5.1 认识二次函数 课前预习 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学九年级上册5.1认识二次函数课前预习同步练，以"概念筑基-情境应用-探究拓展"分层设计，通过基础辨析、实际建模与几何综合，培养抽象能力、模型意识与创新思维。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|二次函数定义、系数识别|单选1-4题直接考查概念，填空8-9题强化术语表述，夯实抽象能力| |情境应用|实际问题列关系式|单选5-7题结合销售、几何情境，填空10题"倍值点"新定义，发展模型意识| |综合拓展|几何与函数综合|解答14-15题融合相似、勾股定理与动态探究，解答15题尺规作图推导函数，提升几何直观与创新思维|

5.1 认识二次函数 课前预习2026-2027学年北师大版 九年级数学上册 一、单选题 1．下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A．2，0， B．2，，0 C．2，3，0 D．2，0，3 3．线段，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段运动至点，以线段为边作正方形，线段长为半径作圆，设点的运动时间为，正方形周长为，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（    ） A．正比例函数关系，反比例函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系 C．正比例函数关系，二次函数关系 D．一次函数关系，反比例函数关系 4．已知（为常数）是二次函数，那么的值是（   ） A．3 B． C． D．3或 5．某商品的进货单价为元个，当销售单价为元个时，每天能卖出个，若销售单价每上涨元个，则每天的销量就减少个．设该商品的销售单价为元个，每天的利润为元，则与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 6．如图，有一块正方形的花圃，正中间有一块圆形水池．从圆周上的点到正方形边上点的最短距离为．记正方形内除水池外的面积为，圆的半径为，则关于的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 7．下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间是二次函数关系的是（　　） A．铅笔的单价不变，总价y与支数x B．路程一定，列车运行的平均速度y与时间x C．正方体的表面积y与它的棱长x D．速度一定，列车的行驶路程y与行驶时间x 二、填空题 8．像y＝－5x²＋100x＋60000，，，函数都是用自变量的_____次式表示的． 一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成 （a，b，c是常数，a≠0）的形式，则称y是x的______函数．其中，x是______，a为_______，叫做________；b为_______，bx叫做________；c为_______． 9．二次函数解析式通常有三种形式：①一般式______________________________；②顶点式______________________________；③双根式______________________________． 10．定义：如果一个函数的图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该点称为这个函数图像的“倍值点”，例如，一次函数图像的“倍值点”为．若关于x的二次函数的图像上有唯一的“倍值点”，则_________． 11．如图，在平面直角坐标系中，、、三点的坐标分别为，，点为线段上的一个动点，连接，过点作交y轴于点B，当点从运动到时，点随之运动，点经过的路径长是______． 三、解答题 12．某工厂计划为一批长方体形状的产品表面涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多． （1）长方体的长和宽用表示，长方体的表面积的表达式是什么？ （2）如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，油漆每个长方体所需费用用y（元）表示，那么y的表达式是什么？ 13．下列函数哪些是二次函数？并写出它们的二次项、一次项、常数项． ①； ②； ③； ④． 14．如图，在中，，、的长为方程的两根，且．    (1)求的值． (2)动点从点出发，以每秒5个单位的速度，沿的路线向点B运动；动点从点出发，以每秒3个单位的速度，沿的路线向点运动，若点、同时出发，当其中有一点到达终点时整个运动随之结束．设运动时间为秒． ①在整个运动过程中，设的面积为，试求与之间的函数关系式； ②是否存在这样的，使得的面积为3？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 15．作图并完成解答： (1)在平面直角坐标系中，点A的坐标是，在x轴上任取一点M，完成下列作图步骤：①连接AM，作线段AM的垂直平分线，（要求尺规作图，保留作图痕迹）过M作x轴的垂线，记，的交点为P．②在x轴上多次改变点M的位置，用①的方法得到相应的点P，把这些点用平滑的曲线连接起来． (2)对于曲线上的任意一点P，线段PA与PM有什么关系？设点P的坐标是，求y与x的函数关系式． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C B C B D C C 1．【答案】C 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的定义．二次函数的标准形式为（a、b、c是常数，），据此判断各选项． 【详解】解：根据二次函数的定义逐项分析判断如下： A、未知数的最高次不是2，该函数不符合二次函数的定义，故本选项不符合题意； B、，该函数的右边不是整式，它不是二次函数，故本选项不符合题意； C、，该函数符合二次函数的定义，故本选项正确，符合题意； D、，该函数的右边不是整式，它不是二次函数，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．【答案】B 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题主要考查二次函数系数的识别，注意常数项为0时不要遗漏．根据二次函数的一般形式，直接读取二次项系数、一次项系数和常数项即可． 【详解】解：∵二次函数可化为， ∴二次项系数，一次项系数，常数项． 故选：B． 3．【答案】C 【知识点】列一次函数解析式并求值、列二次函数关系式 【分析】根据题意列出函数关系式，即可判断函数的类型． 【详解】解：由题意，得 ，属于正比例函数关系， ，属于二次函数关系， 故选：C． 【点睛】本题考查了函数关系式，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 4．【答案】B 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，x的指数必须为2，且系数不为零，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵（为常数）是二次函数， ∴， ∴， 解得， 故选：B． 5．【答案】D 【知识点】列二次函数关系式、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查销售问题的数量关系，根据利润（售价进价）销量列函数关系式即可． 【详解】解：设该商品的销售单价为元个， 则每个某商品的利润为：元，销量为：， 则每天的利润， 故选：D． 6．【答案】C 【知识点】列二次函数关系式 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意得，正方形的边长为，然后通过面积差即可求解，掌握二次函数的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，正方形的边长为， ∴， 故选：． 7．【答案】C 【知识点】二次函数的识别 【分析】根据各选项的实际数量关系列出y与x的函数关系式，再结合二次函数的定义判断，二次函数定义为形如 (a，b，c为常数，且)的函数是二次函数． 【详解】解：对选项A，∵设铅笔单价为定值，可得，∴y是x的正比例函数(一次函数)，不是二次函数，故A不符合题意； 对选项B，∵设路程为定值，可得，即，∴y是x的反比例函数，不是二次函数，故B不符合题意； 对选项C，∵正方体棱长为x，表面积为y，正方体有6个大小相等的正方形面，每个面面积为，∴，符合二次函数定义，故C符合题意； 对选项D，∵设速度为定值，可得，∴y是x的正比例函数(一次函数)，不是二次函数，故D不符合题意． 8．【答案】 二 二次 自变量 二次项系数 二次项 一次项系数 一次项 常数项 【知识点】二次函数的识别 【解析】略 9．【答案】 【知识点】列二次函数关系式 【分析】根据二次函数的三种形式：一般式，形如；顶点式，形如；双根式，形如，进行求解即可． 【详解】解：二次函数的一般式是形如的形式； 二次函数的顶点式是形如； 若、是二次函数与x轴的两个交点的横坐标，则二次函数解析式可以设为形如的形式，这叫做双根式， 故答案为：，，． 【点睛】本题主要考查了二次函数解析式的三种形式，解题的关键在于能够熟练掌握三种形式的定义． 10．【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题属于函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系．根据题意得出关于的一元二次方程，再判断根的判别式即可得出结论． 【详解】解：由题意可知，， 整理得，，有两个相等的根， ，且， 整理得，且， 解得：， 故答案为：． 11．【答案】/4.5/ 【知识点】坐标与图形、列二次函数关系式、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，得出y与x之间的函数解析式是解题的关键． 延长交y轴于P点，则 轴．作，交的延长线与Q．证明，得出 ，设，则，设，代入整理得到，根据二次函数的性质以及，求出 y的最大与最小值，可得结论． 【详解】解：如图，延长交y轴于P点，则 轴．作，交的延长线与Q． 在和中， ， ， 设，则，设， ， ， 时，y有最大值4，此时 ． , y有最小值0，此时点B与点P重合， 综上所述，点B的运动路径的长为． 故答案为：． 12．【答案】（1）；（2） 【知识点】列二次函数关系式 【分析】（1）长方体有6个面，然后根据长方形的面积公式即可得到，再去括号整理即可； （2）把（1）中的除以5即可得到． 【详解】解：（1） ； （2）． 【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是读懂题意，根据实际问题确定二次函数关系式，建立二次函数的数学模型来解决问题． 13．【答案】 ①：化简得：，是二次函数，二次项是，一次项是，常数项是； ②：化简得：，是二次函数，二次项是，一次项是，常数项是2； ③：整理得：，是二次函数，二次项是，一次项是0，常数项是3； ④：化简得：，不是二次函数． 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义． 根据形如是二次函数，可得答案． 【详解】略 14．【答案】(1) (2)①；② 【知识点】用勾股定理解三角形、列二次函数关系式、因式分解法解一元二次方程、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）首先用因式分解的方法解出方程的两个根，根据题意得出，的长，再利用勾股定理求出的长； （2）①过点作，先证明出，利用相似三角形性质表示出、的长，根据即可表示出与之间的函数关系式；②根据题意得到方程，利用公式法求出方程根，根据实际取舍即可． 【详解】（1）解：， ， ，， 、的长为方程的两根，且， ，， ； （2）①如图，过点作，   ， ， ， ， ，， ， 解得：， ； ②使得的面积为3，则， 整理得：， 解得：，， ， 不符合题意舍去， ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的求解，相似三角形的判定与性质，勾股定理，列函数关系式，选取合适的方法求解方程是解答本题的关键． 15．【答案】(1)见解析； (2)PA=PM，． 【知识点】作垂线(尺规作图)、列二次函数关系式、勾股定理与网格问题 【分析】（1）根据题意，多取几个M点画出图形即可； （2）连接AP，过点A作AN⊥PM，根据线段垂直平分线的性质得出AP=PM=y，再由勾股定理即可得出． 【详解】（1）解：如图所示： （2）； ∵P在AM的垂直平分线上 ∴， ∵P点坐标为，轴 ∴， 由勾股定理知：或 ∴或 ∴关系式：． 【点睛】此题考出来复杂作图，以及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $