专题07 反比例函数的图象、性质与应用12大题型（专项训练）数学新教材北京版九年级上册

**基本信息** 聚焦反比例函数图象、性质与应用，分考点系统覆盖12类常考题型，从概念理解到综合应用形成完整逻辑链，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考点一 图象|4题型|考查概念辨析、图象绘制、解析式求解及对称性应用|从反比例函数定义出发，构建“概念-图象-解析式”认知基础| |考点二 性质|6题型|涉及象限分布、增减性、k值几何意义及与一次函数综合|以性质为核心，形成“性质判定-参数求解-函数比较”的推理链条| |考点三 应用|2题型|包含实际问题建模与几何综合题|实现知识迁移，体现数学与现实的联系及几何直观的应用|

专题07 反比例函数的图象、性质与应用 常考题型·精准突破 考点一 反比例函数的图象 题型一、反比例函数的基本概念 题型二、反比例函数的图象 题型三、求反比例函数解析式 题型四、由反比例函数图形的对称性求坐标 考点二 反比例函数的性质 题型五、已知双曲线分布的象限求参数范围 题型六、反比例函数的增减性求参数 题型七、比较反比例函数值或自变量的大小 题型八、反比例函数的k值 题型九、一次函数与反比例函数结合 题型十、一次函数与反比例函数的实际应用 考点三 反比例函数的实际应用 题型十一、反比例函数的实际应用 题型十二、反比例函数与几何综合 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 反比例函数的图象 ◆题型一、反比例函数的基本概念 1．下列关系式中，能表示y是x的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．若函数是反比例函数，则k的值为__________． 3．若点在反比例函数 的图象上，则m的值为____． 4．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则______0（填“＞”，或“＜”或“＝”）． ◆题型二、反比例函数的图象 5．已知反比例函数的图象经过点． (1)求k的值； (2)函数的图象在哪几个象限？画出函数的图象； (3)点在这个函数的图象上吗？ 6．若，则与在同一坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 7．画出下列函数的图象： (1)； (2)． 8．某校学习小组根据学习反比例函数的经验对的图象和性质进行了探究．过程如下： ⋯ 1 2 3 4 ⋯ ⋯ 1 4 4 2 1 ⋯ (1)与的几组对应值如表，其中______，自变量的取值范围为______． (2)根据上表数据，在平面直角坐标系中描点，并画出函数的图象； (3)观察图象，写出函数的两条性质： ①_________________； ②_________________． (4)结合函数图象回答： ①关于的方程的解是______； ②关于的不等式的解集是________． ◆题型三、求反比例函数解析式 9．已知与成反比例关系，且当时，，则关于的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 10．已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)判断点是否在这个反比例函数的图象上． 11．若，为反比例函数的图象和正比例函数的两个交点，则____________． 12．在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上． (1)求a、b的值； (2)若一次函数的图象也经过点A和点B，求这个一次函数的表达式． ◆题型四、由反比例函数图形的对称性求坐标 13．关于反比例函数的图象，下列说法中正确的是（     ） A．点在它的图象上 B．图象位于第二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．图象的两个分支关于原点对称 14．若双曲线（）的图象经过点和，若，则的值是______． 15．已知A，B两点分别在反比例函数和的图象上，若点A与点B关于x轴对称，则a的值是______． 16．已知反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点，．若点的坐标为，则点的坐标为_____． 考点二 反比例函数的性质 ◆题型五、已知双曲线分布的象限求参数范围 17．已知反比例函数的图象在第二、四象限内，那么k的取值范围是________． 18．在平面直角坐标系中，某反比例函数（k为常数）的图象分别位于第二、第四象限．写出一个满足条件的k的值是_____． 19．如果反比例函数（是常数）的图像在第二、四象限，那么的值是__________． 20．已知反比例函数的图象位于第二、四象限． (1)求的取值范围； (2)若点，，在该反比例函数图象上，请比较函数值，，的大小． ◆题型六、反比例函数的增减性求参数 21．选一个数作为m的值，使关于x的函数的图象在每个象限y随x的增大而增大，则m的值为________． 22．在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，且，的取值范围是____________． 23．已知反比例函数（k为常数，）． (1)若点在反比例函数的图象上，则k的值为________； (2)若在其图象的每一支上，y的值随x值的增大而增大，求k的取值范围． 24．已知反比例函数（k为常数，）． (1)若点在这个函数的图象上，则k的值为________； (2)若在这个函数图象的每一分支上，y的值随x值的增大而减小，求k的取值范围． ◆题型七、比较反比例函数值或自变量的大小 25．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 26．在平面直角坐标系中，若点，在反比例函数的图象上，则______（填“”“”或“”） 27．已知点和是反比例函数图象上两点，且，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 28．已知：反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点，都在该反比例函数的图象上，比较大小：______； (3)当时，直接写出y的取值范围是______． ◆题型八、反比例函数的k值 29．如图，点A在反比例函数的图象上，点B在x轴负半轴上，直线交y轴于点C，若，的面积为6，则k的值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 30．如图，点P在反比例函数的图像上，过点P作轴，垂足为H，连接，如果的面积为3，那么这个反比例函数的表达式为_____________． 31．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点是双曲线（，）上的一点，点是轴负半轴上一点，连接交轴于点，且．当时，的值为（     ） A．3 B．6 C．9 D．12 32．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，反比例函数的图象与相交于点，与相交于点，若点的坐标为，四边形的面积是，则的值为________． ◆题型九、一次函数与反比例函数结合 33．如图，已知反比例函数与直线在同一平面直角坐标系中． (1)若两个函数图象只有一个公共点，求值； (2)若两个函数图象交于、两点，求线段中点的纵坐标． 34．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)直接写出当时，的取值范围； (3)点是轴上一点，若的面积为6，求点的坐标． 35．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与反比例函数的图象交于点D及点，与x轴交于点B． (1)求m的值； (2)若直线与反比例函数（）的图象在第三象限交于点C，求点C的坐标及的面积； (3)在第三象限内的反比例函数（）的图象上，是否存在点E，使得为直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的所有点E的坐标；若不存在，请说明理由． 36．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象交于点，则代数式的值为______． ◆题型十、一次函数与反比例函数的实际应用 37．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)直线过点，与反比例函数图象交于点，与轴交于点，，连接．求的面积． 38．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，与轴相交于点．已知点的坐标为． (1)_____，_____； (2)点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标； (3)已知直线和反比例函数的图象交于点，且，则的值为_____． 39．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点两点，与x轴交于点C． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点M在x轴上，且的面积为6，求点M的坐标． (3)结合图形，直接写出时x的取值范围． 40．如图，反比例函数 与一次函数的图像相交于 A和B两点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)如图，直线与反比例函数交于另一点C，若y轴上有一点M，使的面积为12，求点M的坐标； (3)请结合图像回答，x为___________时，； (4)在x轴上有一点N， 若满足最大， 则点N的坐标为：___________． 若满足最小， 则点N的坐标为___________； 若满足最小，则点N的坐标为___________． 考点三 反比例函数的实际应用 ◆题型十一、反比例函数的实际应用 41．如图，某校园艺社计划利用已有的一面长为的墙，用篱笆围一个面积为的矩形园子．设矩形园子的相邻两边长分别为． (1)y关于x的函数解析式为______（不用写自变量的取值范围）； (2)当相邻两边中一条边的长为时，求另一条边的长． 42．教室内饮水机接通电源后自动循环工作：开机后加热升温，当水温达到时停止加热，水温自然冷却下降；当水温回落至时，饮水机自动重启加热，重复上述过程．值日班长于到校接通饮水机电源，记接通电源后第分钟时对应的水温为，水温随时间变化的测量数据如表所示： （分钟） 0 2 5 7 10 14 16 20 … （） 30 50 80 100 70 50 43.75 35 … 请根据上述信息解决下列问题： (1)根据表中数据在如图给出的坐标系中，描出相应的点； (2)选择适当的函数，分别求出第一次加热过程和第一次降温过程的函数关系式并写出自变量的取值范围； (3)上午第一节下课时间为，同学们能不能喝到不超过的水？请通过计算说明． 43．学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数来表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数随上课时间（分钟）的变化情况如图所示．上课开始时注意力指数为30，第2分钟时注意力指数为40，前10分钟内是的一次函数；10分钟以后与成反比例．根据图中所提供的信息，回答下列问题： (1)上课几分钟时，注意力指数达到最高？最高注意力指数是多少？ (2)如果讲解一道难度较高的数学题，要求学生的注意力指数不低于50，为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为多少分钟？ 44．“人潮人海中，有你有我”，上下学的“停车大战”与“拥堵大戏”已成为社会热点问题．某校对本校下午放学校门口“堵塞”情况做了一次调查后发现：每天放学时间3分钟后校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数”y（）与放学后时间x（分）的函数关系描述．如图，3~13分钟函数图象为抛物线，且在第13分钟达到该函数最大值100（此时为抛物线的顶点）；13分钟之后为函数（）的图象的一部分． (1)求二次函数和反比例函数的表达式（需明确x的取值范围）； (2)若“拥挤指数”，出于安全考虑，需要护学岗执勤人员维护秩序、疏导交通．请依据图象计算每天至少需要执勤的时间． ◆题型十二、反比例函数与几何综合 45．如图，点B在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上，且轴，，垂足为C，交y轴于点A，求的面积． 46．如图，点、在反比例函数的图象上，当时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C，D，交于点E．四边形的面积为S． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求S与n的函数关系式． 47．如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接、，求的面积； (3)已知点，过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交一次函数的图象于点M，交反比例函数的图象于点N．若，结合函数图象直接写出a的取值范围． 48．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点的坐标为，点在反比例函数（，）的图象上，连结、，以、为邻边构造菱形．若菱形的面积为，则的值为________． 综合攻坚·知能拔高 1．y关于x的函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 2．若点，在同一个函数图象上，则这个函数的表达式可能为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，轴，轴与反比例函数的图象交于点C，与x轴交于点D，若，则k的值为（　　） A．2 B． C．3 D． 4．在下列函数表达式中，x均表示自变量．①；②；③；④；⑤；⑥其中反比例函数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 5．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作x轴垂线，垂足为点D，交的图象于点B，点A的横坐标为1．则下列说法错误的是（     ） A．点C的坐标为 B．当时，一次函数的值小于反比例函数的值 C．将直线向上平移k个单位长度后与反比例函数的图象一定有交点 D．连接，，则的面积为12 6．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象交于点，则代数式的值为______． 7．如图，菱形的顶点O是原点，顶点B在y轴上，菱形的两条对角线的长分别是10和6（），反比例函数的图象经过点C，则k的值为______； 8．已知点，在反比例函数的图象上．若，则点A的坐标可以是________（写出一种可能的情况即可）． 9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于、两点，且与反比例函数在第一象限内的图象交于点，若点坐标为，，则的值是______． 10．如图，点是反比例函数图象第四象限分支上任意一点，连接，过点作轴，垂足为，过点作的平行线交轴于点，交图象第二象限分支于点．则 （1）四边形的面积为__________（用含的式子表示）； （2）的值为__________． 11．画反比例函数的图象． (1)列表（请填空）； x 1 2 3 4 y (2)描点、连线（请在图中的平面直角坐标系中完成）； (3)点在的图象上吗？为什么？ 12．有这样一个问题：探究函数的图象和性质． 小石根据学习函数的经验，对此函数的图象和性质进行了探究． 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是_____________； (2)下表是与的几组对应值． … … … … 求的值； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对应值为坐标的点．根据描出的点，画出此函数的图象； (4)进一步探究，结合函数的图象，写出此函数的性质（一条即可）：___________________________________________________________． 13．在函数学习中，我们经历了“根据函数表达式画函数图象——利用函数图象研究函数性质——利用函数图象和性质解决问题”的过程，我们可以借鉴这种方法探究函数的图象和性质． (1)根据题意，列表如下： … … … … 表格中的值为________； (2)在所给的平面直角坐标系中描点、连线，画出函数的图象； (3)观察函数图象，回答下列问题： ①当时，随的增大而________； ②函数的图象关于点________中心对称；（填点的坐标） ③函数的图象是由的图象向________平移________个单位长度得到的； (4)函数的图象可由函数的图象平移得到，想象函数的图象，直接写出当时，的取值范围是________． 14．如图，在平面直角坐标系中，点． (1)如果点均在反比例函数的图象上，求m的值； (2)如果点均在一次函数的图象上， ①当时，求该一次函数的表达式； ②当时，如果不等式始终成立，结合函数图象，直接写出m的取值范围． 15．某工厂对不同孔径的工业水龙头在相同水压下进行放水测试，已知同一孔径的水龙头放出的水量m（单位：）与放水时间t（单位：）成正比例函数关系． 甲测试组选定某一孔径的水龙头，探究放出的水量m（单位：）与放水时间t（单位：）之间的关系，部分数据如下： 10 20 30 40 50 … 4.0 8.0 12.0 16.0 20.0 … 乙测试组选取除孔径外无其他差别的多款水龙头，探究放出7L水所用的时间t（单位：）与孔径d（单位：）之间的关系，部分数据如下： 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 … 32.0 18.0 11.5 8.0 5.9 … (1)甲测试组放水时放出的水量为___________； (2)通过乙测试组的实验，发现可以用函数刻画时间t与孔径d之间的关系． ①在给出的平面直角坐标系中，画出乙测试组实验的函数图象； 根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ②孔径为的水龙头放出水所用的时间为___________（结果保留小数点后一位）； ③推断甲组同学实验中所用水龙头的孔径为___________（结果保留小数点后一位）． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 反比例函数的图象、性质与应用 常考题型·精准突破 考点一 反比例函数的图象 题型一、反比例函数的基本概念 题型二、反比例函数的图象 题型三、求反比例函数解析式 题型四、由反比例函数图形的对称性求坐标 考点二 反比例函数的性质 题型五、已知双曲线分布的象限求参数范围 题型六、反比例函数的增减性求参数 题型七、比较反比例函数值或自变量的大小 题型八、反比例函数的k值 题型九、一次函数与反比例函数结合 题型十、一次函数与反比例函数的实际应用 考点三 反比例函数的实际应用 题型十一、反比例函数的实际应用 题型十二、反比例函数与几何综合 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 反比例函数的图象 ◆题型一、反比例函数的基本概念 1．下列关系式中，能表示y是x的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可通过判断与的乘积是否为非零常数，快速验证反比例函数． 【详解】解：A，由得，与的乘积不是定值，不符合； B，由得，是正比例函数，不符合； C，由得，与的乘积不是定值，不符合； D，，即与的乘积为非零定值，符合反比例函数形式． 2．若函数是反比例函数，则k的值为__________． 【答案】0 【分析】根据反比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是反比例函数，据此列式求解即可． 【详解】解：函数是反比例函数， ∴且， 解得． 3．若点在反比例函数 的图象上，则m的值为____． 【答案】 【分析】根据点在反比例函数的图象上，代入计算即可． 【详解】解：由题意得：． 4．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则______0（填“＞”，或“＜”或“＝”）． 【答案】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，将两点坐标代入反比例函数解析式，分别表示出和，计算后结合的条件判断其与的大小关系即可． 【详解】解：将代入，得 ， 将代入，得 ， 则， ， ，即． ◆题型二、反比例函数的图象 5．已知反比例函数的图象经过点． (1)求k的值； (2)函数的图象在哪几个象限？画出函数的图象； (3)点在这个函数的图象上吗？ 【答案】(1) (2)函数图象在第二、四象限，图象如下图所示： (3)点在该函数图象上，点不在该函数图象上 【分析】（1）把已知点坐标代入反比例函数解析式，列方程求出的值； （2）根据的正负判断函数图象所在象限，通过列表描点画出函数图象； （3）利用反比例函数的特点，代入点的横纵坐标验证，判断点是否在函数图象上． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 解得：； （2）解：由（1）得反比例函数解析式为， ， 函数图象位于第二、第四象限， 列表如下：      描点连线即可； （3）解：， 点在这个函数的图象上； ， 点不在这个函数的图象上． 6．若，则与在同一坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从和两种情况分类讨论得出答案． 【详解】解：，分两种情况： ①当时，正比例函数的图象过第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项； ②当时，正比例函数的图象过第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项B符合． 7．画出下列函数的图象： (1)； (2)． 【答案】(1)解：列表： x … 1 2 … y … 2 1 … 描点、连线画出函数的图象如图所示： (2)解：列表： x … -4 2 4 5 … y … 5 … 描点、连线画出函数的图象如图所示： 【分析】（1）利用列表、描点、连线的方法作出函数的图象即可； （2）利用列表、描点、连线的方法作出函数的图象即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：略． 8．某校学习小组根据学习反比例函数的经验对的图象和性质进行了探究．过程如下： ⋯ 1 2 3 4 ⋯ ⋯ 1 4 4 2 1 ⋯ (1)与的几组对应值如表，其中______，自变量的取值范围为______． (2)根据上表数据，在平面直角坐标系中描点，并画出函数的图象； (3)观察图象，写出函数的两条性质： ①_________________； ②_________________． (4)结合函数图象回答： ①关于的方程的解是______； ②关于的不等式的解集是________． 【答案】(1)2， (2)根据表格中给出的坐标，在坐标系中描出所有点， 将侧的点顺次连接为光滑曲线，侧的点顺次连接为光滑曲线， 函数的图象如下图所示： (3)①函数图象关于y轴对称；②函数值，图象始终在x轴上方；（其他正确性质也可：如时，随增大而减小；时，随增大而增大等）． (4)①或；②且 【分析】（1）将代入函数解析式计算即可；因为分式分母不能为0，所以自变量的取值范围是． （2）画函数图象时，先根据表格中的对应值在坐标系中准确描出所有点，再用平滑曲线顺次连接和的点，注意图象不与坐标轴相交． （3）总结函数性质可以从对称性、增减性、函数值的取值范围、图象所在象限等角度观察已画出的图象归纳得出． （4）求方程的解，可找直线与函数图象交点的横坐标，或者解含绝对值的分式方程；求不等式的解，先转化为，再找函数图象在直线上方时对应的的取值范围，注意分正负半轴讨论，或者解含绝对值的不等式． 【详解】（1）解：把代入， 得， ∴； ∵， ∴自变量的取值范围是． （2）略 （3）略 （4）解：①方程变形得， ∴解得或； ②不等式， ∴， ∴， 解得， 又， ∴解集为且． ◆题型三、求反比例函数解析式 9．已知与成反比例关系，且当时，，则关于的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与的函数解析式为，根据已知的、值求出值即可． 【详解】解：设与的函数解析式为，将，代入解析式，得，解得， ∴与的函数解析式为． 10．已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)判断点是否在这个反比例函数的图象上． 【答案】(1) (2)点不在这个反比例函数的图象上 【分析】（1）将点代入即可求出反比例函数表达式； （2）将点的横坐标代入解析式，解出纵坐标看是否与点一致即可． 【详解】（1）将点代入，解得： ， ， 所以反比例函数解析式是：． （2）将点的横坐标代入，解得： ， ， 所以点不在这个反比例函数的图象上． 11．若，为反比例函数的图象和正比例函数的两个交点，则____________． 【答案】2 【分析】根据题意得到，求出，得到，然后代入求解． 【详解】解：，为反比例函数的图象和正比例函数的两个交点， ∴点和点关于原点对称， ∴， 解得， ∴， ∴将代入，得． 12．在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上． (1)求a、b的值； (2)若一次函数的图象也经过点A和点B，求这个一次函数的表达式． 【答案】(1)4，3 (2) 【分析】（1）待定系数法求解即可； （2）待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：∵点A，B都在反比例函数的图象上， ∴把，代入，得， 解得， 把，代入，得， 解得； （2）解：由（1）得点，， 把，和，代入， 得 解得 ∴这个一次函数的表达式为． ◆题型四、由反比例函数图形的对称性求坐标 13．关于反比例函数的图象，下列说法中正确的是（     ） A．点在它的图象上 B．图象位于第二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．图象的两个分支关于原点对称 【答案】D 【分析】根据反比例函数的解析式，将点的坐标代入解析式中，可判断A； 根据反比例函数的解析式，可得出其图象的位置，可判断B； 根据反比例函数的解析式，结合增减性，可判断C； 根据反比例函数的解析式，可判断其对称性，可判断D． 【详解】解：反比例函数， 当时，， ∴点不在它的图象上， 故A错误； ∵， ∴反比例函数的图象位于第一、三象限，在每个象限内随的增大反而减小， 故B错误，C错误； 由反比例函数的对称性可知，图象的两个分支关于原点对称，故D正确． 14．若双曲线（）的图象经过点和，若，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数上点的坐标特征，反比例函数的性质，首先由得到和互为相反数，然后判断出点和关于原点对称，进而得到和3互为相反数，进而求解即可． 【详解】解：∵双曲线（）的图象经过点和， ∵， ∴和互为相反数， ∵反比例函数的图象关于原点对称， ∴点和关于原点对称， ∴和3互为相反数， ∴． 故答案为：． 15．已知A，B两点分别在反比例函数和的图象上，若点A与点B关于x轴对称，则a的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握以上知识点是关键． 根据关于x轴、y轴对称的点的坐标设点A坐标为，则，代入解析式解出a值即可． 【详解】解：设点A坐标为，则， 将点B坐标代入得：， 解得 故答案为： 16．已知反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点，．若点的坐标为，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查反比例函数的中心对称性，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据正比例函数与反比例函数的两交点坐标关于原点对称即可求得的坐标． 【详解】解：∵反比例函数是中心对称图形，正比例函数与反比例函数的图象的两个交点关于原点对称， ∴点和点关于原点对称， ∴， 故答案为：． 考点二 反比例函数的性质 ◆题型五、已知双曲线分布的象限求参数范围 17．已知反比例函数的图象在第二、四象限内，那么k的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限内， ∴， 解得． 18．在平面直角坐标系中，某反比例函数（k为常数）的图象分别位于第二、第四象限．写出一个满足条件的k的值是_____． 【答案】（答案不唯一） 【分析】反比例函数的图象位于第二，第四象限时，比例系数．据此列出不等式得到的取值范围，即可在范围内选取一个满足条件的值． 【详解】解：∵反比例函数的图象分别位于第二，第四象限， ∴， 解得， ∴满足条件的可以为（答案不唯一）． 19．如果反比例函数（是常数）的图像在第二、四象限，那么的值是__________． 【答案】 【分析】先根据反比例函数的定义得到的次数与系数满足的条件，求出的所有可能值，再结合图象在第二、四象限的性质确定系数的符号，即可得到的值． 【详解】解：∵反比例函数的一般形式为，其中， ∴可得，解得且， ∵反比例函数的图像在第二、四象限， ∴，解得 ， ∴． 20．已知反比例函数的图象位于第二、四象限． (1)求的取值范围； (2)若点，，在该反比例函数图象上，请比较函数值，，的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据反比例函数的图象位于第二、四象限，得．解答即可； （2）根据题意，得，判定函数图象在每个象限内，y随x的增大而增大，解答即可． 本题考查了反比例函数图象的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解：反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， 解得． （2）解：根据题意，得， ∴函数图象在每个象限内，y随x的增大而增大，且横坐标、纵坐标异号， ∵点，，在该反比例函数图象上， ∴当时，且随的增大而增大；当时，． ∴，， ∴从小到大排列为：． ◆题型六、反比例函数的增减性求参数 21．选一个数作为m的值，使关于x的函数的图象在每个象限y随x的增大而增大，则m的值为________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据反比例函数的性质得到，确定的取值范围后任选一个符合条件的值即可． 【详解】解：∵函数的图象在每个象限随的增大而增大， ∴反比例函数的比例系数小于，即，解得，取，符合条件． 22．在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，且，的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题利用反比例函数图象上点的坐标特征，得到关于的表达式，再根据已知条件列出关于的一元一次不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：点，在反比例函数的图象上， 将点坐标代入解析式得，， ， ，即，解得：． 23．已知反比例函数（k为常数，）． (1)若点在反比例函数的图象上，则k的值为________； (2)若在其图象的每一支上，y的值随x值的增大而增大，求k的取值范围． 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题主要考查了求反比例函数的解析式，反比例函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把点代入关系式即可求出k的值； （2）由反比例函数的增减性可知，y随x的增大而增大，则，即可求出k的范围． 【详解】（1）解：把点代入得，， 解得． 故答案为：7． （2）解：反比例函数在其图象的每一支上，y的值随x值的增大而增大， ∴， 解得． 24．已知反比例函数（k为常数，）． (1)若点在这个函数的图象上，则k的值为________； (2)若在这个函数图象的每一分支上，y的值随x值的增大而减小，求k的取值范围． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查的是反比例函数图象的性质，会灵活运用反比例函数图象的性质是解本题的关键． （1）根据题意，把代入到反比例函数中，进而求解； （2）根据这个函数图象的每一分支上，随的增大而减小，可知，进而求出的取值范围． 【详解】（1）解：∵点在函数的图象上， ∴， 解得． 故答案为：4． （2）解：在函数图象的每一分支上，随的增大而减小， ∴， ∴． ◆题型七、比较反比例函数值或自变量的大小 25．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将三点横坐标分别代入反比例函数解析式，求出对应函数值后比较大小． 【详解】解：把各点横坐标代入， 得， ， ， ∵， ∴． 26．在平面直角坐标系中，若点，在反比例函数的图象上，则______（填“”“”或“”） 【答案】 【详解】解： ∵， ∴该反比例函数图象在第二象限和第四象限，且在每个象限内，随着增加而增加， ∵，在该反比例函数图象上， ∴点、在第四象限，且， ∴． 27．已知点和是反比例函数图象上两点，且，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先明确时反比例函数的图象位置和增减性，根据但判断两点不在同一象限，再列不等式组求解即可． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象分布在第二、四象限，且每个象限内，随的增大而增大， ∵， ∴， 又∵， ∴点、不在同一象限， ∵第二象限点的纵坐标为正，第四象限点的纵坐标为负，且， ∴ 在第二象限，在第四象限，则， 解不等式组得． 28．已知：反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点，都在该反比例函数的图象上，比较大小：______； (3)当时，直接写出y的取值范围是______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，比较反比例函数值的大小，反比例函数的增减性问题，正确求出反比例函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据解析式可得函数的图象分布的象限，以及每个象限内的增减性，据此可得答案； （3）求出时的函数值，再根据增减性求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：由（1）得反比例函数解析式为， ∴反比例函数的图象分布在第一、三象限，且在每个象限内y随x增大而减小， ∵点，都在该反比例函数的图象上，且， ∴， 故答案为：； （3）解：在中，当时，， 由（2）可知反比例函数的图象分布在第一、三象限，且在每个象限内y随x增大而减小， ∴当时，， 故答案为：． ◆题型八、反比例函数的k值 29．如图，点A在反比例函数的图象上，点B在x轴负半轴上，直线交y轴于点C，若，的面积为6，则k的值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】过点A作轴于D，则，由线段的比例关系求得，再根据反比例函数的k的几何意义得结果． 【详解】解：过点A作轴于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，△AOB的面积为6， ∴，， ∴， ∴， 根据反比例函数k的几何意义得，， ∴， ∵， ∴． 30．如图，点P在反比例函数的图像上，过点P作轴，垂足为H，连接，如果的面积为3，那么这个反比例函数的表达式为_____________． 【答案】 【分析】根据反比例函数系数的几何意义，可知的面积等于，结合图像所在象限确定的符号，即可求出函数表达式． 【详解】解：设点的坐标为， ∵点在反比例函数的图像上， ∴， ∵轴，垂足为， ∴，， 在中，， 解得， 由图像可知，反比例函数图像位于第一、三象限， ∴， ∴， 故这个反比例函数的表达式为． 31．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点是双曲线（，）上的一点，点是轴负半轴上一点，连接交轴于点，且．当时，的值为（     ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】D 【分析】过点作于点D，根据三角形相似，得，根据，得到，继而求得求解即可; 【详解】解：过点作于点D， 根据题意，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴; 32．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，反比例函数的图象与相交于点，与相交于点，若点的坐标为，四边形的面积是，则的值为________． 【答案】 【分析】由反比例函数中的几何意义，结合题中相关图形面积列方程求解即可． 【详解】解：由图可知，反比例函数中的， 反比例函数的图象与相交于点，与相交于点， ， 点的坐标为， ， ，即， ， ，解得． ◆题型九、一次函数与反比例函数结合 33．如图，已知反比例函数与直线在同一平面直角坐标系中． (1)若两个函数图象只有一个公共点，求值； (2)若两个函数图象交于、两点，求线段中点的纵坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系． （1）将函数图象的交点问题转化为一元二次方程根的问题，再利用根的判别式求出值； （2）利用根与系数的关系求解线段中点的横坐标，再代入一次函数解析式求得纵坐标． 【详解】（1）解：由题意得，，化简得， 又只有一个公共点， 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，即， ，解得． 答：的值为． （2）解：设、，则，是方程的两个实数根， 由根与系数的关系可得， 设线段的中点为， 为线段中点， ． 点在直线上， 将代入直线方程可得：． 答：线段中点的纵坐标为． 34．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)直接写出当时，的取值范围； (3)点是轴上一点，若的面积为6，求点的坐标． 【答案】(1)； (2) 或 (3)或． 【分析】（1）因为点A在一次函数上，所以将A点横坐标代入一次函数可求出n的值，得到A点完整坐标，再代入反比例函数即可求出k，得到反比例函数表达式． （2）先求出B点坐标，结合函数图象的上下位置关系，分、判断一次函数值大于反比例函数值的x范围． （3）先求出一次函数与x轴的交点C的坐标，那么的面积可表示为与的面积的差，设P点坐标为，根据面积公式列方程求解即可得到P点坐标． 【详解】（1）解：∵点在一次函数上， ∴， 即． 把代入反比例函数， 得， 解得， ∴反比例函数表达式为． （2）解：将代入， 得， 解得， 即． ∵不等式的几何意义是：一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的范围． 结合两个函数的图象：反比例函数在和两个分支，两个交点横坐标为1和3， ∴满足条件的范围是或． （3）解：对：令，得， 即． 设点坐标为， 则轴上线段的长度为． ∵ ， 代入，，，得 ， 化简得， 解得或， ∴的坐标为或． 35．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与反比例函数的图象交于点D及点，与x轴交于点B． (1)求m的值； (2)若直线与反比例函数（）的图象在第三象限交于点C，求点C的坐标及的面积； (3)在第三象限内的反比例函数（）的图象上，是否存在点E，使得为直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的所有点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)8 (2)，24 (3)或 【分析】（1）把代入可求出a的值，然后把A的坐标代入求解即可； （2）根据待定系数法求出直线解析式，然后联立直线解析式与反比例函数解析式，求出方程组的解，即可求出点C的坐标，根据求解即可； （3）先判断，然后分，两种情况讨论，然后构建相似三角形求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得， 解得； （2）解：设直线的解析式为， 则， 解得， ∴， 由（1）知反比例函数解析式为， 联立方程组， 解得（舍去）或， ∴， 对于，当时，， 解得， ∴， ∴ ； （3）解：联立方程组， 解得（舍去）或， ∴， 设， 连接 并延长至点F，如图， 则，， ∴，即， 又， ∴， 当时，如图，过A作轴，过E作于M，过D作于N， 则，，，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 当时，如图，过D作轴，过E作于M，过A作于N， 则，，，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 综上，当点E的坐标为或时，为直角三角形． 36．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象交于点，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】根据反比例函数和一次函数的性质可得，，即，，再将所求式子进行变形，整体代入计算即可得出结果． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴． ◆题型十、一次函数与反比例函数的实际应用 37．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)直线过点，与反比例函数图象交于点，与轴交于点，，连接．求的面积． 【答案】(1)4，12 (2)8 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、中点坐标公式以及三角形面积的计算．解题的关键是利用点在函数图象上的性质求出未知参数，结合线段相等的条件确定点的坐标，再运用坐标法计算三角形的面积． （1）利用点 A 在一次函数图象上，将其纵坐标代入一次函数解析式求出 a 的值，再把点 A 坐标代入反比例函数解析式求出 k 的值． （2）根据 可知 A 是 中点，结合中点坐标公式表示出 C 点坐标；作轴于，交于，利用点E与点C横坐标相同、且点E在一次函数上可求得点E的纵坐标，于是可得的长度，利用求得结果． 【详解】（1）把，代入得，，得， ∴，把，代入得，， ； （2）点，点的纵坐标是0，， 点的纵坐标是， 把代入得，则． 如图，作轴于，交于，当时，，即， 又，于是， ； 38．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，与轴相交于点．已知点的坐标为． (1)_____，_____； (2)点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标； (3)已知直线和反比例函数的图象交于点，且，则的值为_____． 【答案】(1)，； (2)或； (3) ． 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，涉及函数图象上点的坐标特征、三角形面积计算、完全平方公式应用．熟练掌握函数交点与解析式的关系，灵活运用公式变形求解，是解题关键． （1）利用点在函数图象上的性质，将点坐标代入直线方程求，再代入反比例函数求 ． （2）先确定点坐标，算出面积，再根据面积关系得出面积，设点坐标，依据三角形面积公式列方程求解 ． （3）借助直线与反比例函数交点性质，得到的值和、的一次方程，通过设未知数，结合完全平方公式，根据确定的值 ． 【详解】（1）解：把代入直线，得 ， ∴， ∴点坐标为 ． 把代入反比例函数，得： ， 解得 ， 故答案为：，． （2）解：对于直线，令，得， ∴， ∴ ． ． ∵， ∴ ． 设，以为底，为高， ∴，即， 化简得， 解得或 ． 当时，；当时， ． ∴点坐标为或 ． （3）解：∵在反比例函数上， ∴； 又∵在直线上， ∴，移项得 ． 设（，因为 ）． ． 把，，代入得： ， 即， 移项得 ． ∵， ∴，即 ． 39．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点两点，与x轴交于点C． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点M在x轴上，且的面积为6，求点M的坐标． (3)结合图形，直接写出时x的取值范围． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、函数与不等式的关系以及三角形的面积公式，解决该题型题目时，根据点在函数图象上求出点的坐标是关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）根据的面积为6，求得，根据的坐标即可求得的坐标； （3）观察函数图象即可求解． 【详解】（1）解：（1）把代入得：， 即反比例函数的表达式为， 把代入得：， 即的坐标为， 把、的坐标代入得： ，解得， 即一次函数的表达式为； （2）一次函数与轴交于点， ， ，点在轴上，且的面积为6， ， 或； （3）观察函数图象知，时的取值范围为． 40．如图，反比例函数 与一次函数的图像相交于 A和B两点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)如图，直线与反比例函数交于另一点C，若y轴上有一点M，使的面积为12，求点M的坐标； (3)请结合图像回答，x为___________时，； (4)在x轴上有一点N， 若满足最大， 则点N的坐标为：___________． 若满足最小， 则点N的坐标为___________； 若满足最小，则点N的坐标为___________． 【答案】(1)， (2)M点坐标或 (3) 或 (4)，， 【分析】（1）将A代入反比例函数求出反比例函数解析式，进而求得B点坐标，将点A和点B坐标代入一次函数求解，即可得到一次函数的解析式； （2）利用反比例函数关于原点对称得到点C的坐标，设点M坐标为，根据的面积为12，建立方程求解，即可解题； （3）根据一次函数与反比例函数图像的交点坐标，图形结合分析即可求解； （4）根据三角形三边关系推出，得到当三点共线时，最大，再结合求解，即可得到满足最大， 点N的坐标；根据绝对值性质得到，设点N坐标为，利用勾股定理建立等式求解，即可得到满足最小， 点N的坐标；作关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，结合轴对称性质，以及一次函数与轴交点情况，即可得到满足最小，点N的坐标． 【详解】（1）解：反比例函数 与一次函数的图像相交于 A和B两点， ， 则反比例函数解析式为， ， 即B， 将A和B代入中， 得：， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：直线与反比例函数交于另一点C，且A， C， 点M在 y轴上， 设点M坐标为， 的面积为12， ， 解得或， M点坐标为或； （3）解：反比例函数 与一次函数的图像相交于 A和B两点， 结合函数图象可知，x为 或 时，； 故答案为： 或 ； （4）解：， 当三点共线时，最大， ， 当时，， 若满足最大， 则点N的坐标为； 设点N坐标为， A，B， ，， 要满足最小，且， 即， 解得， 若满足最小， 则点N的坐标为； 作关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接， ， ， 当三点共线时，最小，即满足最小， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 即若满足最小，则N的坐标为． 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数综合，根据函数图象求不等式解集，线段和差的最值问题，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 考点三 反比例函数的实际应用 ◆题型十一、反比例函数的实际应用 41．如图，某校园艺社计划利用已有的一面长为的墙，用篱笆围一个面积为的矩形园子．设矩形园子的相邻两边长分别为． (1)y关于x的函数解析式为______（不用写自变量的取值范围）； (2)当相邻两边中一条边的长为时，求另一条边的长． 【答案】(1) (2)当一条边长为时，另一条边的长度为 【分析】（1）利用矩形的面积计算公式，可得出，进而可得出y； （2）利用反比例函数图象上点的坐标特征，可求出另一边的长度． 【详解】（1）解：依题意得：， ∴． （2）解：当时，； 当时，， 解得． ∴当一条边长为时，另一条边的长度为． 42．教室内饮水机接通电源后自动循环工作：开机后加热升温，当水温达到时停止加热，水温自然冷却下降；当水温回落至时，饮水机自动重启加热，重复上述过程．值日班长于到校接通饮水机电源，记接通电源后第分钟时对应的水温为，水温随时间变化的测量数据如表所示： （分钟） 0 2 5 7 10 14 16 20 … （） 30 50 80 100 70 50 43.75 35 … 请根据上述信息解决下列问题： (1)根据表中数据在如图给出的坐标系中，描出相应的点； (2)选择适当的函数，分别求出第一次加热过程和第一次降温过程的函数关系式并写出自变量的取值范围； (3)上午第一节下课时间为，同学们能不能喝到不超过的水？请通过计算说明． 【答案】(1) (2)第一次加热：；第一次降温： (3)能，计算过程如下： 由题意得，由到，共计时长为1小时25分钟，即85分钟， 对于第一次降温过程的函数解析式， 当时，可得，解得， ∴饮水机一个完整工作周期（加热降温）的时间为分钟， ∴85分钟，可经过3次完整工作循环，且剩余15分钟，此时水温与第15分钟的水温相同， ∴， ∵， ∴同学们能喝到不超过的水． 【详解】（1）略 （2）解：第一次加热：是关于的一次函数，设， 将点代入，可得，解得， ∴第一次加热过程的函数解析式为； 第一次降温：是关于的反比例函数，设， 将点代入，可得，解得， 当时，则，解得， ∴第一次降温过程的函数解析式为； （3）略 43．学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数来表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数随上课时间（分钟）的变化情况如图所示．上课开始时注意力指数为30，第2分钟时注意力指数为40，前10分钟内是的一次函数；10分钟以后与成反比例．根据图中所提供的信息，回答下列问题： (1)上课几分钟时，注意力指数达到最高？最高注意力指数是多少？ (2)如果讲解一道难度较高的数学题，要求学生的注意力指数不低于50，为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为多少分钟？ 【答案】(1)上课分钟时，注意力指数达到最高，最高注意力指数是 (2)本节课讲解这道题的用时最多为分钟 【分析】（1）利用待定系数法求出前分钟内与的函数关系式为，再结合一次函数的性质计算即可得出结果； （2）由（1）可得前分钟内的函数解析式为，当时，求得，求出分钟后与的函数关系式为，当时，求得，从而可得注意力指数不低于的持续时间，即可得出结果． 【详解】（1）解：设前分钟内与的函数关系式为， 将和代入解析式得， 解得， ∴前分钟内与的函数关系式为， ∵， ∴随着的增大而增大， ∵当时，， ∴上课分钟时，注意力指数达到最高，最高注意力指数是； （2）解：由（1）可得前分钟内的函数解析式为， 当时，， 解得， 设分钟后与的函数关系式为， 将代入解析式得， ∴， ∴分钟后与的函数关系式为， 当时，， 解得， ∴注意力指数不低于的持续时间为（分钟）， ∴为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为分钟． 44．“人潮人海中，有你有我”，上下学的“停车大战”与“拥堵大戏”已成为社会热点问题．某校对本校下午放学校门口“堵塞”情况做了一次调查后发现：每天放学时间3分钟后校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数”y（）与放学后时间x（分）的函数关系描述．如图，3~13分钟函数图象为抛物线，且在第13分钟达到该函数最大值100（此时为抛物线的顶点）；13分钟之后为函数（）的图象的一部分． (1)求二次函数和反比例函数的表达式（需明确x的取值范围）； (2)若“拥挤指数”，出于安全考虑，需要护学岗执勤人员维护秩序、疏导交通．请依据图象计算每天至少需要执勤的时间． 【答案】(1)（），（）； (2)每天至少需要执勤的时间为分钟 【分析】（1）将分别代入二次函数和反比例函数计算即可； （2）将分别代入二次函数和反比例函数求出的值，相减即可， 【详解】（1）解：由题意可知：抛物线的顶点坐标为， 设该二次函数的解析式为， 把点代入，得：， 解得， ∴所求二次函数的解析式为（）， 把点代入得：， ∴所求反比例函数的解析式为（）； （2）解：由， 解得，（不合题意，舍去）， 由， 解得， ， 答：每天至少需要执勤的时间为分钟． ◆题型十二、反比例函数与几何综合 45．如图，点B在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上，且轴，，垂足为C，交y轴于点A，求的面积． 【答案】的面积为5 【分析】过点作轴于点，则四边形为矩形，根据反比例函数值的几何意义，得到矩形的面积等于，再根据的面积是矩形面积的一半即可得解． 【详解】解：过点作轴于点， ∵轴，， ， ∴四边形为矩形， 设与轴的交点为，则四边形和四边形均为矩形， ∵点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上， ∴矩形的面积， ∵为矩形的对角线， ∴的面积等于矩形的面积的一半，即：的面积等于5． 46．如图，点、在反比例函数的图象上，当时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C，D，交于点E．四边形的面积为S． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求S与n的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先根据反比例函数的性质得到，，，再证明四边形是矩形，利用矩形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵点，在反比例函数图象上，， ，，，． ∵，垂直于y轴，，垂直于x轴， ∴四边形是矩形， ， ∴S与n的函数关系式为． 47．如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接、，求的面积； (3)已知点，过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交一次函数的图象于点M，交反比例函数的图象于点N．若，结合函数图象直接写出a的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）由的面积，即可求解； （3）根据题意作出图象，观察函数图象即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图象在第一象限交于，两点． ∴， ∴， ∴反比例函数和一次函数的表达式分别为，； （2）解：设直线交y轴于点C， 把代入得：， ∴，即， ∴的面积； （3）解：由题意可得如图所示，由图象可得：当时，． 48．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点的坐标为，点在反比例函数（，）的图象上，连结、，以、为邻边构造菱形．若菱形的面积为，则的值为________． 【答案】 【分析】过点作轴于点，根据菱形的面积求出，再根据勾股定理求出，得到点的坐标从而求出． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点， ， 由菱形的性质知， 菱形的面积为， ， ， 由勾股定理得， 结合点在第四象限得， 由点在反比例函数上得． 综合攻坚·知能拔高 1．y关于x的函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的性质得出函数的图象位于一、三象限，根据函数图象的平移规律即可得出答案. 【详解】解：∵， ∴函数的图象位于一、三象限， ∵， ∴函数的图象向右平移个单位得到函数的图象， ∴函数的图象为 . 2．若点，在同一个函数图象上，则这个函数的表达式可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将两点坐标逐项代入函数验证即可． 【详解】解：选项A，把代入，得， ∵，∴，∴点不在该函数图象上，A错误． 选项B，把代入，得，令，解得，与矛盾，B错误． 选项C，把代入，得，把代入，得，即，符合条件，C正确． 选项D，把代入，得，把代入，得，不符合条件，D错误． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，轴，轴与反比例函数的图象交于点C，与x轴交于点D，若，则k的值为（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】设点C的坐标为，可得，再由，可得，从而得到，从而得到点B的坐标为，即可求解． 【详解】解：设点C的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴点B的坐标为， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴． 4．在下列函数表达式中，x均表示自变量．①；②；③；④；⑤；⑥其中反比例函数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【详解】解：①，符合反比例函数定义，是反比例函数； ②，是正比例函数，不符合反比例函数定义，不是反比例函数； ③可变形为，符合反比例函数定义，是反比例函数； ④可变形为，符合反比例函数定义，是反比例函数； ⑤，分母为不是，不符合定义，不是反比例函数； ⑥，符合反比例函数定义，是反比例函数； ∴符合条件的反比例函数共有4个． 5．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作x轴垂线，垂足为点D，交的图象于点B，点A的横坐标为1．则下列说法错误的是（     ） A．点C的坐标为 B．当时，一次函数的值小于反比例函数的值 C．将直线向上平移k个单位长度后与反比例函数的图象一定有交点 D．连接，，则的面积为12 【答案】B 【分析】联立方程组可求得点C坐标，可判断A；由一次函数图象与反比例函数图象相对点C坐标的位置关系可判断B；根据一次函数图象的平移，结合反比例函数图象的位置可判断C；先求得点A、B的坐标，再利用坐标与图形性质求得的面积可判断D，进而可得答案． 【详解】解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点C， ∴联立方程组，解得或（舍去）， ∴点C的坐标为，故A正确； 由图象知，当时，一次函数图象位于反比例函数图象的上方， ∴当时，一次函数的值大于反比例函数的值，故B错误； ∵将直线向上平移k个单位后，直线始终经过第一象限，又反比例函数的图象位于第一象限， ∴将直线向上平移k个单位后与反比例函数的图象一定有交点， 故C正确； ∵点A在反比例函数的图象上，且点A的横坐标为1． ∴当时，，则点A坐标为， 又∵过点A作x轴垂线，垂足为点D，交的图象于点B， ∴点B坐标为， ，如图， 则，故D正确． 6．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象交于点，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】根据反比例函数和一次函数的性质可得，，即，，再将所求式子进行变形，整体代入计算即可得出结果． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴． 7．如图，菱形的顶点O是原点，顶点B在y轴上，菱形的两条对角线的长分别是10和6（），反比例函数的图象经过点C，则k的值为______； 【答案】 【分析】先根据菱形的性质得到点C的坐标，再代入反比例函数中可求得k值． 【详解】解：设与y轴相交于点D， ∵四边形是菱形，，， ∴，，，即轴， ∴点C的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴． 8．已知点，在反比例函数的图象上．若，则点A的坐标可以是________（写出一种可能的情况即可）． 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【分析】根据反比例函数性质，结合已知条件判断的取值范围，在范围内取值计算即可得到符合条件的点坐标． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第二，四象限，且在每个象限内随的增大而增大． ∵点，， ∴． 若，在同一象限，则可得，与已知矛盾， 因此，分别在两个不同象限． 因此可得， 解得． 在中任取一个值，如取， 将代入，得， 所以点的坐标可以是． 9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于、两点，且与反比例函数在第一象限内的图象交于点，若点坐标为，，则的值是______． 【答案】 【分析】将点坐标代入一次函数解析式求出，过点作轴垂线构造相似三角形，利用相似比求出点横坐标，进而求出纵坐标，最后代入反比例函数求解． 【详解】解：将点代入， 得 解得 一次函数解析式为 如图，过点作轴于点 轴，轴    解得 点的横坐标为 当时， 点在反比例函数图象上 ． 10．如图，点是反比例函数图象第四象限分支上任意一点，连接，过点作轴，垂足为，过点作的平行线交轴于点，交图象第二象限分支于点．则 （1）四边形的面积为__________（用含的式子表示）； （2）的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例系数的几何意义，平行四边形的判定及性质，相似三角形的判定及性质等，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）证明四边形是平行四边形，由反比例系数的几何意义，即可求解； （2）过作轴交于点，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，设，可求即可求解． 【详解】解：（1）由条件可知，轴，， ， 四边形是平行四边形， 四边形的面积． 故答案为：； （2）过作轴交于， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 设， ，，，， ∵ ，整理得：， 解得：（舍去）或， ， 故答案为：． 11．画反比例函数的图象． (1)列表（请填空）； x 1 2 3 4 y (2)描点、连线（请在图中的平面直角坐标系中完成）； (3)点在的图象上吗？为什么？ 【答案】(1)依次填入：，，，，6，3，2， (2)反比例函数图象如图所示： (3)点在的图象上，理由如下： 当时，， 所以点在的图象上． 【分析】（1）根据反比例函数解析式，代入自变量的值，即可求对应的函数值； （2）由（1）中表格信息，在平面直角坐标系中描点，再用平滑的曲线连接，绘制即可； （3）将代入解析式，根据函数值与点的纵坐标的关系，即可解答． 【详解】（1）解：， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 故表格中依次填入：，，，，6，3，2，． （2）略 （3）略 12．有这样一个问题：探究函数的图象和性质． 小石根据学习函数的经验，对此函数的图象和性质进行了探究． 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是_____________； (2)下表是与的几组对应值． … … … … 求的值； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对应值为坐标的点．根据描出的点，画出此函数的图象； (4)进一步探究，结合函数的图象，写出此函数的性质（一条即可）：___________________________________________________________． 【答案】(1) (2) (3) (4)当时，随的增大而增大；当时，随的增大而增大．（答案不唯一） 【分析】（1）根据分母不等于即可求解； （2）将代入解析式即可得的值； （3）将各点分轴左右两侧，按自变量从小到大用平滑曲线依次连接可得； （4）结合图象可从函数的增减性解答即可． 【详解】（1）解：函数的自变量的取值范围是； （2）解：当时，， ； （3）略 （4）由图可知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而增大．（答案不唯一） 13．在函数学习中，我们经历了“根据函数表达式画函数图象——利用函数图象研究函数性质——利用函数图象和性质解决问题”的过程，我们可以借鉴这种方法探究函数的图象和性质． (1)根据题意，列表如下： … … … … 表格中的值为________； (2)在所给的平面直角坐标系中描点、连线，画出函数的图象； (3)观察函数图象，回答下列问题： ①当时，随的增大而________； ②函数的图象关于点________中心对称；（填点的坐标） ③函数的图象是由的图象向________平移________个单位长度得到的； (4)函数的图象可由函数的图象平移得到，想象函数的图象，直接写出当时，的取值范围是________． 【答案】(1) (2)函数图象如图： (3)①减小；②；③右，1 (4)或 【分析】（1）把代入即可得出m的值； （2）利用连线画出函数图象即可； （3）观察图象即可解答； （4）根据图象即可解答． 【详解】（1）解：把代入，得， ； （2）略 （3）①当时，y随x的增大而减小； ②图象关于点中心对称； ③函数的图象是由的图象向右平移1个单位长度得到的； （4）的图象可由函数的图象向左平移2个单位得到， 当或时，． 14．如图，在平面直角坐标系中，点． (1)如果点均在反比例函数的图象上，求m的值； (2)如果点均在一次函数的图象上， ①当时，求该一次函数的表达式； ②当时，如果不等式始终成立，结合函数图象，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)；． 【分析】（1）先将点A坐标代入反比例函数解析式求出k的值，再将B点坐标代入反比例函数解析式，即可求出m； （2）①当时，将点坐标代入一次函数解析式，待定系数法求解即可； ②待定系数法表示，把不等式变形，假设新函数，利用一次函数的性质，根据函数图象即可求出m取值范围． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数， 得， 反比例函数解析式为， 将代入反比例函数， 得， 解得； （2）解：①当时，， 将点坐标代入一次函数, 得， 解得， ； ②将代入一次函数, 得， 解得 ， 则不等式可转化为， 整理得， 设， 当时，不等式始终成立， 即当时，始终成立， 当，即时，成立； 当，即时，如图所示： 若，不能满足时，始终成立； 当，即时， 此时只需时，即可， ， 解得， 时，恒成立， 综上，m的取值范围是：． 15．某工厂对不同孔径的工业水龙头在相同水压下进行放水测试，已知同一孔径的水龙头放出的水量m（单位：）与放水时间t（单位：）成正比例函数关系． 甲测试组选定某一孔径的水龙头，探究放出的水量m（单位：）与放水时间t（单位：）之间的关系，部分数据如下： 10 20 30 40 50 … 4.0 8.0 12.0 16.0 20.0 … 乙测试组选取除孔径外无其他差别的多款水龙头，探究放出7L水所用的时间t（单位：）与孔径d（单位：）之间的关系，部分数据如下： 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 … 32.0 18.0 11.5 8.0 5.9 … (1)甲测试组放水时放出的水量为___________； (2)通过乙测试组的实验，发现可以用函数刻画时间t与孔径d之间的关系． ①在给出的平面直角坐标系中，画出乙测试组实验的函数图象； 根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ②孔径为的水龙头放出水所用的时间为___________（结果保留小数点后一位）； ③推断甲组同学实验中所用水龙头的孔径为___________（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1)14 (2)① ②；③ 【分析】（1）根据同一孔径的水龙头放出的水量m（单位：）与放水时间t（单位：）成正比例函数关系，设，代入一组数据求出k即可； （2）①根据乙测试组的实验数据，描点连线，即可画出乙测试组实验的函数图象； ②由乙测试组实验图象，即可得出孔径为6.5mm的水龙头放出7L水所用的时间； ③在乙测试组实验所画的函数图象中，找到对应的值，即可推断出甲组同学实验中所用水龙头的孔径． 【详解】（1）解：∵同一孔径的水龙头放出的水量m（单位：）与放水时间t（单位：）成正比例函数关系， ∴设， 当时，， 将其代入中， 即， 解得， 故， 当时，， 故甲测试组放水时放出的水量为； （2）①乙测试组实验的函数图象如下： ②由乙测试组实验图象可知，孔径为的水龙头放出水所用的时间约为； ③当时，将其代入中，可得．在乙测试组实验所画的函数图象中，找到对应的值，推断甲组同学实验中所用水龙头的孔径约为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $