北京市朝阳外国语学校2024-2025学年高三上学期开学考试数学试卷

2024-2025学年北京市朝阳外国语学校高三（上）开学 数学试卷 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1．（4分）已知全集为R，集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|x≥0}，则（∁RB）∩A＝（　　） A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|2＜x＜3} C．{x|x＜3} D．{x|﹣1＜x＜0} 2．（4分）下列函数中，在定义域内单调递增的为（　　） A．y＝log0.2x B． C．y＝22x D．y＝tanx 3．（4分）已知tanα，tanβ是方程x2+7x﹣13＝0的两个根，则tan（α+β）＝（　　） A．﹣2 B．2 C． D． 4．（4分）若a＝log32，b＝log45，c＝log0.32，则a，b，c的大小关系是（　　） A．b＜c＜a B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b 5．（4分）已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）的部分图象如下，与其交于A，B两点．若，则ω＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（4分）如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一平面内，若四边形ABCD是边长为2的正方形，则这个八面体的表面积为（　　） A．8 B．16 C． D． 7．（4分）若函数f（x）＝则函数f（x）的值域是（　　） A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，2] C．[0，+∞） D．（﹣∞，0）∪（0，2） 8．（4分）已知a为实数，则“∀x＞0，ax+≥2”是“a≥1”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（4分）△ABC中，，若对任意的实数恒成立，则BC边的最小长度是（　　） A． B． C． D． 10．（4分）设无穷等差数列{an}的公差为d，集合T＝{t|t＝sinan，n∈N*}．则（　　） A．T不可能有无数个元素 B．当且仅当d＝0时，T只有1个元素 C．当T只有2个元素时，这2个元素的乘积有可能为 D．当时，T最多有k个元素，且这k个元素的和为0 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 11．（5分）已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a10＝　 　． 12．（5分）若，则＝　 　． 13．（5分）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则的值为 　 　． 14．（5分）如图，直角△POB中，∠PBO＝90°，以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于A点．若圆弧等分△POB的面积，且∠AOB＝α弧度，则＝　 　． 15．（5分）△ABC为锐角三角形，其三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b＝1，C＝2B，则△ABC周长的取值范围为 　 　． 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16．（13分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1． （Ⅰ）求证：AB∥平面A1DCB1； （Ⅱ）求直线AB和平面A1DCB1所成的角． 17．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a＝6，，B＝45°． （1）求b的值； （2）在边BC上取一点D，使得，求△ADC的面积． 18．（14分）已知函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数f（x）存在． 条件①：函数f（x）在区间上是增函数； 条件②：； 条件③：． （1）求φ的值； （2）求f（x）在区间上的最大值和最小值． 19．（14分）已知函数f（x）＝ex﹣x2﹣ax，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线为l． （Ⅰ）求l的方程； （Ⅱ）若a＝0，令p（x）＝f′（x），求证：对任意的x1，x2，x3∈[﹣1，1]，都有p（x1）+p（x2）＞p（x3）成立． 20．（15分）已知函数； （1）当a＝1时，求f（x）在[1，+∞）上的最小值； （2）若f（x）在（1，e）上存在零点，求a的取值范围． 21．（15分）设n∈N*且n≥2，集合Sn＝{（x1，x2…，xn）||x1|＝1，|xi+1|＝2|xi|（i＝1，2…，n﹣1）}． （Ⅰ）写出集合S2中的所有元素； （Ⅱ）设（a1，a2，…an），（b1，b2，…，bn）∈Sn，证明“ai＝bi”的充要条件是“ai＝bi（i＝1，2，3，…n）”； （Ⅲ）设集合Tn＝{xi|（x1，x2，…，xn）∈Sn}，求Tn所有正数之和． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C B D C A C C D 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1．（4分）已知全集为R，集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|x≥0}，则（∁RB）∩A＝（　　） A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|2＜x＜3} C．{x|x＜3} D．{x|﹣1＜x＜0} 【分析】进行交集和补集的运算即可． 【解答】解：∁RB＝{x|x＜0}，（∁RB）∩A＝{x|﹣1＜x＜0}． 故选：D． 2．（4分）下列函数中，在定义域内单调递增的为（　　） A．y＝log0.2x B． C．y＝22x D．y＝tanx 【分析】掌握常见函数的单调性，根据题意，依次分析选项中函数的单调性，即可得答案． 【解答】解：A．y＝log0.2x为对数函数，0.2＜1， 所以函数y＝log0.2x在定义域内单调递减，不符合题意； B．，为对勾函数，在定义域内不具有单调性，不符合题意； C．y＝22x＝4x，函数y＝4x为指数函数，在定义域内单调递增，符合题意； D．y＝tanx，为正切函数，在定义域内不具有单调性，不符合题意； 故选：C． 3．（4分）已知tanα，tanβ是方程x2+7x﹣13＝0的两个根，则tan（α+β）＝（　　） A．﹣2 B．2 C． D． 【分析】根据韦达定理可得出：tanα+tanβ＝﹣7，tan αtanβ＝﹣13，然后根据两角和的正切公式即可求出答案． 【解答】解：由题可知，tanα+tanβ＝﹣7，tan αtanβ＝﹣13，则： ． 故选：C． 4．（4分）若a＝log32，b＝log45，c＝log0.32，则a，b，c的大小关系是（　　） A．b＜c＜a B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b 【分析】由已知结合对数函数单调性即可比较函数值的大小． 【解答】解：a＝log32∈（0，1），b＝log45＞1，c＝log0.32＜0， 则b＞a＞c． 故选：B． 5．（4分）已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）的部分图象如下，与其交于A，B两点．若，则ω＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据余弦函数的性质即可得． 【解答】解：设，，则由|AB|＝，得， 由，得或， 由图可知，ωx2+φ﹣（ωx1+φ）＝，即， 所以ω＝4． 故选：D． 6．（4分）如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一平面内，若四边形ABCD是边长为2的正方形，则这个八面体的表面积为（　　） A．8 B．16 C． D． 【分析】先计算出每个面的面积，再乘以8即为表面积． 【解答】解：每个面的面积为， 所以该图形的表面积为． 故选：C． 7．（4分）若函数f（x）＝则函数f（x）的值域是（　　） A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，2] C．[0，+∞） D．（﹣∞，0）∪（0，2） 【分析】结合指数函数与对数函数的的性质及分段函数性质可求． 【解答】解：因为f（x）＝ 当x＜1时，f（x）＝2x∈（0，2）， 当x≥1时，f（x）＝﹣log2x≤0， 则函数f（x）的值域（﹣∞，2）． 故选：A． 8．（4分）已知a为实数，则“∀x＞0，ax+≥2”是“a≥1”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】根据二次函数的性质与基本不等式，对两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案． 【解答】解：若∀x＞0，ax+≥2，则a≥， 当x＝1时，不等式的右边取得最大值1，故a≥1，充分性成立； 若a≥1，则x＞0时，≥，当且仅当x＝a＝1时，等号成立，即≥2恒成立， 因此，由“a≥1”可以推出“∀x＞0，ax+≥2”，必要性成立． 综上所述，“∀x＞0，ax+≥2”是“a≥1”的充要条件． 故选：C． 9．（4分）△ABC中，，若对任意的实数恒成立，则BC边的最小长度是（　　） A． B． C． D． 【分析】设，得到恒成立，得出AC⊥BC，根据题意，结合勾股定理，得到，即可求解． 【解答】解：设，如图所示， 因为对任意的实数t，都有恒成立， 由恒成立，则AC⊥BC， 因为，所以， 所以， 当且仅当m＝﹣1时，等号成立． 故选：C． 10．（4分）设无穷等差数列{an}的公差为d，集合T＝{t|t＝sinan，n∈N*}．则（　　） A．T不可能有无数个元素 B．当且仅当d＝0时，T只有1个元素 C．当T只有2个元素时，这2个元素的乘积有可能为 D．当时，T最多有k个元素，且这k个元素的和为0 【分析】通过举反例否定A、C选项；d＝0时，可求出T中不止一个元素，否定B选项，然后时，可研究一个y＝sinx在一个周期[0，2π）内的T的元素之和，判断D选项． 【解答】解：对于A，不妨令an＝n，则d＝1，则t＝sinan，由于y＝sinx的周期为2π，且对称轴为，k∈Z，则对任意的ai，aj，i，j∈N*，i≠j，必有sinai≠sinaj，当an有无穷项时，T中有无数元素，A错误； 对于B，令an＝nπ，此时d＝π，此时sinnπ＝0，T中只有一个元素0，B错误； 对于C，若T中只有两个元素，根据y＝sinx的周期性与中心对称性，sinan的值必一正一负，因为若两个值都为正，必不满足等差数列的定义，所以该两个数的乘积必为负，C错误； 对于D，当时，在y＝sinx的一个周期[0，2π）内，取a1＝0，此时＝2π，比如取k＝5，此时sina1，sina2，⋯，sina5两两不相等，此时T有5个元素；而结合y＝sinx的周期为2π可知，必有sinai必周期性重复出现，所以T中最多有k个元素； 再证明和为0，＝＝[﹣] ＝[﹣cos（）]＝0，D正确． 故选：D． 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 11．（5分）已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a10＝　10　． 【分析】运用等比数列中项性质和等差数列的通项公式，计算求解即可． 【解答】解：等差数列{an}的公差d为2，若a1，a3，a4成等比数列， 可得a32＝a1a4， 即有（a1+4）2＝a1（a1+6）， 解得a1＝﹣8， a10＝﹣8+2×9＝10． 故答案为：10． 12．（5分）若，则＝　　． 【分析】由题意利用诱导公式即可求解． 【解答】解：因为， 则＝cos[﹣（﹣α）]＝． 故答案为：． 13．（5分）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则的值为 　﹣4　． 【分析】由已知结合向量线性运算的坐标表示即可求解 【解答】解：建立如图所示的直角坐标系， 则＝（﹣1，﹣2），＝（6，﹣4），＝（﹣5，﹣2）， 因为＝， 所以（﹣5，﹣2）＝（﹣λ，﹣2λ）+（6μ，﹣4μ）＝（﹣λ+6μ，﹣2λ﹣4μ）， 所以﹣λ+6μ＝﹣5，﹣2λ﹣4μ＝﹣2， 解得，λ＝2，得． 故答案为：﹣4． 14．（5分）如图，直角△POB中，∠PBO＝90°，以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于A点．若圆弧等分△POB的面积，且∠AOB＝α弧度，则＝　　． 【分析】设出扇形的半径，求出扇形的面积，再在直角三角形中求出高PB，计算直角三角形的面积，由条件建立等式，解此等式求出tanα与α的关系，即可得出结论． 【解答】解：设扇形的半径为r， 则扇形的面积为α r2，直角三角形POB中，PB＝rtanα， △POB的面积为r×rtanα，由题意得r×rtanα＝2×α r2， ∴tanα＝2α， ∴＝． 故答案为：． 15．（5分）△ABC为锐角三角形，其三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b＝1，C＝2B，则△ABC周长的取值范围为 　（2+，3+）　． 【分析】借助正弦定理结合所给条件可将周长用B表示，结合锐角三角形的性质可得B的范围，即可得解． 【解答】解：b＝1，C＝2B， 由正弦定理，可得， 则，， 则△ABC周长为 ＝ ＝cos2B+2cos2B+2cosB+1 ＝2cos2B﹣1+2cos2B+2cosB+1 ＝， 由△ABC为锐角三角形，则，解得， 故，则， 即△ABC周长的取值范围为． 故答案为：． 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16．（13分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1． （Ⅰ）求证：AB∥平面A1DCB1； （Ⅱ）求直线AB和平面A1DCB1所成的角． 【分析】（Ⅰ）由正方体的性质可得AB∥A1B1，再由线面平行的判断定理可证得结论； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得线面角的大小． 【解答】（Ⅰ）证明：在正方体中，AB∥A1B1， 而AB⊄平面A1DCB1，A1B1⊂平面A1DCB1， 所以AB∥平面A1DCB1； （Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得直线AB和平面A1DCB1所成的角为0弧度． 17．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a＝6，，B＝45°． （1）求b的值； （2）在边BC上取一点D，使得，求△ADC的面积． 【分析】（1）根据余弦定理列式，即可求出b的值； （2）根据正弦定理求出AD长，再根据余弦定理求出BD长，最后根据面积公式求出△ADC的面积． 【解答】解：（1）因为a＝6，，B＝45°， 所以，得； （2）根据，得（舍负）， 在△ABD中，根据正弦定理，解得， 所以AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BD•cosB， 即，整理得9BD2﹣36BD﹣28＝0，解得或（舍负）， 所以，且，可得△ADC的面积． 18．（14分）已知函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数f（x）存在． 条件①：函数f（x）在区间上是增函数； 条件②：； 条件③：． （1）求φ的值； （2）求f（x）在区间上的最大值和最小值． 【分析】（1）根据题意先把函数f（x）进行化简，然后根据所选的条件，利用三角函数辅助角公式，三角函数单调递增区间而分别计算并判断是否使函数f（x）存在，从而求解； （2）根据（1）中选的不同条件下得出函数的解析式，然后求出在区间上的最大值和最小值． 【解答】解：（1）由题意，f（x）＝2cosx•cos（x+φ）＝2cosx•（cosxcosφ﹣sinxsinφ） ＝2cosφcos2x﹣2sinφsinxcosx ＝cosφ（1+cos2x）﹣sinφsin2x ＝（cos2xcosφ﹣sinφsin2x）+cosφ ＝cos（2x+φ）+cosφ， 当选条件①时，由f（x）＝cos（2x+φ）+cosφ， 可得当﹣π+2kπ≤2x+φ≤2kπ，k∈Z时， 即，k∈Z时，f（x）单调递增， 又因为f（x）在上单调递增， 所以得，解得，k∈Z， 当k＝0时，，与已知条件矛盾，故条件①不能使得f（x）存在． 当选条件②时，，即， 因为，所以，所以， 所以，可得，即． 当选条件③时，， 又f（x）＝cos（2x+φ）+cosφ， 所以当时，f（x）取最小值， 即，又， 所以，得． （2）当选条件②，③时，，则， 因为，所以， 当，即时，f（x）取最小值，最小值为， 当，即x＝0时，f（x）取最大值，最大值为1． 19．（14分）已知函数f（x）＝ex﹣x2﹣ax，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线为l． （Ⅰ）求l的方程； （Ⅱ）若a＝0，令p（x）＝f′（x），求证：对任意的x1，x2，x3∈[﹣1，1]，都有p（x1）+p（x2）＞p（x3）成立． 【分析】（Ⅰ）对f（x）求导，求出切线的斜率k＝f'（0），再求出切线方程即可； （Ⅱ）当a＝0时，函数p（x）＝ex﹣x，根据条件，求出p（x）的值域，再证明p（x1）+p（x2）＞p（x3）成立即可． 【解答】解：（Ⅰ）由，得f（0）＝1，f'（x）＝ex﹣x﹣a， 所以切线的斜率k＝f'（0）＝1﹣a， 所以切线l的方程为y﹣1＝（1﹣a）x，即y＝（1﹣a）x+1； （Ⅱ）证明：当a＝0时，函数p（x）＝ex﹣x，p′（x）＝ex﹣1， 易知，p（x）在（﹣1，0）上单调递减，在（0，1）上单调递增， 又， 所以p（x）的值域为[1，e﹣1]， 对任意的x1，x2，x3∈[﹣1，1]，都有p（x1）+p（x2）≥1+1＞e﹣1≥p（x3）， 所以p（x1）+p（x2）＞p（x3）． 20．（15分）已知函数； （1）当a＝1时，求f（x）在[1，+∞）上的最小值； （2）若f（x）在（1，e）上存在零点，求a的取值范围． 【分析】（1）对函数式进行两次求导分析即得； （2）对于含参数函数的零点问题，常常考虑运用分析讨论法，即对导函数中的参数进行分类逐个分析，找到符合题意的情况即得． 【解答】解：（1）当a＝1时，，x∈[1，+∞）， ， 令g（x）＝1﹣lnx+x3，x∈[1，+∞），， 则g（x）在[1，+∞）上是增函数，则g（x）min＝g（1）＝2＞0，所以f′（x）＞0， 即f（x）在[1，+∞）上是增函数，则f（x）min＝f（1）＝0． （2），x∈（1，e）， ， 令g（x）＝ax3﹣lnx+1，x∈（1，e），， （i）当a＜0时，g′（x）＜0，则g（x）在（1，e）上是减函数，则g（x）＜g（1）＝a+1， ①若a≤﹣1，易得f′（x）＜0，则f（x）在（1，e）上是减函数，f（x）max＜f（1）＝0，不合题意； ②若﹣1＜a＜0，因g（1）＝a+1＞0，g（e）＝ae3＜0，则根据零点存在定理，必∃x0∈（1，e），使g（x0）＝0，即f′（x0）＝0， x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表： x （1，x0） x0 （x0，e） f′（x） + 0 ﹣ f（x） 单调递增 极大值f（x0） 单调递减 则f（x0）＞f（1）＝0，故要使函数f（x）在（1，e）上存在零点，需使，即； （ii）当a＝0时，，而， 当x∈（1，e）时，f′（x）＞0， 故f（x）在（1，e）上是增函数，f（x）＞f（1）＝0，不合题意； （iii）当a＞0时，在（1，e）上是增函数，y＝a（x2﹣1）在（1，e）上是增函数， 则f（x）在（1，e）上是增函数，f（x）＞f（1）＝0，不合题意， 综上所述，a的取值范围是． 21．（15分）设n∈N*且n≥2，集合Sn＝{（x1，x2…，xn）||x1|＝1，|xi+1|＝2|xi|（i＝1，2…，n﹣1）}． （Ⅰ）写出集合S2中的所有元素； （Ⅱ）设（a1，a2，…an），（b1，b2，…，bn）∈Sn，证明“ai＝bi”的充要条件是“ai＝bi（i＝1，2，3，…n）”； （Ⅲ）设集合Tn＝{xi|（x1，x2，…，xn）∈Sn}，求Tn所有正数之和． 【分析】（1）根据题意，直接列出即可 （2）利用以ai＝不为零这个特性，结合反证法可以证明． （3）根据计数原理，Tn为正时，最后一项的系数必为正数，再看前n﹣1项的情况，数出个数相加即可． 【解答】解：（1）依题意，|x1|＝1，|x2|＝2|x1＝2，∴x1＝±1，x2＝±2，|∴集合S2中的所有元素为：（1，2），（1，﹣2），（﹣1，2），（﹣1，﹣2）共四个元素． （2）证明：①充分性，当ai＝bi时，显然ai＝bi成立． ②必要性，依题意，，其中pi∈{﹣1，1}， 所以ai＝，其中pi∈{﹣1，1}， 下面证明的符号与最后一项的符号相同．且不为0． 当pn＝1时，＝+2n﹣1＝2n﹣1﹣＝2n﹣1﹣＝1＞0，即当pn＝1时，＞0， 当pn＝﹣1时，＝﹣2n﹣1≤﹣2n﹣1＝﹣2n﹣1＝﹣1＜0，即当pn＝﹣1时，＜0． ai＝bi成立时，假设ai≠bi，且他们有k项不相同（k≥1，k∈N）， 则ai﹣bi为这k项的二倍的和或差，将这k项按绝对值从小到大排列起来，分别记作p1c1，p2c2，……，pkck，pi∈{﹣1，1}， 则 ai﹣bi＝p1c1+p2c2+……+pkck， 设绝对值最大项ck＝， 若pk＝1，ai﹣bi＝p1c1+p2c2+……+pkck≥+2m＞0， 若pk＝﹣1，ai﹣bi＝p1c1+p2c2+……+pkck≤﹣2m＜0， 这与ai＝bi矛盾，故假设错误，即当ai＝bi时，有ai＝bi（i＝1，2，3，…n），充分性成立． 综上“ai＝bi”的充要条件是“ai＝bi（i＝1，2，3，…n）． （3）Tn＝{xi|（x1，x2，…，xn）∈Sn}，故Tn可以记作：Tn＝，pi∈{﹣1，1}， 由（2）知，要使Tn取正值，需要最后一项系数pn＝1，而前n﹣1项的系数可以任意选取， 则前n﹣1项的系数取﹣1的有＝2n﹣1项， 前n﹣1项的系数取1的也有＝2n﹣1项，且它们相加为0． 故Tn所有正数之和为2n﹣1个2n﹣1相加，故Tn所有正数之和为2n﹣1×2n﹣1＝4n﹣1． 学科网（北京）股份有限公司 $$