5.2.5二次函数图象待定系数求解析式同步练习2026-2027学年北师大版九年级上册

**基本信息** 北师大新版九上二次函数待定系数求解析式同步练习，18题分层设计覆盖三种形式应用，从基础代入到综合图象分析，培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|一般式/顶点式/双根式直接应用|选择题1、3、7，填空题10、11，解答题16，巩固待定系数法基本技能| |中档|结合图象/表格/对称性求解析式|选择题2、4、5、6、8、9，填空题12、13、14，解答题17，提升综合应用能力| |提升|抛物线性质分析与函数值比较|填空题15，解答题18，培养推理能力与数据意识|

5.2.5二次函数图象待定系数求解析式 同步练习 北师大新版九上 一．选择题（共9小题） 1．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过（1，0）、（2，0）、（0，2）三点，则该函数的解析式为（　　） A．y＝2x2+x+2 B．y＝x2+3x+2 C．y＝x2﹣2x+3 D．y＝x2﹣3x+2 2．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（　　） A．y＝x2﹣2x+3 B．y＝x2﹣2x﹣3 C．y＝x2+2x﹣3 D．y＝x2+2x+3 3．已知抛物线y＝2x2+bx+c的顶点坐标为（2，﹣4），则该抛物线的解析式为（　　） A．y＝2x2﹣8x+4 B．y＝2x2+8x+4 C．y＝2x2﹣8x﹣4 D．y＝2x2+8x﹣4 4．已知二次函数的图象经过点（﹣1，﹣9），（0，﹣4）和（1，﹣3），则该二次函数的解析式为（　　） A．y＝﹣2x2+3x﹣4 B．y＝2x2+3x﹣4 C．y＝﹣x2+3x﹣4 D．y＝x2+3x﹣4 5．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，0），（1，2），且对称轴为直线x＝1，则该二次函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 6．已知某二次函数，当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是（　　） A．y＝2 （x+1）2 B．y＝2 （x﹣1）2 C．y＝﹣2 （x+1）2 D．y＝﹣2 （x﹣1）2 7．已知二次函数图象过（1，0），（3，0），其图象的开口和形状均与y＝x2的图象一致，那么该二次函数的表达式为（　　） A．y＝x2﹣4x+3 B．y＝2x2﹣4x+3 C．y＝x2+4x+3 D．y＝2x2+4x+3 8．在二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表 x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 … y … 21 12 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 m … 其中m的值（　　） A．21 B．12 C．5 D．﹣4 9．已知抛物线的顶点坐标是（2，1），且抛物线经过点（3，0），则这条抛物线的函数表达式是（　　） A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2+1 C．y＝﹣（x+2）2+1 D．y＝﹣（x﹣2）2+1 二．填空题（共6小题） 10．二次函数解析式通常有三种形式：①一般式 　 　 ；②顶点式 　 　 ；③双根式 　 　 ． 11．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），则二次函数的解析式是 　 　 ． 12．已知y＝y1+y2，y1与x2成正比例，y2与x﹣1成正比例．当x＝1时，y＝2；当x＝2时，y＝﹣1，则当x＝3时，y的值为　 　 ． 13．抛物线y＝2x2+bx+c与y轴交于点C（0，1），过点C的直线MN∥x轴，且与抛物线的另一交点为D（﹣2，n），则此抛物线的解析式为　 　 ． 14．已知二次函数的图象经过点A（0，﹣3），B（2，﹣3），C（﹣1，0），则此二次函数的解析式是　 　 ． 15．抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 … y … ﹣6 0 4 6 4 … 从上表可知，下列说法中正确的是　 　 ．（填写序号） ①抛物线的对称轴是直线x＝1； ②抛物线一定经过点（3，0）； ③在对称轴左侧，y随x增大而减小； ④若两点在此抛物线上，则y1＞y2． 三．解答题（共3小题） 16．已知二次函数y＝x2﹣6x+m的图象经过点P（1，5）． （1）求m的值； （2）将y＝x2﹣6x+m化成y＝a（x+b）2+k的形式． 17．一个二次函数的图象经过点A（0，1），B（1，2），C（2，1）．求这个二次函数的表达式． 18．已知二次函数y＝ax2+2的图象经过点（1，﹣1）． （1）求该二次函数的表达式； （2）写出该函数图象的对称轴及顶点坐标； （3）已知点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1.5，y3）都在该函数图象上，试比较y1，y2，y3的大小． 5.2.5二次函数图象待定系数求解析式 同步练习 北师大新版九上 参考答案与试题解析 一．选择题（共9小题） 1．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过（1，0）、（2，0）、（0，2）三点，则该函数的解析式为（　　） A．y＝2x2+x+2 B．y＝x2+3x+2 C．y＝x2﹣2x+3 D．y＝x2﹣3x+2 【解答】解：把（1，0）、（2，0）和（0，2）代入二次函数y＝ax2+bx+c得：， 解得：； 所以二次函数的解析式是y＝x2﹣3x+2， 故选：D． 2．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（　　） A．y＝x2﹣2x+3 B．y＝x2﹣2x﹣3 C．y＝x2+2x﹣3 D．y＝x2+2x+3 【解答】解：该二次函数的对称轴为：直线x＝1， 则， 解得：b＝﹣2， 由条件可得c＝﹣3， 故这个二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3， 故选：B． 3．已知抛物线y＝2x2+bx+c的顶点坐标为（2，﹣4），则该抛物线的解析式为（　　） A．y＝2x2﹣8x+4 B．y＝2x2+8x+4 C．y＝2x2﹣8x﹣4 D．y＝2x2+8x﹣4 【解答】解：∵抛物线y＝2x2+bx+c的顶点坐标为（2，﹣4）， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝2x2﹣8x+4， 故选：A． 4．已知二次函数的图象经过点（﹣1，﹣9），（0，﹣4）和（1，﹣3），则该二次函数的解析式为（　　） A．y＝﹣2x2+3x﹣4 B．y＝2x2+3x﹣4 C．y＝﹣x2+3x﹣4 D．y＝x2+3x﹣4 【解答】解：设二次函数解析式为y＝ax2+bx+c， 把（﹣1，﹣9），（0，﹣4）和（1，﹣3）分别代入得， 解得， 所以抛物线解析式为y＝﹣2x2+3x﹣4． 故选：A． 5．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，0），（1，2），且对称轴为直线x＝1，则该二次函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1， ∴由对称轴公式可得 ，即b＝﹣2a， 由条件可得， 解得 ， ∴该二次函数的解析式为． 故选：A． 6．已知某二次函数，当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是（　　） A．y＝2 （x+1）2 B．y＝2 （x﹣1）2 C．y＝﹣2 （x+1）2 D．y＝﹣2 （x﹣1）2 【解答】解：∵当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1， ∴抛物线y＝2（x﹣1）2满足条件． 故选：B． 7．已知二次函数图象过（1，0），（3，0），其图象的开口和形状均与y＝x2的图象一致，那么该二次函数的表达式为（　　） A．y＝x2﹣4x+3 B．y＝2x2﹣4x+3 C．y＝x2+4x+3 D．y＝2x2+4x+3 【解答】解：∵图象开口和形状与y＝x2一致， ∴a＝1． 又∵图象过（1，0），（3，0）， ∴该二次函数的表达式为y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3． 故选：A． 8．在二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表 x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 … y … 21 12 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 m … 其中m的值（　　） A．21 B．12 C．5 D．﹣4 【解答】解：从表格看：函数的对称轴为：x＝2， x＝5与x＝﹣1是关于对称轴的对称点， 其y值相同，故m＝5， 故选：C． 9．已知抛物线的顶点坐标是（2，1），且抛物线经过点（3，0），则这条抛物线的函数表达式是（　　） A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2+1 C．y＝﹣（x+2）2+1 D．y＝﹣（x﹣2）2+1 【解答】解：设抛物线顶点式为：y＝a（x﹣2）2+1， 把点（3，0）坐标代入得：0＝a+1， 解得a＝﹣1， ∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2+1． 故选：D． 二．填空题（共6小题） 10．二次函数解析式通常有三种形式：①一般式 y＝ax2+bx+c（a≠0）　 ；②顶点式 y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）　 ；③双根式 y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0）　 ． 【解答】解：根据二次函数的三种形式：一般式，形如y＝ax2+bx+c（a≠0）；顶点式，形如y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）；双根式，形如y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0）， 二次函数的一般式是形如y＝ax2+bx+c（a≠0）的形式可得； 二次函数的顶点式是形如y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）； 若x1、x2是二次函数与x轴的两个交点的横坐标，则二次函数解析式可以设为形如y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0）的形式，这叫做双根式， 故答案为：y＝ax2+bx+c（a≠0），y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0）． 11．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），则二次函数的解析式是 y＝x2﹣4x+3　 ． 【解答】解：根据题意得， 解得． ∴二次函数的解析式是y＝x2﹣4x+3． 12．已知y＝y1+y2，y1与x2成正比例，y2与x﹣1成正比例．当x＝1时，y＝2；当x＝2时，y＝﹣1，则当x＝3时，y的值为　0　 ． 【解答】解：∵y1与x2成正比例，y2与x﹣1成正比例， ∴y2＝k2（x﹣1）（k2≠0），， ∵y＝y1+y2， ∴， ∵当x＝2时，y＝﹣1，当x＝1时，y＝2； ∴， 解得：， ∴y＝2x2﹣9（x﹣1）＝2x2﹣9x+9， 当x＝3时，y＝2x2﹣9x+9＝2×32﹣9×3+9＝0． 故答案为：0． 13．抛物线y＝2x2+bx+c与y轴交于点C（0，1），过点C的直线MN∥x轴，且与抛物线的另一交点为D（﹣2，n），则此抛物线的解析式为y＝2x2+4x+1　 ． 【解答】解：∵CD∥x轴， 而C（0，1）， ∴D（﹣2，1）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，即1，解得b＝4， 把C（0，1）代入y＝2x2+bx+c得c＝1， ∴抛物线解析式为y＝2x2+4x+1． 故答案为y＝2x2+4x+1． 14．已知二次函数的图象经过点A（0，﹣3），B（2，﹣3），C（﹣1，0），则此二次函数的解析式是y＝x2﹣2x﹣3　 ． 【解答】解：设此二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0）， ∴， 解得， ∴此二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3． 故答案为：y＝x2﹣2x﹣3． 15．抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 … y … ﹣6 0 4 6 4 … 从上表可知，下列说法中正确的是　②　 ．（填写序号） ①抛物线的对称轴是直线x＝1； ②抛物线一定经过点（3，0）； ③在对称轴左侧，y随x增大而减小； ④若两点在此抛物线上，则y1＞y2． 【解答】解：将点（2，4），（﹣2，0），（﹣1，4）代入y＝ax2+bx+c 得：， 解得， ∴， ∴抛物线的对称轴是直线，则说法①错误，不符合题意； 设抛物线与x轴的另一个交点坐标为（m，0）， ∴， 解得m＝3， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），则说法②正确，符合题意； ∵抛物线中的a＝﹣1＜0， ∴在对称轴左侧，y随x增大而增大，则说法③错误，不符合题意； 由二次函数的对称性可知，当时的函数值与当时的函数值相等，即为y1， 又∵抛物线的开口向下，对称轴是直线， ∴当时，y随x增大而减小， ∵点，两点在此抛物线上，且， ∴y1＜y2，则说法④错误，不符合题意； 故答案为：②． 三．解答题（共3小题） 16．已知二次函数y＝x2﹣6x+m的图象经过点P（1，5）． （1）求m的值； （2）将y＝x2﹣6x+m化成y＝a（x+b）2+k的形式． 【解答】解：（1）二次函数y＝x2﹣6x+m的图象经过点P（1，5）， 则12﹣6×1+m＝5， 解得：m＝10； （2）y＝x2﹣6x+10 ＝x2﹣6x+9+1 ＝（x﹣3）2+1． 17．一个二次函数的图象经过点A（0，1），B（1，2），C（2，1）．求这个二次函数的表达式． 【解答】解：设这个二次函数的表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）， 把A（0，1），B（1，2），C（2，1）代入得： ， 把①代入②得：a+b＝1④， 把①代入③得：2a+b＝0⑤， ⑤﹣④得：a＝﹣1， 把a＝﹣1代入④得：b＝2， ∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+1． 18．已知二次函数y＝ax2+2的图象经过点（1，﹣1）． （1）求该二次函数的表达式； （2）写出该函数图象的对称轴及顶点坐标； （3）已知点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1.5，y3）都在该函数图象上，试比较y1，y2，y3的大小． 【解答】解：（1）∵二次函数的图象经过点（1，﹣1），∴a+2＝﹣1， 解得：a＝﹣3， ∴二次函数的解析式为y＝﹣3x2+2； （2）∵y＝﹣3x2+2， ∴对称轴为y轴，顶点坐标为（0，2）； （3）因为开口向下， 所以离对称轴越远，y值越小， ∵2＞1.5＞1， ∴y1＜y3＜y2． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/9/5 13:54:33；用户：曙光；邮箱：15046884347；学号：19101398 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $