1.1集合的概念导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦“集合的概念”，分两课时系统讲解集合含义、元素与集合关系及列举法、描述法。以渔民与数学家的故事导入，通过实例与思考题搭建从具体到抽象的学习支架，衔接自然语言到符号语言的转化。 资料特色在于情境导入激发兴趣，分层作业（A组基础、B组提升）满足不同需求。通过问题链引导学生探究集合特性与表示方法，培养数学抽象、逻辑推理素养，助力学生形成用数学语言表达现实世界的能力。

课题 1.1集合的概念（第一课时） 学习目标 1. 通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系,培养学生的数学抽象核心素养； 2. 针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合，提升数学抽象核心素养； 学习过程 （一）新知导入 1. 创设情境，生成问题 一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意义.于是，他就请教数学家：“尊敬的先生，请您告诉我，集合是什么？”数学家只是笑了笑，没有当时就回答这位渔民.有一天，数学家来到这位渔民的船上，看到他撒下渔网，一拉动，许多鱼儿在网中跳动. 数学家就激动的大喊：“找到了，找到了，这就是一个集合”. 【想一想】 数学家所说的集合指的是什么？ 2. 探索交流，解决问题 【思考1】 如果我们把1～10之间的每一个偶数作为元素，这些元素的全体就是一个集合；【读一读】请你阅读课本第2页中的例子，思考下面三个小问题： （1）实例（2）~（6）中的每组对象的全体能组成集合吗？ （2）把研究对象看作元素，每个集合的元素是什么？ （3）构成集合元素的对象可以是什么？ （二）新授 【读一读】请继续阅读第2页思考下面的自然段完成如下概念： 1. 集合的概念： （1）元素： 集合： （2）我们通常用 表示集合， 用 表示集合中的元素． 【思考2】请小组讨论完成下面思考题： （1）“较小的数”能否构成一个集合？由此说明什么？ （2） 由1,3,0,5,︱-3 ︳这些数组成的一个集合中有5个元素，这种说法正确吗？ 由此说明什么？ （3） 高一（12）班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有变化？ 由此说明什么？ （4） 如果两个集合中，元素完全一样，那么这两集合相等，这种说法正确吗？ （5） 由以上思考题，可以得到集合有什么特性？ 【做一做】 课本第5页练习1 【探究1】 集合,,,是否是相等的集合？ 2.元素与集合的关系 【思考3】（1）用A表示高一(11)班全体学生组成的集合. （2）用a表示高一(11)班的一位同学，b表示高一(12)班的一位同学. 那么a，b与集合A分别有什么关系? 元素与集合的关系： 如果a是集合A中的元素，就说a 集合A，记作 ； 如果a不是集合A中的元素，就说a 集合A，记作 . 【知识积累】常用数集及其记法（参考课本第3页图表）： 数集 非负整数集 (自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 【做一做】 课本第5页练习2 课后作业 [A组　必备知识练] 1．下面给出的四类对象中，构成集合的是(　　) A．某班视力较好的同学 B．长寿的人 C．π的近似值 D．倒数等于它本身的数 2．设不等式3－2x<0的解集为M，下列关系中正确的是(　　) A．0∈M，2∈M　　　　　　 B．0∉M，2∈M C．0∈M，2∉M D．0∉M，2∉M 3．给出下列关系：①∈R；②∈Q；③－3∉Z；④－∉N，其中正确的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 4．(多选)集合A中含有三个元素2，4，6，若a∈A，且6－a∈A，那么a为(　　) A．2 B．6 C．4 D．0 5．由实数x，－x，|x|，，－所组成的集合，最多含__________个元素． 6．设x∈R，集合A中含有三个元素3，x，x2－2x. (1)求元素x应满足的条件； (2)若－2∈A，求实数x的值． [B组　关键能力练] 7．已知集合A含有两个元素1和2，集合B表示方程x2＋ax＋b＝0的解组成的集合，且集合A与集合B相等，则a，b的值分别为(　　) A．3，2 B．－3，2 C．3，－2 D．－3，－2 8．(多选)由a2，2－a，4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值不可能是(　　) A．1 B．－2 C．－1 D．2 9．若由a，，1组成的集合A与由a2，a＋b，0组成的集合B相等，则a2 024＋b2 024的值为__________． 10．设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1，且a≠0). 求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素； (2)集合A不可能是单元素集． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 课题 1.1集合的概念（第二课时） 学习目标 1.掌握集合的两种表示方法(列举法和描述法).　2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合． 学习过程 集合的表示 1.列举法 【读一读】 阅读课本第3页完成思考4 【思考4】 （1） 地球上的四大洋组成的集合如何表示？ （2） 方程（x+1)(x+2)=0的所有根组成的集合，又如何表示呢？ （3） 通过思考以上问题大家能总结归纳出列举法的特点吗？ 列举法： 【总结】（1）大括号不能缺失，元素中间用逗号隔开； （2）元素按一定的顺序列举，可以保证元素不重不漏； （3）列举法表示集合，要分清是数集还是点集。 【例1】 用列举法表示下列集合： (1)直线y＝2x＋2 023与y轴的交点所组成的集合； (2)不大于8的正整数构成的集合； (3)15的正约数组成的集合． 【巩固练习】 用列举法表示下列集合： (1)小于10的质数组成的集合A； (2)方程x2＋2x＋1＝0的解组成的集合B； (3)方程(x－2)2＋(y＋3)2＝0的解组成的集合C； (4)直线y＝x＋2与直线y＝－2x＋5的交点组成的集合D. 2.描述法 【读一读】 阅读课本第4页完成思考5 【思考5】 （1）能用自然语言描述集合{0,3,6,9}吗？ （2）能否用列举法表示不等式 x－3<7的解集？该集合中的元素有什么性质？ （3）不能用列举法表示的集合怎样表示？ 描述法： 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有 所组成的集合表示为 ，这种表示集合的方法称为描述法． 【例2】用描述法表示下列集合． (1)比1大且比10小的实数组成的集合； (2)不等式3x＋4≥2x的所有解组成的集合； (3)平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合； 3.集合表示方法的综合应用 【例3】　集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合． 跟踪训练 已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}．若集合A中至少有一个元素，求实数a的值组成的集合． 课后作业 [A组　必备知识练] 1．大于1且小于10的奇数构成的集合为(　　) A．{1，3，5，7，9}　　　　　　 B．{3，5，7，9} C．{2，4，6，8} D．{2，3，5，7} 2．对集合用描述法来表示，其中正确的是(　　) A． B． C． D． 3．集合{x∈N*|x－2≤1}的另一种表示法是(　　) A．{0，1，2，3} B．{1，2，3} C．{0，1，2，3，4} D．{1，2，3，4} 4．若集合A＝{x|mx2＋2x＋2＝0}中有两个元素，则实数m的取值范围为(　　) A．{m|m≠0} B． C． D． 5．若集合A＝{1，2，3，4}，集合B＝{y|y＝x－1，x∈A}，用列举法表示集合B＝__________． 6．反比例函数y＝的自变量x组成的集合为______________． 7．用适当的方法表示下列集合： (1)由方程x2－9＝0的所有实数根组成的集合； (2)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6图象的交点组成的集合； (3)不等式4x－5<3的解集． 8．下列三个集合： ①A＝{x|y＝x2＋1}； ②B＝{y|y＝x2＋1}； ③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}． (1)它们是不是相同的集合？ (2)它们各自的含义分别是什么？ [B组　关键能力练] 9．已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　) A．1 B．3 C．5 D．9 10．设集合A＝{－2，1}，B＝{－1，2}，定义集合A⊗B＝{x|x＝x1x2，x1∈A，x2∈B}，则A⊗B中所有元素之和为(　　) A．－8 B．－3 C．－1 D．0 11．设y＝x2－ax＋b，A＝{x|y－x＝0}，B＝{x|y－ax＝0}，若A＝{－3，1}，则用列举法表示集合B为________． 12．若集合A＝{a－3，2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a的值为________；若2∉{x|x－a＞0}，则实数a的取值范围是________． 13．用列举法把下列集合表示出来： (1)A＝； (2)B＝； (3)C＝{y∈N|y＝－x2＋6，x∈N}； (4)D＝{(x，y)|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}； (5)E＝. ===========================全部参考答案============================ 第一课时 【想一想】答案：渔网网住的所有鱼放在一起的全体就是集合，网中的每一条鱼就是集合的元素。 【思考1】 (1) 都可以组成集合； (2) 对象就是每一个实例中研究的具体事物； (3) 元素可以是人、数、点、物体等各种各样确定的对象。 填空： (1)元素：研究的对象；集合：一些确定的对象所构成的总体； (2)大写拉丁字母A,B,C…；小写拉丁字母a,b,c… 【思考2】 (1)不能；集合中的元素必须具有确定性，“较小”没有确定标准。 (2)不正确；|-3|=3，集合元素互异，集合元素为{1,3,0,5}，共4个元素，体现互异性。 (3)没有变化；集合只看元素，与元素顺序无关，体现无序性。 (4)正确；元素完全相同两个集合相等。 (5)确定性、互异性、无序性。 【探究1】答案：A=D；B、C、A互不相等；A、D是数集，B、C是点集，(1,2)与(2,1)是不同点。 元素与集合关系填空：属于；a∈A；不属于；a∉A。 常用数集： N：自然数集；N*(N₊)正整数集；Z整数集；Q有理数集；R实数集。 [A组] 1.D 2.B 3.B（①④正确） 4.AB 5.2 6.(1)根据互异性：x≠3，且x≠0，且x≠‑1； (2)x=-2 [B组] 7.B 8.ABD 9.1 10.证明： (1)2∈A，则=-1∈A；-1∈A，则=∈A；∈A得2∈A循环，另外两个元素-1，。 (2)假设A是单元素集，则a=1，a²‑a+1=0，判别式Δ=-3<0无实数解，故不可能单元素集。 第二课时 【思考4】 (1){太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋} (2){‑1,‑2} (3)列举法：把集合全部元素一一列举出来，写在大括号内，逗号分隔。 列举法定义：把集合的全部元素一一列举出来，用大括号{}括起来，元素之间用逗号隔开。 例1 (1){(0,2023)} (2){1,2,3,4,5,6,7,8} (3){1,3,5,15} 巩固练习 (1)A={2,3,5,7} (2)B={-1} (3)C={(2,-3)} (4)D={(1,3)} 【思考5】 (1)不大于9的非负整数，且是3的倍数； (2)不能列举；所有满足x<10的实数； (3)使用描述法。 描述法填空：具有共同性质P(x)的元素；{x∈A | P(x)} 例2 (1){x∈R | 1<x<10} (2){x | x≥‑4} (3){(x,y)|x<0,y>0} 例3：k=0或k=1；{0,1} 跟踪训练：a≤ [A组] 1.B 3.B 4.m≠0且Δ>0 → m<且m≠0 5.B={0,1,2,3} 6.{x | x≠0} 7.(1){‑3,3}；(2){(1,4)}；(3){x|x<2} 8.(1)不是相同集合； (2)①A是y=x²+1中x的取值，全体实数；②B是y=x²+1函数值，{y|y≥1}；③C是抛物线上全部点。 [B组] 9.C 10.C 11.{-√3,√3} 12.a=0或a=-1；a≥2 13.(3)C={2,5,6} (4)D={(0,6),(1,5),(2,2)} $