专题08 反比例函数k值的几何意义3大题型（专项训练）数学新教材北京版九年级上册

**基本信息** 聚焦反比例函数k值几何意义，通过“面积求k值—k值求规则面积—k值求不规则面积”三阶题型设计，系统构建从基础到综合的解题逻辑。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |根据图形面积求k值|约10题|结合矩形、三角形等图形面积逆向求k|从图形面积到k值的推导，培养抽象能力| |已知k值求规则图形面积|约10题|给定k值计算矩形、三角形等面积|直接应用k值几何意义，强化运算能力| |已知k值求不规则图形面积|约10题|通过分割补形转化为规则图形|不规则到规则的转化，发展推理意识与几何直观|

专题08 反比例函数k值的几何意义 常考题型·精准突破 考点一 反比例函数k值的几何意义 题型一、根据图形面积求反比例函数k值 题型二、已知比例系数求规则图形面积 题型三、已知比例系数求不规则图形面积 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 反比例函数k值的几何意义 ◆题型一、根据图形面积求反比例函数k值 1．如图，点B在反比例函数的图象上，点与点关于原点对称，过点作轴，交反比例函数于点．连接，．若的面积为，则的值为____． 2．如图，P是反比例函数图象上的一点，轴于点A，轴于点B，若矩形的面积为2，则k的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，在平面直角坐标系中，点，在反比例函数图象上，轴于点，轴于点，连结，，若，，则的值为（     ） A． B．3 C． D．4 4．如图，点A是反比例函数图象上一点，直线过点A且交x轴，y轴于点B，C，过点A作轴于点D，若，．则k的值为 _____． 5．如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为，则的值是（     ） A． B． C． D． 6．如图，在矩形中，，，反比例函数的图像与、分别交于点E、F，且，与的面积之差等于，则此反比例函数的解析式为_________． 7．如图，已知A为反比例函数图象上一点，B为x轴正半轴上一点，过点B作轴，交反比例函数图象于点C，连结，，，与交于点．当，的面积等于1时，k的值为_____． 8．如图，中，，点在轴正半轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点、，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为____________． 9．如图，反比例函数，和均为等腰直角三角形，点D在反比例函数图象上，若，则________． 10．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象分别与等腰直角的直角边和斜边交于点，，点在轴负半轴上，连接，，若，且的面积为3，则________． ◆题型二、已知比例系数求规则图形面积 11．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点，在轴上．若四边形是矩形，则它的面积为（） A．3 B．8 C．11 D．14 12．如图，在平面直角坐标系中，的边在y轴上，反比例函数的图象经过点A和点B，且点B为的中点．则的面积为（     ） A．l B．2 C．3 D．4 13．如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，平行于x轴，连接，若，则的面积可以是（     ） A． B．4 C． D．5 14．如图，点A，D分别在函数 的图象上，点B，C在x轴上，点E在线段上时，若，则的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 15．如图，点A在双曲线上，连接并延长，交双曲线于点B，点C为x轴上一点，且，连接，则的面积为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 16．如图，已知点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴，交x轴于点B，点C在x轴负半轴上，连接交y轴于点D，若，则________． 17．如图，已知轴，垂足为，，分别交反比例函数的图象于点，．若，则的面积为______． 18．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，交轴于点，轴，垂足为，轴于点，，，． (1)求的值； (2)连接，，求和的面积； 19．知识回顾：在学习反比例函数性质时，我们已经知道：如图1，点是反比例函数上任意一点，则矩形的面积为． (1)初步尝试 如图2，点，分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形，易知四边形也是矩形，分别求矩形和的面积． (2)类比探究 如图3，点，在反比例函数的图象上，点，在反比例函数的图象上，轴，与在轴的两侧，，，与的距离为5，求的值． 20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和两点，过点A作y轴的垂线，垂足为点M． 如图，已知一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交 (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求△AOM的面积． ◆题型三、已知比例系数求不规则图形面积 21．如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 22．如图，和均为正三角形，且点，均在反比例函数上，连结交于点，连结，则为（    ） A． B． C． D． 23．下列与反比例函数图象有关的图形中，阴影部分面积最小的是（    ） A． B． C． D． 24．反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，过点作轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点．当点的横坐标逐渐变大时，则四边形的面积（   ） A．先变大再变小 B．先变小再变大 C．不变 D．无法确定 25．如图，在平面直角坐标系中，两个反比例函数和在第二象限内的图象依次为，．已知点P在上，点A，B在上，且轴，轴，则四边形的面积为____． 26．如图，两个反比例函数 和 （ 其中 ） 在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点， 交于点，轴于点， 交于点，则四边形的面积是_____． 27．如图，点P是矩形的对称中心，点P在y轴正半轴上，反比例函数的图象经过点A，反比例函数的图象经过点C，求矩形的面积． 28．如图，直线与双曲线交于B，D两点，分别过点B，D作x轴的垂线，垂足分别为点A，C，连接，，已知点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求四边形的面积． 29．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（为常数）的图象与轴交于点，与反比例函数（为常数，且）的图象交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，连接、，求四边形的面积． 30．已知双曲线经过矩形边的中点，交边于点． (1)求的值； (2)求四边形的面积． 综合攻坚·知能拔高 1．如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于点，，分别过，作轴，轴的垂线，垂足分别为，．若四边形的面积为，则（     ）． A． B． C． D． 2．如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过，两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（     ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点B为x轴上的点，点D是第一象限内的一点，轴，已知线段交反比例函数的图像于点C，连接，点C为的中点，连接，交反比例函数图像于点A．若的面积为5，则k的值为（     ） A．10 B．5 C．8 D．20 4．如图，在平面直角坐标系中，的面积为，垂直轴于点，与双曲线相交于点，且，则的值为（     ） A．3 B． C．2 D． 5．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，且在函数的图象上，点是线段上一点，过点作轴于点，连结．若，的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D． 6．如图，反比例函数的图象经过矩形的边的中点D，若矩形的面积为6，则k的值为______． 7．如图，平行四边形的顶点在轴上，点在上，且轴，的延长线交轴于点，若，则_____． 8．如图，矩形的边、分别在、轴上，函数的图象经过边的中点，交于点，若四边形的面积为，则的值为______． 9．如图，A，B是双曲线上的两点，过点A作轴，垂足为点C，交于点D，若的面积为，D为的中点，则k的值为__________． 10．在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是______． 11．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的对角线交于原点O，顶点在反比例函数的图象上，若轴于点D，平行四边形的面积为8，求k的值． 12．如图，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点．若轴，垂足为，面积为6． (1)求值； (2)求的面积． 13．如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的垂线交反比例函数的图象于点． (1)求反比例函数的表达式． (2)连接，若的面积是3，求的值． 14．如图、在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过的顶点和顶点，是的中线． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点的纵坐标为，求的面积． 15．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C在坐标轴上，顶点B在反比例函数的图象上，已知矩形的长和宽分别为4，3． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点P在该反比例函数的图象上，且在的上方，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E，F，与交于点G．若矩形与矩形不重合部分的面积为6，求点P的坐标． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 反比例函数k值的几何意义 常考题型·精准突破 考点一 反比例函数k值的几何意义 题型一、根据图形面积求反比例函数k值 题型二、已知比例系数求规则图形面积 题型三、已知比例系数求不规则图形面积 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 反比例函数k值的几何意义 ◆题型一、根据图形面积求反比例函数k值 1．如图，点B在反比例函数的图象上，点与点关于原点对称，过点作轴，交反比例函数于点．连接，．若的面积为，则的值为____． 【答案】 【分析】利用中心对称性质得出为中点，从而将的面积转化为的面积；再根据轴，将分割为 和 ，结合反比例函数的几何意义建立方程求解． 【详解】解：连接， 设交轴于点， ∵点与点关于原点对称， ∴为的中点，即， ∴， ∵， ∴ ， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴ ， ， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴， ∴． 2．如图，P是反比例函数图象上的一点，轴于点A，轴于点B，若矩形的面积为2，则k的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】由四边形的面积可求得，又因反比例函数的图象在第一象限，即可得，写出的值即可． 【详解】解：点P是反比例函数图象上的一点，分别过点P作轴于点A，轴于点B，若四边形的面积为2， 矩形的面积， ， 又反比例函数的图象在第一象限， ， ． 3．如图，在平面直角坐标系中，点，在反比例函数图象上，轴于点，轴于点，连结，，若，，则的值为（     ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】设，，根据勾股定理列方程即可解答． 【详解】解：作轴于M， ∴轴， ∵轴于点C，轴于点D， ∴， ∵， ∴，， ∴， 点，在反比例函数图象上， ，， ， ， 解得（负数舍去）． 4．如图，点A是反比例函数图象上一点，直线过点A且交x轴，y轴于点B，C，过点A作轴于点D，若，．则k的值为 _____． 【答案】/ 【分析】设，求出，，，由得，由得，化简后得，即可解答． 【详解】解：设，由图可知， ∴， ∵轴于点D， ∴，， ∵直线过点A， ∴，即， 将代入得，， 解得, ∴，即， 将代入得，， ∴，即， 由图可知，B在x轴负半轴，C在y轴负半轴， ∴，， ∵，B在x轴负半轴， ∴， 整理得，即， ∴，， ∵， ∴，即，得， ∵ ∴ ∴ ，即， 将代入 得 解得 ∵， ∴． 5．如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征，用表示出矩形的长和宽，结合矩形面积建立关于的方程求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵四边形是矩形，点在轴上，点在轴上， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∵点，在反比例函数的图象上， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∴，， ∵矩形的面积为， ∴， ∴， ∵图象在第一象限， ∴， ∴． 6．如图，在矩形中，，，反比例函数的图像与、分别交于点E、F，且，与的面积之差等于，则此反比例函数的解析式为_________． 【答案】 【分析】根据题意设此反比例函数为，据此得到E和F的坐标；根据反比例函数的图象和性质可得，再计算出的面积，接下来计算，再结合其值为即可得到关于的等式，据此即可解答此题． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，，， 设此反比例函数为，则，， ∴，， ∴，， o，， ∵， ∴， ∴， 整理得， 解得或， ∵，即， ∴ ∴反比例函数为． 7．如图，已知A为反比例函数图象上一点，B为x轴正半轴上一点，过点B作轴，交反比例函数图象于点C，连结，，，与交于点．当，的面积等于1时，k的值为_____． 【答案】10 【分析】过点A作轴于点F，交于点E，连接，易证，可得，再根据，可得，，进一步可得，由轴，轴，可得，可得，则，可得的面积，可得的面积，再根据E是的中点，可得的面积，进一步可得的面积，根据反比例函数k的几何意义可得k的值． 【详解】解：如图，过点A作轴于点F，交于点E，连接， ∵，轴， ∴， ∵轴，轴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．如图，中，，点在轴正半轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点、，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为____________． 【答案】 【分析】设，根据为的中点，得到，则，再根据的面积为，列方程求解即可． 【详解】解：设， ∵为的中点， ∴， 当时，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 9．如图，反比例函数，和均为等腰直角三角形，点D在反比例函数图象上，若，则________． 【答案】 【分析】设，，根据等腰直角三角形的性质表示出，的长，进而表示出点的坐标，利用点在反比例函数图象上得到与的关系式，再根据三角形面积差建立方程求解即可； 【详解】解：设，（，）， 为等腰直角三角形，， ， ， 为等腰直角三角形，， ， ， ， ，即， 由图可知，点的坐标为，点的坐标为， 点在上，， 点的纵坐标为，横坐标为， ，，且点在第二象限， 点的横坐标为，纵坐标为， ， 点在反比例函数的图象上， ， ， ． 10．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象分别与等腰直角的直角边和斜边交于点，，点在轴负半轴上，连接，，若，且的面积为3，则________． 【答案】 【分析】作，连接，根据等腰直角三角形的性质得，再设点，则点，即可求出，，同理，最后根据求出答案． 【详解】解：过点D作，交x轴于点E， ∵等腰直角，， ∴，则点D是的中点． ， ， ∵， ∴． 设点， , ， ∴， ∴，，同理， ∴， 即， 解得． ◆题型二、已知比例系数求规则图形面积 11．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点，在轴上．若四边形是矩形，则它的面积为（） A．3 B．8 C．11 D．14 【答案】B 【分析】延长交y轴于点E，则四边形是矩形，四边形是矩形，根据反比例函数比例系数的几何意义可得四边形的面积为3，四边形的面积为11，即可求解． 【详解】解：如图，延长交y轴于点E， ∵轴， ∴轴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， 点在双曲线上， 四边形的面积为， 点在双曲线上， 四边形的面积为， 矩形的面积为． 12．如图，在平面直角坐标系中，的边在y轴上，反比例函数的图象经过点A和点B，且点B为的中点．则的面积为（     ） A．l B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】过点A作轴于点E，过点B作轴于点D，证明，得到，推出，根据，得到，据此计算即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴于点E，过点B作轴于点D， ， ， ， ， 的边在y轴上，点B为的中点， ， ， ∵反比例函数的图象经过点A和点B， ， ， ， ， ． 13．如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，平行于x轴，连接，若，则的面积可以是（     ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】设，，将 的面积表示出来，建立面积与的函数关系，结合的取值范围即可求解． 【详解】解：∵ 点在反比例函数的图象上， 点在反比例函数的图象上， ∴设， ∵平行轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 ，只有符合题意． 14．如图，点A，D分别在函数 的图象上，点B，C在x轴上，点E在线段上时，若，则的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】分别过点A，D作轴于点，轴于点，可得四边形是矩形，再根据求解即可． 【详解】解：如图，分别过点A，D作轴于点，轴于点， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形， 又轴，则 ∴四边形是矩形， 同理可得四边形为矩形， ∴ 15．如图，点A在双曲线上，连接并延长，交双曲线于点B，点C为x轴上一点，且，连接，则的面积为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，根据反比例函数系数的几何含义，得到，，再结合等腰三角形三线合一的性质，推出，证明，得出，进而得到，即可得解． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 点A在双曲线上， ， ，轴， ， ， 点B在双曲线上， ， ， ， ， ， ， ， ． 16．如图，已知点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴，交x轴于点B，点C在x轴负半轴上，连接交y轴于点D，若，则________． 【答案】1 【分析】首先设点的坐标为，接着根据的线段比例关系，求出的面积． 【详解】解：设点的坐标为， 则点的坐标为，，， 则． ， ． 17．如图，已知轴，垂足为，，分别交反比例函数的图象于点，．若，则的面积为______． 【答案】6 【分析】过点A作轴于点E，则，，故可得出，再由得出，根据相似三角形的性质可得出的面积，由即可得出结论． 【详解】解：过点A作轴于点E， ∵轴，垂足为，，分别交反比例函数的图象于点A，B， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，交轴于点，轴，垂足为，轴于点，，，． (1)求的值； (2)连接，，求和的面积； 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）先由得到点纵坐标，代入左侧反比例函数求出横坐标，得到线段长度；结合算出长，再由确定点坐标，最后将点坐标代入右侧反比例函数，即可算出． （2）先算出梯形的总面积，再分别求出左右两侧直角三角形、的面积，用梯形面积减去两个直角三角形面积，剩余部分就是的面积．利用、两点坐标列方程组求出直线的解析式，令得到直线与轴交点的纵坐标，即线段长度；以为底、为高，套用三角形面积公式计算出面积． 【详解】（1）解：由题意可知， ，轴， ∴点的纵坐标为． ∵点在反比例函数的图象上， ∴点的横坐标为． ． ， ． ， ∴点的坐标为． ． （2）解：， ， ， ． 设直线的表达式为，得 ， 解得． 直线的表达式为，点的坐标为 ． 19．知识回顾：在学习反比例函数性质时，我们已经知道：如图1，点是反比例函数上任意一点，则矩形的面积为． (1)初步尝试 如图2，点，分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形，易知四边形也是矩形，分别求矩形和的面积． (2)类比探究 如图3，点，在反比例函数的图象上，点，在反比例函数的图象上，轴，与在轴的两侧，，，与的距离为5，求的值． 【答案】(1)4，6 (2)6 【分析】（1）由反比例函数的几何意义可得答案； （2）如图，过A，B，C，D四点分别作、、、轴于点E，F，G，H，设，分别与y轴交于N，M，可得，设为h，而，，与的距离为5，再进一步建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点A，E分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形， ∴，， ∴； （2）解：如图，过A，B，C，D四点分别作、、、轴于点E，F，G，H，设，分别与y轴交于N，M， ∴四边形，，，均为矩形，且， ∴， 设为h，∵，，与的距离为5，轴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和两点，过点A作y轴的垂线，垂足为点M． 如图，已知一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交 (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求△AOM的面积． 【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为 (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）利用三角形面积公式直接代入计算即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和两点， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵点在一次函数y＝kx+4图象上， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为； （2）解：点， ∴， ∴． ◆题型三、已知比例系数求不规则图形面积 21．如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】延长交y轴于点D，根据反比例函数k值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解． 【详解】解：如图，延长交y轴于点D． 轴， 轴， 点A在反比例函数的图象上， ． 轴，轴，点B在反比例函数的图象上， ， ． 22．如图，和均为正三角形，且点，均在反比例函数上，连结交于点，连结，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点，先根据和均为正三角形可知，故可得出，可得，由反比例函数系数的几何意义即可得出结论． 【详解】解：过点作于点，如下图所示： ∵和均为正三角形， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数上， ∴， ∴． 23．下列与反比例函数图象有关的图形中，阴影部分面积最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，根据反比例函数系数k的几何意义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解： A、如图所示，分别过点M和N作轴，轴，则； B、M、N两点均在反比例函数的图象上，所以； C、M、N两点均在反比例函数的图象上，所以； D、M、N两点均在反比例函数的图象上，所以． ∵， ∴A中阴影部分的面积最小． 故选：A． 24．反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，过点作轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点．当点的横坐标逐渐变大时，则四边形的面积（   ） A．先变大再变小 B．先变小再变大 C．不变 D．无法确定 【答案】C 【分析】此题主要考查了反比例函数中k的几何意义．根据反比例函数的图象和性质，特别是根据反比例函数k的几何意义，求得与的面积相等且都等于1，即可得出正确答案． 【详解】解：由于点C和点D均在同一个反比例函数的图象上， ∴， ∵点在的图象上， ∴矩形的面积是k， ∴四边形的面积，故为定值，不变， 故选：C． 25．如图，在平面直角坐标系中，两个反比例函数和在第二象限内的图象依次为，．已知点P在上，点A，B在上，且轴，轴，则四边形的面积为____． 【答案】4 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义得到即可求出答案． 【详解】解：如图， 由反比例函数比例系数的几何意义可得， ∴四边形的面积为． 26．如图，两个反比例函数 和 （ 其中 ） 在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点， 交于点，轴于点， 交于点，则四边形的面积是_____． 【答案】/ 【分析】主要考查了反比例函数中k的几何意义，即在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．根据反比例函数k值的意义，求出四边形的面积和的面积即可得出答案． 【详解】∵ ∴四边形的面积为：， 27．如图，点P是矩形的对称中心，点P在y轴正半轴上，反比例函数的图象经过点A，反比例函数的图象经过点C，求矩形的面积． 【答案】 【分析】分别过点A，C作y轴的垂线，分别交y轴于点D，E，根据反比例函数得，，根据四边形是矩形，进而可证明，，即可得，，再根据，计算即可得答案． 【详解】解：如图， 分别过点A，C作y轴的垂线，分别交y轴于点D，E，则：， 点A在反比例函数的图象上， ∴， 点C在反比例函数的图象上， ∴， 四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，， ∵， ， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积为12． 28．如图，直线与双曲线交于B，D两点，分别过点B，D作x轴的垂线，垂足分别为点A，C，连接，，已知点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用、平行四边形判定及的几何意义，掌握利用函数对称性判定平行四边形，结合反比例函数面积性质计算图形面积是解题的关键． （1）由轴及得的横坐标，代入直线解析式求坐标，再代入反比例函数求； （2）利用函数对称性得关于原点对称，证四边形是平行四边形，再由的几何意义求面积． 【详解】（1）解：轴于点， 点B的横坐标为， 将代入，得， ． 将代入，得， 故反比例函数的解析式为． （2）解：直线与双曲线均关于原点对称， 它们的交点B，D关于原点对称， ，， 四边形是平行四边形． 由的几何意义可知， ． 29．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（为常数）的图象与轴交于点，与反比例函数（为常数，且）的图象交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，连接、，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用、待定系数法求函数解析式及平面直角坐标系中图形面积的计算，熟练运用待定系数法和割补法是解答本题的关键． （1）利用待定系数法，先代入点坐标求一次函数解析式，再结合点坐标求出反比例函数的值； （2）将点坐标代入反比例函数解析式求出的值，结合割补法将四边形拆分为两个三角形，依次计算三角形面积并求和． 【详解】（1）解：将代入得， ， 解得：， ， 将代入得： ， ， 将代入得： ， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：将代入得： ， ， ， 过点作， ，，， ，， ． 30．已知双曲线经过矩形边的中点，交边于点． (1)求的值； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)； (2)四边形的面积为． 【分析】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求解析式，比例系数的几何意义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）用待定系数法求解即可； （）先求出，又为边的中点，则有，，，然后通过即可求解． 【详解】（1）解：∵点在双曲线的图象上， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴轴，轴， ∵， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形的面积为． 综合攻坚·知能拔高 1．如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于点，，分别过，作轴，轴的垂线，垂足分别为，．若四边形的面积为，则（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用反比例函数中心对称性及的几何意义，将四边形面积分割为三个三角形面积之和． 【详解】解：设，其中，， 点在反比例函数上， ， 直线过原点， 点与点关于原点对称， ， 轴，轴， ，， ，，，， ，， ， ， ， ， ． 2．如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过，两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点，设点的坐标是，则点的坐标是，根据等腰三角形的性质可得，根据反比例函数的解析式可知点的纵坐标是，从而可得，根据三角形的面积公式即可求出的值． 【详解】解：如下图所示，过点作于点， 设点的坐标是，则点的坐标是， ，， 是等腰三角形， ， 轴 点的横坐标是，纵坐标是， 轴交双曲线于点， 点的横坐标是， 点的纵坐标是， ， ， ， ． 3．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点B为x轴上的点，点D是第一象限内的一点，轴，已知线段交反比例函数的图像于点C，连接，点C为的中点，连接，交反比例函数图像于点A．若的面积为5，则k的值为（     ） A．10 B．5 C．8 D．20 【答案】A 【分析】利用三角形中线性质得出，结合反比例函数k的几何意义求解． 【详解】解：∵C为中点，且的面积为5， ∴， ∴， ∵轴，点C在反比例函数图像上， ∴， ∴，解得， ∵该反比例函数的图像在第一象限， ∴， ∴． 4．如图，在平面直角坐标系中，的面积为，垂直轴于点，与双曲线相交于点，且，则的值为（     ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】先求得，再证明，从而可根据相似三角形的性质求得即可得出的值． 【详解】解：过作轴于， ， ， 轴， ， ， ， ， 双曲线在第二象限， ． 5．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，且在函数的图象上，点是线段上一点，过点作轴于点，连结．若，的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形中线的性质得到的面积，再根据反比例函数的几何意义求解即可． 【详解】解：∵， ∴是的中线， ∵的面积为， ∴， ∵轴， ∴根据反比例函数的几何意义可知：， ∵函数的图象在第一象限， ∴． 6．如图，反比例函数的图象经过矩形的边的中点D，若矩形的面积为6，则k的值为______． 【答案】3 【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义进行解答即可． 【详解】解：连接， ∵矩形的面积为6， ∴， ∵D为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵的图象在第一象限， ∴， ∴． 7．如图，平行四边形的顶点在轴上，点在上，且轴，的延长线交轴于点，若，则_____． 【答案】3 【分析】连接、，利用同底等高的两个三角形面积相等得到，以及，再利用反比例函数的比例系数的几何意义求解即可． 【详解】解：连接、， 四边形是平行四边形， 点、点到对角线的距离相等， ， 轴， ， ， 设点， ， ． 8．如图，矩形的边、分别在、轴上，函数的图象经过边的中点，交于点，若四边形的面积为，则的值为______． 【答案】8 【分析】根据矩形的性质与三角形中线的性质解得，再根据四边形的面积为求出，直接根据反比例函数“”的几何意义求解即可． 【详解】解：连接、，如图所示： 四边形是矩形， ，， 、在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵图象在第一象限，即， ． 9．如图，A，B是双曲线上的两点，过点A作轴，垂足为点C，交于点D，若的面积为，D为的中点，则k的值为__________． 【答案】4 【分析】先设出点的坐标，进而表示出点，的坐标，利用三角形的面积建立方程求出，即可得出结论． 【详解】解：设点， ， 为的中点， ， 轴， ， 的面积为， ， ， ， 10．在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是______． 【答案】1 【分析】过点作垂直于轴，过点作垂直于轴，根据点的坐标求出的长度，利用勾股定理求出的长度，再通过解直角三角形求出的长度，最后利用“字模型”求出的距离，根据的几何意义求解． 【详解】解：如图所示，过点作垂直于轴，垂足为点，过点作垂直于轴，垂足为点， ∴， ∵点， ∴， 在中，， 在中，， ∴，即，解得， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得， ∴， 又∵， ∴， 又∵反比例函数图像在第一象限， ∴． 11．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的对角线交于原点O，顶点在反比例函数的图象上，若轴于点D，平行四边形的面积为8，求k的值． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质得，再由反比例函数比例系数的几何意义即可求得的值． 【详解】解：∵平行四边形的对角线交于原点， ， 轴于点D， ， ， ． 12．如图，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点．若轴，垂足为，面积为6． (1)求值； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据反比例函数的几何意义，即可求解； （2）根据（1）得出反比例函数解析式为，进而求得，，直线的解析式为，进而得出，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：∵轴，垂足为，面积为6 ∴ ∵反比例函数图象在第一象限 ∴ ∴； （2）解：由（1）可得反比例函数解析式为 ∵，在图像上， ∴，， 解得： ∴， 设直线的解析式为，代入，得 ，解得： ∴直线的解析式为 当时， 解得： ∴ ∴ ∴ 13．如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的垂线交反比例函数的图象于点． (1)求反比例函数的表达式． (2)连接，若的面积是3，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）将点代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）延长 交轴于点，根据反比例函数的意义得出，，根据的面积是3，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的表达式为． （2）解：延长 交轴于点，由题意得轴， 点在反比例函数的图象上， ． 点在反比例函数的图象上， ， ， 解得． 14．如图、在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过的顶点和顶点，是的中线． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点的纵坐标为，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）分别过点，点作轴的垂线，垂足分别为点，，由反比例函数的性质可知，根据，进而根据三角形中线的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ． 故反比例函数的表达式为． （2）点为反比例函数图象上的点，且纵坐标为， ， 点的坐标为． 如图，分别过点，点作轴的垂线，垂足分别为点，， ∵点，点， ，，，， ， 由反比例函数的性质可知 ∵ ∴， 是的中线， ． 15．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C在坐标轴上，顶点B在反比例函数的图象上，已知矩形的长和宽分别为4，3． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点P在该反比例函数的图象上，且在的上方，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E，F，与交于点G．若矩形与矩形不重合部分的面积为6，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据反比例函数k的几何意义求解即可； （2）设，根据矩形与矩形不重合部分的面积为6列方程求解即可． 【详解】（1）解：矩形的长和宽分别为4，3， ， 点B在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：设， 则，， ，， 矩形与矩形不重合部分的面积为6， ， 解得， ， 点P的坐标为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $