25.3 实际问题与一元二次方程增长率问题教学设计2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计以生活情境为载体，系统梳理了一元二次方程解决增长率问题的核心知识，通过探究平均增长率、下降率两个模块，结合“审设列解验答”步骤，构建a(1±x)²=b模型的知识网络，清晰呈现实际问题与方程的逻辑联系。 其亮点在于情境化探究与模型建构，如通过产值增长、药品成本下降实例推导模型，培养学生数学抽象和模型意识，课堂训练分选择、解答题分层设计，强化验根环节提升数学思维，助力学生巩固知识，教师可精准把握学情优化复习。

25.3 实际问题与一元二次方程 增长率问题 教案 教学目标 1.理解平均增长率、平均下降率问题中的数量关系，会列出一元二次方程求解，熟练掌握列一元二次方程解应用题的完整步骤。 2.掌握模型 a(1±x)²=b，能够选用配方法、公式法、因式分解法求解增长率与下降率实际应用题。 3.经历把现实增长、降价问题抽象为代数方程的过程，体会数学建模思想，能结合实际意义检验方程的根，舍去不符合题意的解。 重点难点 重点：掌握平均增长率、下降率模型 a(1±x)²=b，列一元二次方程解决增长率问题。 难点：分清基数a，理解连续两次增长/下降的数量关系；区分下降额和下降率，正确对根进行取舍。 教学过程 情景导入 某企业今年一月份产值为100万元，三月份产值达到121万元，假设每个月的产值增长率相同，你能求出每月的平均增长率吗？生活中产值增长、药品降价、产量增减都属于增长率变化问题，今天我们学习用一元二次方程解决增长率问题。 探究新知 探究点一 平均增长率问题 【例1】某工厂1月份生产零件500个，3月份生产零件720个，若2、3两个月的月平均增长率相同，则月平均增长率为（） A.10%   B.15%   C.20%   D.25% 【解析】设月平均增长率为x。 2月份产量：500(1+x)； 3月份产量：500(1+x)²。 列方程：500(1+x)²=720， 整理：(1+x)²=1.44， 解得 x₁=0.2=20%，x₂=-2.2（增长率不能为负数，舍去）。 【答案】C 【方法总结】平均增长率模型：基数为a，平均增长率x，连续两次增长之后总量为b，关系式：a(1+x)²=b；增长率x>0，负数解舍去。 探究点二 平均下降率问题 【例2】两年前生产1吨甲药品成本5000元，现在生产1吨甲药品成本3200元，如果这两年成本年平均下降率相同，求药品成本的年平均下降率。 【解析】设年平均下降率为x。 一年后成本：5000(1x)； 两年后成本：5000(1x)²。 【解】设药品成本的年平均下降率为x。 5000(1x)²=3200 (1x)²=0.64 解得 x₁=0.2=20%，x₂=1.8（下降率不能大于1，舍去）。 答：该药品成本年平均下降率为20%。 【方法总结】平均下降率模型：基数a，平均下降率x，连续两次下降后总量b，关系式：a(1x)²=b；下降率满足 0<x<1，大于1或者负数的根直接舍去。 注意：下降额不等于下降率，下降额是具体钱数，下降率是百分比，基数不同，下降额大不一定下降率大。 课堂训练 1. 某超市一月份营业额200万元，三月份营业额288万元，如果每月营业额增长率相同，则月增长率为（） A.10%   B.20%   C.25%   D.30% 2. 某种商品原价每件128元，经过连续两次降价后售价为98元，两次降价百分率相同，求该商品每次降价的百分率（结果保留百分号前一位小数）。 板书设计 增长率问题 1. 解一元二次方程应用题步骤：审、设、列、解、验、答 2. 平均变化率模型     - 连续增长：a(1+x)²=b     - 连续下降：a(1x)²=b 3. 注意：增长率、下降率要检验，舍去不合实际的根 4. 例题讲解 课堂小结 本节课学习一元二次方程解决增长率、下降率问题，记住a(1±x)²=b模型；分清变化前基数a，区分增长、下降两种情况；解方程后一定要检验，增长率不能为负，下降率要小于1，舍去不符合现实的解，体会数学建模思想。 教学反思 本节课结合产值、药品成本、商品降价等真实生活情境开展教学，重点引导学生理解模型的推导过程，而不是死记硬背公式。课堂上对比下降额与下降率，帮助学生厘清易错点。强化验根的意识，很多学生解方程后直接写答案，忽略增长率、下降率的取值范围。通过例题、练习层层递进，培养学生分析实际问题、建立方程模型的能力。 答案 课堂训练 1. B 2. 解：设该商品每次降价的百分率为x。 依题意得：128(1x)²=98 (1x)²=98/128 解得 x₁≈0.111=11.1%，x₂≈1.889（不合题意，舍去）。 答：该商品每次降价的百分率约为11.1%。 学科网（北京）股份有限公司 $