第二章　一元二次函数、方程和不等式单元复习 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学单元复习课件系统梳理了一元二次函数、方程和不等式的核心内容，涵盖不等式性质、基本不等式求最值、含参不等式解法等模块，通过表格对比性质、方法步骤归纳、典例解析等方式，串联知识内在逻辑，帮助学生构建完整知识网络。 其亮点在于注重分类讨论与模型构建，如含参不等式通过“先定型再定根后定区间”培养逻辑推理能力，基本不等式“一正二定三相等”强化数学思维，分层例题设计满足不同学生需求，助力教师精准把握学情，提升复习效率。

第二章　一元二次函数、方程和不等式 第一章 集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 01　利用不等式的性质求代数式的取值范围 第1讲　描述运动的基本概念 不等式的性质 内容 注意点 性质1(对称性) a>b⇔b<a 可逆 性质2(传递性) a>b,b>c⇒a>c 如果两个不等式中一个带等号,一个不带等号,那么等号不能传递下去,如由a≥b,b>c得不到a≥c,只能得到a>c 性质3(可加性) a>b⇔a+c>b+c 可逆,且不等号方向不变 性质4(可乘性) a>b,c>0⇒ac>bc 注意c的符号,当c不确定时,还要考虑c=0的情况 a>b,c<0⇒ac<bc 第1讲　描述运动的基本概念 性质5(同向可加性) a>b,c>d⇒a+c>b+d 同向 性质6(同向同正可乘性) a>b>0,c>d>0⇒ac>bd 同向且同为正数 性质7(可乘方性) a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥2) 同正且指数为大于1的正整数 第1讲　描述运动的基本概念 1.直接利用不等式的性质求代数式的取值范围 紧扣不等式的性质,对已知不等式进行整体变形,不拆分代数式、不分步放缩,仅通过加减、乘除(定 号)、取反等基础操作,利用已知代数式求目标代数式的范围. 2.待定系数法求代数式的取值范围 待定系数法的核心是不拆分单个变量的范围,保留变量间的约束关系,将目标代数式用已知代数式表 示,再通过不等式的性质求出范围,其一般解题步骤如下: (1)设出待求式与已知式的等式; (2)根据等式两边对应部分的系数或指数相等建立关于参数的方程(组),求出待定系数,建立待求范围的 整体与已知范围的整体的关系; (3)结合不等式的性质求得代数式的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 3.双换元法求代数式的取值范围 双换元法的核心是引入两个新变量替代原问题中的两个关联变量(或原变量的线性组合),将原代数式 转化为仅含两个新变量的简单表达式,再结合新变量的范围,利用不等式的性质求解,其一般解题步骤 如下: (1)确定换元对象:将已知范围的两个代数式分别用新元表示,此时要注意新元的取值范围; (2)原变量用新变量表示:通过解方程组,将原变量分别表示为两个新变量的线性表达式; (3)转化目标代数式:将目标代数式用新变量表示; (4)求代数式的取值范围:结合新变量的范围,利用不等式的性质求解. 第1讲　描述运动的基本概念 名师点睛 三种方法均是基于不等式的性质,通过合理转化建立已知与目标的直接联系. 勘破疑难 1.直接法是最基础、最直接的方法,无复杂变形,关键在于判断操作的正确性和注意符号的变化. 2.当已知代数式由两个变量关联时(如:x+y与x-y),优先选用待定系数法或双换元法,禁止拆分变量单独 代入,因为同向不等式相加或相乘不是等价变形,在解题过程中多次使用可能会使所求范围变大,从而 使结果不准确. 第1讲　描述运动的基本概念 典例    (1)已知2<x<4,-3<y<-1,则 的取值范围是 ( ) A. < < 　    B. < <2　     C. < <1　    D. < <  (2)已知实数x,y满足-4≤x-y≤-1,-1≤4x-y≤5,则9x-y的取值范围是 ( ) A.-7≤9x-y≤26　    B.-1≤9x-y≤20　     C.4≤9x-y≤15　    D.1≤9x-y≤15 (3)已知x,y∈R,且3≤xy2≤8,4≤ ≤9,则 的取值范围是________________. 　    2≤ ≤27　         B         D     第1讲　描述运动的基本概念 思路点拨    (1)对待求式变形,直接利用不等式的性质求解. (2)和(3)中的已知代数式由两个变量关联,考虑用待定系数法或双换元法求解. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1) = . 因为2<x<4,-3<y<-1,所以 < < ,2<-2y<6, 所以 <- <3,所以 <1- <4, 所以 < < ,即 < < . (2)解法一(待定系数法):设9x-y=m(x-y)+n(4x-y),则9x-y=(m+4n)x-(m+n)y, 所以 解得  所以9x-y=- (x-y)+ (4x-y). 第1讲　描述运动的基本概念 因为-4≤x-y≤-1,-1≤4x-y≤5, 所以由不等式的性质4得 ≤- (x-y)≤ ,- ≤ (4x-y)≤ , 由不等式的性质5得-1≤- (x-y)+ (4x-y)≤20,即-1≤9x-y≤20. 解法二(双换元法):令m=x-y,n=4x-y, 则x= ,y= , 所以9x-y= n- m. 因为-4≤m≤-1,-1≤n≤5, 所以由不等式的性质4得 ≤- m≤ ,- ≤ n≤ , 由不等式的性质5得-1≤ n- m≤20,即-1≤9x-y≤20. 第1讲　描述运动的基本概念 (3)设 =(xy2)m ,则x3y-4=xm+2ny2m-n, 所以 解得  所以 =(xy2)-1 . 因为3≤xy2≤8,4≤ ≤9,所以 ≤ ≤ ,16≤ ≤81, 所以2≤(xy2)-1 ≤27,即2≤ ≤27. 第1讲　描述运动的基本概念 解后反思　在不等式的性质中,没有同向相减、同向相除,应把“同向相减”“同向相除”分别转化为 “同向相加”“同向同正相乘”后再进行计算,此外,遇到复杂转化时不要跳步,必要时验证等号成立 的条件,确保最值可取. 第1讲　描述运动的基本概念 02　利用基本不等式求最值 第1讲　描述运动的基本概念 1.两个重要不等式 不等式 适用条件 变形形式 a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时,等号 成立) a,b∈R ab≤   ≤ (当且仅当a=b时,等号 成立) a,b>0 a+b≥2 , ab≤  第1讲　描述运动的基本概念 2.利用基本不等式求最值的三大核心条件 (1)一正:两个数(或式)为正. (2)二定:两数(或式)之和或两数(或式)之积为定值. (3)三相等:必须验证等号成立的条件. 利用基本不等式求最值时必须同时满足上述三个条件,缺一不可. 第1讲　描述运动的基本概念 深度剖析     1.在基本不等式中, 叫做正数a,b的算术平均数, 叫做正数a,b的几何平均数,即几何平均数≤算 术平均数. 2.最值定理 已知x,y都是正数, (1)如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2 . (2)如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值 . 简记:和定积最大,积定和最小. 第1讲　描述运动的基本概念 利用基本不等式求最值的常见方法 1.直接法 (1)适用情形:代数式不用额外变形,本身已满足和或积为定值,直接依据基本不等式的三个条件求解即 可. (2)模型:若m,n,x>0,则mx+ ≥2 ,当且仅当x= 时等号成立;若m,n>0,x<0,则mx+ =- (-mx)+   ≤-2 ,当且仅当x=- 时等号成立. 第1讲　描述运动的基本概念 2.配项法 (1)适用情形:题干中仅有“单个含变量的单项式+分式”,且各项为正,变量部分无法直接约去凑成定 值,需通过添加恒等项(加一个数再减一个数),让变量部分一致,使和或积是定值,本质是“造项凑定”. (2)模型:若m,n>0,x>a,则mx+ =m(x-a)+ +ma≥2 +ma,当且仅当x-a= 时等号成立. 第1讲　描述运动的基本概念 3.配系数法 (1)适用情形:已知若干项的和或积为定值,且各项均为正,但各项系数与变量项的和或积无法直接凑定, 需通过给各项配系数、给整体乘(除以)常数,让变量部分的和或积为定值,本质是“调系数凑定”. (2)模型:若m,n>0,0<x< ,则x(n-mx)= ≤ · = ,当且仅当x= 时等号成立. 4.分离常量法(分式型) 第1讲　描述运动的基本概念 5.常值代换法(“1”的代换) 当“ax+by”与“ + (xy≠0)”中一个是常数求另一个的最大(小)值时,常用常值代换法(“1”的代 换)进行求解,其解题步骤如下: 第一步:确认题中某代数式的值为1(或可等价转化为1),且各项均为正; 第二步:将待求式乘“1”对应的代数式并展开,构造定值; 第三步:利用基本不等式求最值. 第1讲　描述运动的基本概念 6.消元法 当已知若干个变量之间的等量关系,求关于这几个变量的代数式的最值时,若无法直接利用基本不等式 求解,可考虑用消元法,其解题步骤如下: 第一步:将已知条件变形,从中解出一个变量,为消元做准备; 第二步:将变形后的代数式代入所求代数式,消元,转化为单变量式; 第三步:对单变量式进行求解. 7.万能“k”法 当题中给定关于x,y的一个二次式,要求另一个代数式的最值时,可以直接令待求式等于k,然后用y表示x, 代入原式,得到一个关于y的一元二次方程,利用判别式Δ≥0或其他条件确定k的取值范围,注意验证k取 到最值时,变量的取值是否符合要求. 第1讲　描述运动的基本概念 勘破疑难    1.利用基本不等式求最值的题目形式多样,解题方法也很灵活,但本质均是通过构造、转化 等手段,满足“一正、二定、三相等”的核心条件,避免因条件缺失或构造不当导致最值求解错误. 2.遇到复杂表达式时,可先化简整理,再结合上述方法构造,必要时可多次运用基本不等式进行求解,但 需保证等号能同时取到. 第1讲　描述运动的基本概念 典例    (1)已知x<1,则 的最大值为 ( ) A.-4　    B.-3　    C.-7　    D.-11 (2)已知m>1,n>0,且m2+2n=3m,则 + 的最小值为 ( ) A. 　    B. 　     C. 　    D.2     A         B     第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)解法一:因为x<1,所以1-x>0, 则 = = =   =-   ≤-  =-3, 当且仅当1-x= ,即x=-1时,等号成立. 故所求式的最大值为-3. 解法二:因为x<1,所以1-x>0,令t=1-x, 则x=1-t,t>0. 所以 = =  第1讲　描述运动的基本概念 =-  ≤-  =-3, 当且仅当t= ,即t=2,也就是x=-1时,等号成立,故所求式的最大值为-3. (2)由m2+2n=3m,得2n=3m-m2, 所以 + = + = + . 因为n>0,所以3m-m2>0,得0<m<3,又m>1,所以1<m<3,所以m-1>0,2(3-m)>0,则 + =   ·[2(m-1)+2(3-m)] =  ≥  = ,当且仅当 = 且2n=3m-m2,即m= ,n= 时取 等号. 所以 + 的最小值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 解后反思　有些利用基本不等式求最值的题目比较复杂,用单一的方法无法求解,做题时需要根据具体 题目灵活进行选择. 第1讲　描述运动的基本概念 03　基本不等式的拓展 第1讲　描述运动的基本概念 1.基本不等式链 (1)内容:若a>0,b>0,则 ≤ ≤ ≤ ,当且仅当a=b时取等号,即调和平均数≤几何平均数 ≤算术平均数≤平方平均数. (2)作用:用于比较不同平均数之间的大小、不能利用配凑定值直接求最值的问题. (3)拓展:若a1,a2,…,an>0,则 ≥ ≥ ≥ ,当且仅当a1=a2= …=an时取等号. 第1讲　描述运动的基本概念 2.柯西不等式 (1)内容:若a,b,c,d∈R,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时取等号. (2)作用:常用于求含有根式的最值、平方和或乘积和的最值. 3.权方和不等式 (1)内容:若a,b,x,y>0,则 + ≥ ,当且仅当 = 时取等号.(2)作用:常用于速求一些分式和的最值. 第1讲　描述运动的基本概念 易错警示 在利用拓展不等式时,要注意变量的范围,式子的结构以及等号成立的条件,注意不要混淆. 勘破疑难 1.(1)当变量为正数时,已知a2+b2,a+b,ab, + 中的一个为定值,求其余各式的最值时,考虑选用基本不等 式链求解. (2)当出现“平方和”与“和平方”结构或“根式”结构的最值问题时,考虑选用柯西不等式求解. (3)当式子是多个正项分式的和,且分子次数比分母次数高1时,考虑选用权方和不等式求解. 2.使用时,可以先列出相关公式,再结合公式对比着进行变形和拼凑. 第1讲　描述运动的基本概念 典例　设正实数x,y满足x+y=1,则 ( ) A.xy的最大值为  B.x2+y2的最小值为  C. + 的最小值为3 D. + 的最大值为2      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,1=x+y≥2 ,所以xy≤ ,当且仅当x=y= 时,等号成立,故A错误. 对于B,解法一:已知x+y为定值,求x2+y2的最值,考虑利用基本不等式链求解. 由基本不等式链知 ≥ = ,所以x2+y2≥ ,当且仅当x=y= 时取等号,故B正确. 解法二:所求代数式满足“平方和”的形式,考虑配凑使用柯西不等式求解. x2+y2=(x2+y2)×(12+12)× ≥ (x+y)2= ,当且仅当x=y= 时取等号,故B正确. 对于C,解法一: + =  (2x+2y+1) =  2+2+ +  ≥  4+2   = ,当且仅当 = 且x+y=1,即x= ,y= 时取等号,故C错误. 第1讲　描述运动的基本概念 解法二:所求代数式是“分式和”的形式,考虑使用权方和不等式求解.  + = + =2 ≥2× = ,当且仅当 = 且x+y=1,即x= ,y= 时取等号, 故C错误. 对于D,解法一:待求式含根号且无法通过配凑得到积为定值,所以将待求式与算术平均数联系起来,考 虑用基本不等式链求解.  ≤ = =2, 所以 + ≤2 ,当且仅当 = 且x+y=1,即x=1,y=0时等号成立,又y>0,所以等号取不到, 所以 + <2 ,故D错误. 解法二:待求式含根号,考虑用柯西不等式求解. ( + )2≤(12+12)[(x+1)+(y+2)]=8,所以 + ≤2 ,当且仅当 = 且x+y=1,即x= 第1讲　描述运动的基本概念 1,y=0时等号成立,又y>0,所以等号取不到,所以 + <2 ,故D错误. 解后反思　对于分式和求最值问题,当题目满足幂次差为1时,使用权方和不等式求解比使用常值代换 法求解速度更快,因为使用权方和不等式时不用构造“1”,直接套公式即可,可减少恒等变形. 第1讲　描述运动的基本概念 04　利用基本不等式证明不等式 第1讲　描述运动的基本概念 利用基本不等式证明不等式的常见题型及解题策略 (1)对称型不等式的证明 ①结构特征:式子中变量的地位完全平等,交换任意两个变量后,式子保持不变.常见形式包括完全对称 式:a+b+c≥ + + ,也包括轮换对称式:(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc(其中a,b,c>0). ②证明思路:在所有变量均为正数的前提下,将原式拆分为若干组对称的两项(如a和b),然后对每组对称 项单独应用基本不等式,得到同向不等式,最后将所有同向不等式左右两边分别相加或相乘,化简得到 目标不等式,注意检验等号能否同时取到. (2)无附加条件的分式型不等式的证明 ①结构特征:式子中含有分式项,变量的地位通常对称,交换变量后分式结构保持不变.常见形式有 +  ≥a+b, + ≥2(其中a,b>0). 第1讲　描述运动的基本概念 ②证明思路:在所有变量和分式均为正数的前提下,若分子的次数=分母的次数,则直接应用基本不等式 进行证明;若分子的次数>分母的次数,则将分式项与对应的整式项组合,构造“积为定值”的结构,对每 一组配对后的项单独应用基本不等式,得到同向不等式,再将所有同向不等式左右两边相加,消去中间 项后化简得到目标不等式,注意检验等号能否同时取到. (3)含定值条件的不等式的证明 ①结构特征:题目给出了“和为定值”或“积为定值”的条件,待证式多为分式和、整式乘积、平方和 或根式和的形式,变量地位通常对称. ②证明思路:在所有变量和分式均为正数的前提下,若题中条件为“和为定值”,则将待证式乘该定值 (即“1”的代换),展开后分组应用基本不等式放缩;若题中条件为“积为定值”,则直接套用a+b≥2  (a,b>0)进行证明,注意检验各步等号成立的条件是否相同. (4)含平方和的不等式的证明 第1讲　描述运动的基本概念 ①结构特征:式子以a2+b2,a2+b2+c2等平方和为核心结构,常与ab,a+b,a+b+c等关联,变量地位通常对称.如 a2+b2+c2≥ab+bc+ca(a,b,c>0). ②证明思路:在所有变量为正数的前提下,基础形式直接套用a2+b2≥2ab;若关联线性和,则可利用变形式 a2+b2≥ 放缩;多元平方和则通过分组配对应用基本不等式后叠加化简,注意检验等号能否同时取 到. (5)配凑型不等式的证明 ①结构特征:式子结构不规整,缺乏明显的对称或分式特征,常需通过拆项或补项构造和(积)为定值. ②证明思路:在构造出的用于应用基本不等式的项满足正数的前提下,通过拆项、补项引入与原式相关 的项,构造出可直接应用基本不等式的“和定”或“积定”结构,然后对构造后的式子应用基本不等式 放缩,化简得到目标不等式,注意检验等号能否同时取到. 第1讲　描述运动的基本概念 勘破疑难　利用基本不等式证明不等式时,先观察题中要证明的不等式的结构特征,然后结合已知条 件,通过配凑、变形等手段构造出符合基本不等式“一正、二定、三相等”条件的形式,另外,多次运 用基本不等式时,要注意不等号的方向是否一致,等号能否同时取到. 第1讲　描述运动的基本概念 典例    (1)已知a,b,c均为正实数,求证: + + ≥a+b+c. (2)已知x,y为正实数,且满足x+y=1,证明: + ≥ . 思路点拨　从题中条件及待证不等式的结构考虑,选择相应的方法进行证明. 第1讲　描述运动的基本概念 证明    (1)∵a,b,c均为正实数, ∴利用基本不等式可得 +b≥2a(当且仅当a=b时,等号成立),  +c≥2b(当且仅当b=c时,等号成立),  +a≥2c(当且仅当a=c时,等号成立), ∴ +b+ +c+ +a≥2a+2b+2c,即 + + ≥a+b+c,当且仅当a=b=c时,等号成立. (2)∵ + = (x+y)=2+ + ≥4,当且仅当x=y= 时,等号成立, ∴ + ≥ = ≥ = ,当且仅当x=y= 时,等号同时成立. 第1讲　描述运动的基本概念 05　含参一元二次不等式的解法 第1讲　描述运动的基本概念 1.一元二次不等式 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式为一元二次不等式,其一般形式是ax2+bx+c>0 或ax2+bx+c<0(a,b,c均为常数,且a≠0). 第1讲　描述运动的基本概念 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 y=ax2+bx+c(a>0)的图象       ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根 x1,x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1= x2=-  没有实数根 ax2+bx+c>0(a>0)的解集 {x|x<x1,或x>x2}  x x≠-   R ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ⌀ ⌀ 2.“三个二次”之间的关系 第1讲　描述运动的基本概念 　　可以发现,ax2+bx+c≥0(或≤0)(a≠0)的解集的端点⇔方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根⇔函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象与x轴交点的横坐标. 第1讲　描述运动的基本概念 1.解无附加条件的含参一元二次不等式 对于无附加条件的含参一元二次不等式,一般要进行分类讨论,步骤如下:   第1讲　描述运动的基本概念 确定方程根的方法:公式法、因式分解法(常用“十字相乘法”). 2.以一元二次不等式的解集为条件的不等式含参问题 解决此类问题需结合“三个二次”之间的关系,其一般步骤如下: (1)由解集的形式确定二次项系数的正负(如:一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集是{x|x<x1或x>x2}(x1<x2), 则a<0); (2)解集的端点值对应一元二次方程的根,结合根与系数的关系将b,c用a表示; (3)将用a表示的b,c代入到所求不等式中,结合(1)中a的符号约去a后得到不含参的不等式,解不等式即 可. 第1讲　描述运动的基本概念 勘破疑难 解无附加条件的含参一元二次不等式时,可遵循“先定型,再定根,后定区间”的逻辑顺序,确保讨论无 重复、无遗漏,确定区间时,注意强化数形结合意识. 第1讲　描述运动的基本概念 知识拓展 “十字相乘法” 对于二次三项式ax2+bx+c,若能够找到a1,a2,c1,c2满足a=a1a2,c=c1c2,且b=a1c2+a2c1,则有ax2+bx+c=a1a2x2+(a1c2 +a2c1)x+c1c2.为了便于理解,我们将a=a1a2与c=c1c2的因子排成如下方式:   第1讲　描述运动的基本概念 典例1    (多选题)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1<x<3},则 ( ) A.函数y=ax2+bx+c的图象有最高点 B.5a+ b+c>0 C.6b=-5c D.bx2+a|x|-c>0的解集为      ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由已知得a<0,-1和3是方程ax2+bx+c=0的两根, 由根与系数的关系得  所以b=-2a,c=-3a. 对于A,由a<0知函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,所以有最高点,故A正确. 对于B,易知-1< <3,所以当x= 时,5a+ b+c>0,故B正确. 对于C,因为b=-2a,c=-3a,所以6b=-12a=4c,故C错误. 对于D,不等式bx2+a|x|-c>0,即-2ax2+a|x|+3a>0,即2x2-|x|-3>0, 解得|x|<-1(舍去)或|x|> ,解得x> 或x<- , 所以不等式的解集为 ,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 名师点睛　解D选项中的不等式时,将不等式看成关于|x|的一元二次不等式,避免了对x正负的讨论,简 化了计算,但同时要注意|x|≥0这一隐含条件. 第1讲　描述运动的基本概念 典例2　解下列关于x的不等式. (1)ax2-x+a<0(a<0); (2)ax2-(1-2a)x-2<0. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)对于一元二次方程ax2-x+a=0,a<0,其判别式Δ=1-4a2. 当Δ=0,即a=-  时,不等式为- x2-x- <0,即(x+1)2>0, 解得x≠-1, 所以不等式的解集为{x|x≠-1}. 当Δ>0,即- <a<0时,方程ax2-x+a=0的两根分别为x1= ,x2= ,且x1>x2,所以不等式的解集 为 x x< 或x>  . 当Δ<0,即a<- 时,不等式的解集为R. 综上(注意检查对a的讨论是否完整,并且答案要写成集合的形式),当a<- 时,不等式的解集为R;当- <a< 0时,不等式的解集为 x x< 或x>  ; 第1讲　描述运动的基本概念 当a=- 时,不等式的解集为{x|x≠-1}. (2)不等式ax2-(1-2a)x-2<0,即(ax-1)(x+2)<0. 当a=0时,不等式为-x-2<0,解得x>-2. 当a>0时,不等式可化为 (x+2)<0,解得-2<x< . 当a<0时,不等式可化为 (x+2)>0, 当- <a<0时,解得x< 或x>-2; 当a=- 时,解得x≠-2; 当a<- 时,解得x<-2或x> . 综上,当a>0时,原不等式的解集为 x -2<x<  ; 第1讲　描述运动的基本概念 当a=0时,原不等式的解集为{x|x>-2}; 当- <a<0时,原不等式的解集为 x x< 或x>-2 ; 当a=- 时,原不等式的解集为{x|x≠-2}; 当a<- 时,原不等式的解集为 x x<-2或x>  . 解后反思　对于含参数的一元二次不等式,若二次项系数含参数,则先考虑二次项系数的正负,其次考 虑分解因式,再对参数进行讨论.若不易分解因式,则可对判别式进行分类讨论,分类要不重不漏. 第1讲　描述运动的基本概念 06　一元二次不等式中的恒(能)成立问题 第1讲　描述运动的基本概念 解决一元二次不等式中的恒(能)成立问题的常用方法 (1)“开口方向+判别式”法 此方法仅适用于解决在R上的恒(能)成立问题,具体情况如下: 不等式 ax2+bx+c>0(a≠0) ax2+bx+c<0(a≠0) 恒成立     能成立 a>0或  a<0或  第1讲　描述运动的基本概念 (2)最值直接转化法 此方法是直接利用函数的最值求参数的取值范围,是处理一元二次不等式恒(能)成立问题最直接、最 通用的方法.在求函数在所给范围内的最值时,一般涉及二次函数图象的对称轴和给定范围的相对位置 的讨论(对称轴在给定范围左侧、对称轴在给定范围右侧、对称轴在给定范围内);当给定范围为全体 实数R时,二次函数的最值即为二次函数图象顶点的纵坐标,此时该方法等价于“开口方向+判别式” 法. (3)分离参数法 此方法对于解决在R上和在给定范围内的恒(能)成立问题均适用,一般将不等式化为一边是参数,另一 边是关于变量x的表达式(注意分离时需保证分母符号确定,或对分母正负分类讨论),依据不等号和表达 式的最值求参数的取值范围.如:m>y恒成立⇔m>ymax;当x∈[s,t]时,m>y有解⇔当x∈[s,t]时,m>ymin(y是关于 x的表达式). 第1讲　描述运动的基本概念 (4)变换主元法 若目标代数式中含有两个变量,我们要将其中一个变量看成主元,另一个变量看成次元,将问题化归为 有关主元的函数、方程或不等式问题.通常情况下,已知哪个变量的取值范围,就选这个变量当主元(将 问题转化为主元函数在其范围内恒(能)成立问题);求哪个变量的取值范围,就选这个变量当参数,从而 利用主元函数的性质求解参数范围. 第1讲　描述运动的基本概念 勘破疑难 1.在利用“开口方向+判别式”法时,若二次项系数含参数,且题目未指明不等式是一元二次不等式,则 还需考虑系数为0的情况.如:ax2+bx+c>0在R上恒成立的条件为 或  2.特别地,对于y=ax2+bx+c(a≠0),①当a>0时,y<0在α≤x≤β时恒成立⇔ ②当a<0时,y>0在α≤x≤ β时恒成立⇔  第1讲　描述运动的基本概念 深度剖析 一个恒成立的不等式中含有a和x,习惯将x看作变量,a看作参数.但如果题目中已知a的范围,求x的范围, 那么此时要更换主元,将a看作变量,x看作参数,式子是关于a的函数,结合a的取值范围及不等式恒成立 的条件列关于x的关系式,求x的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 典例　已知不等式2x-1>m(x2+2). (1)若∀x∈R,不等式恒成立,求实数m的取值范围; (2)若∃x>1,使不等式能成立,求实数m的取值范围; (3)当-1≤m≤- 时,不等式恒成立,求x的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)对2x-1>m(x2+2)变形,得mx2-2x+2m+1<0. 二次项系数含参数,需对m是不是0进行分类讨论. 当m=0时,不等式为-2x+1<0,解得x> ,不符合题意. 当m≠0时,若不等式恒成立, 则需 解得m<-1. 综上,实数m的取值范围是{m|m<-1}. (2)解法一(分离参数法):已知x的范围,求m的范围,所以x是变量,m是参数. 因为x>1,所以对2x-1>m(x2+2)分离参数,得m< .由题意得m< ,x>1. 令2x-1=t,则x= ,t>1,所以 = = = ≤ = ,当且仅当t=3,即x=2时取 第1讲　描述运动的基本概念 等号,故 = ,所以实数m的取值范围是 m m<  . 解法二(最值直接转化法):结合(1)知,∃x>1,mx2-2x+2m+1<0能成立. 当m=0时,不等式为-2x+1<0,解得x> ,符合题意. 当m<0时,y=mx2-2x+2m+1的图象开口向下,符合题意. 当m>0时,y=mx2-2x+2m+1的图象开口向上,若∃x>1,使不等式能成立,则需满足y|x=1<0或 解得m<  或0<m< ,所以0<m< . 综上,实数m的取值范围为 m m<  . (3)给定的不等式中含有两个变量,已知m的范围求x的范围,所以将m看作主元,研究关于m的函数的最值. 第1讲　描述运动的基本概念 因为当-1≤m≤- 时,2x-1>m(x2+2)恒成立, 所以当-1≤m≤- 时,(x2+2)m-2x+1<0恒成立. 易知x2+2>0,所以[(x2+2)m-2x+1]max=(x2+2)× -2x+1<0,解得x<-4或x>0, 所以x的取值范围为{x|x<-4或x>0}. 名师点睛　对比第(2)问中的两种方法可以看出,分类讨论的思维量较大,所以若能分离参数,首选参变 分离,然后利用二次函数的性质或基本不等式求最值. 第1讲　描述运动的基本概念 07　分式不等式、绝对值不等式、一元高次不等式的求解 第1讲　描述运动的基本概念 1.分式不等式的有关概念 (1)含有分式(分母中含有未知数)的不等式,称为分式不等式. (2)分式有意义的条件:分母不为0. 2.绝对值不等式的有关概念 (1)含有绝对值符号,且绝对值内包含未知数的不等式,称为绝对值不等式. (2)绝对值的代数意义:正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是零,即|a|=   第1讲　描述运动的基本概念 (3)绝对值的几何意义:在数轴上,|a-b|表示数a和数b之间的距离. 3.一元高次不等式的概念 只含一个未知数,且未知数的最高次项的次数大于2的不等式,称为一元高次不等式,其一般形式为anxn+ an-1xn-1+…+a1x+a0>0(an≠0,n≥3,n∈N*). 第1讲　描述运动的基本概念 1.解分式不等式的一般步骤 (1)移项、通分,化为标准形式:将不等式所有项移至左侧,右侧化为0,再通分合并为单一分式,得到标准 形式. (2)等价转化,将分式不等式化为整式不等式:根据“两数相除,同号得正、异号得负”及“分式的分母 不为0”,将标准分式不等式转化为整式不等式(组),常见的转化形式如下: ① >0⇔f(x)·g(x)>0;② <0⇔f(x)·g(x)<0; ③ ≥0⇔ ④ ≤0⇔  (3)解整式不等式(组),所求解集即为分式不等式的解集. 第1讲　描述运动的基本概念 2.绝对值不等式的解法 (1)去绝对值法解绝对值不等式 若绝对值不等式的一边为含绝对值的代数式,另一边为常数,则可以去绝对值进行求解,其常见形式如下: ①|ax+b|>c(a≠0,c>0)⇔ax+b<-c或ax+b>c. ②|ax+b|<c(a≠0,c>0)⇔-c<ax+b<c. ③c<|ax+b|<d(a≠0,d>c>0)⇔c<ax+b<d或-d<ax+b<-c. (2)平方法解绝对值不等式 对于形如|ax+b|<|cx+d|或|ax+b|< 的绝对值不等式,一般用平方法进行求解,即分别转化为(ax+b)2< (cx+d)2,(ax+b)2<mx+n进行求解. (3)临界值分段讨论法解绝对值不等式 此方法适配于解所有绝对值不等式,尤其适配于解形如|x-m|±|x-n|>k的双(多)绝对值和差型不等式,其一 第1讲　描述运动的基本概念 般思路:先求出使各绝对值等于0的x的值(简称为临界值),再针对这些临界值将x的范围分割成若干部 分,通过分类讨论去掉绝对值,转化为不含绝对值的不等式,分段求解再取并集. 3.一元高次不等式的解法 解一元高次不等式常用穿针引线法(又称为穿根法),其一般步骤如下: (1)移项:根据不等式的性质对不等式进行移项,使得右端为0,化为不等式的标准形式,一定要保证x的最 高次幂的项的系数为正数. (2)求根:求出不等式所对应的方程的所有根.可通过将不等式左侧的式子分解为若干个最简因式乘积 的形式进行求解. (3)标根:在数轴上按从左到右(或由小到大)依次标出各根(不需标出准确位置,只需标出相对位置即可). (4)画穿根线:从最右端根的上方起,用曲线从右至左依次由各根穿过数轴,注意画线时遇偶次重根不穿 过(即线画至此根时,不穿过此根,而折回向左依次穿过其余的根),遇奇次重根要穿过,可用口诀“奇穿 第1讲　描述运动的基本概念 偶折”来记忆.如(x-1)2(x-2)(x-3)>0在数轴上标根穿线时,数1处的线折而不穿.   (5)写解集:若不等号为“>”,则取数轴上方穿根线对应的范围(如(4)中不等式的解集为{x|x<1或1<x<2 或x>3});若不等号为“<”,则取数轴下方穿根线对应的范围;若不等式中含有“=”,则连根一同取,但 若是分式不等式,写解集时要注意分母不能为零. 第1讲　描述运动的基本概念 勘破疑难    1.形如|ax+b|>cx+d(a≠0,cx+d>0)或|ax+b|<cx+d(a≠0,cx+d>0)的绝对值不等式,通常将cx+d看 成一个大于0的常数求解(临界值分段讨论法比较烦琐). 2.利用平方法解绝对值不等式时,不等式的两边平方后尽量不要把平方式展开化简,可以移项,利用平方 差公式分解因式,这样方便求出不等式对应的方程的根. 3.对于双绝对值和差型不等式,也可利用绝对值的几何意义或三角不等式(|A|+|B|≥|A±B|)求解. 4.解分式不等式时,先看分母的符号,若分母的符号确定,则可直接利用乘法移项,此时要注意分母为负 数时,不等号的方向要改变;若分母的符号不确定,则要移项转化为整式不等式求解,此时要注意分母不 为0. 第1讲　描述运动的基本概念 典例　解下列不等式. (1)|x-1|+|x-2|<x+2; (2) ≤1. 思路点拨    (1)利用临界值分段讨论法进行求解. (2)不等式为一元高次不等式,考虑利用穿针引线法进行求解. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)易得|x-1|+|x-2|=  由|x-1|+|x-2|<x+2得 或 或  解得2<x<5或1≤x≤2或 <x<1, 所以所求不等式的解集为 . 第1讲　描述运动的基本概念 (2)对 ≤1移项,得 -1≤0, 通分,得 ≤0,即 ≥0, 所以 ≥0, 所以  如图,   基于数轴穿根法的符号分布，逐一验证各区间对不等式的满足情况： 第1讲　描述运动的基本概念 01. x < 分式结果为正，满足 ≥ 0 的条件，该区间有效。 02. < x < 分式结果为负，不满足 ≥ 0 的条件，予以排除。 03. ≤ x ≤ 1 分式结果为正，且包含等号临界点，该区间有效。 04. 1 < x < 2 分式结果为负，且分母不能为零，不满足条件，予以排除。 05. x > 2 分式结果为正，满足 ≥ 0 的条件，该区间有效。   所以原不等式的解集为 x x< 或 ≤x≤1或x>2 . 第1讲　描述运动的基本概念 1.7.2013 最后一步，我们合并解集。根据上一页的分析，我们可以看到，当x小于1/3时，分式为正；当x在1/2到1之间（包括端点）时，分式为正；当x大于2时，分式也为正。这三个区间都满足我们大于等于零的条件。因此，最终的解集就是这三个区间的并集。用区间表示法就是(-∞, 1/3) 并上 [1/2, 1] 再并上 (2, +∞)。 ‹#› $