2.4.2用一元二次方程解决问题 （平均变化率与利用勾股定理解决问题） 同步练习 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦平均变化率与勾股定理，通过基础巩固、中档综合到高阶应用的三层设计，实现从单一知识点到复杂情境的递进，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|平均变化率公式直接应用、勾股定理基本计算|单选题1-4、填空题5-8，考查概念理解，培养抽象能力| |中档|几何图形翻折/展开与勾股定理结合、变化率两步计算|填空题9-10、解答题11-12，情境稍复杂，发展几何直观| |综合|动点问题、实际应用中的方程与勾股定理综合|解答题13-16，多步骤推理，强化模型意识与运算能力|

2.4.2平均变化率与利用勾股定理解决问题 一、单选题 1．模型的能力与其训练数据量密切相关．假设在某研发阶段，模型的初始训练数据量为325万亿个标记．研发团队通过两次数据扩容，使最终的训练数据量达到468万亿个标记，求这两次数据扩容的平均增长率（     ） A． B． C． D． 2．某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 3．一个直角三角形的一条直角边长为6,斜边长比另一条直角边长大2,则斜边长为(    ) A．4 B．6 C．8 D．10 4．“立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆人次，前三个月累计进馆人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．近年来国家有关部门出台一系列新政策鼓励消费者购买新能源汽车，新能源汽车销量连续增长．某新能源汽车今年3月份销售量为1万台，5月份销售量为1.21万台，则该新能源汽车月平均增长率为______． 6．《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽：有竿不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的竿长是______尺． 7．一个直角三角形，斜边长为4cm，两条直角边的长相差4cm，求这个直角三角形的两条直角边的长，可设较长直角边为xcm，根据题意可列方程___________________． 8．有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染了______个人． 9．如图，点E在矩形的边上，将沿翻折，点A恰好落在边上的点F处，若，，则的长为_________．    10．如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为___________． 三、解答题 11．某商场在国庆期间将单价200元的某种商品经过两次降价后，以128元的价格出售． (1)求平均每次降价的百分率； (2)售货员向经理建议：先公布降价，再下调，这样更有吸引力，请问售货员的方案对顾客是否更优惠？为什么？ 12．为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．年这种药剂价格为元，年该药剂价格为元． (1)求年到年这种药剂价格的年平均下降率； (2)该制药厂计划年对此药剂继续降价，药剂价格的下降率与年到年的平均下降率相同，求该药剂在年的价格． 13．如图，海关缉私人员驾艇在C处发现正北方向的A处有一艘可疑船只，并测得它正以的速度向正东方向航行，缉私艇随即以的速度在B处将可疑船只拦截．缉私艇从C到B需要航行多少时间？ 14．中，，点P从点A开始沿边向终点B以1的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以2的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空______， ______（用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 15．如图，一轮船以40km/h的速度由西向东航行，在途中点C处接到台风警报，台风中心点B正以20km/h的速度由南向北移动．已知距台风中心200km的区域（包括边界）都属于受台风影响区．当轮船接到台风警报时，测得BC＝500km，BA＝300km．（假定轮船不改变航向）． （1）如果这艘轮船不改变航向，经过11小时，轮船与台风中心相距多远？此时，轮船是否受到台风影响； （2）如果这艘轮船受到台风影响，请求出轮船受到台风影响一共经历了多少小时． 16．小明和同桌小聪在课后复习时，对课本“目标与评定”中的一道思考题，进行了认真的探索． 【思考题】如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？ （1）请你将小明对“思考题”的解答补充完整： 解：设点B将向外移动x米，即BB1=x， 则B1C=x+0.7，A1C=AC﹣AA1= 而A1B1=2.5，在Rt△A1B1C中，由得方程          ， 解方程得x1= ，x2= ， ∴点B将向外移动 米． （2）解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题： 【问题一】在“思考题”中，将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？ 【问题二】在“思考题”中，梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？ 请你解答小聪提出的这两个问题． 第1页 第1页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【详解】解：设两次数据扩容的平均增长率为， 由题意得， 整理得， ∵， ∴， 解得， ∴这两次数据扩容的平均增长率为． 2．A 【详解】解：∵商品原价为289元，平均每次降价的百分率为， ∴第一次降价后的售价为元， ∵第二次降价以第一次降价后的售价为基数， ∴两次降价后的售价为元， ∵ 两次降价后售价为256元， ∴可列方程． 3．D 【详解】解：另一条直角边为a，则斜边为（a+2）．∵另一直角边长为6，∴（a+2）2=a2+62，解得：a=8，∴a+2=8+2=10．故选D． 4．D 【详解】解：设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程为， 故选D． 5． 【详解】解：设该新能源汽车月平均增长率为． 根据题意列方程得：， 解得：，， 因为增长率不能为负，不合题意，舍去． ∴该新能源汽车月平均增长率为． 6．10 【详解】解：设竿长为尺，则门宽为尺，门高尺，门对角线是尺，根据勾股定理可得： ， 整理得：， 解得（舍去）或． 则竿长是10尺， 故答案为：10． 7． 【详解】解：设较长直角边为cm，则较短直角边为cm， 根据题意得： 故答案为： 8．10 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 故答案为：10． 9．15 【详解】解：， 设，则， 四边形为矩形， ，，， ， 由翻折的性质可知，，， ， ，整理的，解得（舍去），， ，， ， ， ，即， 解得， 故答案为：． 10．/ 【详解】解：如图，设，则， 则在直角三角形中，由勾股定理可得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴正方体的棱长为cm， 故答案为：． 11．(1) (2)售货员的方案对顾客更优惠，因为按此方案降价后价格为元，低于元 【详解】（1）解：设平均每次降价的百分率是， 根据题意列方程得，， 解得：（不合题意，舍去）； 答：平均每次下调的百分率为． （2）售货员的方案对顾客更优惠； ∴售货员的方案对顾客更优惠． 12．(1)年到年这种药剂价格的年平均下降率为 (2)该药剂在年的价格为元 【详解】（1）解：设年到年这种药剂价格的年平均下降率为， 解得 ，（不符合题意，舍去） ． 答：年到年这种药剂价格的年平均下降率为． （2）解：（元） 答：该药剂在年的价格为元． 13．缉私艇从C航行到B需航行 【详解】解：设缉私艇从C航行到B需航行，则， ；由题意得：； 即：； 解得：（不合题意，舍去） 答：缉私艇从C航行到B需航行． 14．(1) (2)或时，的长度等于 (3)存在， 【详解】（1）解：由题意得， ，， ， 故答案为：； （2）， ∴是直角三角形， 根据勾股定理得：， 即：， 解得：，， 或时，的长度等于； （3）由题意得：， 即， 解得：，， 当点Q运动到点C时，两点停止运动， 即， 解得， 时，的面积等于． 15．（1）40 km，轮船受到台风影响；（2）轮船受到台风影响一共8小时． 【详解】解：（1）∵CB＝500km，AB＝300km， ∴AC＝＝400（km）， ＝40（km）， ∵40＜200， ∴此时，轮船受到台风影响； （2）设轮船受到台风影响时间为t， 由题意得：（400﹣40t）2+（300﹣20t）2＝2002， 解得：t1＝7，t2＝15， 轮船受到台风影响时间：15﹣7＝8（小时）， 答：轮船受到台风影响一共8小时． 16．（1）；0.8，﹣2.2（舍去）；0.8． （2）①不会是0.9米，理由如下： 若AA1=BB1=0.9，则A1C=2.4﹣0.9=1.5，B1C=0.7+0.9=1.6，1.52+1.62=4.81，2.52=6.25， ∵，∴该题的答案不会是0.9米． ②有可能．理由如下： 设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米， 则有，解得：x=1.7或x=0（舍去）． ∴当梯子顶端从A处下滑1.7米时，点B向外也移动1.7米，即梯子顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $