1.2.1有理数的概念_分层作业 2026-2027学年人教版数学七年级上册

**基本信息** 分层梯度清晰，从概念辨析到综合应用，适配新授课知识巩固，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|有理数定义及分类（正整数、整数、负分数等）|选择填空直接考查概念，解答题进行简单分类，强化抽象能力| |能力提优|有理数分类关系（非正整数、整数与有理数关系）|结合概念交叉（如非负有理数且非整数），渗透推理意识| |压轴拓展|分类综合应用（多重身份、命题判断）|情境化探究（数的身份卡），培养创新意识与应用意识|

人教版七年级上册 1.2.1 有理数的概念 分层同步作业 基础巩固 一、选择题（共8题） 1. 下列各数中，属于正整数的是（　　）。 A. -4 B. 0 C. 7 D. 2.5 2. 在 -3，0，5/8，12，-1.6 中，整数有（　　）。 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 下列各数中，属于负分数的是（　　）。 A. -9 B. -3/4 C. 0 D. 6 4. 关于数0，下列说法正确的是（　　）。 A. 0是正数 B. 0是负数 C. 0是整数 D. 0不是有理数 5. 下列各数中，能看作分数并属于有理数的是（　　）。 A. 0.25 B. π C. 0.1010010001… D. 1.41421356…（无限不循环） 6. 下列各组数中，全部是有理数的是（　　）。 A. -2，0，3/5 B. π，1，-4 C. 0.12，π，7 D. 0.1010010001…，2，-3 7. 下列说法正确的是（　　）。 A. 正整数和负整数统称为整数 B. 正分数和负分数统称为分数 C. 0既是正数又是负数 D. 所有小数都不是有理数 8. 图书管理员把编号按“正整数、0、负整数”三类整理，这三类数合在一起统称为（　　）。 A. 正数 B. 分数 C. 整数 D. 负数 二、填空题（共8题） 9. 在 -6，2/3，0，15，-1.2 中，整数是________。 10. 正整数、________和负整数统称为整数；整数和________统称为有理数。 11. 在 4，-5/7，-8，0.36，0 中，正分数是________，负整数是________。 12. 不大于0的有理数叫非正有理数，其中既不是正数也不是负数的数是________。 13. 0.6 = ________/________，所以0.6可以看作________数。 14. 写出一个正整数、一个负分数和一个非正整数：________，________，________。 15. 校园气象记录中出现 -2，3.5，0，-7/2 四个数，其中属于分数的有________。 16. 在 3/4，π，-11，0.125，0.1010010001… 中，不属于有理数的有________。 三、解答题（共4题） 17. 将下列各数填入相应的集合：-7，3/4，0，8，-2.5，1.2，-9/5。 正数集合：{　　　　　　　　　　　　} 负数集合：{　　　　　　　　　　　　} 整数集合：{　　　　　　　　　　　　} 分数集合：{　　　　　　　　　　　　} 18. 某学习小组收集了下面六个数：5，-3/8，0，-12，2.75，π。请分别写出其中的有理数和不属于有理数的数。 19. 按要求各写出两个不同的有理数： （1）正整数；（2）负整数；（3）正分数；（4）负分数。 20. 判断下列说法是否正确；若不正确，请改成正确的说法。 （1）0不是整数； （2）任何整数都是有理数； （3）分数一定是有理数； （4）有限小数可以看作分数。 能力提优 一、选择题（共8题） 21. 下列各数中，只有一个不是有理数的一组是（　　）。 A. -2，0.3，π B. π，0.1010010001…，2 C. -5/6，0.̅3，7 D. 1.41421356…（无限不循环），π，-4 22. 下列关于“非正整数”的理解正确的是（　　）。 A. 只包括负整数 B. 包括负整数和0 C. 包括0和正整数 D. 包括所有负有理数 23. 若a是整数，b是分数，则下列结论一定成立的是（　　）。 A. a是正数 B. b一定是正数 C. a、b都是有理数 D. a+b一定是整数 24. 下列命题中正确的是（　　）。 A. 最小的正有理数是1 B. 最大的负有理数是-1 C. 最大的负整数是-1 D. 最小的正分数是1/2 25. 某密码规则要求所选的数“既是非负有理数，又不是整数”。下列符合要求的是（　　）。 A. 0 B. 3/5 C. -0.4 D. 6 26. 下列说法中错误的是（　　）。 A. 循环小数可以化成分数 B. 有限小数是有理数 C. 无限不循环小数不是有理数 D. 任意一个有理数不是整数就是正分数 27. 已知x既是负数又是整数，y既是非负数又是分数，则下列说法一定正确的是（　　）。 A. x可能为0 B. y可能为0 C. x是负整数 D. y是负分数 28. 设集合P表示“整数”，集合Q表示“有理数”。下列描述正确的是（　　）。 A. P中的数都属于Q B. Q中的数都属于P C. P与Q没有公共数 D. P与Q表示同一个数集 二、填空题（共8题） 29. 在 -5，-2.4，0，7/3，6，-0.̅2，π 中，非正有理数共有________个。 30. 在 -3，0，2，4.5，-7/8，10 中，既是非负数又是整数的数是________。 31. 某数据筛选器只保留“负分数”。在 -6，-0.25，3/7，-5/2，0，-3 中，应保留________。 32. 满足 -3≤x<3 且x为整数的所有x是________。 33. 在 0，-1，1/2，-0.4，2，π 中，同时属于“非正数集合”和“有理数集合”的是________。 34. 若一个有理数既不是正数，也不是负数，则这个数是________；按整数与分数的分类，它属于________集合。 35. 写出一个满足下列三个条件的数：①是有理数；②是非正数；③不是整数。这个数可以是________。 36. 若集合A表示整数集合，集合B表示有理数集合，则“A中的每个数都属于B”可用文字概括为：________都是________。 三、解答题（共4题） 37. 对下面各数进行多重分类：-4，0，5/6，-1.75，9，2.4，-7/3。 分别写出其中的正数、负数、整数、分数、非正数、非负数。 38. 从 -5，-2.5，0，-4/9，π，0.̅6，3 中筛选出同时满足下列三个条件的全部数： ①是有理数；②不大于0；③不是整数。 39. 三位同学讨论“有理数”： 甲说：“凡是小数都属于分数。” 乙说：“有限小数和循环小数都是有理数。” 丙说：“只要不是整数，就一定是分数。” 请分别判断三人的说法是否严谨，并说明理由或举例说明。 40. 已知整数和分数都属于有理数。请回答： （1）整数集合与有理数集合有什么关系？ （2）分数集合与有理数集合有什么关系？ （3）一个有理数能否既是整数又是分数？结合本节对“整数、分数”的分类方式说明。 压轴拓展 综合大题（共2题） 41. 【分类统计探究】某数学社团设计“数的身份卡”。对每个数，从下面六种身份中选择所有符合的身份： ①正数　②负数　③整数　④分数　⑤非负数　⑥非正数。 现有八个数：-6，0，3/5，-1.2，4，2.̅7，-7/3，5.0。 （1）为八个数分别写出所有符合的身份； （2）统计六种身份分别出现了多少次； （3）从这八个数中找出“恰好具有三种身份”的所有数，并说明它们为什么恰好具有三种身份； （4）若再加入一个有理数m作为第9个数（允许与原有数相同），使“整数”身份的出现次数增加1，“正数”与“负数”身份的出现次数都不变，判断m应满足什么条件，并写出所有可能的m； （5）若把m改为“使分数身份增加1，同时非负数身份也增加1，但正数身份不增加”，这样的m是否存在？若存在，写出一个并说明；若不存在，说明理由。 42. 【命题改造与规律探究】围绕有理数的分类，有如下四个命题： A. 每个整数都是有理数； B. 每个有理数都是整数或分数； C. 每个无限小数都不是有理数； D. 一个有理数只要既不是正数也不是负数，就一定是0。 （1）判断A、B、C、D的真假；对假命题各举一个反例； （2）把命题C改写成两个都正确的命题，其中一个必须含“循环小数”，另一个必须含“无限不循环小数”； （3）有人按“整数→有理数”“分数→有理数”的规律画了两条箭头。请说明这两条箭头表示什么包含关系，并判断能否把箭头反向；若不能，分别举例说明； （4）从“正整数、负整数、正分数、负分数、0”这五类中任选若干类，要求合并后恰好得到全部有理数。最少需要选几类？说明理由； （5）小组进一步提出规律：“一个有理数若不是正有理数，也不是负有理数，那么它一定同时属于整数集合和非负数集合。”判断这一规律是否正确，并从数集分类角度说明理由。 详细答案 基础巩固 1. 答案：C 解析：7是大于0的整数，所以是正整数；-4是负整数，0既不是正数也不是负数，2.5是正分数（有限小数可化为分数）。 2. 答案：C 解析：-3、0、12都是整数，共3个；5/8和-1.6属于分数。 3. 答案：B 解析：-3/4小于0且是分数，因此是负分数。 4. 答案：C 解析：0是整数，也是有理数；0既不是正数，也不是负数。 5. 答案：A 解析：0.25=1/4，是有理数。π、题中给出的两个无限不循环小数都不是有理数。 6. 答案：A 解析：-2、0、3/5都属于有理数；其余各组都含π或无限不循环小数。 7. 答案：B 解析：分数由正分数和负分数组成。整数还包括0，所以A遗漏0；0既非正也非负；有限小数、循环小数都属于有理数。 8. 答案：C 解析：正整数、0、负整数合在一起统称为整数。 9. 答案：-6，0，15 解析：这三个数都没有分数部分，属于整数。 10. 答案：0；分数 解析：正整数、0、负整数统称为整数；整数和分数统称为有理数。 11. 答案：0.36；-8 解析：0.36=9/25，是正分数；-8是负整数。 12. 答案：0 解析：0既不是正数也不是负数，并且0≤0。 13. 答案：3；5；分 解析：0.6=6/10=3/5，所以0.6可以看作分数。 14. 答案：答案不唯一，例如：2，-1/3，0 解析：2是正整数；-1/3是负分数；0是不大于0的整数，属于非正整数。 15. 答案：3.5，-7/2 解析：3.5=7/2，是正分数；-7/2是负分数。-2和0是整数。 16. 答案：π，0.1010010001… 解析：π是无限不循环小数；0.1010010001…按题意也为无限不循环小数，二者均不是有理数。 17. 答案：正数：3/4，8，1.2；负数：-7，-2.5，-9/5；整数：-7，0，8；分数：3/4，-2.5，1.2，-9/5 解析：0既不是正数也不是负数，但属于整数；有限小数-2.5、1.2都可化成分数，所以归入分数集合。 18. 答案：有理数：5，-3/8，0，-12，2.75；不属于有理数：π 解析：整数、分数、有限小数都属于有理数；π不是有理数。 19. 答案：答案不唯一，例如：（1）1，3；（2）-2，-5；（3）1/2，2.5；（4）-3/4，-1.2 解析：只要分别满足“正/负”和“整数/分数”两个条件即可；有限小数也可作为分数的表示形式。 20. 答案：（1）错误；（2）正确；（3）正确；（4）正确 解析：（1）应改为“0是整数”。（2）整数是有理数的一部分。（3）按本节定义，分数属于有理数。（4）有限小数都能化成分数，因此属于有理数。 能力提优 21. 答案：A 解析：A中只有π不是有理数；B中π和0.1010010001…都不是有理数；C中三个数都是有理数；D中前两个数都不是有理数。 22. 答案：B 解析：“非正”表示“不大于0”，所以非正整数包括所有负整数和0。 23. 答案：C 解析：a是整数，所以a是有理数；b是分数，所以b也是有理数。a不一定为正，b不一定为正，a+b也不一定为整数。 24. 答案：C 解析：负整数为-1，-2，-3，…，其中最大的是-1。正有理数和负有理数都没有最小/最大边界，正分数也不存在最小值。 25. 答案：B 解析：3/5≥0，是有理数且不是整数；0和6都是整数，-0.4是负数。 26. 答案：D 解析：有理数若不是整数，则是分数，但分数可能为正分数也可能为负分数，因此“就是正分数”错误。 27. 答案：C 解析：x既是负数又是整数，所以x一定是负整数；0不是负数。y是非负分数，因此不能推出其为负分数。 28. 答案：A 解析：整数集合是有理数集合的真子集，即每个整数都是有理数，但有理数中还有分数。 29. 答案：4 解析：-5、-2.4、0、-0.̅2都同时满足“不大于0”和“有理数”；7/3、6为正数，π不是有理数。 30. 答案：0，2，10 解析：“非负”表示≥0；再要求是整数，所以保留0、2、10。 31. 答案：-0.25，-5/2 解析：二者都小于0且是分数；-6、-3虽为负数但属于整数。 32. 答案：-3，-2，-1，0，1，2 解析：从-3开始取整数，到3之前停止，因此共有这6个整数。 33. 答案：0，-1，-0.4 解析：三者都≤0且属于有理数；1/2和2为正数，π不是有理数。 34. 答案：0；整数（也属于有理数、非负数和非正数集合） 解析：在有理数范围内，既不是正数也不是负数的只有0；0是整数。 35. 答案：答案不唯一，例如-1/2 解析：-1/2是有理数，且-1/2≤0，同时它不是整数。任何负分数都可作为符合条件的例子。 36. 答案：整数；有理数 解析：这句话表达的是“整数集合包含于有理数集合”，即每个整数都是有理数。 37. 答案：正数：5/6，9，2.4；负数：-4，-1.75，-7/3；整数：-4，0，9；分数：5/6，-1.75，2.4，-7/3；非正数：-4，0，-1.75，-7/3；非负数：0，5/6，9，2.4 解析：分类时注意0同时属于非正数与非负数，但既不是正数也不是负数；有限小数-1.75、2.4都属于分数。 38. 答案：-2.5，-4/9 解析：先排除π（不是有理数）；再按“不大于0”保留负数和0；最后排除整数-5和0，所以只剩两个负分数。 39. 答案：甲不严谨；乙正确；丙不严谨 解析：甲：若“小数”包含无限不循环小数，则如π的小数表示不是分数，因此不能说凡是小数都属于分数。乙：有限小数和循环小数都能化成分数，所以都是有理数。丙：若没有限定“在有理数范围内”，则错误，例如π不是整数，也不是分数；若明确限定“任意一个有理数”，则“不是整数就是分数”成立。 40. 答案：（1）整数集合是有理数集合的子集；（2）分数集合是有理数集合的子集；（3）不能 解析：本节把有理数分为整数和分数两类，这两类互不重叠。因此一个有理数按照这种分类方式只能属于其中一类。 压轴拓展 41. 答案：见分问结论 解析：（1）-6：②③⑥；0：③⑤⑥；3/5：①④⑤；-1.2：②④⑥；4：①③⑤；2.̅7：①④⑤；-7/3：②④⑥；5.0=5：①③⑤。 （2）正数4次；负数3次；整数4次；分数4次；非负数5次；非正数4次。 （3）八个数都恰好有三种身份。原因是：非零有理数先按正负二选一，再按整数/分数二选一，同时又对应非负/非正中的一种，共3种；0虽无正负身份，但同时具有“整数、非负、非正”三种身份。 （4）m必须使整数次数+1，又不能使正数或负数次数变化，因此m只能既是整数又既非正也非负，即m=0。 （5）不存在。要使“分数”和“非负数”都增加1，m需为非负分数；若“正数”不增加，则m不能为正，只能取0，但0是整数而不是分数，矛盾。 42. 答案：A真，B真，C假，D真 解析：（1）A真：整数属于有理数。B真：按本节分类，有理数由整数和分数组成。C假：如0.̅3是无限循环小数，但它是有理数。D真：在实数范围内，既不是正数也不是负数的数只有0。 （2）可改为：“循环小数是有理数”；“无限不循环小数不是有理数”。 （3）两条箭头表示整数集合、分数集合都包含于有理数集合。不能反向，因为并非每个有理数都是整数，例如1/2；也并非每个有理数都是分数，例如2。 （4）最少需要5类。正整数、负整数、正分数、负分数、0五类两两不重叠，缺少任何一类都会漏掉相应的有理数。 （5）正确。一个有理数若既不是正有理数也不是负有理数，只能是0；0属于整数集合，同时0≥0，所以也属于非负数集合。 人教版七年级上册 · 1.2.1 有理数的概念 学科网（北京）股份有限公司 $