1.3 一元二次方程的根与系数的关系【分层作业】- 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 本同步练习以“双减分层·核心素养”为导向，通过前置梳理-基础应用-综合拓展-中考衔接的四阶分层设计，构建从概念理解到创新应用的知识巩固路径，适配新授课差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |知识梳理|一元二次方程概念、判别式、韦达定理|填空夯实基础，培养抽象能力| |基础巩固|直接应用韦达定理求根和积、已知一根求参数|单一知识点题型，强化运算能力| |综合提升|代数式求值（平方和、分式）、参数求解|多知识点综合，发展推理能力| |拓展探究|根的倍数关系证明、含根式根构造|探究性问题，提升创新意识| |中考链接|中考真题演练|对接考试，强化应用意识|

1.3 一元二次方程的根与系数的关系【分层作业】 2026—2027学年苏科版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础巩固 2 【题型1】直接利用韦达定理求两根和、两根积 2 【题型2】先整理方程再运用韦达定理 4 【题型3】已知一根，求另一根及参数 2 【题型4】已知两根关系构造一元二次方程 4 【题型5】判断根的情况并求根与系数关系 6 三.综合提升 8 【题型1】利用韦达定理求平方和代数式的值 8 【题型2】利用韦达定理求分式代数式的值 8 【题型3】利用根的特殊性质求参数 13 四.拓展探究 16 【题型1】根的倍数关系证明题 19 【题型2】含根式根的方程构造与求值 19 五.中考链接 23 六.自我评价 29 一.知识梳理（前置作业） 请完成下列填空 请根据教材内容完成以下知识填空，掌握本节核心考点： 1. 一元二次方程的一般形式：________________________（）。 2. 根的判别式：________________。 （1），方程有________________实数根； （2），方程有________________实数根； （3），方程________________实数根。 3. 韦达定理（根与系数的关系）： 若一元二次方程的两个实数根为，且，则： ____________，____________。 4. 简易形式：若方程为，则________，________。 5. 已知两根，可构造一元二次方程：________________________。 【参考答案】 1. 2. ；（1）两个不相等的；（2）两个相等的；（3）没有 3. ； 4. ； 5. 二.基础巩固 【题型1】直接利用韦达定理求两根和、两根积 1．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）若一元二次方程的两个根为，，则的值是________． 【答案】 解：一元二次方程的两个根为，， ． 2．（26-27九年级上·全国·单元复习）若方程的两根为，则的值为（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系直接计算两根之积即可. 解：∵方程中，，， ∴由根与系数的关系得. 3．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）若是方程 的两个根，则 的值为（     ） A． B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】先对所求代数式变形，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入计算即可． 解：∵，是方程 的两个根， ∴，． 整理所求代数式得：， ∴原式． 4．（25-26八年级下·陕西西安·期末）已知是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据根与系数关系得到，再利用整体代入计算即可． 解：∵是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴ 【题型2】已知一根，求另一根及参数 1．（24-25九年级上·宁夏银川·阶段检测）已知关于x的方程，若是方程的一个根，求m的值及方程的另一个根． 【答案】m的值为10，方程的另一个根为 【分析】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系，若是一元二次方程的两个根，则；根据根与系数的关系求解即可． 解：设方程的另一个根为， 关于x的方程，是方程的一个根， ， ， m的值为10，方程的另一个根为． 2．（25-26九年级上·江西宜春·期末）已知关于x的一元二次方程有一个根是1，则另一个根是（） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查根与系数的关系，掌握两根之积等于是解题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系，直接由两根之积求另一个根. 解：∵方程的一个根是1，设另一个根为， ∴由根与系数的关系，两根之积为， ∴，即另一个根是． 故选：A． 3．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知一元二次方程的一个根为，则另一个根为________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程两根之和的关系，结合已知的一个根即可求出另一个根． 解：由题意可知，一元二次方程中，，， 根据根与系数的关系，可得， ∵， ∴，即方程的另一个根为． 4．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段检测）关于x的一元二次方程有一个根是，求b的值及方程的另一个根． 【答案】，方程的另一个根为5 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系； 根据一元二次方程解的定义把代入即可求出b的值，根据一元二次方程根与系数的关系可求出方程的另一个根． 解：把代入得：， 解得：， 设方程另一根为， 由根与系数的关系可得， ∴，即方程的另一个根为5． 【题型3】已知两根关系构造一元二次方程 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如果关于x的一元二次方程的两根分别为，，那么这个一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据根与系数的关系，直接代入计算即可． 解：∵关于x的一元二次方程的两根分别为，， ∴3＋1＝−p，3×1＝q， ∴p＝−4，q＝3， 所以这个一元二次方程是， 故选：A． 【点拨】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的字母表达式，并会代入计算． 2．（23-24九年级上·江苏·期中）若一个一元二次方程的两根分别是方程两根的相反数，则这个一元二次方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系，设方程的两根分别为和，根据根与系数的关系得，，再分别计算和的值，然后根据根与系数的关系写出新方程． 解：设方程的两根分别为和， 根据题意得，， 因为， ， 所以所求的新方程为． 故选：C． 3．（24-25八年级下·江苏南通·阶段检测）若一个一元二次方程的两个根分别为2和，请写出一个符合条件的方程______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】先计算两根的和与积，再根据根与系数的关系写出符合条件的一元二次方程； 解：设一元二次方程为，设两根分别为，， ∵，， 令，可得，，因此符合条件的一元二次方程可为（答案不唯一）； 4．（24-25九年级下·山东烟台·期末）在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为；小颖看错了常数项，得到的解为．请你写出正确的一元二次方程______． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 由小明看错了一次项系数b，利用两根之积等于 ，可求出c值，由小颖看错了常数项c，利用两根之和等于，可求出b值，进而可得出正确的一元二次方程． 解：小明看错了一次项系数，得到的解为； ； 小颖看错了常数项，得到的解为． ， ． 正确的一元二次方程为． 故答案为：． 三.综合提升 【题型1】利用一元二次方程根与系数关系求对称代数式的值 1．（24-25九年级上·湖南株洲·阶段检测）设α，β 是方程的两根，不解方程，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，． （1）根据根与系数的关系得到：，，则，代入计算即可； （2）将、代入计算即可． （1）解：∵α，β 是方程的两根， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴． 2．（2026·四川内江·二模）设m、n是方程的两实数根，则＝_____． 【答案】7 【分析】根据m、n是方程的两实数根，得到，，变形得，整体代入即可． 解：方程可化为， ∵m、n是方程的两实数根， ∴，， ∴． 3．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）若，是一元二次方程的两个根，求下列代数式的值． （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握根与系数的关系，灵活运用完全平方公式以及分式加法法则是解题的关键． 利用根与系数的关系可得的值； （1）将所求式子先通分，然后代入的值进行计算即可； （2）将所求式子化为，然后代入的值进行计算即可； （3）将所求式子化为，然后代入的值进行计算即可； （4）将所求式子化为，然后代入的值进行计算即可． （1）解：，是一元二次方程的两个根， ， ； （2）解：，是一元二次方程的两个根， ， ； （3）解：，是一元二次方程的两个根， ， ； （4）解：，是一元二次方程的两个根， ， ． 4．（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）设，为方程的两根，试求下列各式的值； （1） （2） （3） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）先根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积的值，再将所求代数式通分后代值计算即可． （2）将所求代数式通分后代值计算即可． （3）先对所求式子平方，结合第二问结果计算后再开方得到最终结果． （1）解：∵是方程的两根， ∴， ∴． （2）解： ． （3）解：∵， ， ∴ ， ． 【题型2】利用一元二次方程的根与根与系数关系求代数式的值 1．（25-26九年级上·天津·开学考试）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ）． A．2024 B．4 C．2022 D．0 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系． 根据一元二次方程根与系数关系，得到和的值，将代入方程可得，计算的值即可． 解：，， 将代入方程可得， ． 故选：B． 2．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段检测）已知，是方程的两根，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系，根据方程的解的定义可得，根据一元二次方程根与系数的关系可得，代入代数式，即可求解． 解：∵，是方程的两根， ∴，即， 根据一元二次方程根与系数的关系可得， ∴ ， 故选：C． 3．（26-27九年级上·山东滨州·开学考试）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为_________． 【答案】 【分析】先利用一元二次方程根的定义得到的表达式，再结合根与系数的关系：是一元二次方程的两个根，则，代入化简后的代数式计算即可． 解： ∵是一元二次方程的根， ∴， 整理得， ∵，是一元二次方程的两个根， ∴根据根与系数的关系可得，， 将代入所求代数式得： 原式． 4．（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）已知是方程的两个实数根，则代数式的值是___________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次化简，再结合根与系数的关系计算求值． 解：，是方程的两个实数根， ，，， ，， ． 【题型3】利用两根的关系求参数 1．（2026·山东济南·一模）若关于的方程的两根互为相反数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的可能取值，再根据方程有两个实根要求判别式非负，筛选出符合条件的的值即可． 解：设方程两根为，， ∵方程两根互为相反数， ∴， 对于一元二次方程，由根与系数的关系得：， ∴， 解得：，即， ∵要使方程有两个实根， ∴判别式，即， 代入得：， ∴，即， ∵，， ∴． 2．（24-25九年级上·河北保定·期末）已知方程的两个实数根满足，则实数k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数关系即韦达定理，两根之和是，两根之积是．同时考查代数式的变形．由根与系数关系可得：，；而与可用关系式联系起来． 解：方程的两个实数根为，； 则，． ，， ， ， 即， ， ， 解得或． 故选：A． 3．（25-26八年级下·福建厦门·期末）设关于的方程的两个实数根分别为，若，那么实数的值是___________． 【答案】 【分析】由根与系数的关系得到，则可得到方程，解方程即可得到答案． 解：∵关于的方程的两个实数根分别为， ∴， ∴， ∴， 此时，故符合题意． 4．（25-26八年级下·北京·期末）已知，是关于x的方程的两个根，满足，则m的值是________． 【答案】 【分析】将给定等式展开后代入计算得到的值，再验证方程存在两个实根，即可得到最终结果． 解：∵，是方程的两个根 ， ∴由一元二次方程根与系数的关系得 ，， ∵， ∴， ∴， 将，代入上式得， 解得， 此时方程的判别式，满足方程有两个根的条件， 因此的值为． 四.拓展探究 【题型1】根的倍数关系证明题 1．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）关于x的一元二次方程． （1）证明：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两根为且满足，求m的值． 【答案】（1）证明：∵ ∴不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2） 【分析】（1）表示出根的判别式，判断其正负即可作出判断； （2）利用根与系数的关系表示出两根之积与两根之和，已知等式变形代入代入计算即可求出m的值． 解：（1）略 （2）∵方程的两根为 ∴, ∵ ∴ 解得： 【点拨】此题考查了根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 2．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】（1）证明：已知一元二次方程为， 可得，，， ∴， ， ，即， 方程总有两个不相等的实数根． （2） 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式计算，通过判断证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根之和，联立已知条件求出两根，再根据两根之积得到关于的方程，求解即可得到的值． 解：（1）略 （2）解：方程的两个实数根为，，由根与系数的关系得：，， 又， 可得方程组， 解得， 将，代入，得，即， 解得． 3．（25-26八年级下·北京房山·期末）已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根互为相反数，求的值． 【答案】（1）证明：对于一元二次方程根的判别式 展开化简得 ∵任意实数的平方为非负数 ∴，即 ∴该方程总有两个实数根． （2） 【分析】（1）通过计算一元二次方程的根的判别式，证明判别式恒大于等于，即可证明方程总有两个实数根； （2）利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和，结合互为相反数的两数和为，列方程求解即可得到的值． 解：（1）略 （2）解：设方程的两个实数根为 由一元二次方程根与系数的关系可得 ∵两个实数根互为相反数 ∴，即 解得． 4．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知关于的一元二次方程． （1）求证：一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）若，是关于的一元二次方程的两个实数根，试说明． 【答案】（1）证明：将一元二次方程化为一般式：， ∵，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）证明：∵，是方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得 ，， 展开得：， 代入和的值：， ∵， ∴，即． 【分析】（1）将原方程化为一般式，表示出方程的判别式，即可证明； （2）根据根与系数的关系可得，，将展开，再代入和的值，即可证明． 解：（1）略 （2）略 【题型2】根与系数关系综合探究压轴 1．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）我们在探究一元二次方程根与系数关系中发现： 关于的一元二次方程的两个根是，，那么可推出，．请运用这一结论，解决下列问题： 【问题提出】 （1）若，是方程的两根，则 ， ， ； 【问题探究】 （2）如果关于的一元二次方程的两个根是，，那么关于的一元二次方程是否有实数根，如果有实数根，请求出方程的解，如果没有，请说明理由； 【问题解决】 （3）若关于的方程的两根之和是，两根之积是，请求出关于的方程的两根之积的值（用字母，表示）． 【答案】（1），，；（2）有实数根，方程的解为，；（3） 【分析】（1）利用题干给出的一元二次方程根与系数关系求解即可； （2）设，则关于的方程可化为，再利用题干给出的一元二次方程根与系数关系求解即可； （3）设原方程两根为，得到，设关于的方程两根为，令，得到，进而进行求解即可． （1）解：∵，是方程的两根，，，． ∴根据根与系数关系，得 ∴； （2）解：设，则关于的方程可化为， ∵方程两根为， ∴， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴该方程有实数根，根为，． （3）解：设原方程两根为， 由题意，得， 设关于的方程两根为，令， 变形得，则 两根之积： ∴两根之积为． 2．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）阅读材料：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则 x1+x2＝______，x1•x2＝________． （2）类比应用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根分别为m、n，求的值． （3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求的值． 【答案】（1），；（2）；（3）﹣3． 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得m+n＝，mn＝ ，再根据完全平方公式求出m2+n2，进一步即可求出分式的值； （3）根据题意可得s+t＝，st＝，进一步即可求出分式的值． （1）解：（1）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2， ∴x1+x2＝，x1•x2＝， 故答案为：，； （2）（2）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根分别为m、n， ∴m+n＝，mn＝， ∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝， ∴ ； （3）∵实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t， ∴s， t可以看成是方程的两个实数根， ∴s+t＝，st＝， ∴ 【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，涉及完全平方公式，分式的加法等，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 3．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）在数学研究课上，小明发现了一个有趣的现象：有些看似和一元二次方程不沾边的问题，只要巧妙构造一元二次方程，利用根与系数的关系就能轻松解决．他随即抛出了两个问题，邀请同学们一起探究． （1）若实数，满足，，求的值； （2）若实数，满足，，且，求的取值范围． 【答案】（1）23或2；（2） 【分析】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系、根的判别式． （1）根据根与系数的关系进行解答即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系和根的判别式进行解答即可． 解：（1）、满足， ①当时，原式； ②当时，、可看作是方程的两个不相等的实数根， ，， ． 或2． （2）将方程两边同乘以2得：， 实数，满足：，且， 、是一元二次方程的两个不相等的实数根， ，，， 又，是方程的两个不相等的实数根， 方程根的判别式，解得， ， ． 4．（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）回归课本，定理证明及应用 我们在学一元二次方程的时候，探究总结了一元二次方程的根与系数关系，也就是我们常常说的伟大的韦达定理． 具体为：如果一元二次方程（）有两个不相等的实数根，则 （1）请你证明韦达定理： 证明：∵一元二次方程（）有两个不相等的实数根， ∴该一元二次方程（）的 ∴根据一元二次方程的求根公式，即：______（填写此空，并重新写出完整的推理证明过程） （2）应用：已知a、b满足，且，则______． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了一元二次方程求根公式及根与系数关系，分式的化简，完全平方公式，代数式求值，掌握求根公式是求解的关键． （1）利用一元二次方程的求根公式和根与系数的关系解答即可； （2）先将a、b看作方程的两个不相等的实数根，再利用一元二次方程的根与系数得到，继而进行分式的化简，最后代入求值即可． 解：（1）证明：∵一元二次方程（）有两个不相等的实数根， ∴该一元二次方程（）的 ∴根据一元二次方程的求根公式，即：， ∴， 则 ， ． 故答案为：． （2）∵a、b满足，且， ∴a、b看作方程的两个不相等的实数根， ∴， 则． 故答案为：． 五.中考链接 一、单选题 1．（2025·广西·中考真题）已知是方程的两个实数根，则（   ） A． B． C．20 D．25 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系解答即可． 解：∵是方程的两个实数根， ∴． 故选：C 2．（2024·山东日照·中考真题）已知，实数是关于x的方程的两个根，若，则k的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此得到，再由得到，据此可得答案． 解：是关于x的一元二次方程的两个根， ． ， ， ∴ ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 故选：B． 3．（2025·山东东营·中考真题）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．0 B．25 C．26 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系得出，，将，代入变形后的式子求解即可． 解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：C． 二、填空题 4．（2025·四川泸州·中考真题）若一元二次方程的两根为，则的值为____________． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 先根据题意得到，，则将变形为，即可求解． 解：∵一元二次方程的两根为， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：10． 5．（2025·四川眉山·中考真题）已知方程的两根分别为，，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查根与系数之间的关系，熟练掌握根与系数之间的关系，是解题的关键．根据根与系数之间的关系，得到，将代数式用多项式乘以多项式的法则展开后，利用整体代入法进行求解即可． 解：由题意，得：， ∴ ； 故答案为：． 三、解答题 6．（2026·四川南充·中考真题）已知关于x的一元二次方程 （1）求证：无论m为何值，方程总有实数根； （2）若，是方程的两个实数根，且，求m的值． 【答案】（1）证明：关于的一元二次方程， ∴，，， ∴， ∵，即， ∴不论为何值，方程总有实数根； （2）或． 【分析】（1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定即可得到答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，整体代入得到求解即可得到答案． 解：（1）略 （2）解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴，整理，得，解得，， ∴m的值为或． 【点拨】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键． 7．（2024·四川内江·中考真题）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． （1）填空：________，________； （2）求，； （3）已知，求的值． 【答案】（1），；（2），；（3）． 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． （）利用根和系数的关系即可求解； （）变形为，再把根和系数的关系代入计算即可求解，由一元二次方程根的定义可得，即得，进而可得； （）把方程变形为，再把根和系数的关系代入得，可得或，再根据根的判别式进行判断即可求解． （1）解：由根与系数的关系得，，， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴， ∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和， ∴， ∴， ∴； （3）解：由根与系数的关系得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴一元二次方程为或， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴． 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 巩固性作业 □顺利 □有困难 拓展性作业 □顺利 □有困难 探究性作业 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 一元二次方程的根与系数的关系【分层作业】 2026—2027学年苏科版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础巩固 2 【题型1】直接利用韦达定理求两根和、两根积 2 【题型2】先整理方程再运用韦达定理 3 【题型3】已知一根，求另一根及参数 2 【题型4】已知两根关系构造一元二次方程 3 【题型5】判断根的情况并求根与系数关系 3 三.综合提升 4 【题型1】利用韦达定理求平方和代数式的值 4 【题型2】利用韦达定理求分式代数式的值 4 【题型3】利用根的特殊性质求参数 5 四.拓展探究 5 【题型1】根的倍数关系证明题 6 【题型2】含根式根的方程构造与求值 6 五.中考链接 6 六.自我评价 8 一.知识梳理（前置作业） 请完成下列填空 请根据教材内容完成以下知识填空，掌握本节核心考点： 1. 一元二次方程的一般形式：________________________（）。 2. 根的判别式：________________。 （1），方程有________________实数根； （2），方程有________________实数根； （3），方程________________实数根。 3. 韦达定理（根与系数的关系）： 若一元二次方程的两个实数根为，且，则： ____________，____________。 4. 简易形式：若方程为，则________，________。 5. 已知两根，可构造一元二次方程：________________________。 二.基础巩固 【题型1】直接利用韦达定理求两根和、两根积 1．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）若一元二次方程的两个根为，，则的值是________． 2．（26-27九年级上·全国·单元复习）若方程的两根为，则的值为（     ） A． B．2 C． D．4 3．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）若是方程 的两个根，则 的值为（     ） A． B． C．1 D．0 4．（25-26八年级下·陕西西安·期末）已知是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为__________． 【题型2】已知一根，求另一根及参数 1．（24-25九年级上·宁夏银川·阶段检测）已知关于x的方程，若是方程的一个根，求m的值及方程的另一个根． 2．（25-26九年级上·江西宜春·期末）已知关于x的一元二次方程有一个根是1，则另一个根是（） A． B． C．1 D．2 3．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知一元二次方程的一个根为，则另一个根为________． 4．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段检测）关于x的一元二次方程有一个根是，求b的值及方程的另一个根． 【题型3】已知两根关系构造一元二次方程 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如果关于x的一元二次方程的两根分别为，，那么这个一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏·期中）若一个一元二次方程的两根分别是方程两根的相反数，则这个一元二次方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·江苏南通·阶段检测）若一个一元二次方程的两个根分别为2和，请写出一个符合条件的方程______． 4．（24-25九年级下·山东烟台·期末）在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为；小颖看错了常数项，得到的解为．请你写出正确的一元二次方程______． 三.综合提升 【题型1】利用一元二次方程根与系数关系求对称代数式的值 1．（24-25九年级上·湖南株洲·阶段检测）设α，β 是方程的两根，不解方程，求下列各式的值： （1）； （2）． 2．（2026·四川内江·二模）设m、n是方程的两实数根，则＝_____． 3．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）若，是一元二次方程的两个根，求下列代数式的值． （1）； （2）； （3）； （4）． 4．（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）设，为方程的两根，试求下列各式的值； （1） （2） （3） 【题型2】利用一元二次方程的根与根与系数关系求代数式的值 1．（25-26九年级上·天津·开学考试）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ）． A．2024 B．4 C．2022 D．0 2．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段检测）已知，是方程的两根，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·山东滨州·开学考试）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为_________． 4．（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）已知是方程的两个实数根，则代数式的值是___________． 【题型3】利用两根的关系求参数 1．（2026·山东济南·一模）若关于的方程的两根互为相反数，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河北保定·期末）已知方程的两个实数根满足，则实数k的值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·福建厦门·期末）设关于的方程的两个实数根分别为，若，那么实数的值是___________． 4．（25-26八年级下·北京·期末）已知，是关于x的方程的两个根，满足，则m的值是________． 四.拓展探究 【题型1】根的倍数关系证明题 1．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）关于x的一元二次方程． （1）证明：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两根为且满足，求m的值． 2．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 3．（25-26八年级下·北京房山·期末）已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根互为相反数，求的值． 4．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知关于的一元二次方程． （1）求证：一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）若，是关于的一元二次方程的两个实数根，试说明． 【题型2】根与系数关系综合探究压轴 1．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）我们在探究一元二次方程根与系数关系中发现： 关于的一元二次方程的两个根是，，那么可推出，．请运用这一结论，解决下列问题： 【问题提出】 （1）若，是方程的两根，则 ， ， ； 【问题探究】 （2）如果关于的一元二次方程的两个根是，，那么关于的一元二次方程是否有实数根，如果有实数根，请求出方程的解，如果没有，请说明理由； 【问题解决】 （3）若关于的方程的两根之和是，两根之积是，请求出关于的方程的两根之积的值（用字母，表示）． 2．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）阅读材料：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则 x1+x2＝______，x1•x2＝________． （2）类比应用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根分别为m、n，求的值． （3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求的值． 3．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）在数学研究课上，小明发现了一个有趣的现象：有些看似和一元二次方程不沾边的问题，只要巧妙构造一元二次方程，利用根与系数的关系就能轻松解决．他随即抛出了两个问题，邀请同学们一起探究． （1）若实数，满足，，求的值； （2）若实数，满足，，且，求的取值范围． 4．（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）回归课本，定理证明及应用 我们在学一元二次方程的时候，探究总结了一元二次方程的根与系数关系，也就是我们常常说的伟大的韦达定理． 具体为：如果一元二次方程（）有两个不相等的实数根，则 （1）请你证明韦达定理： 证明：∵一元二次方程（）有两个不相等的实数根， ∴该一元二次方程（）的 ∴根据一元二次方程的求根公式，即：______（填写此空，并重新写出完整的推理证明过程） （2）应用：已知a、b满足，且，则______． 五.中考链接 一、单选题 1．（2025·广西·中考真题）已知是方程的两个实数根，则（   ） A． B． C．20 D．25 2．（2024·山东日照·中考真题）已知，实数是关于x的方程的两个根，若，则k的值为（    ） A．1 B． C． D． 3．（2025·山东东营·中考真题）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．0 B．25 C．26 D． 二、填空题 4．（2025·四川泸州·中考真题）若一元二次方程的两根为，则的值为____________． 5．（2025·四川眉山·中考真题）已知方程的两根分别为，，则的值为________． 三、解答题 6．（2026·四川南充·中考真题）已知关于x的一元二次方程 （1）求证：无论m为何值，方程总有实数根； （2）若，是方程的两个实数根，且，求m的值． 7．（2024·四川内江·中考真题）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． （1）填空：________，________； （2）求，； （3）已知，求的值． 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 巩固性作业 □顺利 □有困难 拓展性作业 □顺利 □有困难 探究性作业 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $