2.1 认识一元二次方程&2.2 求解一元二次方程-【追梦之旅 · 初中同步铺路卷】2026-2027学年九年级上册数学活页同步练习（北师大版·新教材）

高效同步练习1 知识点①一元二次方程的定义以及一般形式 1.（3分)下列关于x的方程一定是一元二次方 程的是( A.ax2+bx+c=O B.x2+1-x2=0 C.x2+1=2 D.x2-x-2=0 x 2.（3分)一元二次方程2x2=x+3的二次项系 数、一次项系数、常数项分别是( A.2,-1,-3 B.2,1,3 C.2,0,-3 D.2,0,3 知识点②一元二次方程的解 3.(3分)下列各数是方程x2-x=12的根的 是() A.x=3 B.x=4 C.x=5 D.x=10 4.（3分)若关于x的一元二次方程x2+mx-3=0 的一个根是x=1,则m的值为() A.1 B.-1 C.2 D.-2 知识点③列一元二次方程 5.(3分)在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类 乘除捷法》中记载着这样一个问题：“直田积 八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问： 阔及长各几步？”也就是说：“一块长方形田地 的面积为864平方步，宽比长小12步，问：这 块长方形田地的长、宽各多少步？”设长为x 步，则下列方程正确的是()》 A.x(x-12)=864 B.x(x+12)=864 C.x(12-x)=864 D.2(x+x+12)=864 知识点④一元二次方程解的估算 6.（3分)观察下列表格，一元二次方程x2-3x 4.6=0的一个近似解为( -1.13 -1.12-1.11-1.10-1.09 -1.08-1.07 x2-3x4.67 4.61 4.56 4.51 4.46 4.414.35 A.-1.124 B.-1.118 C.-1.088 D.-1.073 15分钟同步练习，精炼高效 人识一元二次方程 易错点)忽略二次项系数不为0的条件致错 7.(3分)若关于x的方程(m+1)xm1+1+x-3=0 是一元二次方程，则m的值为 8.（9分)一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根 是1，且a,b满足b=√a-2+√2-a-1,求此一 元二次方程。 第二章 9.(10分)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c =0,如果a,b,c满足3a-2b+c=0,我们就称这 个一元二次方程为美妙方程。 (1)判断方程2x2-x-8=0是否为美妙方程， 并说明理由。 (2)已知关于x的美妙方程ax2+2x+c=0的一 个根是-1，求这个美妙方程。 考点BS九年级数学上册 11 高效同步练习2求解一元二次方程 第1课时 直接开平方法和配方法 知识点①直接开平方法 易错点配方时，只在方程的左边加上一次项系 1.（3分)一元二次方程x2=16的解是( 数一半的平方，而忘记要减去一次项系 A.x=-4 B.x=4 数一半的平方 5.（9分)阅读下列关于解方程：x2-2x-9=0的 C.x1=4,x2=-4 D.x1=8,x2=-8 解题过程，解决下列问题。 2.（3分)一元二次方程(x+7)2=81可转化为两 个一元一次方程，其中一个是x+7=9,则另 獬：x2-2x-9=0.① 章 个是() x2-2x+1-9=0.② A.x-7=-9 B.x-7=9 (x-1)2-9=0.③ x-1=3或x-1=-3…④ C.x+7=9 D.x+7=-9 ∴.x1=4,x2=-2…⑤ 知识点②配方法 3.（3分)用配方法解一元二次方程x2-12x-5= （1)上述解题过程有误，错在步骤（填序 0,配方后得到(x-6)2=m,则m的值 号) (2)请你写出正确的解答过程。 是( A.31 B.41 C.14 D.37 4.（10分)用配方法解方程： (1)x2-4x-3=0; 6.(9分)已知△ABC的三边长分别为a,b,co (1)若a,b满足a2-2a+b2-86+17=0,求a,b 的值； (2)x2-2x-5=0。 (2)若c为偶数，求△ABC周长。 12 15分钟同步练习，精炼高效抓考点BS九年级数学上册 第2课时 用配方法角 一 元二 知识点①二次项系数不为1的一元二次方程的 配方 1.（3分)用配方法解一元二次方程2x2-2x-1= 0,下列配方正确的是() 3 3 4 B.(x4)2= 2 3 4 D.(x-2 知识点②用配方法求解二次项系数不为1的一 元二次方程 2.（3分)将一元二次方程2x2-12x-1=0配方成 (x+a)2=b的形式，则a,b的值为() A.a=3,b=10 B.a=-3,b=10 C.a=3,6=19 2 D.a=-3,6=19 2 3.（3分)用配方法解一元二次方程4x2+bx+a=0 得2x-3=±√6，则b的值为 4.（3分)定义一种运算：a⑧b=a2-ab,例如：1⑧ 2=12-1×2=-1。若m⑧3的值为5，则-2m2+ 6m的值为 5.（10分)用配方法解下列方程： (1)3x2+6x-12=0; (2)2x2-7x+6=0。 25分钟同步练习，精炼高效扔 辉二次项系数不为1的 次方程 知识点③配方法的应用 6.(3分)已知P=m2-m,Q=m-2,其中m为任 意实数，则P与Q的大小关系为( ) A.P>Q B.P=Q C.P<Q D.无法确定 7.(9分)我们已经学习了利用配方法解一元二 次方程，其实配方法还有其他重要应用。例： 第 已知x可取任何实数，试求二次三项式2x2- 章 12x+14的值的范围。 解：2x2-12x+14=2(x2-6x）+14=2(x2-6x+ 32-32)+14=2[(x-3)2-9]+14=2(x-3)2 18+14=2(x-3)2-4。.无论x取何实数， 总有(x-3)2≥0，.2(x-3)2-4≥-4。即无 论x取何实数，2x2-12x+14的值总是不小 于-4的实数。 问题：已知x可取任何实数，求二次三项式 -3x2+12x+11的最值情况。 易错点一元二次方程没有转化成(x+n)2=p的 形式就开始解方程 8.(3分)小刚用配方法解2x2-bx+a=0,得x2 ,√/1 2,则6等于( A.-6 B.-3 C.6 D.3 考点BS九年级数学上册 13 9.（3分)不论x,y为何实数，代数式x2+y2+2y 4x+6的值() A.总不小于1 B.总不大于1 C.总不小于6 D.可为任何实数 10.(3分)小明设计了一个魔术盒，当任意实数 对(a,b)进人其中时，会得到一个新的实数， a2+3b-4,例如把(2，-5)放入其中，就会得到 22+3×(-5)-4=-15。现将实数对(m,-3m) 放入其中，得到实数6，则m的值为(） A.-10 B.-1 C.10或-1 D.-10或1 章 11.（3分)一元二次方程x2-6x-1=●的等号右 边只有常数项，且该常数项被墨水覆盖，但 知道整理成一般形式后该方程的常数项为 0,将其配方后变形为(x+a)2=b,则下列判断 正确的是( A.a=-3 B.a=3 C.b=10 D.b=-1 12.(9分)小颖在解方程2x2-8x+4=0时出现了 错误，解答过程如图所示： 解方程：2x2-8x+4=0 解：2x2-8x=-4,① x2-4x=-4,…② x2-4x+4=-4+4,…③ (x-2)2=0,.④ x-2=±0，…⑤ x1=x2=2…⑥ (1)小颖的解答过程从第 步开始出 错，其错误的原因是 (2)请你写出此题正确的解题过程。 14 25分钟同步练习，精炼高效专 13.文化情境·数学文化(9分)我国古代数学家 赵爽（公元3~4世纪）在其所著的《勾股圆 方图注》中记载过一元二次方程的几何解 法，用“拼”的方法完成了配方，例如：x2+2x- 24=0,可以变形为x(x+2)=24,用四个长为 x+2、宽为x、面积为24的矩形，拼成如图所 示的大正方形，利用大正方形的面积等于四 个矩形的面积加中间小正方形的面积可以 得到(x+x+2)2=4×24+22。 【模仿实践】 (1)用“拼”的方法解方程x2+5x-14=0,先 变形为 每个小长方形的 长为 ,宽为 ,小正方形的 面积为 【深入探究】 (2)用“拼”的方法解方程2x2+5x=3,写出解 题过程。 X+2 24 24x+2 2 x+224 2424 xx+2 考点BS九年级数学上册 第3课时 用公式法： 知识点①用公式法解一元二次方程 1.(3分)用公式法解一元二次方程2x2-x-1=0 时，a,b,c的值依次为() A.2,1,1 B.2,-1,-1 C.2,1,-1 D.-2,1,1 2.(3分)用公式法解方程4x2+12x+3=0, 得() A.x=3±v6 B.t=3±6 2 2 C.x=3±23 3±23 D.= 3 2 3.（3分)若一元二次方程的根为x= -3±/32-4×2×1 ,则该一元二次方程可以 2×2 为() A.2x2+3x+1=0 B.2x2-3x+1=0 C.2x2+3x-1=0 D.2x2-3x-1=0 4.（3分)已知x=a是一元二次方程x2-x-1=0 较大的根，则下面对a的估计正确的 是() A.0<a<1 B.1<a<1.5 C.1.5<a<2 D.2<a<3 5.（10分)用公式法解方程： (1)3x2-4x-8=0; (2)x2+2x-4=0。 25分钟同步练习，精炼高效扔 求解一元二次方精 知识点②一元二次方程根的判别式 6.（3分)关于x的一元二次方程x2-2x-5=0,根 的判别式b2-4ac中的c表示的数是() A.1 B.-2 C.-5D.5 7.(3分)关于x的一元二次方程3x2-4x+2=0 中，根的判别式b2-4ac的值为() A.8 B.12 C.-8D.-12 8.(3分)已知关于x的一元二次方程x2+mx+n 章 =0,其中m,n在数轴上的对应点如图所示， 则方程的根的情况是() n 0 m A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定 9.(9分)已知关于x的一元二次方程a2x2+bx-2 =0(a≠0)。 (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是2，求代数式8a2+4b 的值。 易错点未对方程进行分类讨论导致漏解 10.(3分)关于x的方程(k-1)2x2+(2k+1)x+1 =0有实数根，则k的取值范围是( A.k>且k≠1 B.k≥且k≠1 4 1 C.k> 4 1 D.k≥4 考点BS九年级数学上册 15 11.新定义」(3分)对于实数m,n定义运算 “*”为m*n=n2+2m,例如：1*3=32+2×1 =11,则关于x的方程2*x=x+5的根的情 况是() A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 12.(3分)在平面直角坐标系中，若直线y=-2x +a不经过第一象限，则关于x的方程ax2+x+ 章 2=0的实数根的个数是() A.0 B.1 C.2 D.1或2 13.(9分)已知关于x的方程b(x2-1)+2ax+c (x2+1)=0,其中a,b,c分别为△ABC三边 的长。 (1)若x=-1是方程的根，试判断△ABC的 形状； (2)若方程有两个相等的实数根，试判断 △ABC的形状。 16 25分钟同步练习，精炼高效 14.学科素养·类比思想(9分)阅读理解： 方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根是x= -b生-4ac。方程y2+by+ac=0的根是y 2a =-b±VB2-4ac 2 因此，要求ax2+bx+c=0(a≠0)的根，只要求 出方程y2+by+ac=0的根，再除以a就可 以了。 举例：解方程72x2+8x+二=0。 6 1 解：先解方程y+8y+72×石0，得1=-2， =-6。 .方程72+8x+6 1 三0的两根是，23 s-G 72 1 1 即x1=36,=12 请按上述阅读理解中所提供的方法解方程 1 49x2+6x7=0。 考点BS九年级数学上册 第4课时 用因式分角 知识点①用因式分解法解一元二次方程 1.(3分)一元二次方程x2-2x=0的两根分别 为() A.x1=x2=0 B.x1=x2=4 C.x1=0,x2=2 D.x1=2,x2=-2 2.科技情境·DeepSeek(3分)如图，根据小明与 DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思考后，给 出的答案是( ) 有没有这样的数，先算这个数的平方， 再 减去这个数的3倍，最后加上4，运算结果 和这个数相同？ A.1 B.2 C.-2 D.2或-2 3.（10分)用因式分解法解方程： （1)x2-2x-8=0; (2)(x+4)2=5(x+4)。 知识点②用合适的方法解一元二次方程 4.(3分)解方程5x2-9x+1=0最适当的方法 是() A.直接开平方法 B.配方法 C.公式法 D.因式分解法 15分钟同步练习，精炼高效专 辉法求解一元二次方程 易错点忽略方程成立的条件致错 2 5.（3分)若关于x的方程x2+2x-3=0与 +3 有一个解相同，则a的值为( x-a A.1 B.1或-3 C.-1 D.-1或3 童 6.新定义(3分)定义新运算：对于任意实数 章 m,n都有m☆n=m2-mn+n,等式右边是常用 的加法、减法、乘法及乘方运算。例如：-3☆2 =(-3)2-(-3)×2+2=17。若x☆4=1，求x 7.(9分)下面是小明用因式分解法解一元二次 方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的 问题。 解一元二次方程：6x2-2x=1-3x 解：原方程可以化为：2x(3x-1)=-(3x-1)… 第一步 两边同时除以(3x-1),得2x=-1…第二步 系数化为1，得x=…第三步 任务： (1)小明的解法是不正确的，他从第步开 始出现了错误； (2)请你继续用因式分解法完成这个方程的 正确解题过程。 考点BS九年级数学上册 1724x2、 24x21 ×2x2=6。 第2课时正方形的判定 1.D2.D3.①②4.B5.C6.D 7.(1)证明：AB=AC,AD⊥BC,.AD平分∠BAC,∠ADC=90° ∴.∠BAD=∠CAD= 2LBMC。:∠CMN=2LCAM,:∠DAE =∠CAN+∠DAC= 2∠CAM 2∠BAC= 2×180°=90°。CE ⊥AN,.∠AEC=90°，.∠AEC=∠ADC=∠DAE=90°，∴.四边 形ADCE为矩形 (2)解：当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正 方形。理由如下：由(1)知四边形ADCE为矩形。∠BAC 90°，∴.∠BAD=∠CAD=45°，∴.∠ACD=45°，∴.AD=DC,∴.四 边形ADCE为正方形。 ☆问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形 1.解：(1)1 (2)证明：.·矩形ABCD,ANCM为两个大小一样的矩形纸片 ..AD∥BC,AN∥CM,AM=CD,∠M=∠D=90°，..四边形AFCE I∠AEM=∠CED 是平行四边形，在△AME和△CDE中， ∠M=∠D LAM=CD △AME兰△CDE(AAS),AE=CE,∴.四边形AECF是菱形； (3)如图3，四边形AECF即为所求： (4)方法一：如图1，在矩形ABCD中，AB=6,BC=18,.S矩形CD =6×18=108,由(1)可知，S菱形Gp=2S矩形BcD=54; 方法二：如图2，设菱形AECF边长为x,即AF=CF=x,·AB= 6,BC=18,∴.BF=18-x,在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2+ BF=AF2,62+(18-x)2=x2,解得x=10,.S菱形Cr=CF·AB =60. 方法三：如图3，由方法二可知，同理可得菱形AECF的边长为 10,.S菱形Bcr=60。:54<60,.此矩形的内接菱形的面积最大 值为60。 图1 图2 图3 追梦第一章章末复习特殊平行四边形 1.B2.B3.A4.C5.B 6.C【解析】.·四边形ABCD是正方形，∴.AD=AB,∠B=∠ADC ∠DAF=90°，∠BAC=45°。'BE=AF,.△ABE≌△DAF (SAS),∴.∠ADF=∠BAE。.'AE平分∠BAC,∴.∠BAE= 22.5,.LADF=22.5°，.∠CDF=LADC-∠ADF=67.5。 故选C 7.A【解析】设PQ交MN于点F,连接AF、CF、AC。.四边形 ABCD是矩形，PQBC,MW∥AB,可证得四边形APFM、四边形 CQFN是矩形，.PM=AF,NQ=CF,∴.PM+NQ=AF+CF。.'FA +FC≥AC,AC=√32+4=5，.AF+FC的最小值为5，.PM+ NO的最小值为5。故选A。 8.∠ABC=90°（答案不唯一）9.10 10.(2+√3,1)【解析】过点D作DG⊥x轴于点G,DM⊥BC于 点M,易证四边形MCGD为矩形，.MC=DG。四边形 BDCE是菱形，∴.BD=CD。BC=2,∠D=60°，∴.△BCD是 等边三角形，CM=DG=1,CD=2。∠DCC=90°，CG= √22-12=√5，.D(2+3,1) 11.(1)解：：∠A=60°，AG=EG,△AGE是等边三角形， ∠AGE=60°.·.∠EGB=120°： (2)证明：由(1)知，∠EGB=120°。.·四边形ABCD为菱形， AB∥CD,AB=AD,.∠A+∠D=180°。：∠A=60°， ∠D= 120° 角形∠DEF+∠DFE=60°，LD=人BGB。△AGE是等边 ,.AE=AG,∠AEG=60°，.DE=GB。,∠BEF=60 ∴.∠DEF+∠GEB=6O°，∴.∠DFE=∠GEB,∴.△DFE≌△GEB （AAS),∴.EF=BE。 70 同步练习，精炼高效抓考 12.解：(1)四边形ABCD是菱形，∴.ADBC,AD=BC=CD=AB CF=BE,∴.CF+EC=BE+EC,∴.EF=BC,∴.EF=AD。.AD∥ BC,.四边形AEFD是平行四边形。AE⊥BC,.LAEF= 90°。∴.平行四边形AEFD是矩形； (2)'BC=CD,BF=16,∴.CF=16-CD。.·四边形AEFD是矩 形，∠F=90°。.DF=8,在Rt△CFD中，CD=√DF2+CF =√82+(16-CD)2,解得CD=10。 13.(1)DE=CF (2)证明：.·四边形ABCD是正方形，∴.AD=DC,AD∥BC ∠ADE=∠DCF=90°。：AE=DF,.Rt△ADE≌RL△DCF (HL) :DE=CF,又：CH=DE,.CF=CH。点H在BC的 延长线上，.LDCH=∠DCF=90°。在△DCF和△DCH中， (CF=CH ∠DCF=∠DCH,∴.△DCF≌△DCH(SAS),∴.∠DHC= DC=DC ∠DFC。AD∥BC, ∴.∠ADF=∠DFC,∴.∠ADF=∠DHC; (3)解：延长BC到点G,使CG=DE=8,连接DG。·四边形 ABCD是菱形，.AD=DC,AD∥BC,.LADE=∠DCG。在 (AD=DC △ADE和△DCG中， ∠ADE=∠DCG,∴.△ADE≌△DCG DE=CG (SAS),.∠DGC=∠AED=60°，DG=AE。.'DF=AE,∴.DG= DF,∴.△DFG是等边三角形，∴.FG=CF+CG=DF=11,∴.CF= FG-CG=11-8=3. 高效同步练习1认识一元二次方程 1.D 【知识点拨】一元二次方程需要满足的三个条件：1.是整式方 程；2.整理后的方程只含有一个未知数；3.整理后的方程未知 数的最高次数是2。 2.A【解析】2x2=x+3化为一般形式为2x2-x-3=0,二次项系 数、一 次项系数、常数项分别是：2，-1，-3。故选A。 3.B4.C5.A6.B 7.1【解析】，·关于x的方程(m+1)xm1+1+x-3=0是一元二次 ∫m+1≠0 方程，{ml+12解得m=1。 8.解：将x=1代人方程ax2+bx+c=0,得：a+b+c=0;又，b= √a-2+√2-a-1,a-2≥0,2-a≥0，∴.a=2,b=-1,则c= 9解：行建美愁方器次方程为210， 1,c=-8,.∴.3a-2b+c=6 -(-2)+(-8)=0。故此方程为美妙方程 (2)将x=-1代入原方程，得a-2+c=0①，，·此方程为美妙方 方程，3a-4+c=0②，由①②解得{81这个美妙方程为 +2x+1=0 高效同步练习2求解一元二次方程 第1课时直接开平方法和配方法 1.C2.D 3.B【解析】原方程移项可得x2-12x=5,配方得：x2-12x+36=5 +36,即（x-6)2=41,∴.m=41。故选B。 4.解：(1)配方，得2-4+(2×4)2-(（2×4)2-3=0，即(x-2)2- 7=0。移项，得(x-2)2=7。两边开平方，得x-2=±√7，即x-2 =√7，或x-2=-√7。所以x1=2+√7，x2=2-√7； (2)配方，得-2x+(2×2)2-(2×2)2-5=0,即(x-1)2-6= 0。移项，得(x-1)2=6。两边开平方，得x-1=±√6，即x-1= √6，或x-1=-√6。所以x1=1+√6，x2=1-√6。 5.解：(1)② (2)配方，得x2-2x+1-1-9=0,即(x-1)2-10=0。移项，得(x 1)2=10。两边开平方，得x-1=±W10,即x-1=√10，或x-1 =-√/10。所以x1=1+√10，x2=1-√10。 6.解：(1)由题意，.a2-2a+b2-8b+17=0,.a2-2a+1+b2-8b+16 =0,.（a-1)2+(b-4)2=0,.a-1=0,b-4=0,.a=1,b=4; (2)由题意，a=1,b=4,.4-1<c<4+1,即3<c<5,c为偶 数，∴.c=4,∴.△ABC周长=a+b+c=1+4+4=9。 第2课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 1.C2.D 3.-12【解析】小.2x-3=±√6，∴.（2x-3)2=6,∴.4x2-12x+9=6, ∴.4x2-12x+3=0,.4x+bx+a=0,∴.b=-12,a=3。 4.-10【解析】由题意得m-3m=5,.-2m2+6m=-2(m2-3m) =-2×5=-10。 解：(1)两边都除以3，得2+2x-4=0。配方，得x+2x+(〉 BS九年级数学上册 2)2-(2×2)2-4=0,即(x+1)2-5=0。移项，得(x+1)2=5。 两边开平方，得x+1=±√5，即x+1=√5，或x+1=-√5。所以x =-1+√5，x2=-1-√5； （2)两边都除以2，得文-了+3=0。配方，得-子+(3× 子-（宁43=0即(6=0移项 -7)2-1 71 4)》”=16两边开平方，得x4±4，即x44或x4 3 = 4。所以4=2，=之0 6.A 7.解：原式=-3(x2-4x)+11=-3(x2-4x+4-4)+11=-3(x-2)2+ 23,无论x取何实数，总有(x-2)2≥0，-3(x-2)2≤0，. -3(x-2)2+23≤23，即无论x取何实数，二次三项式-3x2+12x +11有最大值23。 8.C9.A10.C11.A 12.解：（1)②等式右边没有除以2 (2)由题意，得x2-4x=-2。配方，得x2-4x+4=-2+4,即(x 2)2=2。两边开平方，得x-2=±√2。所以x1=2+√2，x,=2 -√2。 13.解：(1)x(x+5)=14x+5x25 （2)先变形为2x(2x+5)=6,如图， 2x+52x 2x6 2x+5652 62x+5 62x 2x2x+5 每个小长方形的长为2x+5,宽为2x,利用图形的面积关系得 配方后的方程为(2x+2x+5)2=4×6+52,即(4x+5)2=49,解得 x1=-3,x2=20 第3课时用公式法求解一元二次方程 1.B2.A3.A4.C 5.解：(1)这里a=3,b=-4,c=-8。因为b2-4ac=(-4)2-4×3× (-8)=112>0,所以x=--4)±亚2生27，即x,-2+27 2×3 3 名227 3； (2)这里a=1,b=2,c=-4。因为b2-4ac=22-4×1×(-4)=20> 0,所以x=-2±V20 2×1 -1±5，即x1=-1+5,x2=-1-√5。 6.C 7.C【解析】.…a=3,b=-4,c=2,.b2-4ac=(-4)2-4×3×2=16 -24=-8。故选C。 8.B 【解题通法】用根的判别式判断一元二次方程根的情况的方 法：先将一元二次方程化为一般形式，找到a,b,c的值，再计 算△=b2-4ac的值。若△>0，则方程有两个不相等的实数根： 若△=0，则方程有两个相等的实数根：若△<0，则方程无实数 根。 9.（1)证明：4=b2-4a2×(-2)=b2+8a2>0,∴.方程总有两个不相 等的实数根： (2)解：由条件可知4a2+2b-2=0,.2a2+b=1,.8a2+4b= 4(2a+b)=4×1=4。 10.D【解析】当k-1≠0，即k不等于1时，此方程为一元二次方 程。关于x的方程(k-1)2x2+(2k+1)x+1=0有实数根， 4=(2k+1)°-4x(k-1)2x1=12k-3≥0，解得6≥4；当k-1 0,即k=1时，方程为3x+1=0,显然有解。综上，k的取值范 国是k≥4。故选D。 【易错点拨】看到有实数根的条件，就直接运用一元二次方程 根的判别式得出参数和取值范围，容易忽视含有参数的二次 项系数不能为0的前提条件。 11.B12.C 13.解：(1)把x=-1代入一元二次方程b(x2-1)+2ax+c(x2+1)= 0,得-2a+2c=0,∴.a=c,.△ABC为等腰三角形。 (2)方程整理得(b+c)x2+2ax+(c-b)=0,.方程有两个相等 同步练习，精炼高效抓考 的实数根，.∴.△=4a2+4(b+c)(b-c)=0,∴.a2+b2=c2,.∴.△ABC 为直角三角形。 14.解：先解方程y+6y-49×7=0,即y+6y-7=0,解得y1=1,2 =-7,…方程492+6x-7=0的解为x1=49=70 第4课时用因式分解法求解一元二次方程 1.C 2.B【解析】设这个数为x,则x2-3x+4=x,解得x1=x,=2,则这 个数为2 故选B。 3.解：(1)原方程变形为(x-4)(x+2)=0。x-4=0,或x+2=0,所 以x1=4,x2=-2; (2)原方程变形为(x+4)2-5(x+4)=0,(x+4)(x+4-5)=0,x+ 4=0,或x-1=0。所以x1=-4,x2=1。 4.C 5.C【解析】方程x2+2x-3=0因式分解，得(x+3)(x-1)=0,∴. x1=-3,x2=1。 +3x-a心x≠-3且x≠a。将x=1代入得 2 21 1+31-aa=-l。故选C。 6.1或3 7.解：（1)二 （2)原方程可变形为6x2-2x+3x-1=0,2x(3x-1)+(3x-1)=0, (2x+1)(3x-1)=0,2x+1=0,或3x-1=0。所以x1=-2,x 3° 【易错点拨】当等号的左右两边有相同的因式时，不要同除以 这个相同的因式，容易造成漏解。 高效同步练习3一元二次方程的根与系数的关系 1.D2.B3.A 4.C【解析】设方程的另一个根为t,根据根与系数的关系得31 =3,解得t=1,即方程的另一个根是x=1。故选C。 5.6 6.-5【解析】关于x的一元二次方程的两实根x1,x2满足x1+x =-2m+3,x1x2=m2+1。 2 1 2=1,2(x1+x)=x1x2 2(-2m+3)=m2+1,解得m=1或m=-5.由条件可知根的判别 式△=(2m-3)2-4(m2+1)=-12m+5≥0，解得m≤ 12,.m= -5。 7.2027 8.解：(1)由题意得，△=（-4)2-4m≥0，∴.m≤4； （2)由题意得，x1+x2=4,x1x2=m。·（x1x2)2=x1+x2+21,∴.m2 =4+21=25,解得：m=-5或m=5(舍)，.m=-5。 9.解：(1)解x2-3x+2=0,得x1=2,x2=1。x1=2x2,.方程x2- 3x+2=0是“倍根方程”； (2)(x-2)(x-m)=0,x-2=0或x-m=0,解得x=2,x2三m,由 条件可知2=2m或m=2×2,∴.m=1或m=4,当m=1时，m+ 2m+2=1+2+2=5;当m=4时，m2+2m+2=16+8+2=26。综上 所述，代数式m2+2m+2的值为26或5； (3)m的值为13或-11。 【归纳总结】与一元二次方程两根有关的几个常用代数式的变 形：(1)x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2;(2)(x1-x2)2=（x1+x2)2- 4:(3)1x1=√(+)2-4：(4)+1+ ;(5) 1+=（x1+)-2x1x2 (6)（x1+k)（x2+k)=x1x2+k(x1+x2)+ X2 X1 2 高效同步练习4应用一元二次方程 第1课时应用一元二次方程（一）】 1.B2.D3.1 4.解：设道路宽度为xm,依题意得(92-2x)(60-x)=885×6,解得 x1=1,x2=105(不合实际，舍去)。答：道路宽度为1m。 5.D 6.24【解析】设甲、乙两人相遇的时间为t秒，则乙走了t米，甲 向北偏东方向走了(1.5t-10)米，依题意得：102+t2=（1.5t 10)2,解得t1=24,t2=0(不合题意，舍去)，即乙走了24米。 7.A【解析】，点P的速度是1cm/s,点Q的速度是2cm/s,∠B= 90°，AB=6cm,BC=8cm,点P从点A到点B的时间为6÷1= 6(秒)，点Q从点B到点C的时间为8÷2=4（秒），设Q运动的 时间为ts(0<t≤4)，∴.AP=tcm,BQ=2tcm,.BP=（6-t)cm,. BS九年级数学上册 71