第一章 一元二次方程（单元培优自测卷）【分层作业】2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 江苏地区九年级一元二次方程单元培优自测卷，60分钟100分，分层设计适配培优检测与拔高训练，融合数学眼光、思维与语言，覆盖方程定义、解法及实际应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|一元二次方程定义、配方、根的判别式与函数综合|结合河南、广西等地期末真题，如根的判别式与一次函数象限判断| |填空题|8/16|韦达定理、方程解的应用、几何动态问题|如矩形平移重叠面积计算，体现几何直观与空间观念| |解答题|7/60|解方程、证明、实际应用（商场盈利）、新定义（镜像值）、古代数学文化|含赵爽勾股圆方图解方程，融合创新意识与应用意识，如“友好方程”定义题考查推理能力|

1.6 一元二次方程（单元培优自测卷）【分层作业】 考试时间：60分钟　　满分：100分 适用：江苏地区九年级单元培优检测、分层拔高训练 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. （25-26九年级上·河南新乡·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则实数m的值为（   ） A．3 B． C． D．9 2.（25-26八年级下·广西贺州·期末）若一元二次方程配方得到，则，的值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 3.（23-24九年级上·湖南娄底·期末）关于x的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4.（25-26八年级上·福建福州·期末）已知代数式的值如下表，则关于的一元二次方程的根为（   ） A． B． C．或 D．或 5.（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B．3 C． D． 6.（23-24九年级上·安徽宿州·期中）若一个菱形的两条对角线长分别是一元二次方程的两个实根，则该菱形的面积是（    ） A．10 B．20 C．16 D．9 7.（25-26九年级上·湖北荆州·阶段检测）定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”，如果关于x的一元二次方程与为“友好方程”，则m的值为（   ） A． B． C．1或 D．或 8.（23-24九年级上·云南昆明·阶段检测）如图，，，是三边上的点，且四边形为矩形，，．则矩形的面积的最大值为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9.（25-26九年级上·四川达州·期末）关于的方程有实数根，则的取值范围为_______________________． 10.（25-26八年级下·福建福州·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为________． 11.（25-26八年级下·山东泰安·期末）若关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是__________． 12.（25-26九年级上·重庆·阶段检测）已知m，n是关于x的一元二次方程的两个根，则________． 13.（25-26九年级下·山东烟台·期中）已知关于x的一元二次方程有一根为0，则它的另一个根是_____． 14.（2026·云南·模拟预测）方程的解为________． 15.（25-26九年级下·山东烟台·期末）已知一元二次方程（）的两根分别为、，则一元二次方程（）的两根分别为________． 16.（25-26八年级下·内蒙古兴安·阶段检测）如图，将边长为6的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，当两个三角形重叠部分的图形面积为9时，它移动的距离等于_______． 三、解答题（本大题共7小题，共60分） 17.（8分）（26-27九年级上·山东滨州·开学考试）解方程．其中（1）、（2）小题按指定方法解，（3）、（4）小题选择适当的方法解． （1）（配方法） （2）（公式法） （3） （4） 18．（8分）（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）已知关于的一元二次方程． （1）求证：对于任意非零实数，该方程总有两个实数根； （2）若此方程有两个不等实根，且均为整数，求整数的值． 19．（8分）（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）已知四边形相邻两边，的长度分别是关于的一元二次方程的两个实数根，． （1）若四边形为菱形，求的值； （2）若四边形为矩形，且该矩形对角线的长度为，求的值． 20．（8分）（25-26九年级上·山东枣庄·开学考试）商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件． （1）当每件盈利元时，每天可销售多少件？ （2）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到元？ （3）商场日盈利能否达到元？ 21．（8分）（九年级上册期中测试试卷02-2022-2023学年九年级数学上册同步考点知识清单＋例题讲解＋课后练习（人教版））先阅读材料，再解决下列问题． 例如：用配方法求代数式的最小值． 原式． ∵， ∴当时，有最小值是2． 根据上述所用方法，解决下列问题： （1）求代数式的最小值； （2）若，当_______时，有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； （3）当，，分别为的三边时，且满足时，判断的形状并说明理由． 22．（10分）（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）对于关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值等于，则称为这个代数式的“镜像值”．例如：对于代数式，当时，代数式的值等于；当时，代数式的值等于，我们就称和都是这个代数式的“镜像值”． （1）代数式的镜像值是________； （2）判断代数式是否有镜像值．若有，请求出此代数式的镜像值；若没有，则说明理由； （3）关于的代数式，若此代数式有两个镜像值，且两个镜像值的差为整数，求正整数的值． 23．（10分）（25-26八年级下·江苏苏州·期末）阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为表示边长，所以，即．遗憾的是这样的做法只能得到方程的其中一个正根． （1）【理解应用】参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是 ．（从序号①②③中选择） （2）【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即（ ）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：因此，根据大正方形的面积可得新的方程： ，解得原方程的一个根为 ． （3）【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数 ， ，求得方程的正根为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.6 一元二次方程（单元培优自测卷）【分层作业】 考试时间：60分钟　　满分：100分 适用：江苏地区九年级单元培优检测、分层拔高训练 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. （25-26九年级上·河南新乡·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则实数m的值为（   ） A．3 B． C． D．9 【答案】B 【分析】本题考查“一元二次方程的定义”，掌握一元二次方程的特征求出参数的值，并排除会令二次项系数为0的值是解题关键． 根据一元二次方程的定义，要求方程中未知数的最高次数为2且二次项系数不为零，解出m的值即可． 解：∵ 方程 是一元二次方程， ∴ 的最高次数 ， 解得 ，， 又∵ 二次项系数 ， 当 时，，不符合要求； 当 时，，符合要求， ∴ 实数 的值为 ． 故选：B． 2. （25-26八年级下·广西贺州·期末）若一元二次方程配方得到，则，的值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的配方法，将原方程配方后，与已知配方结果对比系数即可得到和的值． 解：对原方程移项得： ， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方得： ， 整理得：， ∵配方得到， ∴对比等式两边可得，， 解得， 即，． 3. （23-24九年级上·湖南娄底·期末）关于x的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查了根的判别式及一次函数的性质，先利用一元二次方程根的判别式得出k的取值范围，再结合一次函数的图象与性质进行判断即可． 解：∵关于的一元二次方程无实数根， ， 解得， ∴一次函数过一、二、三象限， ∴一次函数的图象不经过第四象限． 故选：D． 4.（25-26八年级上·福建福州·期末）已知代数式的值如下表，则关于的一元二次方程的根为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的解一元二次方程，从表格中直接读取代数式的值为时对应的值，即为方程的根． 解：当时，代数式的值为；当时，代数式的值也为， 方程的根为或． 故选：C． 5.（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，先判断a，b的符号，再化简所求二次根式，最后代入计算即可． 解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得，， ∵，， ∴，， ∴． 6.（23-24九年级上·安徽宿州·期中）若一个菱形的两条对角线长分别是一元二次方程的两个实根，则该菱形的面积是（    ） A．10 B．20 C．16 D．9 【答案】A 【分析】直接利用根与系数的关系求得，最后根据菱形的面积为对角线积的一半求解即可． 解：∵设一元二次方程的两根分别为， ∴一元二次方程为两根的积为， ∵一个菱形的两条对角线长分别是该一元二次方程的两个实根， ∴菱形的面积是． 7.（25-26九年级上·湖北荆州·阶段检测）定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”，如果关于x的一元二次方程与为“友好方程”，则m的值为（   ） A． B． C．1或 D．或 【答案】D 【分析】先利用因式分解法解方程，得到，．再分别将x=0，x=-3代入，求出m的值即可． 解：， 分解因式，得， 解得，． 当时，， 解得； 当时，， 解得． 所以m的值为﹣1或﹣4． 故选：D． 【点拨】本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了利用因式分解法解方程，求出方程的两个解是解题的关键． 8.（23-24九年级上·云南昆明·阶段检测）如图，，，是三边上的点，且四边形为矩形，，．则矩形的面积的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，得出，根据矩形的性质得到，，然后利用勾股定理表示出；利用矩形的面积公式列出式子，再进行配方，即可求解． 解：在中，，，， ； ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， 当时，矩形的面积最大，最大值为． 故选：A． 【点拨】本题主要考查的是列代数式，矩形的性质，含度角的直角三角形，勾股定理的有关知识，正确列出代数式是解决本题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9.（25-26九年级上·四川达州·期末）关于的方程有实数根，则的取值范围为_______________________． 【答案】 【分析】根据平方的意义得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出结论． 解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴a-1≥0， 解得a≥1， 故答案为a≥1． 【点拨】本题考查了一元二次方程有根的条件，直接开平方法解一元二次方程，列出关于a的一元一次不等式是解题的关键． 10.（25-26八年级下·福建福州·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为________． 【答案】/ 【分析】根据一元二次方程的根满足方程得到，进而整体代入求值即可． 解：∵是方程的一个根， ∴，即， ∴． 11.（25-26八年级下·山东泰安·期末）若关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义可得二次项系数不为，结合方程有实根可得根的判别式，列不等式求解即可得到的取值范围． 解：方程是关于的一元二次方程， 二次项系数，解得， 方程有实根， ， 解得， 综上，的取值范围是且． 12.（25-26九年级上·重庆·阶段检测）已知m，n是关于x的一元二次方程的两个根，则________． 【答案】8 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，由题意可得，，整体代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：∵m，n是关于x的一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 13.（25-26九年级下·山东烟台·期中）已知关于x的一元二次方程有一根为0，则它的另一个根是_____． 【答案】2 【分析】将代入，结合一元二次方程的定义求出m的值，进而得到原方程，求解即可． 解：∵关于x的一元二次方程有一根为0， ∴将代入得， 解得：， ∵一元二次方程 ∴，即， ∴， ∴原方程为， 解得：， 即它的另一个根是2． 14.（2026·云南·模拟预测）方程的解为________． 【答案】 【分析】把分式方程转化为一元二次方程进行求解，需要对根进行检验． 解：， ， ， ， ， ， 解得：， 检验：当时，，是增根，舍去， 当时，，是原分式方程的根， 方程的解为． 15.（25-26九年级下·山东烟台·期末）已知一元二次方程（）的两根分别为、，则一元二次方程（）的两根分别为________． 【答案】，/， 【分析】利用换元思路，将所求方程整理为与原方程形式相同的一元二次方程，根据原方程的根得到对应关系式，即可求解． 解：将所求方程移项变形得 ， ∵一元二次方程的两根分别为，， ∴可得或， 解得，， ∴一元二次方程的两根分别为，． 16.（25-26八年级下·内蒙古兴安·阶段检测）如图，将边长为6的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，当两个三角形重叠部分的图形面积为9时，它移动的距离等于_______． 【答案】3 【分析】设，证明是等腰直角三角形，得出，根据重叠部分面积列出方程，解方程即可． 解：设， ∵四边形是正方形， ∴，，， 由平移可知，， ∴， 设与交于点G ， 在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴重叠部分四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形的高为， ∴， 解得：， ∴移动的距离等于3． 三、解答题（本大题共7小题，共60分） 17．（8分）（26-27九年级上·山东滨州·开学考试）解方程．其中（1）、（2）小题按指定方法解，（3）、（4）小题选择适当的方法解． （1）（配方法） （2）（公式法） （3） （4） 【答案】（1），；（2），；（3），；（4）， 【分析】（1）根据配方法解方程的基本步骤，求解即可． （2）利用公式法解方程的基本步骤，求解即可． （3）利用直接开平方法，求解即可． （4）利用因式分解法求解即可． （1）解：， 配方，得，即． 两边开平方，得， 解得，． （2）解：, ， ， ∴， 解得，． （3）解：∵， ∴， ∴或者， 解得． （4）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得，． 18．（8分）（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）已知关于的一元二次方程． （1）求证：对于任意非零实数，该方程总有两个实数根； （2）若此方程有两个不等实根，且均为整数，求整数的值． 【答案】（1）证明： ． 方程总有两个实数根 （2）整数的值为． 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式证明即可； （2）用分解因式法求出一元二次方程的两个根分别为：，，根据方程的两个根均为整数可得，再根据方程有两个不相等的实数根确定的值． 解：（1）略 （2）解：方程可化为， 解得：，， 方程两根均为整数， 为整数，即为整数， 整数， 当时，可得：， ， 当时，， ，故舍去， 整数的值为． 19．（8分）（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）已知四边形相邻两边，的长度分别是关于的一元二次方程的两个实数根，． （1）若四边形为菱形，求的值； （2）若四边形为矩形，且该矩形对角线的长度为，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据菱形的四条边相等，所以方程有两个相等的实数根，所以有，解方程即可求出的值； （2）四边形为矩形，所以方程一定有两个实数根，所以有，解不等式求出的取值范围，因为矩形对角线的长度为，所以，根据一元二次方程根与系数的关系可得：，解方程即可求出的值． （1）解：四边形为菱形， 方程有两个相等的实数根， ， 整理可得：， 解得：； （2）解：四边形为矩形， 一定有两个实数根， ， ， ， ，， 矩形对角线的长度为， ， 整理可得：， 解得：（不符合题意，舍去），， ． 20．（8分）（25-26九年级上·山东枣庄·开学考试）商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件． （1）当每件盈利元时，每天可销售多少件？ （2）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到元？ （3）商场日盈利能否达到元？ 【答案】（1）当每件盈利元时，每天可销售件；（2）每件商品降价元时，商场日盈利可达到元；（3）商场日盈利不能达到元 【分析】（1）根据“某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件”，计算出每件盈利元时，每件商品降价的钱数，从而计算出商场每天可多销售的数量，从而计算出每天销售的数量； （2）设每件商品降价元时，商场日盈利可达到元，则商场每天多销售件，根据“某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件”，列出关于的一元二次方程，解之即可； （3）设每件商品降价元时，商场日盈利可达到元，则商场每天多销售件，根据“某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件”，列出关于的一元二次方程，结合判别式公式，判断该方程根的情况，即可得到答案． （1）解：当每件盈利元时，每件商品降价：（元）， 商场每天可多销售：（件）， 每天销售：（件）， 答：当每件盈利元时，每天可销售件， （2）解：设每件商品降价元时，商场日盈利可达到元， 则商场每天多销售件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 为减少库存，应舍去， 答：每件商品降价元时，商场日盈利可达到元； （3）解：设每件商品降价元时，商场日盈利可达到元，则商场每天多销售件， 根据题意得：， 整理得：， ， 该方程无实数根， 即商场日盈利不能达到元， 答：商场日盈利不能达到元． 21．（8分）（九年级上册期中测试试卷02-2022-2023学年九年级数学上册同步考点知识清单＋例题讲解＋课后练习（人教版））先阅读材料，再解决下列问题． 例如：用配方法求代数式的最小值． 原式． ∵， ∴当时，有最小值是2． 根据上述所用方法，解决下列问题： （1）求代数式的最小值； （2）若，当_______时，有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； （3）当，，分别为的三边时，且满足时，判断的形状并说明理由． 【答案】（1）3；（2）1，大，-2；（3）直角三角形，见解析 【分析】（1）凑成完全平方加一个数值的形式． （2）和（1）类似，凑成完全平方加以一个数值的形式． （3）先因式分解，判断字母，，三边的关系，再判定三角形的形状． （1）解：； ∴的最小值是3． （2）， ， ， ∴当的时，有最大值． 故答案为：1，大，． （3）， ， ， 三个完全平方式子的和为0，所以三个完全平方式子分别等于0． ，，， 解得，，． ∵， ∴是直角三角形． 【点拨】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解的方法把所给的代数式和等式进行变形，然后得到更为简单得数量关系，再根据此关系解决问题． 22．（10分）（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）对于关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值等于，则称为这个代数式的“镜像值”．例如：对于代数式，当时，代数式的值等于；当时，代数式的值等于，我们就称和都是这个代数式的“镜像值”． （1）代数式的镜像值是________； （2）判断代数式是否有镜像值．若有，请求出此代数式的镜像值；若没有，则说明理由； （3）关于的代数式，若此代数式有两个镜像值，且两个镜像值的差为整数，求正整数的值． 【答案】（1）和；（2）代数式没有镜像值， 理由：设代数式的镜像值为， 根据定义得， 整理得， ， 计算根的判别式， 方程没有实数根， 代数式没有镜像值． （3）正整数的值为 【分析】（1）根据定义列一元二次方程求解即可得到镜像值； （2）根据定义列一元二次方程，通过判别式判断方程是否有实根，即可得到结论； （3）根据定义整理方程，推导出两个镜像值差的表达式，结合差为整数，a为正整数的条件求解即可． （1）解：设代数式的镜像值为，根据定义得， 整理得， 解得， 即代数式的镜像值是和． （2）略 （3）解：设代数式的镜像值为， 根据定义得， 整理得， 为正整数，代数式有两个镜像值， ，方程是一元二次方程，且， 方程的两个根为， 则两个根差的绝对值为， 两个镜像值的差为整数，是正整数， 是正整数， 为正整数， ， 即， 满足条件的整数平方只有，即， 得，符合要求 正整数的值为． 23．（10分）（25-26八年级下·江苏苏州·期末）阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为表示边长，所以，即．遗憾的是这样的做法只能得到方程的其中一个正根． （1）【理解应用】参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是 ．（从序号①②③中选择） （2）【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即（ ）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：因此，根据大正方形的面积可得新的方程： ，解得原方程的一个根为 ． （3）【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数 ， ，求得方程的正根为 ． 【答案】（1）③；（2），，；（3），3，1或3 【分析】（1）根据题意，变形为，根据图示分别算出每个图形中长方形的面积，进行比较即可解答； （2）根据材料提示，进行计算即可解答； （3）先根据材料提示分解为，图形结合分析，即可得，分类讨论，由此即可解答． （1）解：， ， 将看作一个长为，宽为，面积为21的矩形， 很容易观察出构图是③． （2）解：， 第一步：将原方程变为，即； 第二步：如图②，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：，解得原方程的一个根为； 故答案为：，，． （3）解：由条件可知， ， 四个小矩形的面积各为，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， 由条件可知，解得， 当时，，，，方程的一个正根为1； 当时，，，，方程的一个正根为3； 综上所述，方程的一个正根为1或3， 故答案为，3，1或3． 学科网（北京）股份有限公司 $