2PQ=-2n 2 n2+ n+3√2 2 2 设抛物线顶点为点F,对称轴与线段AB的交点为点G, 2/48 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .y=-(x+1)2+4 .F(-1,4), 同理可得△ACG为等腰直角三角形， ∴CA=CG=2, G(-1,2), BF2+BG2=(-1-02+(4-3}2+(-1-0)2+(3-2}=4,FG2=(4-2)2=4 ∴.BF2+BG2=FG .BF⊥AB ∴.当点P与点B重合时，则点Q与抛物线顶点F重合，则点D为抛物线对称轴与线段AB的交点G, .0<n≤2， 2 2 2 当n=- 2时， 取得最大值， 2× 2 BP+2PO 最大值为 【变式1-1】 【答案】(1)解：：抛物线y=ax2+br-3(a≠0)与x轴交于点A(-3,0)、点B(1,0), 9a-3b-3=0 a+b-3=0 「a=1 解得1b=2 .抛物线的表达式为y=x2+2x-3: (2)解：对于y=x2+2x-3,令x=0,则y=-3 .C(0,-3) A(-3,0) 设直线AC:y=x+t, 3/48 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 「-3k+t=0 则1t=-3 k=-1 解得1=-3 直线AC:y=-x-3 设P(m,m2+2m-3 PM∥y轴， .M(m,-m-3), …MN1y轴， .PM+MN=-m-3-(m2+2m-3+(-m) 整理得，PM+MN=-m2-4m=-(m+2)}+4 -1<0,-3<m<0 .当m=-2时，PM+MN取得最大值为4， 此时点P(-2,-3): (3)解：：A(-3,0),C(0,-3) .0A=0C=3, .:∠A0C=90° ∴.∠0AC=∠OCA=45°」 设点A的对应点为点F,作FT⊥x轴于点T,则△AFT为等腰直角三角形，AT=FT, H 则由题意得AF=2√2， .AT2+FT2=AF2 4/48 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 中Am=T2AF=2 ∴，点A向右平移2个单位，向下平移2个单位得到点F, 而抛物线y=x2+2x-3=(x+1)2-4, 则向右平移2个单位，向下平移2个单位得到y=(x+1-2)°-4-2，y=x2-2x-5 ∠ABK+∠BAC=180° .∠ABK=180°-∠BAC=135°， 过点K作KH⊥x轴于点H ∴.∠KBH=180°-∠ABK=45° ∴.KH=BH 设K(k,2-2k-5),则k2-2k-=k-1 .k2-2k-5=k-1或k2-2k-5=1-k 解k2-2k-5=k-1得，k=4或k=-1(舍去)： 解k2-2k-5=1-k得，k=3或k=-2(舍去) 当k=4时，K(4,3):当k=3时，K(3,-2), 综上：符合条件的点K的坐标为(3，-2)或(4,3). 【变式1-2】 【答案】(1)解：抛物线y=ar+br+c(a≠0)顶点为A(1,-4a), b =1,a+b+c=-4a' .2 ∴.b=-2a;c=-3a. (2)解：①，a=1, ..y=ax2+bx+c=ax2-2ax-3a=x2-2x-3, 直线为：y=2ax+2a=2x+2, 5/48 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M P,0), .N6,2t+2),M,2-2-3, :MN=t-21-3-2t-2=-4t-=16, .2-4-5=16或2-4-5=-16， .2-4t-21=0或-4f+11=0, 当2-4t-21=0时， 解得：t=7或t=-3, 当2-4t+11=0时， 此时△=（-4}2-4×1×11=16-4=-28<0，方程无解. 综上：t=7或t=-3. ②由①同理可得： MN =at2-2at-3a-2at-2a=at"-4at-5a, 当MN=0时， lat2-4at-5a=la(t-5)t+1=0, 解得：4=5,42=-1， ∴函数的对称轴为直线 5-1=2 2 如图， 6/48 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 MN 当-1<t<2或t>5时，MN随t的增大而增大， 当t<-1或2<t<5时，MN随t的增大而减少， 当a>0时，4a>a, .a<t<4a, ∴点P从点B(a,0)运动到点C(4a,0)的过程中，t增大， 开口向上的抛物线的解析式为：MN=at2-4at-5a, 开口向下的抛物线的解析式为：MN=-at2+4at+5a, 令t=2,MN=-4a+8a+5a=9a, 把MW=9a代入MN=at2-4at-5a .t2-4t-14=0. 解得：t=2士3√2， a<t<4a,MN的长存在最大值， -1<a<2 2<4a≤2+32' 解得：as2计32 1 4 当a<0时， .4a<t<a<0, 当点P从点B(a,0)运动到点C(4a,0)的过程中，t减少， 此时图象不含端点， .MN不存在最大值， 综上：<as2432 1 4 【变式1-3】 【答案】(1)解：OB=OC=3, 7/48 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .B(0,3),C(3,0), 将点B(0,3),C(3,0)代入y=ar2+x+c,得 2 c=3 a=- 解得 3 9a+3+c=0 c=3 之泰物线的表达式为少=子产+：3 (2)解：设直线BC的表达式为：y=c+b, 将点B(0,3),C(3,0)代入，得 b=3 [k=-1 3k+b=0,解得1b=3· ∴直线BC的表达式为：y=-x+3. 设点P风号+m+) 则E(m,-m+3) :PE=号m++3-(m+)号m+2m,Erm+3 E号=号m+2mm+)=m+m-2=m-2+ 3 当m=2时，PE号F取得大红。 3 :点P2 如图，分别作点P关于直线BH、直线BC的对称点P',P”,连接P'P”,交BH于点M,交BC于点 N,此时△PMN的周长最小， M N/ P A :.C.PMN PM+MN+PN=P'M+MN+P"N=P'p" B(0,3),BHI‖x轴， 8/48 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴直线BH的表达式为：y=3, ..OB=OC, .∠OBC=∠OCB=45°. 过点P"作PQI‖AC,交BC于点O,连接PP",交BC于点G,连接P吧， .∠G0P"=L0CB=45°. :点P、P”关于直线BC对称， ∠P'G0=∠PG0=90°，PG=PG, .∠GP"0=∠PQG=45 P"G=GO=PG ∴.∠GQP=∠GPQ=45° ∠P"QP=90°，∠GP"Q=∠GP0=45°， ..PO=P"o 直线BC:y=-x+3, 当x=2时，y=1, 0(2,0, .P0=P0-4 a). mg可9 aPN周长的最小佰为4 3 (3)点G的横坐标为 1-V105 或-15-V104 8 8 题型02面积问题 典例精析 【典例2】 9/48 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】(1)解：把点(2,4)代入二次函数y=ax2+bx+4得， 4=4a+2b+4, ∴.b=-2a; (2)解：由(1)得y=ax2-2ax+4, b ∴.对称轴为直线x= 1， 2a 当a<0时，抛物线开口向下，当x=3时，y取得最小值， .y=9a-6a+4=2a-2. ∴.a=-6, 当a>0时，抛物线开口向上，当x=1时，y取得最小值，， ∴.y=a-2a+4=2a-2. .a=2, 综上a的值为6或2； 3)点P为(22点09) 举一反目 【变式2-1】 【答案】(1)解：：抛物线y=x2+bx+c的图象经过坐标原点，并与x轴交于点A(2,0), 「4+2b+c=0 .1c=0 b=-2 …c=0' “抛物线的解析式为y=x2-2x; (2)解：y=2-2x=x2-2x+1-1=(x-1)2-1, “顶点坐标为（山，-），对称轴为直线x=1, 1>0, 函数开口向上， ∴，在对称轴处函数有最小值，最小值为-1： (3)解：A(2,0), .0A=2, 10/48 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :S△408=3， 43 ×23, 2.lyal=3. yg=3, 在y=x2-2x中，当y=3时，x2-2x=3,解得x=-1或x=3, 当y=-3时，x2-2x=-3,此时方程无解， 点B的坐标为(3,3)和(-1,3) 【变式2-2】 【答案】(1)解：抛物线y=x2+bx+c经过点B(3,0)、C(0,-6), [9+3b-6=0 c=-6 [b=-1 解得1c=6 ∴.抛物线的解析式为y=x2-x-6」 (2)解：抛物线的解析式为y=x2-x-6与直线y=x-3交于B、D两点. x-3=x2-x-6, 解得=-1，x3=3」 ∴把x=-1代入y=x-3,得y=4, 点D的坐标为（山，-4）， 如图1，过点P作PE‖y轴，交BD于点E, 11/48 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则P(-t-6),E6,1-3), ∴PE=t-3-(2-t-6)=-2+2t+3, ~点B的坐标是(3,0) S△BDP=SADPE+S△BPE -PE-(-o+PE(-) -号P-) =2(-2+21+3) =-2t-1}+8, ∴.当t=1时，△BDP的面积的最大值为8， 此时P(1,-6). (3)解：如图2，过点P作x轴的垂线交x轴于点H, 轴于H, 图2 :PH⊥x ∴∠PHA=90°， :△AHP是等腰直角三角形， .AH=PH, 由(2)知P,2-1-6), 点H的坐标为，0)， 由(1)可知A(-2,0), AH=t-(-2=t+2,PH=2-t-6, +2=2-t-6, 12/48 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 t+2=2-1-6或+2=-(-t-6), 即2-2t-8=0或2-4=0， 当2-21-8=0时， 解得t=4或t=-2（舍去)， 此时P(4,6): 当2-4=0时， 解得t=2或t=-2（舍去)， 此时P(2,-4), 综上，点P的坐标为(4,6)或(2，-4). 【变式2-3】 【答案】(1)解：将A(-2,5)和C(-1,0)代入y=x2+bx+c, 「4-2b+c=5 得11-b+c=0’ b=-2 解得c=3’ 二次函数的表达式为y=x2-2x-3: (2)解：令y=0得，x2-2x-3=0, 解得：x=-1,x=3, B(3,0), 把x=0代入y=x2-2x-3中，得：y=-3, .D(0,-3). ∴点B向左平移3个单位，向下平移3个单位得到点D, A(-2,5), 可得直线AB的表达式为y=-x+3, 平移线段BD至EF, 设点E(,x2-2x-3),则点B向左平移3个单位，向下平移3个单位得到点F-3,-2x-6), 将点F代入y=-x+3,得x2-2x-6=-(x-3)+3 整理得，x2-x-12=0, 13148 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解得=-3（舍去），3=4， E(4,5) (3)解：~P(m,O),PM⊥x轴，交抛物线于点M, ∴.M(m,m2-2m-3 .PM=-m2+2m+3=-(m+1(m-3),BP=3-m,CP=m-(-)=m+1, .MP∥ON, .△BPMABON, .PM BP ONOB,即 (m+0m-3）_3-m ON 3, 解得ON=3(m+1), OwOPmCP(m(-3) 2 2 .S2=2S, -(m+l(m-3）-2x3nm+l 2 2 整理得，m2+4m-3=0, 解得m=-2-V万（舍去)，m=万-2， .m的值是7-2， 题型03角度问题 典例精析 【典例3】 【答案】(1)解：抛物线y=ax2+br+6与x轴交于A(-l,0)、B(3,0), 14/48 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .设其解析式为y=a(xr+1)x-3)。 抛物线与y轴交于点C,令x=0得y=-3a, 又：此时y=6, ∴.-3a=6. 解得：a=-2, y=-2(x+10(x-3)=-2x2+4x+6, 点C的坐标为(0,6)， 设直线BC解析式为y=mx+n(m≠0)， 把B(3,0)、C0,6,代入，得 [0=3m+n n=6 m=-2 解得，1n=6 ∴直线BC的解析式为y=-2x+6 (2)顶点坐标为1,8)，对称轴为直线x=1; (3)解：A(-1,0)、B(3,0)、C(0,6, .AB=4,OB=3,OC=6 在Rt△BOC中，BC=VOB2+OC2=V32+6=3√5， 延长CP交x轴于点E, 龙花 :∠CAB=∠ACP .AE=CE 设点E的坐标为(m,O), (m+1)}+02=m2+62, 5 解得，m=2 15/48 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点g的华标为亭0。 设直线CE的解析式为y=px+q(p≠0)， 直线CE过点C(0,6), .9=6 又.直线CE过点E 2,0), 3 .0=p 2+6, 解得：p5, 12 :直线CE的解析式为y= 3 x+6, ·点P在抛物线上， -2r2+4x+6=-12 +6 35 解得：x=0(为点C,合去)或x= 35, 76 :点p的横坐标为35， 举一反王 【变式3-1】 【答案】(1)解：当b=2,c=1时，抛物线L的解析式为y=-x2+2x+1 配方得y=-(x-1)2+2 因此抛物线L的顶点坐标为(1,2) (2)①因为点M(m,2m2),N(n,2m2)都在抛物线L上 所以可得2m2=-m2+bm+c,2n2=-n2+bn+c 两式作差得2m2-2n2=-m2+n2+bm-bn 整理得3(m2-n2)-b(m-n)=0 因式分解得(m-n)[3(m+n)-b]=0 ..m+n=p,m<n .m-n≠0,3p-b=0 16/48 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.b=3p ②抛物线，恒过定点，定点坐标 04 证明：，∠MON=90°， ∴由勾股定理得OM2+OWN2=MW2, M(m,2m2),N(n,2n2), 0M2=m2+(2m2}=m2+4m4,0N2=n2+(2n2y2=n2+4n, MN2=(m-nm)2+(2m2-2n2)2=(m-n)2+4(m2-n2)2, =m2-2mn+n2+4m4-8m2n2+4n4, 将上述式子代入OM2+0N2=MN2得：m2+4m+n2+4n=m2-2mn+n2+4m4-8m2n2+4n4 整理得8m2n2+2mn=0, 提取公因式得2mn(4mn+1)=0, m≠0，且m<n, .mn≠0， 1 ·4mn+1=0:即mn=- 4 由①得b=3(m+m）,将b=3(m+n)代入3m2-bm-c=0得：c=3m2-3(m+n）m=-3mn, 将mn=一 代入= 一抛物线L的解析式为y=-x2+hx+ 4 3 当x=0时，y=4,结果与b的取值无关， “抛物线，宜过定点。定点华标为Q》】 【变式3-2】 【答案】(1)解：对称轴为直线x=1,AB=4 .A(-1,0),B(3,0) .y=(x+1)(x-3), 即y=x2-2x-3, (2)解：设CP与线段BC交于点T, 17/48 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 当x=0时，y=-3 C(0,-3), ..OB=OC=3,AC=042+0C2=10 ∴.△OCB为等腰直角三角形，BC=VOB2+OC2=3√2， ∴.∠OBC=∠0CB=45° .∠CAP=45° ∴.∠CAP=∠CBA :∠ACT=∠BCA, ∴.△ACT∽△BCA AC CT ·BCAC 10_CT ·3W210 C7=5 3 V 过点T作TK⊥y轴于点K, 则△CKT为等腰直角三角形， 5 CK=TK=2CT- ok=0c-ck-月 设直线AT:y=c+n 「-k+n=0 则3k+n=-4 31 3 18/48 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 k=2 解得 n=2 1 1x-1=X-2x-3 与抛物线表达式联立可得，2一 2 整理得，2x2-3x-5=0 5 解得x=25=1（合去) r假： (3)解：直线MW经过定点，定点为(-山，-)， 设直线MN:y=Px+q,直线MN与抛物线的交点M(:,),N(:,), y=px+q 与抛物线表达式联立，则 y=x2-2x-3 整理得，x2-(2+p)x-(3+g)=0 .x+x3=2+P,xx2=-(3+q), 设直线BM:y=kx+b 3k+b=0 则1kx+b=y 5-3 解得 3 七-3 直线BM:y= x-3 x-3”x-3 当0时，少=3 -3 同.0 19/48 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,点M、N为x轴下方抛物线上两点 ∴.OR.OT =3y.3y2 x-3x2-3 9yiy2 (x-3)x2-3) 9(x2-2x-3)(2-2x-3) (x-3)(x2-3) _9(飞-3)(G+1)(x-3)(s2+) (x-3)(x2-3) =9(x+1)(x2+1) =9 ∴.xx2+x+x2+1=1 .xx2+x+x2=0 .2+p-(3+q)=0 .9=p-1 .直线MN:y=px+p-1=p(x+1)-1 当x+1=0时，即x=-1时，y= ∴直线MN经过定点，定点为(l,-). 【变式3-3】 【答案】(1) 解：抛物线y=ar+br+3(a≠0)与x轴交于A(-l,0),B(3,0)两点， 「a-b+3=0 9a+3b+3=0 [a=-1 解得：b=2· ,抛物线的解析式为y=-x2+2x+3: (2) 解：如图，设P(m,n), 20/48 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :点P是抛物线y=-x2+2x+3上位于第一象限的动点， .m>0,n=-m2+2m+3>0, :抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C, 当x=0时，y=3, .C(0,3). .∠BCP=∠ABC, .CP∥AB, .-m2+2m+3=n=3, 解得：m=2或m=0(不符合题意，舍去)， P(2,3): (3) 解：：原抛物线的解析式为y=-x2+2x+3,B(3,0),C(0,3), 2 ÷原抛物线的对称轴是直线=2x(可引， =1 :将原抛物线水平向右平移，使点A(-1,0)落在点E(1,0)处， ∴.原抛物线水平向右平移了2个单位， ∴平移后的抛物线是y=-(x-2+2(x-2)+3=-x2+6x-5, 设M(1,s),N(6,-2+6-5), ①以MN、BC为对角线，则MN的中点即是BC中点，如图， 21148 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E(M 1+1_3+0 22 8+(-2+61-5)0+3’ 2 2 s=0 解得： t=2, 此时点N的坐标为(2,3)： ②以MB、NC为对角线，则MB的中点即是NC中点，如图， 1+3_t+0 2 2 s+0-t2+6t-5+3’ [2 2 s=6 解得： t=4: 此时点N的坐标为(4,3)： ③以MC、NB为对角线，则MC的中点即是WB中点，如图， 22148 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 11 1 M 1+0_1+3 2 2 s+3-t2+61-5+01 2 2 [s=-24 解得： t=-2, 此时点N的坐标为(-2，-21)： 综上所述，点N的坐标为(2,3)或(4,3)或(-2，-21). 题型04特殊三角形问题 典例精析 【典例4】【答案】4 举一反三 【变式41】【答案】A 【变式42】 【答案】(1)解：：抛物线y=ax2+bx+4经过点A(-1,0),B(4,0) a-b+4=0 .116a+4b+4=0 a=-1 解得b=3’ 23148 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y=-x2+3x+4; (2)解：当x=0时，y=4, .C(0,4) 设直线BC的解析式为y=kx+b, 4k+b=0 则16=4 k=-1 解得b=4’ 直线BC的解析式为y=-x+4, ,点P在第一象限，横坐标为m,过点P作x轴的垂线，垂足为N,交BC于点M,点Q的横坐标为 3 m-2' P(m,-m2+3m+4)(0<m<4),N(m,0),M(m,-m+4),Q的纵坐标为 〔+引4-w6共q号a- M 或 B NB -0w 4 -10 N4主 w4Pwm+3加4-(m+-tn:5名=烟-@a-引月 ..S=S+S2 -1MN.xx+1PM-(xp-xo) 2 2 +4到m+m+4n)月 4m+5m 5 = =-m-2+5 24148 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 40, .当m=2时，S有最大值， 此时-m2+3m+4=-22+3×2+4=6, .P(2,6): 58+V39 58-39 (3)的坐标为 2’2 或 2’2 【变式4-3】 【答案】(1)解：把A(2,0)代入y=x2-bx,得0=22-2b,解得b=2, .抛物线对应的函数表达式为y=x2-2x (2)解：抛物线y=x2-2x=(x-1)}-1, ∴，抛物线的对称轴为直线x=1, 点B横坐标为， .B(m,m2-2m）, 由点B在对称轴左侧，得m<1, C(-1-2m,4m+4),BC是Rt△BCD的斜边， .∠BDC=90°， 又：BD⊥y轴， .BD∥x轴，yD=yB, .∠BDC=90°， .CD L BD .CD/y轴，xp=xc, .D(-1-2m,m2-2m）, ,△BCD是等腰直角三角形， .BD=CD」 :.BD=m-（-1-2m)月3m+1,CD=(4m+4)-(m2-2m)Hm2-6m-4, :.3m+1月m2-6m-4, 此时分两种情况讨论： ①3m+1=m2-6m-4, 25/48 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解得m=9±v10i 2 :m<1, 9-101 ,m= 2 ②3m+1=-(m2-6m-4）, 解得m=3±V21 2 …m<1, 3-V21 .m= 2 1 由BC不与坐标轴垂直得m≠一了，两个解均满足条件， 3-V219-√101 m的值为2或 2 (3)解：，CD是竖直线段， ∴横坐标为x=-1-2m,纵坐标范围介于yg=m2-2m和e=4m+4之间， 若CD与抛物线有公共点，则抛物线在x=-l-2m处的纵坐标需满足要求， ∴.抛物线在x=-1-2m处的纵坐标为y=（-1-2m)/-2(-1-2m)=4m2+8m+3, .(0y-yg)0-ye)s0 代入整理得(3m2+10m+3)(4m2+4m-)s0, 二所有零点为m=-3’m三-2+1 ，z2—夏， 2 解得-3≤m≤- 2或3sms2-1 V2+11 2 ,BC不与坐标轴垂直， 六m≠-1-2m即m≠ 3 测的取位范同是-3≤m≤成 2 ms2-1 2 (4)m的取值范用是m<-1V2 2或m>1 3 26148 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 题型05特殊四边形问题 典例精析 【典例5】 【答案】(1)解：，抛物线y=ax2+bx+3经过A(-1,0),B(3,0)两点， a-b+3=0 .19a+3b+3=0' a=-1 解得1b=2’ 抛物线解析式为y=-x2+2x+3: (2)解：y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, .D(1,4) 在y=-x2+2x+3中，当x=0时，y=3,即C(0,3), 设直线BC的解析式为y=kx+b(飞≠0). 3k+b=0 将C(0,3)B(3,0)代入解析式y=kx+6(低≠0)得16=3 k=-1 解得6=3· ∴直线BC的解析式为y=-x+3, 当x=1时，y=-1+3=2,即E(1,2), .DE=4-2=2, ,动点M沿x轴从点A向点B运动，过点M作x轴的垂线交BC于点N,交抛物线于点P, .设M(n,0),则P(n,-n2+2n+3),N(n,-n+3), PW=-n2+2n+3-(-n+3)=-n2+3n, 由题意可得DE I PN, .要使以D、E、N、P四个点为顶点的四边形为平行四边形，则DE=PN, .-n2+3n=2, 解得n=1(此时点P与点D重合，不符合题意，舍去)或n=2, ∴.当n=2时，-n+3=1, 27148 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 N(2,1): (3)m的取值范围为l≤m≤2 举一反三 【变式5-1】 【答案】(1)解：：抛物线y=a2+bx+c过点B(4,0),C(0,4),对称轴是直线x=1, 16a+4b+c=0 c=4 b =1 2a as、1 2 解得b=1 c=4 y=- 4 (2)解：设直线BC的解析式为y=c+4,把B(4,0)代入得， 0=4k+4, 解得k=-1. ∴.y=-x+4 、、、二入x2+x+4=“2（-≠9 4 :) 当x=1时，y=-1+4=3, .E(1,3)」 3 -2 :四边形DENP为平行四边形， .NP=DE=3 过点M作x轴的垂线交BC于点N,交抛物线于点P, 28148 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设P+1+4 N(6,-t+4): 2.PN=- 1*4-(+4到=+2- 解得4=1,52=3， :) ∴.t=1不符合题意，舍去， t=3; (3)解：由题意，得00=0.5，则B0=4+0.51, 由2得，W+2. ∴.S四边形pcQ8=S,cOB+ScPB 引 -1<0, ∴.抛物线开口向下， 5 57 “当1=2时，四边形PCQB的面积最大，最大面积为4· 【变式5-2】 【答案】(1)解：y=2x+2中， 令x=0,则y=2, .C(0,2), 令y=0,则0=2x+2, x=-1, A(-1,0), :搬物线y=ar2+r+(a≠0)经过点4，C, 2 29/48 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3 a- +c=0 2 c-2 c=2 1 a=- 2 抛物线的解析式为y=一 x+2x+2. 2 2 1 3 令y=0,则0=- x2+ 2 x+2 2 x=-1,或x=4, B(4,0) y=- 2+2= 8 贴层)： (2)A(-1,0),B(4,0),C(0,2), .OA=1,0B=4,0C=2」 .AB=5,AC=04+0C2=5,BC=OB+0C2=25, ,AC2+BC2=5+20=25=AB2, .∠ACB=90°， .AC⊥BC, 延长BC至点B,使B'C=BC=2V5,连接B'D,交直线y=2x+2于点P,如图， B 则B',B关于直线y=2x+2对称，此时△BDP的周长最小， 过点B作B'E⊥x轴于点E, :BE⊥x轴，OC⊥x轴， 30/48 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..OCIl BE .B'C=BC. .OC为△BB'E的中位线， .OE=0B=4,B'E=20C=4, .B'(-4,4), 设直线B'D的解析式为y=x+b, -4k+b=4 3+6 25 P k、7 44 37, b= 11 737 ∴直线gD 的解析式为y= 44x+1 7 37 y=- 4x+ y=2x+2 12 X= 19 2 y=19 .:P 1262 19'19 (3) YA K HO G B 在△ABC内部能截出面积最大的矩形EFGH(顶点E,F,G,H在△ABC各边上)，此时矩形在AB边 上的点的坐标为0小20或（侵0】 【变式5-3】 31/48 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】(1)解：由题意，点A(3,1)和(0，-2)在抛物线y=x2+bx+C上， [9+3b+c=1 「b=-2 可得0+0+c=-2:解得1c=-2: ∴该抛物线对应的函数解析式为y=2-2x-2」 (2)解：点P在该抛物线上，其横坐标为m, .P(mm2-2m-2）, 过点P分别向y轴作垂线，垂足为点Q, 则Q(0m2-2m-2). ·Q在抛物线上， ∴m2-2m-2=02-20-2=-2, 可得m2-2m=0,解得m=0或m=2, P不在坐标轴上， .m=2. (3)解：如图， B 抛物线y=x2-2x-2=(x-1)2-3,顶点D(1,-3), 由(2)得B(0,-2),C(2,-2), 令y=(x-1)2-3=0,解得x=±V3+1, .E(N5+l,0）,F(5+1,0), 当1<m<2时，如图： 32148 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y个 M E 四边形OQPM内部（包括边界）的抛物线上的最高点的纵坐标为-2，最低点的纵坐标为m-2m-2, :2-(m-2m-2)解得m= 2 +1或m=-2 2 +1(舍)， 21, ,m= 当2<m<V3+1时，四边形OQPM内部（包括边界）与抛物线仅有一个交点，不符合题意： 当m>√3+1时，如图： y O EM D 四边形OQPM内部（包括边界）的抛物线上的最高点的纵坐标为m2-2m-2,最低点的纵坐标为0， m-2m-2-0=)解得m以 1 +1或m=-4 2 2 +1(舍)， m=V14 +1 2 ms 14 综上， +1或m= +1 2 2 (4)m=1或m=-2 题型06相似三角形问题 典例精析 【典例6】 33148 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】(1)解：当a=-1时，y=-x2+br+c」 :该二次函数图象与x轴交于A(-1,0)、B两点，且对称轴为直线x=1, :1+=1,解得：。=3，即B(3,0) 2 将A(-1,0)和B(3,0)代入y=-x2+bx+c得： [0=-1-b+c 0=-9+3b+c' [b=2 解得： c=3· ∴.当a=-l时， 该二次函数的表达式为y=-x2+2x+3 (②)证明：·该二次函数图象经过A(-1,0), .a-b+c=0 ,该二次函数图象的对称轴为直线x=1, =1,即b=-2a ∴a-(-2a)+c=0,即3a+c=0. ∴.5a+c=(3a+c)+2a=2a 又a<0, .5a+c=(3a+c)+2a=2a<0 3①解：该二次函数图象经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3), ∴二次函数表达式为y=-x2+2x+3, 设直线BC的解析式为y=+p, 将B(3,0),C(0,3)代入直线BC的解析式得： 3k+p=0 p=3 k=-1 解得p=3 直线BC表达式为y=-x+3 又PDy轴， 设P(m,-m2+2m+3),D(m,-m+3), 34148 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .CD=(m-0'+(-m+3-3}=V2m,PD=yp-yo=-m2+3m. n-m2+3m_√2m PDcD.即23 当DCPBOC时，有BCOB 解得：m=0(不符合题意，舍去)或m=1. P(1,4) 当0w0c时.有是股u号 √2m-m2+3m 3 解得：m=0(不符合题意，舍去)或m=2. P(2,3) ②过点C作CE∥PB交OB于点E. yA D B ·.·CE∥PB .∠ECB=∠PBC .'∠PBC+∠ACO=45°，∠ECB+∠ACO=45°， C(0,3).B(3,0). ..OB=OC ∴∠BC0=∠CB0=45°， ∴.∠ECB+∠ECO=45 ·.∠ACO=∠ECO 又：∠A0C=∠E0C=90°，0C=0C, .△AOC≌△EOC(ASA). ∴.OA=OE=1. E(1,0) 设直线CE的解析式为y=mx+n,由点C(O,3),E(1,O)可得： [k+b=0 [k=-3 b=3，解得： b=3· ∴.直线CE表达式为y=-3x+3 35/48 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CE∥PB,且B(3,O) ∴同理可得：直线PB表达式为y=-3x+9」 :点P在y=-x+2x+3和y=-3x+9上， y=-x2+2x+3 y=-3x+9· x=2「x=3 解得y=3或y=0（不符合题意，舍去)· .存在点P,使得∠PBC+∠ACO=45°. P的坐标为(2,3) E举一反目 【变式6-1】 【答案】()解：：抛物线y=r+br+3(a≠0)与x轴交于A(-l,0)、C(3,0)两点， a-b+3=0 …9a+3b+3=0 a=-1 解得1b=2’ .该抛物线的解析式为y=-x2+2x+3, (2)x=1 (3)解：，抛物线y=-x+2x+3与y轴交于点B, .B(0,3). ,点D是抛物线上的一个动点，△ABD与△BCD的面积相等， ∴.当BD∥AC时或当BD经过AC的中点时满足条件， 当BD∥AC时，点B、点D关于直线x=1对称， ,D点的横坐标为2，即m=2: 当BD经过AC的中点时，设AC中点为H,则H(L,O), 设直线BH的表达式为y=Pr+3, 则p+3=0,解得p=-3, ∴.直线BH的表达式为y=-3x+3 y=-3x+3 x=5 x=0 联立方程组 =-x2+2x+3”解得=-12：以=3 ∴点D的横坐标m=5, 36148 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 综上，m=2或m=5 ④m=+ 2 一或 m=1 【变式6-2】： 【答案】(1)解：把A(-l,0)、B(4,0)代入y=ar2+bx+3得： a-b+3=0 16a+4b+3=0 3 a=- 4 解得 9 b= 4 ∴，抛物线解析式为y= 3x+9x+3 4 4 设直线BC解析式为y=x+n,把B(4,O),C(0,3)得： 3 4k+n=0,解得： k=- 4 n=3 n=3 直线BC解析式为y=- (2:布.c2引 如图， 点G在直线y= 4x+3上， 其中0<1<4'则D,0) -2}2+3 3 8 8 , 0,能物线S=名-2旷+号的风对称物为百线r-2 3 :8 37148 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3 :当x=2时，5=-2有数大值，城大位为号， 3 PF (3) F存在最大值，理由如下： 过A作AK∥y轴交BC延长线于K,过P作PT∥y轴交BC于T,如图： 在 +3巾，令1得= 4 ·K=5 4’ 设m++9.则-子+ 4 3+21+3-(4 spT=-32+2t 3 t+3)= 4 32+3t, 4 :AK∥y轴，PT∥y轴， AK∥PT, ∴∠AKF=∠PTF,∠KAF=∠TPF, ∴.△PTF∽△AKF, 32+3t PF PT4 AF AK 个二4--2y+4 15- 5, 4 -5-2y≤0， PF4 PF :AF的最大值为5： 38148 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式6-3】 【答案】(1)解：顶点的坐标为1-2)， ∴设所求抛物线的解析式为y=a(x-1)-2, 0-动代入y=-旷-2：有 a-2s-3 , 1 .a2' 所求抛物线的解折式为y=x--2： (2)①如图，过D作D0垂直于y轴，垂足为O,过E作QD的垂线，垂足为P, D CD⊥DE ∴.∠CDQ+∠EDP=90° ∠QCD+∠CD0=90°， .∠QCD=∠EDP ∠CQD=∠DPE、 ∴.ACQD∽△DPE, EP DP OD CO' 设--2 P---2-(2-,pnx-e-c0=(2) 2-- 1 1, 2 解得=1（舍去），七=5 39/48 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E(5,6) ②如图，延长MB交直线1于点N, A火B 3 把(2,0)代入y= 2得 0 =子 33 .y=x- 42’ .BH BM ∴.∠BHM=∠BMH, MH⊥直线l, ∴∠NHB+∠BHM=90°， .∠HNB+∠HMN=90°， ∴.∠NHB=∠HNB, ∴.BN=BH=BM, 即B为MN的中点， :十=业=， 2 2 33 设xv=n,则w=4” -n- 2 设xw=m,则=(m-)-2, n+m=3 2 33.1 4”-2+2m-y-2 =0 40148 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 n=6-m’ 2(m-+3n-7 +4”-20, 10 m-+6-m) 化简得：2m2-7m+6=0, 3 解得m=2m,=2, 当m 2时，n-15 3 8 3 当m=2时，少m=- 2 :y的坐标为)2》 315. ③略 【点睛】本题是二次函数和几何的综合题，考查了二次函数图象上点的特征，二次函数的顶点式，对 称轴，三角形的相似，等腰三角形的判定等知识，关键是要将所求结论转化具体的线段关系，寻找合 适等量关系列出方程. 题型07其他问题 典例精析 【典例7】 【答案】(1)解：由题意得，当x<0时，y=x2-2, 当x≥0时，y=-(x2-2）=-x2+2, x2-2(x<0) 综上所述，y=仁×+2(x20) (2)解：当x<0时，y=3x+4, 当x≥0时，y=-(3x+4)=-3x-4, :点P(m,-6)在一次函数y=3x+4的关联函数y的图象上， 当m0时，则加+46解得m=号，餐合思燕，此时点的坐标对号： 当m之0时，则3加-46解得m子、符合超盒，出时点P的坐称为对仔6。 41148 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 综上所述，点P的坐标为 (3)解：不存在实数n满足当-2≤x≤n时，该二次函数的关联函数y的取值范围是-21-4≤y≤5， 理由如下： 当x<0时，y=x2+4x-5=(x+2}-9, 此时函数y的开口向上，对称轴为直线x=-2, ∴，当-2≤x<0时，y随x的增大而增大， 当x=0时，x2+4x-5=-5, .当-2≤x<0时，-9≤y<-5: 当x≥0时，y=-(x2+4x-5)=-(x+2)2+9, ∴此时函数少的开口向下，对称轴为直线x=-2, ∴.当x≥0时，y随x的增大而减小， 当x=0时，y=5, 当x≥0时，y≤5： 在y=-(x+2+9中，当y=-9时，-(x+2)}+9=9, 解得x=3V2-2或x=-3√2-2； :当-2≤x≤n时，该二次函数的关联函数y的取值范围是-2n-4≤y'≤5， 当-2≤x≤n时，函数y的最大值为5，最小值为-2n-4: 当n≤32-2时，在满足-2≤x≤n时，函数的最大值为5，最小值为-9， -2n-4=-9. n-<合去，35-2)： 5 当n>3W2-2时，在满足-2≤x≤n时，函数y的最大值为5，最小值为x=n处的函数值， .-n2-4n+5=-2n-4, 解得n=而-1（舍去，10-1<32-1）或n=-10-1(舍去)： 42148 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 综上所述，不存在实数n满足当-2≤x≤n时，该二次函数的关联函数y的取值范围是-2n-4≤y'≤5， 举一反三 【变式7-1】 【答案】(1)解：将点(0,0)代入抛物线y=ax2+bx+c, 得：0=0+0+c, c=0. 再将点(2,0)、c=0代入抛物线， 得：0=4a+2b. 整理得b=-2a. 此时抛物线可整理为：y=ax2-2ax. (2)解：①过A(m,O)作x轴垂线，M1、N横坐标均为m: M1在抛物线上，纵坐标为am2-2am; N1在直线y=-ax+2a上，纵坐标为-am+2a. 两点重合，则纵坐标相等， ∴.am2-2am=-am+2a,(a≠0)， 两边同除以a,得m2-m-2=0, 因式分解得(m-2)(m+1)=0, 解得m=2或m=-1, 即m=2或m=-1时，M1和N重合. ②横坐标相同的两点M、V的距离为纵坐标差的绝对值： B(-3,0),yM,=a(-3)}2-2a(-3)=15a,yw=-a(-3)+2a=5a, .M2N2 =l5a-5al =10 al M N =l(am2-2am)-(-am+2a)=l a(m2-m-2)=al(m-2)(m+1) ..M N>MN2, :.la(m-2)(m+1>10la, 两边同除以1da>0),得：(m-2m+1>10. a-2w+0=-m-2=-骨子10， .(m-2)(m+1)>10整理得m2-m-12>0, 43148 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 当m2-m-12=0时，m=4或m=-3, .m2-m-12>0的解集为：m>4或m<-3 题目要求对任意a+2≤m≤a+6,不等式都成立， ∴.需全部满足m>4或全部满足m<-3: 若全满足m>4, 则左端点a+2>4,解得a>2; M M 若全满足 N B(-3,0八 A(m,0) m<-3 则右端点a+6<-3,解得a<-9, 因此a的取值范围是a<-9或a>2. N B(-3,0) A(m,0) N2 M M 【变式7-2】 【答案】(1)解：抛物线y=ax2+bx过原点(0,0)和(6,0)， 44148 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0+6 故对称轴为直线x= 2 =3 (2②)①解，当a=2时，抛物线解折式为y=-3x, 2 为%=(e-3刘（分-3x 又都不经过原点，=x2≠0， 0 y2> ②解：抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点(6,0)， 故36a+6b=0, 解得b=-6a ∴.y=ax2-6ax(a≠0) 根据题意，得点A(乃)在抛物线y=a2+bx上，点B(:)在抛物线y=x2-3x上 =ax2-6ax1,y2=x号-3x 业= 又 号-3x=五 ax:-6ax x' (3-3）-玉 ax(x-6)x’ s-3》=1. a(x-6)） .2-3=ax-6a, ∴.x2=ax1-6a+3 占=a-6a-3 书是一个与x无关的定值， ∴.6a-3=0, 1 解得a= 2’ 45148 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 故b=-6a=-3 【变式7-3】 【答案】1)解：将点A(-3,0),C(0,3)代入y=-x2+bx+c,得， 0=-9-3b+ 「b=-2 3=c ,解得c=3, .抛物线C的解析式为y=-x2-2x+3, 令y=0,即-x2-2x+3=0, .(x+3)(-x+)=0, 解得x=-3或x=1, ·点B的坐标为(L,0): (2)①解：①y=-x2-2x+3=-(x+)2+4,顶点为(-1,4)， :将抛物线C沿直线y=-x向右下方平移一定单位长度后，得到“关联函数”的图象，其顶点恰好 是点C(0,3), .平移方式为：向右平移1个单位，向下平移1个单位， .=-(x+1-1)2+4-1=-x2+3, “该抛物线的对称轴为直线x=0,图象开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴直线x=0越近，函数值越大， 越小，yp越大， 又：点P到y轴的距离小于或等于2，即≤2， 当x=2时，y取得最小值-4+3=-1；当x=0时，y取得最大值-0+3=3： 综上，点P的纵坐标的取值范围为-1≤y。≤3： ②证明：设直线MN的解析式为y=a+f, 将点C(0,3)代入y=c+f,得f=3, ·.直线MN的解析式为y=cx+3, 联立直线MN与抛物线X,得， kx+3=-x2+3, 整理，得x2+=0, 解得x=0或x=-k, 46148 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..Xm =-k. 联立直线MN与抛物线C,得， kx+3=-x2-2x+3, 整理，得x2+(k+2)x=0, 解得x=0或x=-k-2, .w=-k-2, ,ME⊥x轴，NF⊥x轴，点M在第二象限， .E =-XM=k,OF =-XN =k +2, :矩形NFOH的周长m=2(OF+OH)=2k+4+20H,矩形GEOH的周长n=2(OE+OH)=2k+20H m-n=2k+4+20H-(2k+20H)=4,为定值， 即m-n为定值； (3)解：，抛物线C沿直线y=-x向右下方平移， ∴.等价于向右平移t个单位，同时向下平移t个单位， ∴平移得到的抛物线为=-(x+1-1}+4-1, 将点B(1,0)代入片=-(+1-+4-1，得， -(2-t)2+4-t=0, 整理，得t2-3t=0, 解得t=3或t=0(不符题意，舍去)， =-(x-2)+1,该抛物线开口向下，对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2，)， ①当d+2≤2，即d≤0时，区间d-1≤x≤d+2在对称轴的左侧， 随x的增大而增大 ÷当x=d+2时，巧取得最大值2， d*2-2+1 2或d=2 解得d=-V (与d≤0矛盾，舍去)： ②当d-1≥2，即d≥3时，区间d-1≤x≤d+2在对称轴的右侧， 随x的增大而减小， 47/48 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.当x=d-1时，取得最大值2， :日1-2+1=2 解得d=3+2。 )或d=3一2（与13矛盾，舍去） 2 ③当d-1<2<d+2,即0<d<3时，区间d-1≤x≤d+2包含x=2, ∴抛物线在顶点处取得最大值1，与题意矛盾： 缘上所论的为-号设3+ 2 48148 专题06 二次函数问题综合 （题型突破·举一反三） 题型01 线段周长问题 题型02 面积问题 题型03 角度问题 题型04 特殊三角形问题 题型05 特殊四边形问题 题型06 相似三角形问题 题型07 其他问题 ▌题型01 线段周长问题 基础知识：抛物线上两点间的距离，优先用“横差、纵差”表示：水平线段长，竖直线段长；斜线段长用勾股定理。周长问题即各边线段长之和。 思维路径（线段最值标准三步）： 1. 设动点：设抛物线上动点P的坐标，明确t的取值范围（受图形边界限制） 2. 表示线段：用t表示所求线段长（竖直线段用纵坐标差，斜线段用距离公式），化为关于t的二次函数 3. 求最值：配方为顶点式，结合t的范围取最值——顶点在范围内则顶点处取最值；不在范围内则在离对称轴最近的端点取得 4. 思维路径（周长最值）：周长＝各边线段之和，分别用t表示每条边→求和得关于t的二次函数→配方求最值→验t范围。 思维路径（将军饮马型）：求对称轴上一动点使周长最小，作某定点关于对称轴的对称点，连接对称点与另一定 易错提醒： 1. 线段长必须加绝对值，但配方求最值时通常t范围内纵坐标差为正，可省略绝对值； 2. t的范围由图形边界定； 3. 周长最值题，若顶点不在t范围内，最值在端点，不能硬套顶点。 【典例1】（2026·广东·中考真题）如图1，设为坐标原点，二次函数的图象经过点，与轴交于点，其对称轴与轴交于点，连接，． (1)求二次函数的解析式； (2)如图2，动点在线段上，过点作的垂线，与二次函数在第二象限的图象交于点，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）过点作轴交、轴于点，可得，为等腰直角三角形，设，则，设，则，表示出，将点代入，整理得，那么得到，整理得，，再由二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴将点代入，则 解得 ∴二次函数的解析式为； （2）解：过点作轴交、轴于点， 由（2）知， ∵ ∴， ∴，为等腰直角三角形 ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴ 设，则， 同理设，则 ∴ ∴， 将点代入， 则， 整理得，， ∵ ∴ 整理得， 设抛物线顶点为点，对称轴与线段的交点为点， ∵ ∴， 同理可得为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴当点与点重合时，则点Q与抛物线顶点重合，则点D为抛物线对称轴与线段的交点， ∴， ∵ ∴当时，取得最大值， ∴最大值为． 【变式1-1】（25-26八年级下·重庆渝中·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是线段下方抛物线上一点，过点作轴交线段于点，过点作轴交轴于点，求出的最大值，及此时点的坐标； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上一点，且满足，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一种情况的求解过程． 【答案】(1) (2)最大值为4，点的坐标为 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线，设，然后用的代数式表示出，再由二次函数的性质求解即可； （3）先求出平移后的抛物线表达式，过点作轴于点，则，那么，设，则，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点、点， ∴ 解得 ∴抛物线的表达式为； （2）解：对于，令，则 ∴ ∵ 设直线， 则 解得 ∴直线 设 ∵轴， ∴， ∵轴， ∴ 整理得， ∵， ∴当时，取得最大值为， 此时点； （3）解：∵， ∴， ∵ ∴， 设点的对应点为点，作轴于点，则为等腰直角三角形，， 则由题意得， ∵ ∴ ∴点向右平移2个单位，向下平移2个单位得到点， 而抛物线， 则向右平移2个单位，向下平移2个单位得到， ∵ ∴， 过点作轴于点 ∴ ∴ 设，则 ∴或 解得，或（舍去）； 解得，或（舍去） ∴当时，；当时，， 综上：符合条件的点的坐标为或． 【变式1-2】（25-26八年级下·北京·期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线顶点为． (1)请用含a的式子表示b，c； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，若点M、N重合，规定； ①若，，求t的值； ②当点P从点运动到点的过程中（不包含点B与点C），的长存在最大值，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)①或；② 【分析】（1）由抛物线顶点为，可得，，进一步可得答案； （2）①由，可得抛物线，直线为：，可得，进一步求解即可； ②由①同理可得：，当时，可得，，函数的对称轴为直线，再结合图象求解即可． 【详解】（1）解：抛物线顶点为， ∴，， ∴；． （2）解：①∵， ∴， 直线为：， ∵， ∴，， ∴， ∴或， ∴或， 当时， 解得：或， 当时， 此时，方程无解． 综上：或． ②由①同理可得： ， 当时， ∴， 解得：，， ∴函数的对称轴为直线， 如图， 当或时，随的增大而增大， 当或时，随的增大而减少， 当时，， ∴， ∴点P从点运动到点的过程中，增大， 开口向上的抛物线的解析式为：， 开口向下的抛物线的解析式为：， 令，， 把代入， ∴， 解得：， ∵，的长存在最大值， ∴， 解得：， 当时， ∴， 当点P从点运动到点的过程中，减少， 此时图象不含端点， ∴不存在最大值， 综上：． 【变式1-3】（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，，过点作射线轴． (1)求抛物线的表达式； (2)点是线段上方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交线段于点，点，为射线、上的动点，连接、、．当取得最大值时，求点的坐标及周长的最小值； (3)在（2）的条件下，连接，将抛物线沿射线方向平移，使新得到的抛物线过线段的中点，抛物线与轴交于点，连接，点为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）根据，得，，代入中，解方程组即可求解； （2）求出直线的表达式为，设点，则，将表示出来，根据二次函数的性质即可求出点的坐标；分别作点关于直线、直线的对称点，，连接，交于点，交于点，此时的周长最小，为线段的长，求出、的坐标即可； （3）分两种情况讨论：①过点作轴，交轴于点，作点关于直线的对称点，连接，交抛物线于点，此时；②作点关于直线的对称点，连接，交抛物线于点，此时． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 将点，代入，得 ，解得， ∴抛物线的表达式为：． （2）解：设直线的表达式为：， 将点，代入，得 ，解得， ∴直线的表达式为：． 设点，则， ∴ ，， ∴， ∴当时，取得最大值， ∴点． 如图，分别作点关于直线、直线的对称点，，连接，交于点，交于点，此时的周长最小， ∴． ∵，轴， ∴直线的表达式为：， ∴． ∵， ∴， 过点作，交于点，连接，交于点，连接， ∴， ∵点、关于直线对称， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 直线：， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴周长的最小值为． （3）解：， ∵抛物线沿射线方向平移， ∴设平移后的抛物线的解析式为：， ∵为的中点， ∴， 将点代入，得 ，解得（负值舍去）， ∴， ∴， ∴， 由（2）得：，， ∴， ∴， ∴， 如图，过点作轴，交轴于点，作点关于直线的对称点，连接交抛物线于点， ∴，， ∴． 设直线的解析式为：， 将点，代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为：， 联立， ∴， 解得（舍），． 作点关于直线的对称点，连接，，交于点，交于点，过点作，交轴于点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， 将点，代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为：． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴直线的解析式为：， ∵， ∴直线的解析式为：， 联立，解得， ∴， 设直线的解析式为：， 将点，代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为：， 联立， ∴， 解得（舍），． 综上所述，点的横坐标为或． ▌题型02 面积问题 基础知识：坐标系中三角形面积的"铅垂法"是通法：S＝×水平宽×铅垂高。水平宽（两点的横坐标差），铅垂高＝过顶点作竖直线与对边交点的纵坐标差的绝对值。 思维路径（动点面积最值三步）： 1. 设动点：设抛物线上动点P 2. 求铅垂高：过P作x轴垂线交底边所在直线于Q，则铅垂高（Q的纵坐标由直线方程代入t得到） 3. 列面积式：S＝×底边长×，展开为关于t的二次函数→配方求最值 思维路径（面积定值/存在性）：令S＝题目给定值→列方程→解t→检验t是否在运动区间内，舍去无效解。 思维路径（四边形面积）：用“分割法”（连对角线拆为两个三角形分别铅垂法求和）或“补形法”（大矩形面积减去周围多余三角形面积）。 关键技巧：选底边时优先选“水平边”（水平宽直接为两定点横坐标差，是常数），这样面积式只含一个变量t，配方简单；若选斜向边作底，计算复杂。 易错提醒： 1. 铅垂高是“纵坐标差”不是“横坐标差”； 2. 动点P的位置要确认在底边的同侧，保证铅垂高为正； 3. 四边形面积分割时，对角线选择要使两个三角形都便于用铅垂法。 【典例2】（2026·山东泰安·三模）已知平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． (1)用含a的代数式表示b； (2)当时，二次函数的最小值为，求a的值； (3)将函数的图象向左平移a个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新函数图象顶点记为点P，点Q在该新函数图象上．当最小时，的面积为4，直接写出点P和点Q的坐标． 【答案】(1)； (2)a的值为或2； (3)，点或． 【分析】（1）把点代入二次函数即可求解； （2）先求出对称轴为直线，然后分当时和当时两种情况求解即可； （3）求出平移后的顶点，由求出当时，取得最小值，设，过点Q作x轴的垂线，交于点H，则，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：把点代入二次函数得， ， ∴； （2）解：由（1）得， ∴对称轴为直线， 当时，抛物线开口向下，当时，y取得最小值， ∴， ∴， 当时，抛物线开口向上，当时，y取得最小值，， ∴， ∴， 综上a的值为或2； （3）解：由得，顶点为， ∵图象向左平移a个单位长度，再向上平移1个单位长度后， ∴顶点P为， ∵， ∴当时，取得最小值，即取得最小值， ∴点P为时，最小， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， ∴直线为， 当时，平移后的新函数为， 设，过点Q作x轴的垂线，交于点H，则， ∵的面积为4， ∴， ∴， 解得或， ∴点或． 【变式2-1】（25-26九年级上·河北·阶段检测）已知抛物线的图象经过坐标原点O，并与x轴交于点． (1)求此抛物线的解析式 (2)利用配方法或公式法将函数写成顶点式，并写出顶点坐标、对称轴和最值 (3)若抛物线上有一点B，且，求点B的坐标 【答案】(1) (2)顶点式为；顶点坐标为；对称轴为直线；函数的最小值为，无最大值． (3)和 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用配方法把解析式化为顶点式即可得到答案； （3）根据三角形的面积公式得到，据此求出点B的纵坐标，进而可求出点B的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象经过坐标原点，并与x轴交于点， ∴ ， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：， ∴顶点坐标为，对称轴为直线， ∵， ∴函数开口向上， ∴在对称轴处函数有最小值，最小值为； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，，解得或， 当时，，此时方程无解， ∴点B的坐标为和． 【变式2-2】（25-26八年级下·黑龙江绥化·期末）如图，抛物线经过点、，与直线交于B、D两点，点P是抛物线上一动点，记点P的横坐标为t． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P位于直线下方时，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)过点P作x轴的垂线交x轴于点H，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)的面积的最大值为8， (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作轴，交于点E，先表示，，得出，故，再利用二次函数的性质求解即可； （3）因为，且是等腰直角三角形，得，由（2）知，所以，，则，再解出方程，即可作答． 【详解】（1）解：抛物线经过点、， ， 解得   抛物线的解析式为， （2）解：抛物线的解析式为与直线交于B、D两点． ， 解得，， 把代入，得， 点D的坐标为， 如图1，过点P作轴，交于点E， 则，， ， 点B的坐标是 ， 当时，的面积的最大值为8， 此时． （3）解：如图2，过点P作x轴的垂线交x轴于点H， 轴于H， ， 是等腰直角三角形， ， 由（2）知， 点H的坐标为， 由（1）可知， ，， ， 或， 即或， 当时， 解得或（舍去）， 此时； 当时， 解得或（舍去）， 此时， 综上，点P的坐标为或． 【变式2-3】（25-26八年级下·山东济南·期末）二次函数的图象经过点，与x轴交于点B和点，与y轴交于点D． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，连接，平移线段至，使点B的对应点E落在二次函数在第一象限的图象上，点D的对应点F落在直线上，请求出此时点E的坐标； (3)如图2，在x轴上有一动点（），过点P作直线轴，交抛物线于点M．连接并延长，交y轴于点N，连接，，设的面积为，的面积为，当时，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）首先求出，，直线的表达式为，设点，根据平移的性质得到，然后代入求解即可； （3）首先表示出，，，，证明，得到，求出，然后表示出，，然后根据列方程求解． 【详解】（1）解：将和代入， 得， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：令得，， 解得：，， ， 把代入中，得：， ， ∴点B向左平移3个单位，向下平移3个单位得到点D， ∵， ∴可得直线的表达式为， ∵平移线段至， 设点，则点E向左平移3个单位，向下平移3个单位得到点， 将点F代入，得 整理得，， 解得（舍去），， ∴； （3）解：，轴，交抛物线于点M， ， ∴，，， ， ∴， ，即， 解得， ，， ， ， 整理得，， 解得（舍去），， 的值是． ▌题型03 角度问题 基础知识：角度条件转化为坐标关系的主流方法有三种： 1. 斜率法：两直线夹角条件可转化为斜率关系； 2. 相似法：构造相似三角形，利用对应角相等转化为边比关系； 3. 全等法：构造全等三角形转移角。 思维路径（已知一角求另一角）： 1. 分析图中已知角的度数（常由特殊三角形、平行线、抛物线对称性得到） 2. 利用“三角形内角和”“对顶角”“平行线性质”推导目标角 3. 若涉及动点，将角度条件转化为边比（相似）或斜率关系 思维路径（角度存在性）：假设存在满足条件的点→由角度关系列方程（相似对应边成比例/斜率关系）→解方程→检验。 关键技巧：角度问题多与“特殊角”（30°、45°、60°、90°）挂钩，45°对应斜率绝对值为1，90°对应斜率乘积为－1（垂直），转化为代数条件最直接。 易错提醒： 1. 用斜率表示垂直时，需先确认两直线斜率都存在（与坐标轴平行时斜率不存在，需单独讨论）； 2. 角度相等推相似时，必须确认“角在对应关系正确”，避免顶点错位。 【典例3】（2026·四川雅安·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)若P为抛物线上一点，当时，求点P的横坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为； (2)顶点坐标为，对称轴为直线； (3)点的横坐标为． 【分析】（1）已知抛物线与轴交于、，可设交点式，再利用与轴交点求出；利用待定系数法求直线解析式即可． （2）把抛物线解析式化为顶点式，或直接利用顶点横坐标公式，代入求纵坐标． （3）延长交x轴于点，由可得，设点的坐标为，利用两点距离公式求出m，再用待定系数法求出直线的解析式，最后与抛物线联立求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于、， 设其解析式为， 抛物线与轴交于点，令得， 又此时， ， 解得：， ， 点的坐标为， 设直线解析式为， 把、，代入，得 解得， 直线的解析式为． （2）解：， 抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． （3）解：、、， ，，， 在中，， 延长交x轴于点， ， ∴， 设点的坐标为， ， 解得， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 直线过点， ， 又直线过点， ， 解得：， 直线的解析式为， 点在抛物线上， ， 解得：（为点，舍去）或， 点的横坐标为． 【变式3-1】（25-26八年级下·福建福州·期末）已知抛物线： (1)当，时，求抛物线的顶点坐标； (2)点为平面直角坐标系原点，点，在抛物线上，且，． ①若，用含的代数式表示； ②当时，求证：抛物线恒过定点，并求出定点的坐标． 【答案】(1) (2)①； ②抛物线恒过定点，定点坐标为； 证明：∵， ∴由勾股定理得， ∵，， ∴，， ， ， 将上述式子代入得： 整理得， 提取公因式得， ∵，且， ∴， ∴，即， 由①得，将代入得：， 将代入得， ∴抛物线的解析式为， 当时，，结果与的取值无关， ∴抛物线恒过定点，定点坐标为． 【分析】（1）将给定的代入抛物线解析式，用配方法即可求出顶点坐标； （2）①将，两点坐标代入抛物线解析式，两式作差后因式分解，结合和即可推导出关于的表达式； ②利用勾股定理结合求出的值，再推导得到为定值，即可证明抛物线恒过定点并求出定点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：当，时，抛物线的解析式为 配方得 因此抛物线的顶点坐标为 （2）①因为点，都在抛物线上 所以可得 两式作差得 整理得 因式分解得 ∵， ∴， ∴ ②略 【变式3-2】（2026·四川自贡·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数（b、c为常数）的图象与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），交y轴于点C，对称轴为直线，． (1)求二次函数关系式． (2)连接，抛物线上是否存在点P，使，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． (3)如图2，点M、N为x轴下方抛物线上两点（点M在点N的左边），直线、与y轴分别交于R、T两点，若，试探究直线是否经过定点，若是，求定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)经过定点，为 【分析】（1）先求出抛物线与x轴的交点坐标，再根据交点式求解即可； （2）设与线段交于点，通过证明求出点坐标，继而可求直线的表达式，再与抛物线的表达式联立求解即可； （3）设直线，直线与抛物线的交点,，与抛物线表达式联立，则，根据韦达定理得到，求出直线，则同理，，再由化简求解即可． 【详解】（1）解：∵对称轴为直线， ∴， ∴， 即； （2）解：设与线段交于点， 当时， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴， 过点作轴于点， 则为等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴ 设直线 则 解得 ∴直线 与抛物线表达式联立可得， 整理得， 解得，（舍去） ∴； （3）解：直线经过定点，定点为， 设直线，直线与抛物线的交点,， 与抛物线表达式联立，则， 整理得， ∴， 设直线 则 解得， ∴直线 ∴当时， ∴ 同理， ∵点M、N为x轴下方抛物线上两点 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴直线 当时，即时， ∴直线经过定点，定点为． 【变式3-3】（2026·宁夏固原·三模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点是抛物线上位于第一象限的动点，当时，求此时点的坐标； (3)如图2，将原抛物线水平向右平移，使点落在点处，点是原抛物线对称轴上任意一点，在平移后的新抛物线上确定一点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，求出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】 （1）将，代入，解方程组即可； （2）设，则，，确定，根据得，继而得到，求解即可； （3）由得原抛物线对称轴是直线，根据将原抛物线水平向右平移，使点落在点处，可得原抛物线水平向右平移了个单位，平移后的抛物线是，设，，分三种情况：①以、为对角线，则的中点即是中点；②以、为对角线，则的中点即是中点；③以、为对角线，则的中点即是中点；分别画图求解即可． 【详解】（1） 解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2） 解：如图，设， ∵点是抛物线上位于第一象限的动点， ∴，， ∵抛物线与轴交于点， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴； （3） 解：∵原抛物线的解析式为，，， ∴原抛物线的对称轴是直线， ∵将原抛物线水平向右平移，使点落在点处， ∴原抛物线水平向右平移了个单位， ∴平移后的抛物线是， 设，， ①以、为对角线，则的中点即是中点，如图， ∴， 解得：， 此时点的坐标为； ②以、为对角线，则的中点即是中点，如图， ∴， 解得：， 此时点的坐标为； ③以、为对角线，则的中点即是中点，如图， ∴， 解得：， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或． ▌题型04 特殊三角形问题 基础知识： 1. 等腰三角形：两边相等→分类讨论：以哪条边为底。若A、B为定点，P为动点，则PA＝PB或PA＝AB或PB＝AB三类。 2. 直角三角形：勾股定理逆定理，或斜率乘积为－1（两直角边垂直）。 3. 等腰直角：同时满足等腰＋直角。 思维路径（存在性标准4步）： 1. 设动点坐标P 2. 表示三边长：（用距离公式，保留平方避免根号） 3. 分类列方程： (1) 等腰：PA＝PB、PA＝AB、PB＝AB，三类分别列方程 (2) 直角：三类分别列方程， 4. 解t→检验t范围→求P坐标 关键技巧：“两圆一线法”是几何直观——分别以A、B为圆心AB为半径画圆（找PA＝AB、PB＝AB的点），作AB的垂直平分线（找PA＝PB的点）；但在坐标系中用代数法（距离公式列方程）更普适，不必画图。 易错提醒： 1. 等腰三角形必须分三类讨论，漏一类扣一类分； 2. 解出的t必须代回检验是否满足“三点不共线”（共线退化时不能构成三角形）； 3. 直角三角形用斜率乘积－1比勾股定理简洁，但需先确认斜率存在。 【典例4】（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点C，E为线段AC上一动点（不与点A、C重合）。P为第三象限内抛物线上一动点，连接PE并延长垂直x轴于点D，过点E作AC的垂线，与y轴交于点G，则的最大值为_______． 【答案】 【分析】利用待定系数法求出直线的解析式，过点作轴于点，设，则，说明，从而得出，用含有m的式子表示，再运用二次函数求最值方法即可. 【详解】解：当时，， 点． 当时，， 解得：， . 设直线的解析式为， 把代入， 得：，解得：. 直线的解析式为：． ， ． 过点作轴于点， ， . . . . 设，则， . . 由题意有， 当时，取最大值，最大值为. 【变式4-1】（2026·山东烟台·中考真题）如图，二次函数的部分图象与轴交于点，与轴的交点位于点和点之间，顶点为点，对称轴为直线．下列说法：①；②；③；④设抛物线与轴的另一交点为，当时，．其中正确的是（     ） A．②③④ B．②③ C．②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】①由函数图象的开口方向、对称轴、与轴的交点分别判断、、的正负，进而判断的正负；②用对称轴公式变形推导等式；③把、代入解析式得，结合的范围解不等式；④利用二次函数图象的对称性得点坐标，据得点坐标，将，，代入得出点的坐标，根据勾股定理列方程求出． 【详解】解：二次函数图象开口向下， ， 对称轴为， ， 二次函数的图象与轴的交点位于和之间， ， ，①错； 对称轴为， ， ，②正确； 二次函数的图象与轴交于点， ， ， ， ， 二次函数图象与轴的交点位于和之间， 可得， ，③正确； 二次函数的图象与轴交于点，对称轴为， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 当，可得， 将，代入，可得， 点的坐标为， ，，， ， ， 可得， 解得或， ， ，④正确． 综上，正确的说法为②③④． 【变式4-2】（2026·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点为坐标原点，作直线． (1)求该抛物线的解析式． (2)在抛物线上有两个动点，，点在第一象限，横坐标为，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，点的横坐标为．若的面积记作，的面积记作，当有最大值时，求点的坐标．（自行完成作图并解答） (3)把抛物线沿射线方向平移，平移后，新抛物线过点，点是新抛物线对称轴与轴的交点，点是新抛物线对称轴上的动点，连接，．若平分，请直接写出符合条件的点坐标．（自行完成作图并作答） 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据待定系数法求出直线的解析式为，结合已知可得，，， ，则，，，则可求出，根据二次函数的性质得出当时，S有最大值，此时，即可求解； （3）根据题意判断出点C与点B是平移前后的对应点，则把原抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得出新抛物线，根据平移规律得出，则新抛物线的对称轴为直线，，根据角平分线的定义和平行线的性质可得出，根据等边对等角得出，设，根据两点距离公式得出，解方程即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得， ∴； （2）解：当时，， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点在第一象限，横坐标为，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，点的横坐标为， ∴，，，Q的纵坐标为，则， 或 ∴，，， ∴ ， ∵， ∴当时，S有最大值， 此时， ∴； （3）解：∵抛物线沿射线方向平移，平移后，新抛物线过点， ∴相当于点C与点B是平移前后的对应点， 即把原抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得出新抛物线， ∴， ∴新抛物线的对称轴为直线，， ∵平分， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得， ∴的坐标为或． 或 【变式4-3】（2026·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，点B在抛物线上．设其横坐标为m．点C是平面直角坐标系中异于点B的一点，其坐标是，连接，当不与坐标轴垂直时，以为斜边作 ，使轴． (1)求抛物线所对应的函数表达式； (2)当点B在抛物线对称轴左侧，且是等腰直角三角形时，求m的值； (3)当的边与抛物线有公共点时，求m的取值范围； (4)当抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而增大，或y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 (4)或 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式； （2）再结合直角三角形、等腰直角三角形的性质得到点坐标与线段关系，根据题目要求列方程或不等式求解；用到抛物线的单调性、坐标与线段长度的关系等初中知识点，逐步推导即可得到结果； （3）先求出的横坐标和纵坐标的范围，再将横坐标代入到抛物线中，根据与抛物线有交点可得，代入解不等式即可； （4）根据抛物线的解析式可知抛物线的对称轴和增减性，数形结合求出的取值范围，同时要注意不与坐标轴垂直时的的值即可． 【详解】（1）解：把代入，得，解得， ∴抛物线对应的函数表达式为． （2）解：抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点B横坐标为m， ∴ ， 由点在对称轴左侧，得， ∵，是 的斜边， ∴ ， 又∵轴， ∴轴，， ∵， ∴ ， ∴轴，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴ ，， ∴， 此时分两种情况讨论： ①， 解得， ∵， ∴ ； ② ， 解得， ∵， ∴ 由不与坐标轴垂直得，两个解均满足条件， ∴m的值为或． （3）解：∵是竖直线段， ∴横坐标为，纵坐标范围介于和之间， 若与抛物线有公共点，则抛物线在处的纵坐标需满足要求， ∴抛物线在处的纵坐标为， ∴， 代入整理得， ∴所有零点为，，，， 解得或， ∵不与坐标轴垂直， ∴，即， ∴m的取值范围是 或 ． （4）抛物线的对称轴为，当时随增大而减小，当时随增大而增大； 如图所示，当点在抛物线上时，即, 解得 如图所示，当时，抛物线在三角形内部随增大而增大， ∵不与坐标轴垂直， ∴， 解得， 当抛物线与三角形无公共部分在三角形的内部， 当时，抛物线在三角形内部也具有单调性， ∴的取值范围是或． ▌题型05 特殊四边形问题 基础知识： 1. 平行四边形：对角线互相平分→中点坐标公式：且 2. 矩形：平行四边形＋一个直角（邻边垂直，斜率乘积为－1）或对角线相等 3. 菱形：平行四边形＋邻边相等（或对角线垂直） 4. 正方形：平行四边形＋邻边相等＋一个直角 思维路径（已知三点求第四点）： 1. 设未知点D 2. 分类：AB为对角线/AC为对角线/AD为对角线（三类） 3. 每一类用中点坐标公式列方程求解 4. 检验是否满足特殊四边形的附加条件（如矩形需验证垂直） 思维路径（双动点构成四边形）：设两个动点坐标→用中点公式或边长相等＋平行条件（斜率相等）列方程→解参数。 关键技巧：平行四边形存在性用“中点坐标公式”比用“对边平行且相等”计算更简单；分类讨论以“哪条线段为对角线”为标准，三类不重不漏。 易错提醒： 1. 分类标准要统一（按对角线分，不按边分，避免重复）； 2. 求出点后必须验证是否真构成平行四边形（中点公式保证了，但附加条件如矩形需再验垂直）； 3. 菱形/矩形/正方形的附加条件容易漏验。 【典例5】（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，交轴于点．动点M沿x轴从点A向点B运动，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P． (1)求抛物线解析式； (2)抛物线的对称轴交于点E，顶点是点D，以D、E、N、P四个点为顶点的四边形为平行四边形时，求点N的坐标； (3)在y轴右侧的抛物线上有一点Q，Q的横坐标为m，设该抛物线在点C与点Q之间（包含点C和点Q）的部分的最高点和最低点到x轴的距离分别为s，t，当时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）将抛物线解析式化为顶点式得出，求出，从而可得直线的解析式为，进而得出，，设，则，，求出，由题意可得，要使以D、E、N、P四个点为顶点的四边形为平行四边形，则，得出，由此计算即可得出结果； （3）由（2）可得抛物线的顶点坐标为，点的坐标为，分三种情况：当时，当时，当时，分别结合二次函数的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵， ∴， 在中，当时，，即， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，，即， ∴， ∵动点M沿x轴从点A向点B运动，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P， ∴设，则，， ∴， 由题意可得， ∴要使以D、E、N、P四个点为顶点的四边形为平行四边形，则， ∴， 解得（此时点与点重合，不符合题意，舍去）或， ∴当时，， ∴； （3）解：由（2）可得抛物线的顶点坐标为，点的坐标为， ∵在y轴右侧的抛物线上有一点Q，Q的横坐标为m， ∴当时，抛物线在点C与点Q之间（包含点C和点Q）的部分单调递增，最高点为点，最低点为点，即，，则，不满足条件； 当时，抛物线在点C与点Q之间（包含点C和点Q）的部分的最高点为顶点，由对称性可得最低点的值为，即，，则，满足条件； 当时，抛物线在点C与点Q之间（包含点C和点Q）的部分的最高点为顶点，最低点为点，且点的值小于，即，，则，不满足条件； 综上所述，当时，m的取值范围为． 【变式5-1】（2026·四川凉山·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，，对称轴是直线．动点M以每秒1个单位长度的速度，沿x轴从点O向点B运动，设运动时间为t（）秒，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P． (1)求抛物线解析式； (2)抛物线的对称轴交于点E，顶点是点D，当t为何值时，四边形为平行四边形； (3)动点M开始运动时，另一动点Q同时以每秒0.5个单位长度的速度，沿x轴从点O向点A运动．当t为何值时，四边形的面积最大，并求最大面积． 【答案】(1) (2)3秒 (3)当时，四边形的面积最大，最大面积为 【分析】（1）根据抛物线过点，，对称轴是求解即可； （2）用待定系数法求出直线的解析式为，求出，根据四边形为平行四边形得．设，，得出求解即可； （3）根据列出函数解析式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，，对称轴是直线， ∴， 解得， ∴； （2）解：设直线的解析式为，把代入得， ， 解得． ∴． ∵， ∴， 当时，， ∴． ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． ∵过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P， ∴设，， ∴， 解得， ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴； （3）解：由题意，得，则， 由（2）得，． ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，四边形的面积最大，最大面积为． 【变式5-2】（2026·广东广州·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过，，三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点，的坐标； (2)点在直线上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点，，，在各边上）？若能，请画出图形并直接写出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，．； (2) (3)如图， 边上的顶点的坐标为，或 【分析】（1）求得点，坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；利用抛物线的解析式令，解方程即可求得点在横坐标；利用配方法即可求得点的坐标； （2）利用勾股定理及其逆定理得到，延长至点，使，连接 ，交直线于点，利用轴对称的性质可得，关于直线对称，此时 的周长最小，过点作轴于点，利用三角形的中位线定理得到点坐标，利用待定系数法求得直线 的解析式为，再与直线联立即可求得点坐标； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①设与 交于点，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得其面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可；②顶点，，，在各边上，与点重合，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得据的面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可． 【详解】（1）解：中， 令，则， ∴， 令，则， ∴ ， ∴， ∵抛物线 经过点A，C， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． 令，则， ∴ ，或， ∴． ∵ ∴顶点； （2）∵，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴ ， ∴， 延长至点，使，连接 ，交直线于点P，如图， 则，B关于直线对称，此时 的周长最小， 过点作轴于点E， ∵轴，轴， ∴ ， ∵， ∴ 为的中位线， ∴， ∴， 设直线 的解析式为， ∴， ∴， ∴直线 的解析式为， ∴， ∴， ∴． （3）在内部能截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． ①如图，顶点E，F，G，H在各边上，设与 交于点K， 设， ∵四边形为矩形，， ∴四边形，为矩形，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形EFGH的面积取得最大值为． ∴， ∵， ∴H为 的中点， ∴． 同理，点G为的中点， ∴． ②如图，顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合， 设， ∵四边形为矩形， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形的面积取得最大值为． ∴， ∴点G为的中点， ∵ ， ∴为的中位线， ∴ ∴， ∴． 综上，在内部能截出面积最大的矩形(顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． 【变式5-3】（2026·吉林·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点在抛物线（b，c为常数）上，该抛物线与y轴的交点为．点P在该抛物线上，其横坐标为m．当点P不在坐标轴上时，过点P分别向x轴与y轴作垂线，垂足分别为点M和点Q． (1)求该抛物线对应的函数解析式． (2)当点Q在抛物线上时，求m的值． (3)当，且四边形内部（包括边界）的抛物线上的最高点与最低点的纵坐标的差为时，求m的值． (4)当四边形内部的抛物线上的点的纵坐标y随x的增大而减小，且此抛物线的顶点在四边形的对角线所在的直线上时，直接写出m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）将点和代入解出，进而写出函数解析式； （2）由，向轴作垂线得垂足，因在抛物线上，代入抛物线方程得，即可解得的值； （3）先求出抛物线顶点，令得抛物线与轴交点，由题意，分、、三种情况讨论矩形内抛物线的最值，分别列方程求解的值即可； （4）由题意得矩形四个顶点坐标，抛物线顶点，分两种情况：顶点在对角线上，代入直线解析式；顶点在对角线上，代入直线解析式，分别解出的值，再结合函数图象，检验是否满足四边形内部的抛物线上的点的纵坐标y随x的增大而减小． 【详解】（1）解：由题意，点和在抛物线上， 可得，解得， 该抛物线对应的函数解析式为． （2）解：点P在该抛物线上，其横坐标为m， ， 过点P分别向y轴作垂线，垂足为点Q， 则 ， 在抛物线上， ， 可得，解得或， 不在坐标轴上， ． （3）解：如图， 抛物线，顶点， 由（2）得，， 令，解得， ，， 当时，如图： 四边形内部（包括边界）的抛物线上的最高点的纵坐标为，最低点的纵坐标为， ，解得或（舍）， ， 当时，四边形内部（包括边界）与抛物线仅有一个交点，不符合题意； 当时，如图： 四边形内部（包括边界）的抛物线上的最高点的纵坐标为，最低点的纵坐标为， ，解得或（舍）， ， 综上， 或． （4）解：由题意，，，，． 抛物线顶点在对角线或 上． 设对角线的函数解析式为， 可得，解得， ， 代入 可得，化简得 解得或， 如图， 当或时，四边形内部的抛物线上的点的纵坐标y随x的增大而减小，符合题意； 设对角线的函数解析式为， 可得，解得， ， 代入 可得，化简得， ， ， ， 如图，此时点在的右边， 此时，四边形内部没有抛物线上的点，不符合题意； 综上，或． ▌题型06 相似三角形问题 基础知识：坐标系中证明两个三角形相似，主流路径： 1. AA（找两组角相等，常通过斜率或平行线得到）； 2. 三边成比例（用距离公式表示三边长，列比例式）； 3. 两边成比例且夹角相等（SAS）。 思维路径（相似存在性）： 1. 设动点坐标P 2. 表示各边长度（距离公式） 3. 按对应顶点分类：相似三角形的对应顶点不确定，需分类 4. 列比例式：按所选对应关系，对应边成比例→解方程→检验 思维路径（相似求线段/面积）：先由相似得相似比k→面积比＝→求面积。 关键技巧：抛物线背景下，相似三角形的“直角”条件很常见，优先走AA（直角+一组锐角等）；对应顶点分类是核心难点，务必按“固定三角形的哪个角对应动点三角形的哪个角”枚举。 易错提醒： 1. 对应顶点分类不全是最大丢分点； 2. 解出的t必须检验是否使三角形退化（三点共线）； 3. 比例式必须“对应边”对应，顶点顺序不能乱。 【典例6】（2026·福建三明·模拟预测）已知二次函数（）的图象与轴交于、两点，与轴交于点，其对称轴为直线． (1)当时，求该二次函数的表达式； (2)求证：； (3)若点的坐标为，且点为直线上方的抛物线上的一点，过点作轴，交直线于点． ①若以，，为顶点的三角形与相似，请求出所有满足条件的点的坐标； ②是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明：∵该二次函数图象经过， ． ∵该二次函数图象的对称轴为直线， ，即．   ，即．   又， ． (3)①或；②的坐标为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据抛物线的对称性，结合已知，化简证明即可； （3）①设，，根据三角形的相似，分类求解即可； ②过点作交于点．利用解方程组的方法求解即可； 【详解】（1）解：当时，．   ∵该二次函数图象与轴交于、两点，且对称轴为直线， ，解得：，即．   将和代入得： ， 解得：． ∴当时，该二次函数的表达式为． （2）略 （3）①解：∵该二次函数图象经过，，， ∴二次函数表达式为， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， 直线表达式为． 又轴， 设，， ，． 当时，有，即．   解得：（不符合题意，舍去）或． ．   当时，有，即．   解得：（不符合题意，舍去）或． ．   ②过点作交于点． ， ．   ，， ，， ， ， ． 又，， （）． ． ．   设直线的解析式为，由点，可得： ，解得：， ∴直线表达式为． ，且 ∴同理可得：直线表达式为． ∵点在和上， ．   解得或（不符合题意，舍去）． ∴存在点，使得．的坐标为． 【变式6-1】（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点B．点D是抛物线上的一个动点，点D的横坐标为m． (1)求该抛物线的解析式； (2)该抛物线的对称轴为_____； (3)当与的面积相等时，求m的值； (4)若点D在第一象限内抛物线上，过点D作轴于点E，交于点P，且满足与相似，直接写出m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）根据题意列方程组，解方程组得到该抛物线的解析式为； （2）先化为顶点式，由对称轴公式求解即可； （3）根据点是抛物线上的一个动点，与的面积相等，于是得到或经过的中点，进而求解即可； （4）设直线的解析式为，解方程得到直线的解析式为，由题意，，则，根据已知条件得到是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，求得，得到，①当时，②当时，根据相似三角形的性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点， ∴ 解得， ∴该抛物线的解析式为， （2）解：， ∴该抛物线的对称轴为直线； （3）解：∵抛物线与轴交于点， ∴)， ∵点是抛物线上的一个动点，与的面积相等， ∴当时或当经过的中点时满足条件， 当时，点B、点D关于直线对称， ∴点的横坐标为2，即； 当经过的中点时，设中点为，则， 设直线的表达式为， 则，解得， ∴直线的表达式为， 联立方程组，解得，， ∴点D的横坐标， 综上，或； （4）解：设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 由题意，，则，，如图， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ①当时， 则， ∴ 解得 ∵， ∴； ②当时， 则， ∴， 解得或 (不合题意舍去)， 综上，或． 【变式6-2】（2026·宁夏银川·三模）抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，P是直线上方抛物线上一动点． (1)求抛物线的函数关系式和直线的函数关系式． (2)若点D为线段上的动点，过点D作轴，交于点G．在运动过程中，是否存在这样的点G，使得的面积有最大值．若存在，请求出此时点G的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若与相交于点F，判断是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在， (3) 【分析】（1）利用待定系数法，把、代入即可求出抛物线的函数关系式；同法可求直线解析式， （2）设，其中，则，得到的面积，根据二次函数的性质进行解答即可； （3）过作轴交延长线于，过作轴交于，求出，得，设，则，，证明，有，即得的最大值为． 【详解】（1）解：把、代入得： ， 解得， ∴抛物线解析式为， 设直线解析式为，把，得： ，解得： 直线解析式为 （2）解：存在， 如图， ∵点G在直线上， ∴可设，其中，则 ∴的面积， ∵，抛物线的对称轴为直线， ∴当时，有最大值，最大值为， 此时 （3）存在最大值，理由如下： 过作轴交延长线于，过作轴交于，如图： 在中，令得， ， ， 设，则， ， 轴，轴， ∴， ，， ∴， ， ， ， 的最大值为． 【变式6-3】（2026·辽宁盘锦·一模）如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，顶点D的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)直线：经过点，将直线a绕点C旋转，旋转后的直线记为l， ①已知l与抛物线交于第一象限内的点E，当时，求点E的坐标； ②当直线l与x轴交于时，在直线l下方抛物线上取一点M，过点M作直线l，垂足为H，是否存在一点M使得？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由； ③设抛物线上一点，点是点T关于直线l的对称点，当落在抛物线上时，判断位于抛物线的对称轴左侧还是对称轴右侧，并说明理由． 【答案】(1) (2)①， ②存在，或， ③位于对称轴左侧，理由 与关于直线对称， ， 当时， ， ，   ， ， ， 在对称轴左侧． 【分析】（1）用待定系数法可求出a，从而得出二次函数的解析式； （2）①构造一线三垂直模型，得到三角形相似，利用相似三角形对应边成比例，可以得到关于点横坐的方程，从而可求出的坐标； ②延长交直线于点，可以证得恰好是，的中点，继而可以得出关于，横坐标的方程组，求出的横坐标即可获解； ③由对称性可知，，只要求出的长度，然后与比较，即可判断与对称轴的位置关系． 【详解】（1）解：∵顶点的坐标为， ∴设所求抛物线的解析式为， 把代入，得 ， ， ∴所求抛物线的解析式为； （2）①如图，过D作垂直于y轴，垂足为Q，过E作的垂线，垂足为P， ， ， ， ， ， ， ， 设， ，，，， ， 解得(舍去)， ， ②如图，延长交直线l于点N， 把代入得 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即 为 的中点， ， 设 ，则， 设，则 ， ，， ， 化简得：， 解得， 当时，， 当时，， 的坐标为或， ③略 【点睛】本题是二次函数和几何的综合题，考查了二次函数图象上点的特征，二次函数的顶点式，对称轴，三角形的相似，等腰三角形的判定等知识，关键是要将所求结论转化具体的线段关系，寻找合适等量关系列出方程． ▌题型07 其他问题 基础知识：本类涵盖上述六类之外的综合问题，如： 1. 抛物线平移后与新抛物线的交点/覆盖问题； 2. 图形变换（旋转、对称）后的坐标求解； 3. 最值中的“费马点”“阿氏圆”等模型； 4. 二次函数与方程/不等式的综合应用。 思维路径（通用建模）： 1. 审：读懂题意，明确已知量和待求量 2. 设：设关键点的坐标为参数（通常用横坐标t表示纵坐标） 3. 列：根据题意（距离、面积、角度、存在性等）列出关于参数的方程或函数关系 4. 解：解方程或求二次函数最值 5. 检：检验解的合理性（是否在区间内、是否构成有效图形） 关键技巧：无论情境如何变化，“设动点坐标→坐标化几何条件→列关于t的二次关系→配方求最值或解方程”是通用解题骨架；遇到旋转/对称变换，优先用“变换前后对应点坐标关系”直接列方程。 易错提醒： 1. 平移、旋转、对称等变换不改变a的绝对值（开口宽窄不变）； 2. 最值问题中t的范围必须结合实际图形边界； 3. 存在性问题的结论必须是“存在，点坐标为……”或“不存在，理由：……”，不能只写坐标不表态。 【典例7】（2026·湖南永州·模拟预测）在平面直角坐标系中，是自变量的函数，爱好创新的小鸣构建一个新函数：当时，，当时，，即，将变换后的函数称为原函数的关联函数．例如：一次函数的关联函数为 (1)直接写出二次函数的关联函数的函数表达式； (2)若点在一次函数的关联函数的图象上，求点的坐标； (3)对于二次函数，是否存在实数n满足当时，该二次函数的关联函数的取值范围是，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 (3)解：不存在实数n满足当时，该二次函数的关联函数的取值范围是 ，理由如下： 当时，， ∴此时函数的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随x的增大而增大， 当时，， ∴当时，； 当时，， ∴此时函数的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随x的增大而减小， 当时，， ∴当时，； 在中，当时，， 解得或； ∵当时，该二次函数的关联函数的取值范围是， ∴当时，函数的最大值为5，最小值为； 当时，在满足时，函数的最大值为5，最小值为， ∴， ∴（舍去，）； 当时，在满足时，函数的最大值为5，最小值为处的函数值， ∴， 解得（舍去，）或（舍去）； 综上所述，不存在实数n满足当时，该二次函数的关联函数的取值范围是； 【分析】（1）根据定义求解即可； （2）根据定义求出，再利用待定系数法求解即可； （3）当时，，可求出当时，；当时，，可求出当时，；在中，当时，可求出；当时，在满足时，函数的最大值为5，最小值为，则，解得（舍去，）；当时，在满足时，函数的最大值为5，最小值为处的函数值，则，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，当时，， 当时，， 综上所述，； （2）解：当时，， 当时，， ∵点在一次函数的关联函数的图象上， ∴当时，则，解得，符合题意，此时点P的坐标为； 当时，则，解得，符合题意，此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或； （3）略 【变式7-1】（25-26八年级下·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)已知直线是x轴上一点，过A作x轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①m为何值时，和重合． ②已知，过B作x轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．若对于都有，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)①或；②或． 【分析】对于小问（1），因为抛物线过点，代入抛物线方程可直接得到c的值；再把代入抛物线方程，结合已得的c值，即可用a表示b． 对于小问（2）①，因为横坐标均为m，二者重合意味着纵坐标相等，所以将分别代入抛物线和直线解析式，令纵坐标相等，解方程即可求m．②，先求出的长度表达式，二者均为同横坐标下两点纵坐标差的绝对值；因为是只含a的定值，所以要让内的都大于该定值，结合的函数性质，分析与函数对称轴的位置关系，列出关于a的不等式求解． 【详解】（1）解：将点代入抛物线， 得： ， ． 再将点、代入抛物线， 得： ， 整理得 ． 此时抛物线可整理为：． （2）解：①过作轴垂线，、横坐标均为： 在抛物线上，纵坐标为； 在直线上，纵坐标为． 两点重合，则纵坐标相等， ∴， （）， 两边同除以，得， 因式分解得， 解得 或 ， 即 或 时，和重合． ②横坐标相同的两点、的距离为纵坐标差的绝对值： ，，， ∴． ． ∵， ∴， 两边同除以，得：． ∵， ∴ 整理得， 当时，或， ∴的解集为：或． 题目要求对任意，不等式都成立， ∴需全部满足或全部满足： 若全满足， 则左端点，解得； 若全满足， 则右端点，解得． 因此的取值范围是 或 ． 【变式7-2】（2026·安徽芜湖·三模）已知抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点在抛物线上，点在抛物线上（两点均不与原点重合）． ①若，且，比较、的大小； ②若，且是一个与无关的定值，求a、b的值． 【答案】(1)对称轴为直线 (2)①②， 【分析】（1）利用对称轴为直线，其中是抛物线与x轴的交点坐标； （2）①当时，确定抛物线的解析式为，利用作差的方法，求解即可； ②根据题意，得．抛物线解析式为，根据题意，得点在抛物线上，点在抛物线上，得，，化简得，继而得到，求解即可； 【详解】（1）解：抛物线过原点和， 故对称轴为直线； （2）①解：当时，抛物线解析式为， 又都不经过原点，， ， ②解：抛物线经过点， 故， 解得． ， 根据题意，得点在抛物线上，点在抛物线上 ， 又， ， ， ， ， ， ， 是一个与无关的定值， ， 解得， 故． 【变式7-3】（2026·河北邯郸·模拟预测）如图1，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．将抛物线沿直线向右下方平移，得到函数的图象，则称函数为函数的“关联函数”． (1)求抛物线的解析式，并直接写出点的坐标； (2)将抛物线沿直线向右下方平移一定单位长度后，得到“关联函数”的图象，其顶点恰好是点． ①若点在函数的图象上，且到轴的距离小于或等于，求点的纵坐标的取值范围； ②如图，若点在函数的图象上，且在第二象限内，连接并延长，交抛物线于点，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，以，为邻边作矩形，与射线交于点，设矩形与矩形的周长分别为，．求证：为定值； (3)将抛物线沿直线向右下方平移一定单位长度后，得到“关联函数”的图象．若函数的图象恰好经过点，当时，的最大值为，直接写出的值． 【答案】(1)， (2)①； ②证明：设直线的解析式为， 将点代入，得， ∴直线的解析式为， 联立直线与抛物线，得， ， 整理，得， 解得或， ∴， 联立直线与抛物线，得， ， 整理，得， 解得或， ∴， ∵轴，轴，点在第二象限， ∴，， ∵矩形的周长，矩形的周长， ∴，为定值， 即为定值； (3)或 【分析】（1）使用待定系数法求出抛物线的解析式，再求出点的坐标即可； （2）①先根据平移规律和顶点坐标求出，利用二次函数的增减性求出的取值范围；②设直线的解析式为，将直线分别与抛物线和抛物线联立，计算得，，从而得到，，求出两个矩形的周长，再作差即可证明； （3）由平移方向可设，代入可得，因此．分为，和三类讨论，结合二次函数的增减性与最值，求出符合要求的的值． 【详解】（1）解：将点，代入，得， ，解得， ∴抛物线的解析式为， 令，即， ∴， 解得或， ∴点的坐标为； （2）解：①，顶点为， ∵将抛物线沿直线向右下方平移一定单位长度后，得到“关联函数”的图象，其顶点恰好是点， ∴平移方式为：向右平移个单位，向下平移个单位， ∴， ∴该抛物线的对称轴为直线，图象开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴直线越近，函数值越大， ∴越小，越大， 又∵点到轴的距离小于或等于，即， ∴当时，取得最小值；当时，取得最大值； 综上，点的纵坐标的取值范围为； ②略； （3）解：∵抛物线沿直线向右下方平移， ∴等价于向右平移个单位，同时向下平移个单位， ∴平移得到的抛物线为， 将点代入，得， ， 整理，得， 解得或（不符题意，舍去）， ∴，该抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ①当，即时，区间在对称轴的左侧， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最大值， ∴， 解得或（与矛盾，舍去）； ②当，即时，区间在对称轴的右侧， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值， ∴， 解得或（与矛盾，舍去）； ③当，即时，区间包含， ∴抛物线在顶点处取得最大值，与题意矛盾； 综上所述，的值为或． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 二次函数问题综合 （题型突破·举一反三） 题型01 线段周长问题 题型02 面积问题 题型03 角度问题 题型04 特殊三角形问题 题型05 特殊四边形问题 题型06 相似三角形问题 题型07 其他问题 ▌题型01 线段周长问题 基础知识：抛物线上两点间的距离，优先用“横差、纵差”表示：水平线段长，竖直线段长；斜线段长用勾股定理。周长问题即各边线段长之和。 思维路径（线段最值标准三步）： 1. 设动点：设抛物线上动点P的坐标，明确t的取值范围（受图形边界限制） 2. 表示线段：用t表示所求线段长（竖直线段用纵坐标差，斜线段用距离公式），化为关于t的二次函数 3. 求最值：配方为顶点式，结合t的范围取最值——顶点在范围内则顶点处取最值；不在范围内则在离对称轴最近的端点取得 4. 思维路径（周长最值）：周长＝各边线段之和，分别用t表示每条边→求和得关于t的二次函数→配方求最值→验t范围。 思维路径（将军饮马型）：求对称轴上一动点使周长最小，作某定点关于对称轴的对称点，连接对称点与另一定 易错提醒： 1. 线段长必须加绝对值，但配方求最值时通常t范围内纵坐标差为正，可省略绝对值； 2. t的范围由图形边界定； 3. 周长最值题，若顶点不在t范围内，最值在端点，不能硬套顶点。 【典例1】（2026·广东·中考真题）如图1，设为坐标原点，二次函数的图象经过点，与轴交于点，其对称轴与轴交于点，连接，． (1)求二次函数的解析式； (2)如图2，动点在线段上，过点作的垂线，与二次函数在第二象限的图象交于点，求的最大值． 【变式1-1】（25-26八年级下·重庆渝中·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是线段下方抛物线上一点，过点作轴交线段于点，过点作轴交轴于点，求出的最大值，及此时点的坐标； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上一点，且满足，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一种情况的求解过程． 【变式1-3】（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，，过点作射线轴． (1)求抛物线的表达式； (2)点是线段上方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交线段于点，点，为射线、上的动点，连接、、．当取得最大值时，求点的坐标及周长的最小值； (3)在（2）的条件下，连接，将抛物线沿射线方向平移，使新得到的抛物线过线段的中点，抛物线与轴交于点，连接，点为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． ▌题型02 面积问题 基础知识：坐标系中三角形面积的"铅垂法"是通法：S＝×水平宽×铅垂高。水平宽（两点的横坐标差），铅垂高＝过顶点作竖直线与对边交点的纵坐标差的绝对值。 思维路径（动点面积最值三步）： 1. 设动点：设抛物线上动点P 2. 求铅垂高：过P作x轴垂线交底边所在直线于Q，则铅垂高（Q的纵坐标由直线方程代入t得到） 3. 列面积式：S＝×底边长×，展开为关于t的二次函数→配方求最值 思维路径（面积定值/存在性）：令S＝题目给定值→列方程→解t→检验t是否在运动区间内，舍去无效解。 思维路径（四边形面积）：用“分割法”（连对角线拆为两个三角形分别铅垂法求和）或“补形法”（大矩形面积减去周围多余三角形面积）。 关键技巧：选底边时优先选“水平边”（水平宽直接为两定点横坐标差，是常数），这样面积式只含一个变量t，配方简单；若选斜向边作底，计算复杂。 易错提醒： 1. 铅垂高是“纵坐标差”不是“横坐标差”； 2. 动点P的位置要确认在底边的同侧，保证铅垂高为正； 3. 四边形面积分割时，对角线选择要使两个三角形都便于用铅垂法。 【典例2】（2026·山东泰安·三模）已知平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． (1)用含a的代数式表示b； (2)当时，二次函数的最小值为，求a的值； (3)将函数的图象向左平移a个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新函数图象顶点记为点P，点Q在该新函数图象上．当最小时，的面积为4，直接写出点P和点Q的坐标． 【变式2-1】（25-26九年级上·河北·阶段检测）已知抛物线的图象经过坐标原点O，并与x轴交于点． (1)求此抛物线的解析式 (2)利用配方法或公式法将函数写成顶点式，并写出顶点坐标、对称轴和最值 (3)若抛物线上有一点B，且，求点B的坐标 【变式2-2】（25-26八年级下·黑龙江绥化·期末）如图，抛物线经过点、，与直线交于B、D两点，点P是抛物线上一动点，记点P的横坐标为t． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P位于直线下方时，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)过点P作x轴的垂线交x轴于点H，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 【变式2-3】（25-26八年级下·山东济南·期末）二次函数的图象经过点，与x轴交于点B和点，与y轴交于点D． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，连接，平移线段至，使点B的对应点E落在二次函数在第一象限的图象上，点D的对应点F落在直线上，请求出此时点E的坐标； (3)如图2，在x轴上有一动点（），过点P作直线轴，交抛物线于点M．连接并延长，交y轴于点N，连接，，设的面积为，的面积为，当时，求m的值． ▌题型03 角度问题 基础知识：角度条件转化为坐标关系的主流方法有三种： 1. 斜率法：两直线夹角条件可转化为斜率关系； 2. 相似法：构造相似三角形，利用对应角相等转化为边比关系； 3. 全等法：构造全等三角形转移角。 思维路径（已知一角求另一角）： 1. 分析图中已知角的度数（常由特殊三角形、平行线、抛物线对称性得到） 2. 利用“三角形内角和”“对顶角”“平行线性质”推导目标角 3. 若涉及动点，将角度条件转化为边比（相似）或斜率关系 思维路径（角度存在性）：假设存在满足条件的点→由角度关系列方程（相似对应边成比例/斜率关系）→解方程→检验。 关键技巧：角度问题多与“特殊角”（30°、45°、60°、90°）挂钩，45°对应斜率绝对值为1，90°对应斜率乘积为－1（垂直），转化为代数条件最直接。 易错提醒： 1. 用斜率表示垂直时，需先确认两直线斜率都存在（与坐标轴平行时斜率不存在，需单独讨论）； 2. 角度相等推相似时，必须确认“角在对应关系正确”，避免顶点错位。 【典例3】（2026·四川雅安·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)若P为抛物线上一点，当时，求点P的横坐标． 【变式3-1】（25-26八年级下·福建福州·期末）已知抛物线： (1)当，时，求抛物线的顶点坐标； (2)点为平面直角坐标系原点，点，在抛物线上，且，． ①若，用含的代数式表示； ②当时，求证：抛物线恒过定点，并求出定点的坐标． 【变式3-2】（2026·四川自贡·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数（b、c为常数）的图象与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），交y轴于点C，对称轴为直线，． (1)求二次函数关系式． (2)连接，抛物线上是否存在点P，使，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． (3)如图2，点M、N为x轴下方抛物线上两点（点M在点N的左边），直线、与y轴分别交于R、T两点，若，试探究直线是否经过定点，若是，求定点坐标；若不是，请说明理由． 【变式3-3】（2026·宁夏固原·三模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点是抛物线上位于第一象限的动点，当时，求此时点的坐标； (3)如图2，将原抛物线水平向右平移，使点落在点处，点是原抛物线对称轴上任意一点，在平移后的新抛物线上确定一点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，求出所有符合条件的点的坐标． ▌题型04 特殊三角形问题 基础知识： 1. 等腰三角形：两边相等→分类讨论：以哪条边为底。若A、B为定点，P为动点，则PA＝PB或PA＝AB或PB＝AB三类。 2. 直角三角形：勾股定理逆定理，或斜率乘积为－1（两直角边垂直）。 3. 等腰直角：同时满足等腰＋直角。 思维路径（存在性标准4步）： 1. 设动点坐标P 2. 表示三边长：（用距离公式，保留平方避免根号） 3. 分类列方程： (1) 等腰：PA＝PB、PA＝AB、PB＝AB，三类分别列方程 (2) 直角：三类分别列方程， 4. 解t→检验t范围→求P坐标 关键技巧：“两圆一线法”是几何直观——分别以A、B为圆心AB为半径画圆（找PA＝AB、PB＝AB的点），作AB的垂直平分线（找PA＝PB的点）；但在坐标系中用代数法（距离公式列方程）更普适，不必画图。 易错提醒： 1. 等腰三角形必须分三类讨论，漏一类扣一类分； 2. 解出的t必须代回检验是否满足“三点不共线”（共线退化时不能构成三角形）； 3. 直角三角形用斜率乘积－1比勾股定理简洁，但需先确认斜率存在。 【典例4】（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点C，E为线段AC上一动点（不与点A、C重合）。P为第三象限内抛物线上一动点，连接PE并延长垂直x轴于点D，过点E作AC的垂线，与y轴交于点G，则的最大值为_______． 【变式4-1】（2026·山东烟台·中考真题）如图，二次函数的部分图象与轴交于点，与轴的交点位于点和点之间，顶点为点，对称轴为直线．下列说法：①；②；③；④设抛物线与轴的另一交点为，当时，．其中正确的是（     ） A．②③④ B．②③ C．②④ D．①③④ 【变式4-2】（2026·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点为坐标原点，作直线． (1)求该抛物线的解析式． (2)在抛物线上有两个动点，，点在第一象限，横坐标为，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，点的横坐标为．若的面积记作，的面积记作，当有最大值时，求点的坐标．（自行完成作图并解答） (3)把抛物线沿射线方向平移，平移后，新抛物线过点，点是新抛物线对称轴与轴的交点，点是新抛物线对称轴上的动点，连接，．若平分，请直接写出符合条件的点坐标．（自行完成作图并作答） 【变式4-3】（2026·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，点B在抛物线上．设其横坐标为m．点C是平面直角坐标系中异于点B的一点，其坐标是，连接，当不与坐标轴垂直时，以为斜边作 ，使轴． (1)求抛物线所对应的函数表达式； (2)当点B在抛物线对称轴左侧，且是等腰直角三角形时，求m的值； (3)当的边与抛物线有公共点时，求m的取值范围； (4)当抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而增大，或y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． ▌题型05 特殊四边形问题 基础知识： 1. 平行四边形：对角线互相平分→中点坐标公式：且 2. 矩形：平行四边形＋一个直角（邻边垂直，斜率乘积为－1）或对角线相等 3. 菱形：平行四边形＋邻边相等（或对角线垂直） 4. 正方形：平行四边形＋邻边相等＋一个直角 思维路径（已知三点求第四点）： 1. 设未知点D 2. 分类：AB为对角线/AC为对角线/AD为对角线（三类） 3. 每一类用中点坐标公式列方程求解 4. 检验是否满足特殊四边形的附加条件（如矩形需验证垂直） 思维路径（双动点构成四边形）：设两个动点坐标→用中点公式或边长相等＋平行条件（斜率相等）列方程→解参数。 关键技巧：平行四边形存在性用“中点坐标公式”比用“对边平行且相等”计算更简单；分类讨论以“哪条线段为对角线”为标准，三类不重不漏。 易错提醒： 1. 分类标准要统一（按对角线分，不按边分，避免重复）； 2. 求出点后必须验证是否真构成平行四边形（中点公式保证了，但附加条件如矩形需再验垂直）； 3. 菱形/矩形/正方形的附加条件容易漏验。 【典例5】（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，交轴于点．动点M沿x轴从点A向点B运动，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P． (1)求抛物线解析式； (2)抛物线的对称轴交于点E，顶点是点D，以D、E、N、P四个点为顶点的四边形为平行四边形时，求点N的坐标； (3)在y轴右侧的抛物线上有一点Q，Q的横坐标为m，设该抛物线在点C与点Q之间（包含点C和点Q）的部分的最高点和最低点到x轴的距离分别为s，t，当时，直接写出m的取值范围． 【变式5-1】（2026·四川凉山·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，，对称轴是直线．动点M以每秒1个单位长度的速度，沿x轴从点O向点B运动，设运动时间为t（）秒，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P． (1)求抛物线解析式； (2)抛物线的对称轴交于点E，顶点是点D，当t为何值时，四边形为平行四边形； (3)动点M开始运动时，另一动点Q同时以每秒0.5个单位长度的速度，沿x轴从点O向点A运动．当t为何值时，四边形的面积最大，并求最大面积． 【变式5-2】（2026·广东广州·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过，，三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点，的坐标； (2)点在直线上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点，，，在各边上）？若能，请画出图形并直接写出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 【变式5-3】（2026·吉林·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点在抛物线（b，c为常数）上，该抛物线与y轴的交点为．点P在该抛物线上，其横坐标为m．当点P不在坐标轴上时，过点P分别向x轴与y轴作垂线，垂足分别为点M和点Q． (1)求该抛物线对应的函数解析式． (2)当点Q在抛物线上时，求m的值． (3)当，且四边形内部（包括边界）的抛物线上的最高点与最低点的纵坐标的差为时，求m的值． (4)当四边形内部的抛物线上的点的纵坐标y随x的增大而减小，且此抛物线的顶点在四边形的对角线所在的直线上时，直接写出m的值． ▌题型06 相似三角形问题 基础知识：坐标系中证明两个三角形相似，主流路径： 1. AA（找两组角相等，常通过斜率或平行线得到）； 2. 三边成比例（用距离公式表示三边长，列比例式）； 3. 两边成比例且夹角相等（SAS）。 思维路径（相似存在性）： 1. 设动点坐标P 2. 表示各边长度（距离公式） 3. 按对应顶点分类：相似三角形的对应顶点不确定，需分类 4. 列比例式：按所选对应关系，对应边成比例→解方程→检验 思维路径（相似求线段/面积）：先由相似得相似比k→面积比＝→求面积。 关键技巧：抛物线背景下，相似三角形的“直角”条件很常见，优先走AA（直角+一组锐角等）；对应顶点分类是核心难点，务必按“固定三角形的哪个角对应动点三角形的哪个角”枚举。 易错提醒： 1. 对应顶点分类不全是最大丢分点； 2. 解出的t必须检验是否使三角形退化（三点共线）； 3. 比例式必须“对应边”对应，顶点顺序不能乱。 【典例6】（2026·福建三明·模拟预测）已知二次函数（）的图象与轴交于、两点，与轴交于点，其对称轴为直线． (1)当时，求该二次函数的表达式； (2)求证：； (3)若点的坐标为，且点为直线上方的抛物线上的一点，过点作轴，交直线于点． ①若以，，为顶点的三角形与相似，请求出所有满足条件的点的坐标； ②是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式6-1】（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点B．点D是抛物线上的一个动点，点D的横坐标为m． (1)求该抛物线的解析式； (2)该抛物线的对称轴为_____； (3)当与的面积相等时，求m的值； (4)若点D在第一象限内抛物线上，过点D作轴于点E，交于点P，且满足与相似，直接写出m的值． 【变式6-2】（2026·宁夏银川·三模）抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，P是直线上方抛物线上一动点． (1)求抛物线的函数关系式和直线的函数关系式． (2)若点D为线段上的动点，过点D作轴，交于点G．在运动过程中，是否存在这样的点G，使得的面积有最大值．若存在，请求出此时点G的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若与相交于点F，判断是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【变式6-3】（2026·辽宁盘锦·一模）如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，顶点D的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)直线：经过点，将直线a绕点C旋转，旋转后的直线记为l， ①已知l与抛物线交于第一象限内的点E，当时，求点E的坐标； ②当直线l与x轴交于时，在直线l下方抛物线上取一点M，过点M作直线l，垂足为H，是否存在一点M使得？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由； ③设抛物线上一点，点是点T关于直线l的对称点，当落在抛物线上时，判断位于抛物线的对称轴左侧还是对称轴右侧，并说明理由． ▌题型07 其他问题 基础知识：本类涵盖上述六类之外的综合问题，如： 1. 抛物线平移后与新抛物线的交点/覆盖问题； 2. 图形变换（旋转、对称）后的坐标求解； 3. 最值中的“费马点”“阿氏圆”等模型； 4. 二次函数与方程/不等式的综合应用。 思维路径（通用建模）： 1. 审：读懂题意，明确已知量和待求量 2. 设：设关键点的坐标为参数（通常用横坐标t表示纵坐标） 3. 列：根据题意（距离、面积、角度、存在性等）列出关于参数的方程或函数关系 4. 解：解方程或求二次函数最值 5. 检：检验解的合理性（是否在区间内、是否构成有效图形） 关键技巧：无论情境如何变化，“设动点坐标→坐标化几何条件→列关于t的二次关系→配方求最值或解方程”是通用解题骨架；遇到旋转/对称变换，优先用“变换前后对应点坐标关系”直接列方程。 易错提醒： 1. 平移、旋转、对称等变换不改变a的绝对值（开口宽窄不变）； 2. 最值问题中t的范围必须结合实际图形边界； 3. 存在性问题的结论必须是“存在，点坐标为……”或“不存在，理由：……”，不能只写坐标不表态。 【典例7】（2026·湖南永州·模拟预测）在平面直角坐标系中，是自变量的函数，爱好创新的小鸣构建一个新函数：当时，，当时，，即，将变换后的函数称为原函数的关联函数．例如：一次函数的关联函数为 (1)直接写出二次函数的关联函数的函数表达式； (2)若点在一次函数的关联函数的图象上，求点的坐标； (3)对于二次函数，是否存在实数n满足当时，该二次函数的关联函数的取值范围是，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； 【变式7-1】（25-26八年级下·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)已知直线是x轴上一点，过A作x轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①m为何值时，和重合． ②已知，过B作x轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．若对于都有，求a的取值范围． 【变式7-2】（2026·安徽芜湖·三模）已知抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点在抛物线上，点在抛物线上（两点均不与原点重合）． ①若，且，比较、的大小； ②若，且是一个与无关的定值，求a、b的值． 【变式7-3】（2026·河北邯郸·模拟预测）如图1，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．将抛物线沿直线向右下方平移，得到函数的图象，则称函数为函数的“关联函数”． (1)求抛物线的解析式，并直接写出点的坐标； (2)将抛物线沿直线向右下方平移一定单位长度后，得到“关联函数”的图象，其顶点恰好是点． ①若点在函数的图象上，且到轴的距离小于或等于，求点的纵坐标的取值范围； ②如图，若点在函数的图象上，且在第二象限内，连接并延长，交抛物线于点，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，以，为邻边作矩形，与射线交于点，设矩形与矩形的周长分别为，．求证：为定值； (3)将抛物线沿直线向右下方平移一定单位长度后，得到“关联函数”的图象．若函数的图象恰好经过点，当时，的最大值为，直接写出的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $