1.2集合间的基本关系 导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，聚焦集合间的基本关系，通过“概念归纳-例题示范-变式巩固-综合应用”三阶分层设计，实现从单一概念辨析到含参综合应用的知识进阶，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|子集、真子集、空集概念|单选题直接考查定义判断（如例1集合关系判定）| |能力提升|子集性质、个数公式|多选题辨析易混点（如变式4空集与集合关系）| |综合应用|含参集合关系|解答题结合分类讨论（如例5参数取值范围求解）|

1.2 集合间的基本关系 【知识点归纳】 一、概念 1、子集：如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)． 2、真子集：如果集合A是集合B的子集，但存在元素x∈B，且，就称集合A是集合B的真子集。记作AB或(BA) 3、集合相等：一般地，如果集合A的任何一个元素都是B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作 二、空集 1、定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集． 2、0，{0}，，的关系 与0 与{0} 与 相同点 都表示无 的意思 都是集合 都是集合 不同点 是集合； 0是实数 中不含任何元素； {0}含一个元素0 不含任何元素； 含一个元素，该元素是 关系 {0} ∅{∅}或∅∈{∅} 三、子集的性质 （1）规定：空集是任意一个集合的子集．也就是说，对任意集合A，都有∅⊆A. （2）任何一个集合A都是它本身的子集，即A⊆A. （3）如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C. （4）如果AB，BC，则AC. 【注意】【注意】空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠)的含参数的问题时，要注意讨论A＝和A≠两种情况，前者常被忽视． 四、子集的个数 如果集合A中含有n个元素，则有如果集合A中含有n个元素，则有A的子集的个数有2n个；A的非空子集的个数有2n－1个； A的真子集的个数有2n－1个；A的非空真子集的个数有2n－2个． 五、Venn图 用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线。 【典型例题】 例1．（单选题）已知集合，集合，则与关系为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（单选题）下面五个式子中：①；②；③；④；⑤，正确的有（ ） A．②③④ B．②③④⑤ C．②④⑤ D．①⑤ 例2.（单选题）集合A＝{x|0≤x<3，x∈N}的真子集的个数是(　　) A．16　　 B．8　　　　 C．7　　 D．4 【变式2】（单选题）已知集合，则含有元素0的A的真子集个数是（ ） A．2 B．4 C．6 D．7 例3.（单选题）集合A＝{2，－1}，B＝{m2－m，－1}，且A＝B，则实数m的值为(　　) A．2或－1 B．－1 C．－2 D．1或－2 【变式3】（填空题）已知集合，，若，则=__________. 例4．（单选题）下列集合中为的是（ ） A． B． C． D． 【变式4】（多选题）下列选项中错误的是（ ） A． B． C． D． 例5．解答题）已知集合． （1）若，，求实数的取值范围； （2）若，，求实数的取值范围． 【变式5】（单选题）集合，，，则实数的值为（     ） A．1 B．-1 C．0 D．0或1 【练习】（1-7单选题） 1．已知集合，则集合A的所有真子集的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．设，，若，则实数的取值范围是（ ） A．或 B． C． D． 3．已知集合，则（    ） A． B． C． D．A、B没有包含关系 4.已知集合，，若，则所有的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 5．已知集合M＝{x∈Z|－<x<}，则下列集合是集合M的子集的为(　　) A．P＝{－3,0,1} B．Q＝{－1,0,1} C．R＝{y∈Z|－π<y<－1} D．S＝{x∈N||x|≤} 6.若集合A＝{x|ax2－2x－1＝0}恰有两个子集，则a的值是(　　) A．0 B．0或－1 C．-1 D．-1或－ 7．（单选题）设G为非空数集，若对于任意的，都有，，，则称G是一个数环.关于数环，下列说法错误的是（   ） A．0是任何数环的元素 B．集合是一个数环 C．集合是一个数环 D．若集合为数环，则也为数环 8.(多选题)下列选项中的两个集合相等的有(　　). A.P={x|x=2n,n∈Z},Q={x|x=2(n+1),n∈Z} B.P={x|x=2n-1,n∈N*},Q={x|x=2n+1,n∈N*} C.P={x|x2-x=0},Q={x|x=,n∈Z} D.P={x|y=x+1},Q={(x,y)|y=x+1} 9．（多选题）下列命题中不正确的是（    ） A．是空集 B．若，则 C．集合中只有一个元素 D．集合是有限集 10．（填空题）满足的集合A共有______个. 11.（填空题）设，集合，则2___________． 12．（解答题）设集合含有3个元素，集合含有3个元素，若，求实数和的值． 13.（解答题）已知集合. （1）若，则实数a的值是多少? （2）若，则实数a的取值范围是多少? （3）若B⫋A，则实数a的取值范围是多少? ( 12 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 集合间的基本关系 【知识点归纳】 一、概念 1、子集定义：如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)． 2、真子集：如果集合A是集合B的子集，但存在元素x∈B，且，就称集合A是集合B的真子集。记作AB或(BA) 3、集合相等：一般地，如果集合A的任何一个元素都是B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作 二、空集 1、定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集． 2、0，{0}，，的关系 与0 与{0} 与 相同点 都表示无 的意思 都是集合 都是集合 不同点 是集合； 0是实数 中不含任何元素； {0}含一个元素0 不含任何元素； 含一个元素，该元素是 关系 {0} ∅{∅}或∅∈{∅} 三、子集的性质 （1）规定：空集是任意一个集合的子集．也就是说，对任意集合A，都有∅⊆A. （2）任何一个集合A都是它本身的子集，即A⊆A. （3）如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C. （4）如果AB，BC，则AC. 【注意】【注意】空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠)的含参数的问题时，要注意讨论A＝和A≠两种情况，前者常被忽视． 四、子集的个数 如果集合A中含有n个元素，则有如果集合A中含有n个元素，则有A的子集的个数有2n个；A的非空子集的个数有2n－1个； A的真子集的个数有2n－1个；A的非空真子集的个数有2n－2个． 五、Venn图 用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线。 【典型例题】 例1．（单选题）已知集合，集合，则与关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用列举法表示集合，再根据元素与集合的关系和集合与集合的关系判断结论. 【解析】因为，， 所以， 因为，所以集合不是集合的子集，A错误 因为可视为集合的一个元素，但集合中不含该元素，所以集合不是集合的子集，C错误； 因为集合的元素中含有元素，所以，B错误，D正确，故选D. 【变式1】（单选题）下面五个式子中：①；②；③；④；⑤，正确的有（ ） A．②③④ B．②③④⑤ C．②④⑤ D．①⑤ 【答案】C 【解析】①中，是集合中的一个元素，，所以①错误；②中，空集是任一集合的子集，所以②正确；③中，是的子集，，所以③错误；④中，任何集合是其本身的子集，所以④正确；⑤中，是的元素，所以⑤正确.故选：C. 例2.（单选题）集合A＝{x|0≤x<3，x∈N}的真子集的个数是(　　) A．16　　 B．8　　　　 C．7　　 D．4 【答案】C 【解析】易知集合A＝{0,1,2}，含有3个元素，∴A的真子集有23－1＝7个．故选C 【变式2】（单选题）已知集合，则含有元素0的A的真子集个数是（ ） A．2 B．4 C．6 D．7 【答案】D 【解析】含有元素0的A的子集有，，，，，，，{0，1，2，3} 故含有元素0的A的真子集个数为7.故选：D. 例3.（单选题）集合A＝{2，－1}，B＝{m2－m，－1}，且A＝B，则实数m的值为(　　) A．2或－1 B．－1 C．－2 D．1或－2 【答案】A 【解析】　∵A＝B，∴m2－m＝2，∴m＝2或－1.故选A 【变式3】（单选题）已知集合，，若，则=__________. 【答案】 【解析】由元素的互异性可得， 当时，，解得，舍去； 当时，，此时，， 此时需要满足，即；=1. 例4．（单选题）下列集合中为的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A中，由集合中有一个元素，不符合题意； 对于B中，由集合中有一个元素，不符合题意； 对于C中，由方程，即，此时方程无解，可得，符合题意； 对于D中，不等式，解得，，不符合题意.故选C. 【变式4】（单选题）下列选项中错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】对A，空集没有任何元素，故A错误；对B，空集是任何集合的子集，故B正确； 对C，方程无解，故C正确；对D，由元素构成的集合并不是空集，故D错误.故选：AD 例5．已知集合． （1）若，，求实数的取值范围； （2）若，，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由题可知，，， ①若，则，即； ②若，则，解得：； 综合①②，得实数的取值范围是． （2）已知，，， 则，解得：， 所以实数的取值范围是 【变式5】（单选题）集合，，，则实数的值为（     ） A．1 B．-1 C．0 D．0或1 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系，列式，再检验集合中元素是否满足互异性. 【解析】由条件，则或， 当时，集合不满足集合元素的互异性，舍去， 当时，或（舍）， 所以.故选C ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【练习】 1．（单选题）已知集合，则集合A的所有真子集的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】因为集合A的元素的个数为，故集合A的所有真子集的个数为. 2.设，，若，则实数的取值范围是（ ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，此不等式组无解.故选：D. 3.已知集合，则（    ） A． B． C． D．A、B没有包含关系 【答案】B 【分析】由集合的子集的定义求解即可. 【解析】由 ，则． 4．已知集合，，若，则所有的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】至多一个解，当时，无解，故， 当时，，解得， 当时，， 故所有的取值构成的集合为. 5.已知集合M＝{x∈Z|－<x<}，则下列集合是集合M的子集的为(　　) A．P＝{－3,0,1} B．Q＝{－1,0,1} C．R＝{y∈Z|－π<y<－1} D．S＝{x∈N||x|≤} 【答案】B 【解析】∵－3∉M，∴P不是M的子集，同理可知CD均错误，故选B. 6.若集合A＝{x|ax2－2x－1＝0}恰有两个子集，则a的值是(　　) A．0 B．0或－1 C．-1 D．-1或－ 【答案】B 【解析】集合A恰有两个子集，则A中只有一个元素，a＝0时，A＝，满足题意；a≠0时，Δ＝4＋4a＝0，即a＝－1时，A＝{－1}，满足题意． 7．设G为非空数集，若对于任意的，都有，，，则称G是一个数环.关于数环，下列说法错误的是（   ） A．0是任何数环的元素 B．集合是一个数环 C．集合是一个数环 D．若集合为数环，则也为数环 【答案】C 【解析】由数环的定义可知，设，则，则，， 故0是任何数环的元素，A正确； 偶数与偶数相加、相减、相乘的结果均是偶数，所以是一个数环，B正确； 设，则， 因为不是整数，所以，所以集合不是数环，C错误； 设，因为为数环，则，又为数环， 则，所以，D正确．故选C． 8.(多选题)下列选项中的两个集合相等的有(　　). A.P={x|x=2n,n∈Z},Q={x|x=2(n+1),n∈Z} B.P={x|x=2n-1,n∈N*},Q={x|x=2n+1,n∈N*} C.P={x|x2-x=0},Q={x|x=,n∈Z} D.P={x|y=x+1},Q={(x,y)|y=x+1} 【答案】AC 【解析】选项A中集合P,Q都表示所有偶数组成的集合,所以P=Q;选项B中集合P是由1,3,5,…(所有正奇数)组成的集合,集合Q是由3,5,7,…(所有大于1的正奇数)组成的集合,1∉Q,所以P≠Q;选项C中集合P={0,1},当n为奇数时,x==0,当n为偶数时,x==1,所以Q={0,1},所以P=Q;选项D中,集合P表示直线y=x+1上点的横坐标构成的集合,而集合Q表示直线y=x+1上点的坐标构成的集合,所以P≠Q.综上可知,选AC. 9．（多选题）下列命题中不正确的是（    ） A．是空集 B．若，则 C．集合中只有一个元素 D．集合是有限集 【答案】ABD 【分析】根据表示集合的列举法的方法可判断A；当时可判断B；解C中方程即可判断C；时，可判断D． 【解析】A：是含有一个元素的集合，不是空集，故A错误； B：若，则，故B错误； C：，故C正确； D：时，均有且，故是无限集，故D错误． 故选：ABD． 10．（填空题）满足的集合A共有______个. 【答案】64 【解析】依题意，集合是集合与集合的子集的并集， 而集合有个子集， 所以集合的个数为64. 11.（填空题）设，集合，则2___________． 【答案】3 【解析】根据题意，集合， 又，，即， 故，，则23 12．设集合含有3个元素，集合含有3个元素，若，求实数和的值． 【答案】，或， 【分析】根据集合相等列方程组求解，然后根据集合的定义检验． 【解析】由集合相等的概念可知， 或， 解得：或或， 因为当，时， 集合中，集合中，都不符合集合中元素的互异性， 所以，或， 13.已知集合. （1）若，则实数a的值是多少? （2）若，则实数a的取值范围是多少? （3）若B⫋A，则实数a的取值范围是多少? 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）因为集合，，所以. （2）因为，如图， 由图可知，即实数a的取值范围是. （3）因为B⫋A，如图， 由图可知，即实数a的取值范围是. 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