学易金卷：九年级数学9月学情自测卷（江苏常州专用，新教材苏科版九年级上册第1～2章：一元二次方程+二次函数）

**基本信息** 聚焦一元二次方程与反比例函数，通过新能源汽车增长率、《中秋帖》文化素材及“黄金方程”新定义设计，实现基础巩固、能力提升与创新应用的梯度考查，适配九年级9月学情检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|一元二次方程定义、反比例函数图象性质|如第4题以新能源汽车销量考增长率模型，体现数学眼光| |填空题|10/20|根与系数关系、函数图象增减性|第17题《中秋帖》镶边问题，融合文化与几何直观| |解答题|8/64|方程应用、函数几何综合、新定义探究|22题利润问题培养数学语言表达，24题“黄金方程”考察创新意识，26题旋转问题发展推理能力|

2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 1 2 3 4 5 6 7 8 D A A D B C B C 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 9．m＜2 10．3 11． 12．k≥﹣1且k≠0 13．＞ 14．﹣4 15．﹣1 16．﹣1 17．（65+2x）（30+2x）＝2450 18．﹣8 三、解答题：本题共8小题，共64分。 19．（8分） 解：（1）x2+6x﹣7＝0， （x+7）（x﹣1）＝0， ∴x+7＝0或x﹣1＝0． ∴x1＝﹣7，x2＝1；···································4分 （2）4x（2x+1）＝3（2x+1）， 移项，得4x（2x+1）﹣3（2x+1）＝0， ∴（2x+1）（4x﹣3）＝0． ∴2x+1＝0或4x﹣3＝0． ∴x1，x2．···································8分 20．（6分） （1）证明：∵Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（m+3）]2﹣4×1×（m+2） ＝m2+6m+9﹣4m﹣8 ＝m2+2m+1 ＝（m+1）2， ∵无论m取何值，（m+1）2≥0，即Δ≥0， ∴无论m取何值，方程总有实数根；···························2分 （2）解：∵方程的一个实数根是3， ∴32﹣3（m+3）+m+2＝0， 解得：m＝1，·····································4分 ∴一元二次方程x2﹣4x+3＝0， ∴（x﹣1）（x﹣3）＝0， 解得：x1＝1，x2＝3， ∴方程的另一个实数根为1．······························6分 21．（8分） 解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象交于A（1，2），B（n，﹣1）两点， ∴m＝1×2＝n×（﹣1）， ∴n＝﹣2，m＝2， ∴反比例函数解析式为：y，····························2分 ∵A（1，2），B（﹣2，﹣1）在一次函数y＝kx+b的图象上， ∴，解得， ∴一次函数解析式为：y＝x+1．····························4分 （2）在一次函数y＝x+1中，令y＝0，则x＝﹣1， ∴OC＝1， ∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC；···················6分 （3）根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式kx+b的解集为：﹣2＜x＜0或x＞1． ····································8分 22．（6分） 解：（1）设每袋薯片降价x元，则每袋薯片的销售利润为（15﹣5﹣x）元，平均每天能卖出（20+4x）袋， 根据题意得：（15﹣5﹣x）（20+4x）＝200， 整理得：x2﹣5x＝0， 解得：x1＝0，x2＝5， ∵超市想让利给消费者， ∴x＝5． 答：每袋薯片应降价5元；······························3分 （2）该超市每天不能通过降低价格实现250元的利润，理由如下： 假设该超市每天能通过降低价格实现250元的利润，设每袋薯片降价y元，则每袋薯片的销售利润为（15﹣5﹣y）元，平均每天能卖出（20+4y）袋， 根据题意得：（15﹣5﹣y）（20+4y）＝250， 整理得：2y2﹣10y+25＝0， ∵Δ＝（﹣10）2﹣4×2×25＝﹣100＜0， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即该超市每天不能通过降低价格实现250元的利润．··············6分 23．（8分） 解：（1）由条件可知B（2，0）， 将点B（2，0）代入一次函数y＝﹣2x+b 得：﹣2×2+b＝0，解得b＝4， ∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+4，· 由条件可得n＝﹣2×（﹣1）+4＝6，···························2分 ∴A（﹣1，6）， 将点A（﹣1，6）代入反比例函数， 得：k＝﹣1×6＝﹣6， ∴反比例函数的解析式为．····························4分 （2）①如图，当点P在直线OA下方的反比例函数的图象上时， 由条件可知AB∥OP， ∴直线OP的解析式为y＝﹣2x， 联立， 解得或（舍去）， ∴此时点P的坐标为．····························6分 ②如图，当点P在直线OA上方的反比例函数的图象上时， 设直线AB与y轴交于点C， 对于一次函数y＝﹣2x+4， 当x＝0时，y＝4，即C（0，4），OC＝4， 由（1）已得：A（﹣1，6）， ∴， ∴AC＜OC， ∴在△AOC中，∠AOC＜∠BAO， 又∵∠POA＜∠AOC， ∴∠POA＜∠BAO，即此时∠POA与∠BAO不可能相等； 综上，点P的坐标为．····························8分 24．（8分） 解：（1）①x2＝1是黄金方程，理由： ∵x2＝1， ∴x2﹣1＝0， ∴a＝1，b＝0，c＝﹣1 ∴a﹣b+c＝1﹣0﹣1＝0， ∴x2＝1是黄金方程； ②（x﹣1）（x+2）＝0不是黄金方程，理由： ∵（x﹣1）（x+2）＝0， ∴x2+x﹣2＝0， ∴a＝1，b＝1，c＝﹣2， ∴a﹣b+c＝1﹣1﹣2＝﹣2≠0， 故（x﹣1）（x+2）＝0不是黄金方程； ③x2﹣2x﹣3＝0是黄金方程， ∴a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3， ∴a﹣b+c＝1﹣（﹣2）﹣3＝1+2﹣3＝0， ∴x2﹣2x﹣3＝0是黄金方程， 故答案为：①③；··································2分 （2）由条件可知3+b﹣（﹣a）＝0， ∴b＝﹣a﹣3， ∴原方程为3x2﹣ax﹣a﹣3＝0， ∵a是此黄金方程的一个根， ∴3a2﹣a2﹣a﹣3＝0，即2a2﹣a﹣3＝0， ∴（a+1）（2a﹣3）＝0， 解得a＝﹣1或；·································6分 （3）由条件可知2﹣b+c＝0， ∴c＝b﹣2， ∴b2﹣2c+1＝b2﹣2（b﹣2）+1＝b2﹣2b+1+4＝（b﹣1）2+4， ∵（b﹣1）2≥0， ∴（b﹣1）2+4≥4， ∴b2﹣2c+1的最小值为4．································8分 25．（10分） 解：（1）当点P与点N重合时， 由x2+2x＝24，得x1＝4、x2＝﹣6（舍去） 所以x＝4时点P与点N重合．·····························2分 （2）当点Q与点M重合时， 由x+3x＝24，得x＝6 此时DN＝x2＝36≥24，不符合题意． 故点Q与点M不能重合．·······························4分 （3）因为当N点到达A点时，x2＝24， 解得：x＝2， BQ＝2 cm，CM＝6 cm， ∵BQ+CM＝824， ∴此时M点和Q点还未相遇， 所以点Q只能在点M的左侧， ①如图1，当点P在点N的左侧时， 由24﹣（x+3x）＝24﹣（2x+x2）， 解得x1＝0（舍去），x2＝2； 当x＝2时四边形PQMN是平行四边形；·························7分 ②如图2，当点P在点N的右侧时， 由24﹣（x+3x）＝（2x+x2）﹣24， 解得x1＝﹣3，x2＝﹣3（舍去）； 当x＝﹣3时四边形NQMP是平行四边形； 综上：当x＝2或x＝﹣3时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．······10分 26．（10分） 解：（1）将点A坐标代入反比例函数解析式得， m＝2×6＝12， ∴反比例函数解析式为y，······························2分 将点B坐标代入反比例函数解析式得， n＝6， ∴点B的坐标为（6，2）． 将点A和点B的坐标代入一次函数解析式得， ， 解得， ∴一次函数解析式为y＝﹣x+8．·····························4分 （2）对于y＝﹣x+8，当x＝0时，y＝8， ∴点C（0，8）， ∴OC＝8， ∴S△OAB＝S△BOC﹣S△AOC16；···················6分 （3）设点E的坐标为（a，）， 过点A作y轴的平行线l，分别过点E和点F作l的垂线，垂足分别为M和N， 由旋转可知， AE＝AF，∠EAF＝90°， ∴∠EAM+∠MAF＝∠MAF+∠AFN＝90°， ∴∠EAM＝∠AFN． 在△EAM和△AFN中， ∴△EAM≌△AFN（AAS）． ∴FN＝AM，AN＝ME． ∵点A坐标为（2，6），点E坐标为（a，）， ∴FN＝AM＝6，AN＝ME＝a﹣2， ∴点F的坐标为（4，8﹣a）． ∵点F在函数y图象上， ∴（4）（8﹣a）＝12， 解得a1＝2，a2＝12， ∴点E坐标为（12，1）．·······························10分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：90分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材苏科版九年级上册第1~2章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．x2+y＝1 C． D．x2+x＝4 2．若点A（﹣2，6）在反比例函数y的图象上，则k的值是（　　） A．﹣12 B．﹣3 C． D．12 3．关于x的一元二次方程x2﹣mx+m＝6的一个解为x＝0，则实数m的值是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 4．新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱．2022年某款新能源汽车销售量为22万辆．销售量逐年增加，2024年预估销售量为28.6万辆．求这款新能源汽车的年平均增长率，可设这款新能源汽车的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的为（　　） A．22（1+x2）＝28.6 B．22（1﹣x）2＝28.6 C．28.6（1﹣x）2＝22 D．22（1+x）2＝28.6 5．已知点A（m，y1），B（﹣m，y2），C（2m，y3）在反比例函数的图象上，若m＞0，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2 6．关于反比例函数，下列说法正确的是（　　） A．该函数图象在一、三象限 B．当x＜0时，y随x增大而减小 C．若A（x1，y1）在该函数图象上，则x1y1＝﹣4 D．若点M（xM，yM）和点N（xN，yN）在该函数图象上，且xM＞xN，则有且仅有yM＞yN 7．已知代数式﹣ax2+bx的取值如下所示，由数据可得，关于x的一元二次方程﹣ax2+bx+2＝0的解是（　　） x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … ﹣ax2+bx … ﹣4 ﹣2 0 0 ﹣2 ﹣4 … A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝﹣1，x2＝2 C．x1＝﹣2，x2＝2 D．x1＝﹣1，x2＝﹣2 8．在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx+k与的图象大致是（　　） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 9．如果反比例函数y的图象在第一、三象限，那么m的取值范围是　 　 ． 10．设x1，x2是关于x的方程x2﹣3x﹣5＝0的两个根，则x1+x2＝ 　 　 ． 11．若A（2m，3）与B（1，m﹣5）是反比例函数y图象上的两个点，则k的值为 　 　 ． 12．关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是 　 　 ． 13．在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2），C（﹣2，3）均在函数的图象上，且x1＞x2＞0，则y1　 　 y2（填“＞”“＝”或“＜”）． 14．将一元二次方程x2﹣8x＝0配方后变形为（x+a）2＝b，则a的值为　 　 ． 15．设函数y与y＝x﹣1的图象的交点坐标为（a，b），则的值为 　 　 ． 16．已知方程x2﹣2026x+1＝0的两个根分别为x1，x2，则的值为　 　 ． 17．《中秋帖》是晋朝书法家王献之的作品，如图，在一幅长为65cm，宽为30cm的《中秋帖》矩形书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，设金色纸边的宽为xcm，如果要使整个挂图的面积是2450cm2，那么x满足的方程是 　 　 ． 18．如图所示，反比例函数y（x＜0）的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点M，分别与AB，BC交于点D、E，若BD＝4，OA＝6，则k的值为 　 　 ． 三、解答题：本题共8小题，共64分。 19．（8分）解方程： （1）x2+6x﹣7＝0； （2）4x（2x+1）＝3（2x+1）． 20．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0． （1）求证：无论m取何值，方程总有实数根； （2）若方程的一个实数根是3，求另一个实数根和m的值． 21．（8分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象交于A（1，2），B（n，﹣1）两点，与x轴交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）直接写出不等式kx+b的解集． 22．（6分）某超市销售一款薯片，每袋进价5元．当每袋售价为15元时，平均每天能卖出20袋．超市计划降价促销以增加销量，调研发现：每袋价格每降低1元，每天销量会增加4袋． （1）若超市想让利给消费者，且每天销售该薯片的利润达到200元时，每袋薯片应降价多少元？ （2）该超市每天能否通过降低价格实现250元的利润？若能，求出每袋的降价金额；若不能，请说明理由． 23．（8分）如图，一次函数y＝﹣2x+b的图象与反比例函数的图象在第二象限交于点A（﹣1，n），与x轴交于点B，已知点B的横坐标为2． （1）求n的值和反比例函数的解析式； （2）点P是反比例函数图象第二象限分支上的一点，且点P在点A下方，当∠POA＝∠BAO时，求点P的坐标． 24．（8分）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）下列方程中：①x2＝1；②（x﹣1）（x+2）＝0；③x2﹣2x﹣3＝0，是黄金方程的为　 　 （填序号）． （2）已知3x2﹣ax+b＝0是关于x的黄金方程，若x＝a是此黄金方程的一个根，求a的值． （3）已知关于x的一元二次方程2x2+bx+c＝0（c≠0）是“黄金方程”，求代数式b2﹣2c+1的最小值． 25．（10分）如图，在矩形ABCD中，BC＝24cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止． 已知在相同时间内，若BQ＝xcm（x≠0），则AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm． （1）当x为何值时，以P、N两点重合？ （2）问Q、M两点能重合吗？若Q、M两点能重合，则求出相应的x的值；若Q、M两点不能重合，请说明理由． （3）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形． 26．（10分）如图1，反比例函数与一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象交于点A（2，6），点B（n，2），一次函数y＝kx+b（k≠0）与y轴相交于点C． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接OA，OB，求△OAB的面积； （3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接AE，把线段AE绕点A顺时针旋转90°，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：90分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材苏科版九年级上册第1~2章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．x2+y＝1 C． D．x2+x＝4 【分析】根据一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论． 【解答】解：A．ax2+bx+c＝0，当a＝0时不是一元二次方程，不符合题意； B．x2+y＝1，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C．，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； D．x2+x＝4，是一元二次方程，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题关键． 2．若点A（﹣2，6）在反比例函数y的图象上，则k的值是（　　） A．﹣12 B．﹣3 C． D．12 【分析】直接把点A（﹣2，6）代入反比例函数y，求出k的值即可． 【解答】解：∵点A（﹣2，6）在反比例函数y的图象上， ∴6，解得k＝﹣12． 故选：A． 【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 3．关于x的一元二次方程x2﹣mx+m＝6的一个解为x＝0，则实数m的值是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】先理解题意，将x＝0代入方程x2﹣mx+m＝6直接求解m的值，即可作答． 【解答】解：把x＝0代入得02﹣m•0+m＝6，得m＝6， 故选：A． 【点评】本题考查了已知一元二次方程的解求参数，熟练掌握该知识点是关键． 4．新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱．2022年某款新能源汽车销售量为22万辆．销售量逐年增加，2024年预估销售量为28.6万辆．求这款新能源汽车的年平均增长率，可设这款新能源汽车的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的为（　　） A．22（1+x2）＝28.6 B．22（1﹣x）2＝28.6 C．28.6（1﹣x）2＝22 D．22（1+x）2＝28.6 【分析】利用2024年某款新能源汽车的预估销售量＝2022年某款新能源汽车的销售量×（1+这款新能源汽车的年平均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：22（1+x）2＝28.6． 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5．已知点A（m，y1），B（﹣m，y2），C（2m，y3）在反比例函数的图象上，若m＞0，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2 【分析】先求出，，，再根据m＞0比较大小即可． 【解答】解：由条件可得：，，． ∵m＞0， ∴， 即y1＞y3＞y2． 故选：B． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 6．关于反比例函数，下列说法正确的是（　　） A．该函数图象在一、三象限 B．当x＜0时，y随x增大而减小 C．若A（x1，y1）在该函数图象上，则x1y1＝﹣4 D．若点M（xM，yM）和点N（xN，yN）在该函数图象上，且xM＞xN，则有且仅有yM＞yN 【分析】根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可， 【解答】解：A、由反比例函数可知﹣4＜0，则该函数图象在第二、四象限，故不符合题意； B、当x＜0时，y随x增大而增大，故不符合题意； C、若A（x1，y1）在该函数图象上，则x1y1＝﹣4，故符合题意； D、若点M（xM，yM）和点N（xN，yN）在该函数图象上，当xN＜xM＜0时，yM＞yN，当xN＜0＜xM时，yM＜yN，故不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 7．已知代数式﹣ax2+bx的取值如下所示，由数据可得，关于x的一元二次方程﹣ax2+bx+2＝0的解是（　　） x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … ﹣ax2+bx … ﹣4 ﹣2 0 0 ﹣2 ﹣4 … A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝﹣1，x2＝2 C．x1＝﹣2，x2＝2 D．x1＝﹣1，x2＝﹣2 【分析】根据表格数据即可求解． 【解答】解：由数据可得，当x＝﹣1或2时，﹣ax2+bx＝﹣2， ∴关于x的一元二次方程﹣ax2+bx+2＝0的解是x1＝﹣1，x2＝2． 故选：B． 【点评】本题考查代数式求值和一元二次方程的解，关键是观察表格，理解代数式﹣ax2+bx值和一元二次方程﹣ax2+bx+2＝0的解的关系． 8．在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx+k与的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据k的取值范围，分别讨论k＞0和k＜0时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案． 【解答】解：①当k＞0时， 一次函数y＝kx+k经过一、二、三象限， 反比例函数的的图象在一、三象限，故C选项的图象符合要求； ②当k＜0时， 一次函数y＝kx+k经过二、三、四象限， 反比例函数的的图象在二、四象限，没有符合条件的选项． 故选：C． 【点评】此题考查反比例函数的图象问题以及一次函数的图象，解答本题的关键要明确：反比例函数与一次函数的k值相同，则两个函数图象必有交点；一次函数与y轴的交点与一次函数的常数项相关． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 9．如果反比例函数y的图象在第一、三象限，那么m的取值范围是m＜2　 ． 【分析】根据反比例函数y的图象在第一、三象限，可知2﹣m＞0，从而可以求得m的取值范围． 【解答】解：∵反比例函数y的图象在第一、三象限， ∴2﹣m＞0， 解得，m＜2， 故答案为：m＜2． 【点评】本题考查反比例函数的性质和图象，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 10．设x1，x2是关于x的方程x2﹣3x﹣5＝0的两个根，则x1+x2＝ 　3　 ． 【分析】直接利用根与系数的关系求解． 【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 11．若A（2m，3）与B（1，m﹣5）是反比例函数y图象上的两个点，则k的值为 　　 ． 【分析】A（2m，3）与B（1，m﹣5）是反比例函数y图象上的两个点，可知2k+1＝2m•3＝1×（m﹣5），故可得出m的值，进而得出k的值． 【解答】解：∵A（2m，3）与B（1，m﹣5）是反比例函数y图象上的两个点， ∴2k+1＝2m•3＝1×（m﹣5）， 解得m＝﹣1， ∴2k+1＝﹣2×3＝﹣6， ∴k 故答案为：． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是关键． 12．关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是 k≥﹣1且k≠0　 ． 【分析】根据一元二次方程定义和一元二次方程根的判别式列不等式组求解即可． 【解答】解：根据题意，得， 解得：k≥﹣1且k≠0， 故答案为：k≥﹣1且k≠0． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件． 13．在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2），C（﹣2，3）均在函数的图象上，且x1＞x2＞0，则y1　＞　 y2（填“＞”“＝”或“＜”）． 【分析】先根据C（﹣2，3）确定k的值，得出函数图象的增减性，即可求解． 【解答】解：由条件可知， ∴k＝﹣6＜0， ∴在每一象限内，y随x的增大而增大， ∵x1＞x2＞0， ∴y1＞y2． 故答案为：＞． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 14．将一元二次方程x2﹣8x＝0配方后变形为（x+a）2＝b，则a的值为　﹣4　 ． 【分析】对原方程移项，利用完全平方公式的特点对其配方． 【解答】解：由题意得，x2﹣8x+16＝0+16， ∴（x﹣4）2＝16， ∴a＝﹣4． 故答案为：﹣4． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的配方法是解答本题的关键． 15．设函数y与y＝x﹣1的图象的交点坐标为（a，b），则的值为 　﹣1　 ． 【分析】把A的坐标代入两函数得出ab＝1，b﹣a＝﹣1，把化成，代入求出即可． 【解答】解：∵函数y与y＝x﹣1的图象的交点坐标为（a，b）， ∴ab＝1，b﹣a＝﹣1， ∴1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解此题的关键是求出ab和b﹣a的值，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目． 16．已知方程x2﹣2026x+1＝0的两个根分别为x1，x2，则的值为　﹣1　 ． 【分析】利用一元二次方程根的定义对进行降次处理，再结合根与系数的关系（韦达定理）对式子进行变形，最后代入化简求值． 【解答】解：由条件可知， ∴． ∵x1，x2是方程x2﹣2026x+1＝0的两根， ∴x1x2＝1， ∴， ∴． ∴ ＝（2026x1﹣1）﹣2026x1 ＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 17．《中秋帖》是晋朝书法家王献之的作品，如图，在一幅长为65cm，宽为30cm的《中秋帖》矩形书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，设金色纸边的宽为xcm，如果要使整个挂图的面积是2450cm2，那么x满足的方程是 　（65+2x）（30+2x）＝2450　 ． 【分析】设金色纸边的宽度为xcm，则挂图的长为（65+2x）cm，宽就为（30+2x）cm，根据整个挂图的面积是2450cm2列出方程即可． 【解答】解：设金色纸边的宽为xcm， 根据题意得：（65+2x）（30+2x）＝2450， 故答案为：（65+2x）（30+2x）＝2450． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，读懂题意，数形结合是正确列方程的关键． 18．如图所示，反比例函数y（x＜0）的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点M，分别与AB，BC交于点D、E，若BD＝4，OA＝6，则k的值为 　﹣8　 ． 【分析】利用矩形的性质可得OC＝AB，由MN∥OC，点M是AC的中点，OA＝6，可得出点M、D的横坐标，再设出OC的长，表示出点D、M的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征，可求出OC的长，进而确定k的值． 【解答】解：过点M作MN⊥OA，垂足为N，则MN∥OC， ∵点M是AC的中点，OA＝6， ∴AN＝ONOA＝3，MNOC， 设OC＝c，则AD＝c﹣4， ∴D（﹣6，c﹣4），M（﹣3，c）， 由点D、M都在反比例函数y（x＜0）的图象上， ∴k＝﹣6×（c﹣4）＝﹣3c， 解得c，k＝﹣8， 故答案为：﹣8． 【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，表示出点D、M的坐标是解决问题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共64分。 19．（8分）解方程： （1）x2+6x﹣7＝0； （2）4x（2x+1）＝3（2x+1）． 【分析】（1）利用因式分解法（十字相乘）求解比较简便； （2）把2x+1看成一个整体，运用因式分解法（提公因式）求解比较简便． 【解答】解：（1）x2+6x﹣7＝0， （x+7）（x﹣1）＝0， ∴x+7＝0或x﹣1＝0． ∴x1＝﹣7，x2＝1； （2）4x（2x+1）＝3（2x+1）， 移项，得4x（2x+1）﹣3（2x+1）＝0， ∴（2x+1）（4x﹣3）＝0． ∴2x+1＝0或4x﹣3＝0． ∴x1，x2． 【点评】本题考查了一元二次方程，掌握一元二次方程的因式分解法是解决本题的关键． 20．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0． （1）求证：无论m取何值，方程总有实数根； （2）若方程的一个实数根是3，求另一个实数根和m的值． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）将x＝3代入求出m的值，再利用因式分解法解方程即可． 【解答】（1）证明：∵Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（m+3）]2﹣4×1×（m+2） ＝m2+6m+9﹣4m﹣8 ＝m2+2m+1 ＝（m+1）2， ∵无论m取何值，（m+1）2≥0，即Δ≥0， ∴无论m取何值，方程总有实数根； （2）解：∵方程的一个实数根是3， ∴32﹣3（m+3）+m+2＝0， 解得：m＝1， ∴一元二次方程x2﹣4x+3＝0， ∴（x﹣1）（x﹣3）＝0， 解得：x1＝1，x2＝3， ∴方程的另一个实数根为1． 【点评】本题考查了根的判别式、因式分解的应用，熟记以上知识点是解题的关键． 21．（8分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象交于A（1，2），B（n，﹣1）两点，与x轴交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）直接写出不等式kx+b的解集． 【分析】（1）根据待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）求出点C坐标得到线段OC长，根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC代入数据计算即可； （3）根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式kx+b的解集． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象交于A（1，2），B（n，﹣1）两点， ∴m＝1×2＝n×（﹣1）， ∴n＝﹣2，m＝2， ∴反比例函数解析式为：y， ∵A（1，2），B（﹣2，﹣1）在一次函数y＝kx+b的图象上， ∴，解得， ∴一次函数解析式为：y＝x+1． （2）在一次函数y＝x+1中，令y＝0，则x＝﹣1， ∴OC＝1， ∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC； （3）根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式kx+b的解集为：﹣2＜x＜0或x＞1． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式． 22．（6分）某超市销售一款薯片，每袋进价5元．当每袋售价为15元时，平均每天能卖出20袋．超市计划降价促销以增加销量，调研发现：每袋价格每降低1元，每天销量会增加4袋． （1）若超市想让利给消费者，且每天销售该薯片的利润达到200元时，每袋薯片应降价多少元？ （2）该超市每天能否通过降低价格实现250元的利润？若能，求出每袋的降价金额；若不能，请说明理由． 【分析】（1）设每袋薯片降价x元，则每袋薯片的销售利润为（15﹣5﹣x）元，平均每天能卖出（20+4x）袋，利用总利润＝每袋的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合超市想让利给消费者，即可确定结论； （2）假设该超市每天能通过降低价格实现250元的利润，设每袋薯片降价y元，则每袋薯片的销售利润为（15﹣5﹣y）元，平均每天能卖出（20+4y）袋，利用总利润＝每袋的销售利润×日销售量，可列出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣100＜0，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即该超市每天不能通过降低价格实现250元的利润． 【解答】解：（1）设每袋薯片降价x元，则每袋薯片的销售利润为（15﹣5﹣x）元，平均每天能卖出（20+4x）袋， 根据题意得：（15﹣5﹣x）（20+4x）＝200， 整理得：x2﹣5x＝0， 解得：x1＝0，x2＝5， ∵超市想让利给消费者， ∴x＝5． 答：每袋薯片应降价5元； （2）该超市每天不能通过降低价格实现250元的利润，理由如下： 假设该超市每天能通过降低价格实现250元的利润，设每袋薯片降价y元，则每袋薯片的销售利润为（15﹣5﹣y）元，平均每天能卖出（20+4y）袋， 根据题意得：（15﹣5﹣y）（20+4y）＝250， 整理得：2y2﹣10y+25＝0， ∵Δ＝（﹣10）2﹣4×2×25＝﹣100＜0， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即该超市每天不能通过降低价格实现250元的利润． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 23．（8分）如图，一次函数y＝﹣2x+b的图象与反比例函数的图象在第二象限交于点A（﹣1，n），与x轴交于点B，已知点B的横坐标为2． （1）求n的值和反比例函数的解析式； （2）点P是反比例函数图象第二象限分支上的一点，且点P在点A下方，当∠POA＝∠BAO时，求点P的坐标． 【分析】（1）先求出B（2，0），再代入一次函数的解析式可得b的值，从而可得一次函数的解析式和点A的坐标，然后代入反比例函数的解析式即可得； （2）分两种情况：①当点P在直线OA下方的反比例函数的图象上时，先证出AB∥OP，从而可得直线OP的解析式为y＝﹣2x，与反比例函数的解析式联立求解即可得；②当点P在直线OA上方的反比例函数的图象上时，证出∠AOC＜∠BAO，∠POA＜∠AOC，从而可得∠POA＜∠BAO，即此时∠POA与∠BAO不可能相等，由此即可得． 【解答】解：（1）由条件可知B（2，0）， 将点B（2，0）代入一次函数y＝﹣2x+b 得：﹣2×2+b＝0，解得b＝4， ∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+4， 由条件可得n＝﹣2×（﹣1）+4＝6， ∴A（﹣1，6）， 将点A（﹣1，6）代入反比例函数， 得：k＝﹣1×6＝﹣6， ∴反比例函数的解析式为． （2）①如图，当点P在直线OA下方的反比例函数的图象上时， 由条件可知AB∥OP， ∴直线OP的解析式为y＝﹣2x， 联立， 解得或（舍去）， ∴此时点P的坐标为． ②如图，当点P在直线OA上方的反比例函数的图象上时， 设直线AB与y轴交于点C， 对于一次函数y＝﹣2x+4， 当x＝0时，y＝4，即C（0，4），OC＝4， 由（1）已得：A（﹣1，6）， ∴， ∴AC＜OC， ∴在△AOC中，∠AOC＜∠BAO， 又∵∠POA＜∠AOC， ∴∠POA＜∠BAO，即此时∠POA与∠BAO不可能相等； 综上，点P的坐标为． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的综合、平行线的判定等知识，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键． 24．（8分）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）下列方程中：①x2＝1；②（x﹣1）（x+2）＝0；③x2﹣2x﹣3＝0，是黄金方程的为　①③　 （填序号）． （2）已知3x2﹣ax+b＝0是关于x的黄金方程，若x＝a是此黄金方程的一个根，求a的值． （3）已知关于x的一元二次方程2x2+bx+c＝0（c≠0）是“黄金方程”，求代数式b2﹣2c+1的最小值． 【分析】（1）根据黄金方程的定义进行求解即可； （2）根据黄金方程的定义得到b＝﹣a﹣3，则原方程为3x2﹣ax﹣a﹣3＝0，再由a是此黄金方程的一个根，得到2a2﹣a﹣3＝0，解方程即可； （3）利用配方法，非负数的性质求解即可． 【解答】解：（1）①x2＝1是黄金方程，理由： ∵x2＝1， ∴x2﹣1＝0， ∴a＝1，b＝0，c＝﹣1 ∴a﹣b+c＝1﹣0﹣1＝0， ∴x2＝1是黄金方程； ②（x﹣1）（x+2）＝0不是黄金方程，理由： ∵（x﹣1）（x+2）＝0， ∴x2+x﹣2＝0， ∴a＝1，b＝1，c＝﹣2， ∴a﹣b+c＝1﹣1﹣2＝﹣2≠0， 故（x﹣1）（x+2）＝0不是黄金方程； ③x2﹣2x﹣3＝0是黄金方程， ∴a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3， ∴a﹣b+c＝1﹣（﹣2）﹣3＝1+2﹣3＝0， ∴x2﹣2x﹣3＝0是黄金方程， 故答案为：①③； （2）由条件可知3+b﹣（﹣a）＝0， ∴b＝﹣a﹣3， ∴原方程为3x2﹣ax﹣a﹣3＝0， ∵a是此黄金方程的一个根， ∴3a2﹣a2﹣a﹣3＝0，即2a2﹣a﹣3＝0， ∴（a+1）（2a﹣3）＝0， 解得a＝﹣1或； （3）由条件可知2﹣b+c＝0， ∴c＝b﹣2， ∴b2﹣2c+1＝b2﹣2（b﹣2）+1＝b2﹣2b+1+4＝（b﹣1）2+4， ∵（b﹣1）2≥0， ∴（b﹣1）2+4≥4， ∴b2﹣2c+1的最小值为4． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程解的定义，解题的关键是理解黄金方程解的定义． 25．（10分）如图，在矩形ABCD中，BC＝24cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止． 已知在相同时间内，若BQ＝xcm（x≠0），则AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm． （1）当x为何值时，以P、N两点重合？ （2）问Q、M两点能重合吗？若Q、M两点能重合，则求出相应的x的值；若Q、M两点不能重合，请说明理由． （3）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形． 【分析】（1）P、N两点重合，即AP+DN＝AD＝BC，联立方程解答即可； （2）当Q、M两点重合时，即BQ+CM＝BC，联立方程解答，进一步利用DN验证即可； （3）把P、N两点分两种情况讨论，点P在点N的左侧或点P在点N的右侧，进一步利用平行四边形的性质联立方程解答即可． 【解答】解：（1）当点P与点N重合时， 由x2+2x＝24，得x1＝4、x2＝﹣6（舍去） 所以x＝4时点P与点N重合． （2）当点Q与点M重合时， 由x+3x＝24，得x＝6 此时DN＝x2＝36≥24，不符合题意． 故点Q与点M不能重合． （3）因为当N点到达A点时，x2＝24， 解得：x＝2， BQ＝2 cm，CM＝6 cm， ∵BQ+CM＝824， ∴此时M点和Q点还未相遇， 所以点Q只能在点M的左侧， ①如图1，当点P在点N的左侧时， 由24﹣（x+3x）＝24﹣（2x+x2）， 解得x1＝0（舍去），x2＝2； 当x＝2时四边形PQMN是平行四边形； ②如图2，当点P在点N的右侧时， 由24﹣（x+3x）＝（2x+x2）﹣24， 解得x1＝﹣3，x2＝﹣3（舍去）； 当x＝﹣3时四边形NQMP是平行四边形； 综上：当x＝2或x＝﹣3时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形． 【点评】此题主要考查借助图形的性质找出数量关系，联立方程解决问题，并渗透分类讨论思想． 26．（10分）如图1，反比例函数与一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象交于点A（2，6），点B（n，2），一次函数y＝kx+b（k≠0）与y轴相交于点C． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接OA，OB，求△OAB的面积； （3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接AE，把线段AE绕点A顺时针旋转90°，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标． 【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式，求出m，再求出点B坐标，最后用待定系数法求出一次函数解析式即可． （2）先求出点C（0，4），可得OC＝4，然后根据S△OAB＝S△BOC﹣S△AOC即可得出答案； （3）先设出点E的坐标，再利用旋转的性质结合全等三角形的性质得出点F的坐标即可解决问题． 【解答】解：（1）将点A坐标代入反比例函数解析式得， m＝2×6＝12， ∴反比例函数解析式为y， 将点B坐标代入反比例函数解析式得， n＝6， ∴点B的坐标为（6，2）． 将点A和点B的坐标代入一次函数解析式得， ， 解得， ∴一次函数解析式为y＝﹣x+8． （2）对于y＝﹣x+8，当x＝0时，y＝8， ∴点C（0，8）， ∴OC＝8， ∴S△OAB＝S△BOC﹣S△AOC16； （3）设点E的坐标为（a，）， 过点A作y轴的平行线l，分别过点E和点F作l的垂线，垂足分别为M和N， 由旋转可知， AE＝AF，∠EAF＝90°， ∴∠EAM+∠MAF＝∠MAF+∠AFN＝90°， ∴∠EAM＝∠AFN． 在△EAM和△AFN中， ∴△EAM≌△AFN（AAS）． ∴FN＝AM，AN＝ME． ∵点A坐标为（2，6），点E坐标为（a，）， ∴FN＝AM＝6，AN＝ME＝a﹣2， ∴点F的坐标为（4，8﹣a）． ∵点F在函数y图象上， ∴（4）（8﹣a）＝12， 解得a1＝2，a2＝12， ∴点E坐标为（12，1）． 【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积，熟知反比例函数及一次函数的图象和性质是解题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 9._______________ 13. ______________ 17. ______________ 10. _______________ 14. ______________ 18. ______________ 11. ________________ 15.________________ 12. ________________ 16. ________________ 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 19.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（6分） 21．（8分） 22．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（8分） 24．（8分） （1） ； 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（10分） 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 口 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ☐ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][V][/] 一、单项选择题： 本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 5.[A]IB][C][D] 6.[A][B][C][D] 7.[A][BJ[C][D] 8.[AJ[B][C][D] 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 9 10. 11. 12 13 14. 15 17. 18. 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 19.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(6分) 21.(8分) 22.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(8分) y A 24.(8分) (1) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(10分) B M 26.(10分) E 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：90分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材苏科版九年级上册第1~2章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．x2+y＝1 C． D．x2+x＝4 2．若点A（﹣2，6）在反比例函数y的图象上，则k的值是（　　） A．﹣12 B．﹣3 C． D．12 3．关于x的一元二次方程x2﹣mx+m＝6的一个解为x＝0，则实数m的值是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 4．新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱．2022年某款新能源汽车销售量为22万辆．销售量逐年增加，2024年预估销售量为28.6万辆．求这款新能源汽车的年平均增长率，可设这款新能源汽车的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的为（　　） A．22（1+x2）＝28.6 B．22（1﹣x）2＝28.6 C．28.6（1﹣x）2＝22 D．22（1+x）2＝28.6 5．已知点A（m，y1），B（﹣m，y2），C（2m，y3）在反比例函数的图象上，若m＞0，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2 6．关于反比例函数，下列说法正确的是（　　） A．该函数图象在一、三象限 B．当x＜0时，y随x增大而减小 C．若A（x1，y1）在该函数图象上，则x1y1＝﹣4 D．若点M（xM，yM）和点N（xN，yN）在该函数图象上，且xM＞xN，则有且仅有yM＞yN 7．已知代数式﹣ax2+bx的取值如下所示，由数据可得，关于x的一元二次方程﹣ax2+bx+2＝0的解是（　　） x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … ﹣ax2+bx … ﹣4 ﹣2 0 0 ﹣2 ﹣4 … A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝﹣1，x2＝2 C．x1＝﹣2，x2＝2 D．x1＝﹣1，x2＝﹣2 8．在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx+k与的图象大致是（　　） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 9．如果反比例函数y的图象在第一、三象限，那么m的取值范围是　 　 ． 10．设x1，x2是关于x的方程x2﹣3x﹣5＝0的两个根，则x1+x2＝ 　 　 ． 11．若A（2m，3）与B（1，m﹣5）是反比例函数y图象上的两个点，则k的值为 　 　 ． 12．关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是 　 　 ． 13．在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2），C（﹣2，3）均在函数的图象上，且x1＞x2＞0，则y1　 　 y2（填“＞”“＝”或“＜”）． 14．将一元二次方程x2﹣8x＝0配方后变形为（x+a）2＝b，则a的值为　 　 ． 15．设函数y与y＝x﹣1的图象的交点坐标为（a，b），则的值为 　 　 ． 16．已知方程x2﹣2026x+1＝0的两个根分别为x1，x2，则的值为　 　 ． 17．《中秋帖》是晋朝书法家王献之的作品，如图，在一幅长为65cm，宽为30cm的《中秋帖》矩形书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，设金色纸边的宽为xcm，如果要使整个挂图的面积是2450cm2，那么x满足的方程是 　 　 ． 18．如图所示，反比例函数y（x＜0）的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点M，分别与AB，BC交于点D、E，若BD＝4，OA＝6，则k的值为 　 　 ． 三、解答题：本题共8小题，共64分。 19．（8分）解方程： （1）x2+6x﹣7＝0； （2）4x（2x+1）＝3（2x+1）． 20．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0． （1）求证：无论m取何值，方程总有实数根； （2）若方程的一个实数根是3，求另一个实数根和m的值． 21．（8分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象交于A（1，2），B（n，﹣1）两点，与x轴交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）直接写出不等式kx+b的解集． 22．（6分）某超市销售一款薯片，每袋进价5元．当每袋售价为15元时，平均每天能卖出20袋．超市计划降价促销以增加销量，调研发现：每袋价格每降低1元，每天销量会增加4袋． （1）若超市想让利给消费者，且每天销售该薯片的利润达到200元时，每袋薯片应降价多少元？ （2）该超市每天能否通过降低价格实现250元的利润？若能，求出每袋的降价金额；若不能，请说明理由． 23．（8分）如图，一次函数y＝﹣2x+b的图象与反比例函数的图象在第二象限交于点A（﹣1，n），与x轴交于点B，已知点B的横坐标为2． （1）求n的值和反比例函数的解析式； （2）点P是反比例函数图象第二象限分支上的一点，且点P在点A下方，当∠POA＝∠BAO时，求点P的坐标． 24．（8分）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）下列方程中：①x2＝1；②（x﹣1）（x+2）＝0；③x2﹣2x﹣3＝0，是黄金方程的为　 　 （填序号）． （2）已知3x2﹣ax+b＝0是关于x的黄金方程，若x＝a是此黄金方程的一个根，求a的值． （3）已知关于x的一元二次方程2x2+bx+c＝0（c≠0）是“黄金方程”，求代数式b2﹣2c+1的最小值． 25．（10分）如图，在矩形ABCD中，BC＝24cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止． 已知在相同时间内，若BQ＝xcm（x≠0），则AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm． （1）当x为何值时，以P、N两点重合？ （2）问Q、M两点能重合吗？若Q、M两点能重合，则求出相应的x的值；若Q、M两点不能重合，请说明理由． （3）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形． 26．（10分）如图1，反比例函数与一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象交于点A（2，6），点B（n，2），一次函数y＝kx+b（k≠0）与y轴相交于点C． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接OA，OB，求△OAB的面积； （3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接AE，把线段AE绕点A顺时针旋转90°，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $