精品解析:吉林省第二实验高新学校中学部2026-2027学年上学期九年级数学开学考试题

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2026-09-05
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九年级上学期数学假期学习检测 本试卷包括三道大题,共24小题,共6页.全卷满分120分.考试时间为120分钟. 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,并将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2.答题时,考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答,在草稿纸、试卷上答题无效. 一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分) 1. 下面的几何体是圆锥的是( ) A. B. C. D. 2. 如图,数轴上点和点分别表示数和,则下列式子正确的是( ) A. B. C. D. 3. 大庆是现代宜居的生态城市,拥有湿地7470000亩.数字7470000用科学记数法表示为( ) A. B. C. D. 4. 关于的不等式的解集在数轴上表示正确的是( ) A. B. C. D. 5. 下面运算中正确的是( ) A. B. C. D. 6. 已知一次函数,若y的值随x的值的增大而减小,则k的取值范围是(  ) A. B. C. D. 7. 如图,将沿方向平移得到,若的周长为,则四边形的周长( ) A. B. C. D. 8. 已知反比例函数,下列结论正确的是( ) A. 其图象经过点 B. 其图象位于第一、第三象限 C. 当时,随的增大而减小 D. 当时, 二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分) 9. 代数式是一个单项式,它的系数是_________. 10. 分解因式:______. 11. 如图,将一张长方形纸条沿折叠,若,则的度数为_________. 12. 如图,的周长为,根据图中尺规作图的痕迹,直线分别与交于D,E两点,此时的周长是,则______. 13. 将正方体的一种展开图如图方式放置在直角三角形纸片上,若小正方形的边长为1,则________. 14. 如图,在等边中有一点,连接,将绕点逆时针旋转得到,连接.给出下面四个结论:;是等边三角形;;若,则.上述结论中,所有正确结论的序号是________. 三、解答题(本大题共10小题,共78分) 15. 先化简,再求值:,其中. 16. 某地开展建设绿色家园活动,活动期间,计划每天种植相同数量的树木.该活动开始后,实际每天比原计划每天多植树50棵,实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同,求实际每天植树多少棵? 17. 在复习一元二次方程()时,在有实数根的前提下,阳仔同学总结了根与系数的关系:若一元二次方程的两个实数根为,,则,. 根据以上知识点完成下列问题: (1)方程的两根为与,则 , . (2)已知:、是方程的两个实数根,求的值. 18. 为了测量某单位院内旗杆AB的高度,在地面距离旗杆底部B的15米C处放置高度为1.8米的测角仪CD,测得旗杆顶端A的仰角(∠ADE)为54°.求旗杆AB的高度(结果精确到1米).(参考数据:sin 54°≈0.81,cos 54°≈0.59,tan 54°≈1.38) 19. 如图,在中,于点,延长至点,使,连接,与交于点. (1)求证:四边形为矩形; (2)若,,则的长为 . 20. 图①、图②、图③都是的正方形网格,每个小正方形顶点叫做格点.线段的顶点A、B均在格点上,只用无刻度的直尺,在给定的网格中,按下列要求作图. (1)在图①中以为边作正方形,点C、D均在格点上. (2)在图②中以为边作菱形(除正方形之外),点C、D均在格点上. (3)在图③中以为对角线作面积最大的平行四边形,点C、D均在格点上. 21. 甲、乙两车同时从A地出发沿同一线路前往B地.甲车匀速行驶2小时后,收到紧急通知,立即提高速度匀速前往B地(千米),比乙车提前小时到达地,设甲、乙两车各自距地的路程为(千米),乙车行驶的时间为x(时),y与x之间的部分函数图象如图所示. (1)乙车每小时行驶的路程为    千米; (2)补全甲车提高速度后的函数图象,并求出提高速度后甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式; (3)求甲、乙两车相遇时,甲车距A地的路程. 22. 定义:若四边形的一条对角线被另一条对角线平分,且另一条对角线被这两条对角线的交点分成的两条线段长度之比为,则称该四边形为“倍四边形”. (1)如图1,在中,对角线与交于点,点为中点.则四边形为倍四边形,且的值为 ; (2)如图2,在倍四边形中,对角线与相交于点,且,若被平分,求的值;(用含的代数式表示) (3)已知四边形是“2倍四边形”,若平分,到直线的距离为,到直线的距离为,直接写出的值. 23. 如图,在中,,,,为边的中点.点在线段上运动,且点不与点重合,作点关于点的对称点,过点作交折线于点.连结,以、为邻边构造. (1)求的值; (2)连结,则线段长度的最小值是 ; (3)当与相似,直线恰好将的面积平分时,求的长; (4)当时,直接写出的长. 24. 如图,在平面直角坐标系中.点为坐标原点,抛物线与轴交于、两点(点在点左侧),抛物线与轴交于点,点是抛物线上任意一点,其横坐标为,当点不在轴上时,连结,将线段绕点顺时针旋转得到线段,连结. (1)点、坐标分别为 ; . (2)当轴时,求的值. (3)当点在轴上方时,点到轴的距离是点到轴距离一半时,求的值. (4)以、为邻边构造正方形,当点在轴上方时,正方形的面积被轴分成时,直接写出此时的值. 第1页/共1页 学科网(北京)股份有限公司 $ 九年级上学期数学假期学习检测 本试卷包括三道大题,共24小题,共6页.全卷满分120分.考试时间为120分钟. 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,并将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2.答题时,考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答,在草稿纸、试卷上答题无效. 一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分) 1. 下面的几何体是圆锥的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥的定义,知道以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥是解题的关键. 根据圆锥的定义解答即可. 【详解】解:A、几何体为正方体,不符合题意; B、几何体为四棱锥,不符合题意; C、几何体为圆锥,符合题意; D、几何体为球,不符合题意. 故选:C. 2. 如图,数轴上点和点分别表示数和,则下列式子正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数,有理数的加、减、乘法运算法则等知识.熟知有理数的运算法则并根据数轴正确表示出、的关系以及它们绝对值的大小关系是解题关键,根据数轴得到,从而,再分别根据有理数的乘法法则、减法法则、加法法则逐项判断即可求解. 【详解】解:由题意得, ∴, 、,故原选项正确,符合题意; 、,故原选项错误,不符合题意; 、,故原选项错误,不符合题意; 、,故原选项错误,不符合题意. 故选:C 3. 大庆是现代宜居的生态城市,拥有湿地7470000亩.数字7470000用科学记数法表示为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法表示绝对值大于1的数,将小数写成的形式,其中,n为正整数. 【详解】解:. 4. 关于的不等式的解集在数轴上表示正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解不等式得到解集;在数轴上在处画实心圆点,线条向左延伸. 【详解】解:∵, ∴. 在数轴上表示为在处取实心点,方向向左.与选项D匹配. 5. 下面运算中正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别利用同底数幂乘法、合并同类项、单项式乘法、积的乘方法则计算各选项,即可判断出正确结果. 【详解】A:,故选项不符合题意; B:,故选项不符合题意; C:,计算正确,故选项符合题意; D:,故选项不符合题意. 6. 已知一次函数,若y的值随x的值的增大而减小,则k的取值范围是(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用一次函数的性质,可得出,解之即可得出k的取值范围. 【详解】解:∵y的值随x的值的增大而减小, ∴, 解得:, ∴k的取值范围为. 故选:B. 【点睛】本题考查了一次函数的性质,牢记“k>0,y随x的增大而增大;k<0,y随x的增大而减小”是解题的关键. 7. 如图,将沿方向平移得到,若的周长为,则四边形的周长( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移的性质,可得,,,,即可求解. 【详解】解:由平移的性质得:,,,, ∵的周长为, ∴, ∴四边形的周长为. 8. 已知反比例函数,下列结论正确的是( ) A. 其图象经过点 B. 其图象位于第一、第三象限 C. 当时,随的增大而减小 D. 当时, 【答案】D 【解析】 【详解】解:A、把代入,得,故图象不经过点,A错误; B、反比例函数中,,故图象位于第二、四象限,B错误; C、反比例函数中,,故当时,随的增大而增大,C错误; D、当时,图象位于第二象限,; ∵,在第二象限内随的增大而增大, ∴当时,取最大值,, ∴,D正确. 二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分) 9. 代数式是一个单项式,它的系数是_________. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查单项式的系数,熟练掌握单项式的系数是解题的关键;系数是单项式中的数字因数部分,包括常数和符号,由此问题可求解. 【详解】解:单项式中,系数为; 故答案为. 10. 分解因式:______. 【答案】 【解析】 【详解】解:. 11. 如图,将一张长方形纸条沿折叠,若,则的度数为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得,,结合平行线的性质求出的度数,进而求出的度数,最后利用平行线的性质求出的度数. 【详解】解:如图, 由折叠的性质可得,,  四边形是长方形,  ,  ,  ,  ,  , ,  , , . 12. 如图,的周长为,根据图中尺规作图的痕迹,直线分别与交于D,E两点,此时的周长是,则______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的判定和性质得出,,再根据周长定义列式计算,即可解决问题. 【详解】解:由作图可知,垂直平分线段, ∴,, ∵的周长为, ∴,, ∵的周长是, ∴的周长, ∴, ∴ 13. 将正方体的一种展开图如图方式放置在直角三角形纸片上,若小正方形的边长为1,则________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质,相似三角形的判定与性质,如图,由题意可知,,,,,证明,得到,即,求出,即可求解,掌握相关知识是解题的关键. 【详解】解:如图: 由题意可知,,,,, ∵, ∴, ∴,即, 解得:, ∴, 故答案为:. 14. 如图,在等边中有一点,连接,将绕点逆时针旋转得到,连接.给出下面四个结论:;是等边三角形;;若,则.上述结论中,所有正确结论的序号是________. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】由等边三角形的性质得,,由旋转的性质得,,可得是等边三角形,,即可证明,由此可判断①②;由已知条件无法得出,即无法得出,由此可判断;由全等三角形的性质得,再由勾股定理得,由此可判断④. 【详解】解:是等边三角形, ,, , 由旋转得:,, 是等边三角形,, , , 故①②正确; 是等边三角形, , 由已知条件无法得出, 即无法得出, 故不正确; , , ∵,, ∴, 为直角三角形, 在中,由勾股定理得:, 故④正确; 故答案为:①②④. 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,旋转的性质,熟练掌握以上知识点是解答本题的关键. 三、解答题(本大题共10小题,共78分) 15. 先化简,再求值:,其中. 【答案】,. 【解析】 【分析】本题考查了整式的混和运算及化简求值以及实数的混合运算,熟练掌握完全平方公式是解题的关键,先根据完全平方公式及单项式乘多项式化简,再把代入求解即可。 【详解】解:原式 , 当时, 原式 . 16. 某地开展建设绿色家园活动,活动期间,计划每天种植相同数量的树木.该活动开始后,实际每天比原计划每天多植树50棵,实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同,求实际每天植树多少棵? 【答案】实际每天植树 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用,设原计划每天植树棵,则实际每天植树棵,则,进行解分式方程,即可作答. 【详解】解:设原计划每天植树棵,则实际每天植树棵, ∴, 解得, 经检验:是原分式方程的解, ∴, ∴实际每天植树棵. 17. 在复习一元二次方程()时,在有实数根的前提下,阳仔同学总结了根与系数的关系:若一元二次方程的两个实数根为,,则,. 根据以上知识点完成下列问题: (1)方程的两根为与,则 , . (2)已知:、是方程的两个实数根,求的值. 【答案】(1)5,3 (2) 【解析】 【分析】(1)直接根据根与系数的关系得到两根和与两根积; (2)根据根与系数的关系得到两根和与两根积,再展开所求代数式,整体代入计算结果. 【小问1详解】 解:∵方程的两根为与, ∴,; 【小问2详解】 解:∵、是方程的两个实数根, ∴,, ∴ . 18. 为了测量某单位院内旗杆AB的高度,在地面距离旗杆底部B的15米C处放置高度为1.8米的测角仪CD,测得旗杆顶端A的仰角(∠ADE)为54°.求旗杆AB的高度(结果精确到1米).(参考数据:sin 54°≈0.81,cos 54°≈0.59,tan 54°≈1.38) 【答案】23米 【解析】 【分析】根据锐角三角函数求得线段,从而求得旗杆AB的高度. 【详解】解:在Rt△ADE中,∵ tan∠ADE=,∠ADE=54°, ∴ 又∵, ∴ 答:旗杆AB的高度约为23 m. 【点睛】此题主要考查了利用三角函数解直角三角形,熟练掌握并应用三角函数的定义是解题的关键. 19. 如图,在中,于点,延长至点,使,连接,与交于点. (1)求证:四边形为矩形; (2)若,,则的长为 . 【答案】(1)证明:∵四边形是平行四边形, ∴. ∵, ∴, 即, ∴, ∴四边形是平行四边形. ∵, ∴, ∴四边形是矩形. (2) 【解析】 【分析】(1)先根据平行四边形的性质得,进而得出,再说明四边形是平行四边形,然后根据“一个角是直角的平行四边形是矩形”证明即可; (2)先根据矩形的性质说明是等边三角形,进而求出,再根据勾股定理得出答案. 【小问1详解】 略; 【小问2详解】 解:∵四边形是矩形, ∴, ∴. ∵, ∴是等边三角形, ∴, ∴. 在中,根据勾股定理,得. 20. 图①、图②、图③都是的正方形网格,每个小正方形顶点叫做格点.线段的顶点A、B均在格点上,只用无刻度的直尺,在给定的网格中,按下列要求作图. (1)在图①中以为边作正方形,点C、D均在格点上. (2)在图②中以为边作菱形(除正方形之外),点C、D均在格点上. (3)在图③中以为对角线作面积最大的平行四边形,点C、D均在格点上. 【答案】(1) 正方形如图所示: (2) 菱形如图所示: (3) 面积最大的平行四边形如图所示: 【解析】 【分析】本题考查了正方形、菱形、平行四边形的性质,正确掌握相关性质内容是解题的关键. (1)根据正方形的性质以及结合网格性质进行作图,即可作答. (2)根据菱形的性质以及结合网格性质进行作图,即可作答. (3)根据平行四边形的性质以及结合网格性质进行作图,即可作答. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 甲、乙两车同时从A地出发沿同一线路前往B地.甲车匀速行驶2小时后,收到紧急通知,立即提高速度匀速前往B地(千米),比乙车提前小时到达地,设甲、乙两车各自距地的路程为(千米),乙车行驶的时间为x(时),y与x之间的部分函数图象如图所示. (1)乙车每小时行驶的路程为    千米; (2)补全甲车提高速度后的函数图象,并求出提高速度后甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式; (3)求甲、乙两车相遇时,甲车距A地的路程. 【答案】(1)80 (2) (3)甲、乙两车相遇时,甲车距地的路程为千米 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用,求一次函数解析式.以及有理数除法的应用. (1)由乙行驶的路程除以时间即可; (2)根据题意画出图象,并用待定系数法求出函数解析式即可; (3)求出乙车距地的路程与之间的函数关系式,再令,解方程即可. 【小问1详解】 解:由图象可知,乙车每小时行驶的路程为(千米) 故答案为:; 【小问2详解】 解:图象如图: 设与之间的函数关系式为. 将,代入上式, 得, 解得, , 提高速度后甲车距地的路程与之间的函数关系式为; 【小问3详解】 解:由(1)知,乙车每小时行驶的路程为80千米. ∴乙车距地的路程与之间的函数关系式为, 当时, 解得, 当时,. 千米, 所以甲、乙两车相遇时,甲车距地的路程为千米. 22. 定义:若四边形的一条对角线被另一条对角线平分,且另一条对角线被这两条对角线的交点分成的两条线段长度之比为,则称该四边形为“倍四边形”. (1)如图1,在中,对角线与交于点,点为中点.则四边形为倍四边形,且的值为 ; (2)如图2,在倍四边形中,对角线与相交于点,且,若被平分,求的值;(用含的代数式表示) (3)已知四边形是“2倍四边形”,若平分,到直线的距离为,到直线的距离为,直接写出的值. 【答案】(1)2 (2)k (3) 【解析】 【分析】(1)根据平行四边形的性质可得,,根据点为中点,得出,结合倍四边形的定义,即可求解; (2)根据与同高,得出面积比等于底之比,即;同理.则,进而可得; (3)“2倍四边形”且平分,则,.与同底,高分别为,故.由等底同高得,由同高面积比得,进而可得. 【小问1详解】 解:四边形是平行四边形, ,, 是的中点, , 四边形为倍四边形, ; 【小问2详解】 解:∵与以和为底边的高相同, ∴, ∴, 同理可得,, ∴, ∴ , ∵, ∴; 【小问3详解】 解:设对角线与交于点,如下图, 四边形是“倍四边形”,且平分, ,且, ,与等底同高, , , ∵与同高,且, , ∴, , ∵, ∴. 23. 如图,在中,,,,为边的中点.点在线段上运动,且点不与点重合,作点关于点的对称点,过点作交折线于点.连结,以、为邻边构造. (1)求的值; (2)连结,则线段长度的最小值是 ; (3)当与相似,直线恰好将的面积平分时,求的长; (4)当时,直接写出的长. 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【解析】 【分析】(1)在直角三角形中,根据勾股定理和的定义求出的值; (2)根据的对角线互相平分得到,根据点F的位置不同进行分类讨论,结合垂线段最短得到:当或时,最小,即线段长度最小,在中,根据勾股定理和的值得到答案,再将两种答案比较大小,取最小值,即为线段的最小值; (3)当直线恰好将的面积平分时,即直线经过线段的中点,根据对边平行得到两组相等角,进而证明,得到,最后根据相等列方程求出的长; (4)根据和的值得到和、、的线段长,根据点D和点F的位置不同进行分类讨论,根据相等列方程求出的长. 【小问1详解】 解:在中,,,, 根据勾股定理得,, ∴; 【小问2详解】 当点F在线段上时, ∵点和点关于点对称, ∴, ∵四边形为平行四边形, ∴, 当时,最小,即线段长度最小, ∵为边的中点,, ∴, ∵, ∴在中,, 设,则, 在中,根据勾股定理得,, ∴, ∴, 此时,; 当点F在线段上时, ∵, ∴当时,最小,即线段长度最小, ∵, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴, ∴, ∴在中,, 设,则, 在中,根据勾股定理得,, ∵, ∴, ∴, 此时,; ∵, ∴线段长度的最小值为6; 【小问3详解】 ∵直线恰好将的面积平分, ∴, 设的边上的高为h, ∴, 即, ∵四边形为平行四边形, ∴, 即, ∴,, ∴, ∴, ∴, 设,则,, ∵四边形为平行四边形,点和点关于点对称, ∴, ∵, ∴, 即, 解得:, ∴; 【小问4详解】 第一种:点D在线段上, ∵, ∴, 在中,,, ∵, , ∴, 设,则,, 在中,, ∴, ∵, , ∴, 解得:, ∴. 第二种:点D在线段上且点F在线段上, ∵, ∴, 在中,,, ∵, , ∴, 设,则,, 在中,, ∴, ∵, , ∴, 解得:, ∴. 此时, , 在中,根据勾股定理得,, ∵, , 即, 与点F在线段上矛盾, ∴舍去; 第三种:点D在线段上且点F在线段上, ∵, ∴, 在中,,, ∵, , ∴, 设,则,, 在中,, ∴, ∵, ∴, 在中,, ∴, ∴, ∴, ∴, 又∵, ∴, 解得:, ∴. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、锐角三角函数解直角三角形、勾股定理、垂线段最短、相似三角形的判定与性质、一元一次方程,解题关键是数形结合、分类讨论. 24. 如图,在平面直角坐标系中.点为坐标原点,抛物线与轴交于、两点(点在点左侧),抛物线与轴交于点,点是抛物线上任意一点,其横坐标为,当点不在轴上时,连结,将线段绕点顺时针旋转得到线段,连结. (1)点、坐标分别为 ; . (2)当轴时,求的值. (3)当点在轴上方时,点到轴的距离是点到轴距离一半时,求的值. (4)以、为邻边构造正方形,当点在轴上方时,正方形的面积被轴分成时,直接写出此时的值. 【答案】(1) (2)或 (3)或 (4)或 【解析】 【分析】(1)抛物线和轴交点的纵坐标为,令,解一元二次方程可以得到两个解,因为在的左侧,数值更大的解即对应点的横坐标,抛物线与轴交点的横坐标为,将代入抛物线解析式,算出对应的值,即可得到点坐标; (2)因为线段绕原点顺时针旋转得到,利用坐标旋转的性质,由抛物线上点的坐标推导出点的坐标,由平行于轴的直线上所有点的纵坐标相同建立方程,整理得到一元二次方程并求解,再结合题干要求点不在轴上检验所得解,得到的取值; (3)由点位于轴上方,说明点的纵坐标大于,可以先确定的取值范围.由平面中点到轴的距离是该点横坐标的绝对值,分别写出两点到轴的距离,根据题目所给倍数关系列出含有绝对值的等式,分情况讨论解得符合取值范围条件的; (4)由旋转可知与垂直且长度相等,由此写出正方形全部顶点的坐标,正方形面积被轴分成,说明两部分面积占正方形总面积的和,从而推导出轴必然经过正方形某边的中点,分情况讨论写出对应边中点的横坐标,根据轴上的点横坐标为建立方程,解得符合点在轴上方条件的. 【小问1详解】 解:令,即, , 解得,, 点在点左侧, ,. 当时,, 【小问2详解】 解:如图所示,当点为抛物线上不在轴上的任意一点时, 过点作轴,过点作轴, ,, , 同理,, 在和中, , , , 点的横坐标与点的纵坐标互为相反数,点的纵坐标与点的横坐标相等, 设点坐标为,则点坐标为, 轴,绕点顺时针旋转得到线段, 如图所示,有点在轴上方或下方两种情况. 点的纵坐标相等, , 解得或. 【小问3详解】 解:点在轴上方, , 或. 点到轴的距离等于横坐标的绝对值, 点到轴的距离为,点到轴的距离为, 根据题意得,, 即,分两种情况讨论, 当两边同号时,, , 解得或(舍去),情形如图所示, 当两边异号时,, , 解得(舍去)或,情形如图所示, 综上,或. 【小问4详解】 解:正方形的面积被轴分成,即轴把正方形切成两部分,较小部分占总面积的,较大部分占总面积的, 可以推出轴过正方形一条边的中点,这条边可能是或. 设点坐标为,则可推出点坐标为,点坐标为. 情形一:中点在轴上 ,, 中点横坐标为,, , , 解得或, 当时,,点在轴下方,舍去; 当时,,点在轴上方,符合. 情形二:中点在轴上 ,, 中点横坐标为,, , , , 解得或, 当时,,点在轴下方,舍去; 当时,,点在轴上方,符合. 综上,或. 第1页/共1页 学科网(北京)股份有限公司 $

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