吉林长春市2026-2027学年九年级上学期学情自测数学试题

**基本信息** 九年级（五四制）开学数学试卷，通过基础题（如绝对值、科学记数法）与综合题（动态几何、函数应用）结合，考查数学抽象、几何直观与模型意识，适配开学学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|绝对值、三视图、几何证明|基础概念与空间观念结合| |填空题|6/18|因式分解、反比例函数、尺规作图|运算能力与几何直观并重| |解答题|10/78|动态几何（23题）、二次函数综合（24题）、统计分析（20题）|以机器人行走（21题）、地铁速度（16题）为情境，通过动态探究与实际应用考查推理能力与数据意识|

九年级开学考试（数学）答题卡（五四制） 2025—2026学年第二学期 姓名:_____________班级：__________ 条 码 粘 贴 处 准 考 证 号 缺考标记，考生禁填！由监考老师负责用黑色字迹的签字笔填涂。 注意事项 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 2. 请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内。 3. 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整。 4. 请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 5. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 填涂样例 正确填涂 错误填涂 第一部分　选择题(请用2B铅笔填涂) 1 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 1 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 第二部分　非选择题(请用0.5mm黑色签字笔作答) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 二、填空题（共18分) 9．______________________ 12．______________________ 10．_____________________ 13．______________________ 11．_____________________ 14．______________________ 三、解答题（共58分） 15．解下列不等式（组）（每小题2分，共8分） （1） （2） 三、解答题（共78分） 15．（6分） 16.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17．（6分） 18.（7分） （1） （2） \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ 19.（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20.（7分） （1） （2） （3） 21．（8分） （1）_________________ _________________ （2） （3） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22. （9分） （1） （2） （3） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23.（10分） （1）____________________ （2） 14、（7分） （1）(1分) （1分） （2）(1分) （1分） （3）(1分) （1分） （4）（1分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 （接23题） （3） （4） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24. （12分） （1） （2） （3） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 （接24题） （4） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 北京五岳鑫信息技术股份有限公司绘制 北京五岳鑫信息技术股份有限公司绘制 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级（五四制）开学考试 数学试题 2026.9 本试卷包括三道大题，共24道小题，共8页，满分120分，考试时间为120分钟。考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效。 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．－5的绝对值是 A．－5. B．5. C．. D．. 2．预计到2026年，中国5G用户将要超过460 000 000，将460 000 000这个数用科学记数法表示为 A．． B．． C．． D．． 3．右图中的几何体是由几个大小相同的小正方体组成，它的俯视图是 A． B． （第3题） C． D． 4．下列运算中，正确的是 A．． B．． C．． D．． 5．如图，直线 a、b 被直线c、d所截，若∠1=∠2，∠3=125°，则∠4 的度数为 A．55°． B．60°． C．70°． D．75°． （第5题） （第6题） （第7题） 6．如图，长方形的长为a，宽为b，横向阴影部分为长方形，另一阴影部分为平行四边形，若两阴影部分的宽都为c，则空白部分的面积是 A．． B．ab-bc-ac+c2． C．． D．． 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点B和点C为圆心、大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点D和点E，作直线DE交AB于点F，交BC于点G，连结CF．若AC＝3，CG＝2，则CF的长为 A．3.5． B．3． C．2.5． D．2． ( （第8题） )8．如图，直线（k＜0）与y轴、x轴分别交于点A、B，平行于x轴的直线CD与y轴、线段AB分别交于点C、D．若，则点C的坐标为 A．（0，2） B．（0，3） C．（0，4） D．（0，6） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．计算：－= . 10．分解因式：＝　　 ． 11．如图，在平面直角坐标系中，点A在函数(x＞0) 的图象上，过点A作AC⊥y轴于点，点B在x轴上，连结CB、AB．若△ABC的面积为2，则k的值为 ． （第12题） （第11题） 12．如图，在△ABC中，分别以点A、C为圆心，以大于长为半径作圆弧，两弧分别相交于点E、F，连结EF并延长交边BC于点D，连结AD．若，，则△ABD的周长为 ．（第13题） 13．今年某市部分大桥进行翻新，在翻新大桥的过程中，为了测量河的宽度，在河的一边沿岸边选取B、C两点，在对岸岸边选择点A．测得∠B＝45°，∠C＝60°，BC＝30米．则河的宽度（即点A到直线BC的距离）为 ．（结果保留根号） 14．已知抛物线过原点，对称轴为直线，与x轴交于、两点，为抛物线上纵坐标相同的两点，是对称轴与x轴交点，连接，结合图像给出下列结论： ① ； ② 轴； ③ ； ④ ； ⑤ 。 其中正确的结论有_____________（填序号）D y x A B C O （第14题） 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15．（6分）先化简，再求值：（2m+3）（2m-3）-（m+2）2+4（m+3），其中m＝． 16．（6分）某地铁线路全长约40km，若选择地上交通，私家车行驶同样的路线比乘坐地铁多耗时约45分钟，地铁的平均速度是私家车平均速度的2.5倍，问地铁和私家车的平均速度分别是多少？ 17．（6分）在一个不透明的盒子中装有三张卡片，标有数字1，2，5，这些卡片除数字不同外其余均相同．现从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片．用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率． 18．（7分）四边形ABCD是菱形，O为AC中点，点E在AB上，点F在AD上。 （1）添加一个条件，使得△BCE≌△DCF，并证明； （2）补充什么条件，能让四边形AEOF为菱形？写出条件并证明。 （第18题） 19．（7分）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上．在图②、图③中仿照图①，只用无刻度的直尺，各画出一条线段CD，将线段AB分为2:3两部分．（要求：所画线段CD的位置不同，点C、D均在格点上．）（第19题） 图① 图② 图③ 20．（7分）某区积极开展“阳光体育大课间”活动，各校学生坚持每天锻炼一小时，某校根据学校实际情况，决定主要开设羽毛球、跳绳、踢毽子三种运动项目．为了解学生最喜欢哪一种项目，随机抽取了n名学生进行调查（每名同学只选择一种体育项目），并将调查结果绘制成如下两个统计图． （第20题） n名同学参加不同体育项目 人数条形统计图 n名同学参加不同体育项目 人数扇形统计图 请结合上述信息解答下列问题： （1）求n的值． （2）请把条形统计图补充完整． （3）已知该校有1600人，请你根据统计图中的资料估计全校最喜欢踢毽子的人数． 21．（8分）有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有A、B、C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发，以各自速度匀速行走，各自到达点C停止．甲机器人前3分钟速度不变，3分钟后与乙机器人的行走速度相同．甲、乙两机器人各自与B地之间的距离y（m）与各自行走的时间x（min）之间的函数图象如图所示． （1）A、B两点之间的距离是　　　m，甲机器人前3分钟的速度为　　　m / min． （2）在甲机器人到达B地后和改变速度前这段时内，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （3）当甲、乙两机器人相距30 m时，直接写出x的取值范围． （第21题） 22．（9分）教材原型：课本例题以菱形边角关系为基础，结合平移、最短路径几何模型综合命题。现有菱形纸片，对角线与对角线相交于中心点，已知菱形两组对角满足数量关系，菱形四条边长均为；我们过顶点作直线平行于对角线，直线交线段的延长线于点，依次得到图①、图②、图③三组几何图形，完成下列探究问题。 图①为基础菱形，仅连接两条对角线交于点，无额外辅助线。 （1）问题解决：结合图①图形，下面给出完整解题框架，请补全方框内缺失的全部证明推导过程，要求逻辑完整、步骤规范。 解：∵四边形是菱形证明过程缺失 ，且，可证是等边三角形。 图②在图①菱形基础上，延长至点，作，连接线段。 （2）如图②，结合菱形性质、平行四边形判定与勾股定理相关知识，连接线段，请完整计算出线段的长度，书写完整推导步骤。 图③图形与图②完全一致，在对角线上任取一动点，不与两点重合，分别连接两条线段。 （3）如图③，点是对角线上任意一个动点，连接，请结合菱形对角线的轴对称性质、两点之间线段最短原理，求出的最小值，并准确说明此时动点所在的具体位置。 23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90o，AC=3，AB=4．动点P从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，点Q为线段AP的中点，过点P向上作PM⊥AB，且PM=3AQ，以PQ、PM为边作矩形PQNM．设点P的运动时间为t秒． （1）线段MP的长为 （用含t的代数式表示）． （2）当线段MN与边BC有公共点时，求t的取值范围． （3）当点N在△ABC内部时，设矩形PQNM与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式． （4）当点M到△ABC任意两边所在直线距离相等时，直接写出此时t的值． （第23题） 24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，这条抛物线的顶点为D. （1）求点D的坐标. （2）过点C作CE∥x轴交抛物线于点E.当CE＝2AB时，求点D的坐标. （3）这条抛物线与直线y＝－x相交，其中一个交点的横坐标为－1.过点P（m，0）作x轴的垂线，交这条抛物线于点M，交直线y＝－x于点N，且点M在点N的下方.当线段MN的长度随m的增大而增大时，求m的取值范围. （4）点Q在这条抛物线上运动，若在这条抛物线上只存在两个点Q，满足，直接写出a的取值范围. 第1页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级9月开学考试数学（五四制）答案 一、选择题（每小题3分，共24分） 1．B 2．C 3．A 4．A 5．A 6．B 7．C 8．C 二、填空题（每小题3分，共18分） 9．-5 　10． 11．4 12．12 13．45−15 14．①②③ 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15．原式= ==. （4分） 当时，原式=. （6分） 16．设私家车速度为xkm/h. . 解得32. （4分） 经检验x=32是原方程的解，且符合题意． 地铁速度为32×2.5=80． 答：地铁的平均速度为80km/h,私家车的平均速度为32km/h． （6分） 17．（两种方法，任选其一）：开始 1 2 5 1 2 5 1 2 5 1 2 5 树状图方法： 总共有9种等可能结果 （2分） 数字之和为偶数的有：（1，1）、（1，5）、（2，2）、（5，1）、（5，5），共5种 （4分） ∴P（两次数字之和为偶数）= （6分） 列表方法： 1 2 5 1 （1，1） （1，2） （1，5） 2 （2，1） （2，2） （2，5） 5 （5，1） （5，2） （5，5） 总共有9种等可能结果 （2分） 数字之和为偶数的有：（1，1）、（1，5）、（2，2）、（5，1）、（5，5），共5种 （4分） ∴P（两次数字之和为偶数）= （6分） 18．（1）添加条件：BE=DF（AE=AF、均可） 证明：四边形ABCD是菱形 ∴BC=DC，∠B=∠D （1分） 在△BCE和△DCF中 （2分） （2）补充条件：为中点，为中点 证明：四边形是菱形，是中点，分别为中点 分别是的中位线 （1分） 四边形是平行四边形 又 菱形中， ， （1分） 平行四边形是菱形 （2分） 19．以下答案供参考：（7分） （第三个图3分，其他2分） 20．（1）80 （2分） （2） （20人） （4分） （3）（名） ∴该校大约有720名学生最喜欢踢毽子． （7分） 21.（1）60 90 （2分） （2）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b． 由题意，得 解得 所以y与x之间的函数关系式为y=90x-60． 当y=0时，． 所以自变量x的取值范围是． （6分） （3）x=1或． （8分） 22．（1）补全证明过程： ，即 （3分） （2）解： 菱形边长为4，已证为等边三角形 ，菱形对角线互相垂直， 四边形是平行四边形，， 中， 取中点，连接，为中位线 中， （6分） （3）解： 菱形对角线垂直平分，垂直平分线上的点到线段两端距离相等 故 根据两点之间线段最短，当三点共线时，取得最小值， 最小值为线段长度。 ，四边形是平行四边形， 四边形为菱形，等边，求得 最小值为；取最小值时，直线与对角线的交点即为 动点。 （9分） 23．（1） （1分） （2）当点M落在边BC上时， 由题意得，. ∴. 当点N落在边BC上时， 由题意得，. ∴. ∴当线段MN与边BC有公共点时，t的 取值范围为. （4分） （3）当时. . 当时. . （7分） （4）或或. （10分） 24．（1）， ∴点D的坐标为.（2分） （2）∵对称轴为直线x=2，CE∥x轴，∴CE=4. ∵CE＝2AB，∴AB=2． （3分） ∴点A、B的坐标为(1，0)、(3，0)．（只写出一个点的坐标即可） （4分） 将(1，0)代入中， 得，解得． ． ∴点D的坐标为． （5分） （3）把代入中，得． 将(-1，1)代入中， 得，解得． （6分） ∴． ∴点M、N的坐标分别为、． ∴． （7分） ∵，对称轴为直线， （8分） ∴当线段MN的长度随m的增大而增大时，m的取值范围是-1<m≤1．（9分） （-1加等号不得分，1不加等号不扣分） （4）或．（写对一段得2分，写对两段得3分）（12分） 1 学科网（北京）股份有限公司 $