3.3 相似三角形判定定理的证明课前预习2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 以相似三角形判定为核心，融合平行线分线段成比例，通过基础到综合题组构建“判定方法-性质应用-跨情境实践”的逻辑体系，培养几何直观与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础判定|7题（选择1-7）|平行线分线段成比例逆定理、相似判定定理（两角/两边夹角）|从比例线段到相似判定，构建“条件识别-定理匹配”推导链| |性质应用|4题（填空8-11）|比例线段计算、坐标与图形结合|结合数轴、函数等，拓展相似性质在代数情境中的应用| |综合实践|5题（解答12-16）|折叠问题转化、动点不变量分析|通过正方形折叠、矩形动点等，实现相似与全等、函数的跨知识整合|

3.3 相似三角形判定定理的证明 课前预习2026-2027学年 北师大版九年级数学上册 一、单选题 1．在中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中，一定能判断的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，求作，则下列作图正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图所示是一张仿古信笺，纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点，，都在竖格线上．若线段，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，直线分别交直线，于点，，，，，，已知，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中， 平分，按如下步骤作图：第一步，分别以点A、为圆心， 以大于 的长为半径作弧， 两弧交于点、 ；第二步，过 、 两点作直线，分别交、 于点 、；第三步， 连接、 ．若， ， ，则的长是（    ）           A．12 B．11 C．13 D．10 6．如图为某建筑结构施工图，其中，，，，为一组平行线，每相邻两条平行线之间的距离如图所示，线段分别交、、于点，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，点、分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能满足的条件有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 8．如图，数轴的原点O对应刻度尺的0刻度线，图中的虚线互相平行，则点M对应的数是______． 9．在中，点、分别在边、的延长线上，，，那么当______时，． 10．如图，在正方形中，，，，分别是它的四条边上的点，且，与四边形的边交于点．若，则___________度． 11．如图，矩形ABCD的顶点D在反比例函数的图象上，且点D在第一象限，顶点B，C在x轴上，对角线AC的延长线交y轴于点E，若BCE的面积是12，则k＝___． 三、解答题 12．如图是正方形网格，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图．    (1)在图1中，作的垂直平分线； (2)在图2中，作直线，使两平行线间的距离为． 13．如图，在中，点D是边上的一点，．    (1)尺规作图：作直线交于点E；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 14．如图，直线，分别交直线于点，，，交直线于点，，． (1)若，，，求的长； (2)若，，求的长． 15．已知矩形的一条边，是边上的一点，将矩形沿折痕折叠，使得顶点落在边上的点处，（如图1）． (1)求的长； (2)擦去折痕，连接，设是线段上的一个动点（点与点，不重合）．是延长线上的一个动点，并且满足，过点作，垂足为，连结交于点（如图2）． ①若M是的中点，求的长； ②试问当点M、N在移动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段的长度． 16．综合与实践 动手操作 利用正方形纸片的折叠开展数学活动．探究体会在正方形折叠过程中，图形与线段的变化及其蕴含的数学思想方法． 如图1，点为正方形的边上的一个动点，，将正方形对折，使点与点重合，点与点重合，折痕为． 思考探索 （1）将正方形展平后沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕为，连接，如图2． ①点在以点为圆心，_________的长为半径的圆上； ②_________； ③为_______三角形，请证明你的结论． 拓展延伸 （2）当时，正方形沿过点的直线（不过点）折叠后，点的对应点落在正方形内部或边上． ①面积的最大值为____________； ②连接，点为的中点，点在上，连接，则的最小值为 ． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A A C D A C C 1．【答案】A 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理的逆定理的应用，需注意比例线段的对应关系．根据平行线分线段成比例定理的逆定理，如果一条直线截三角形的两边所得对应线段成比例，则这条直线平行于第三边．选项A中比例关系符合逆定理条件，能推出；其他选项的比例关系不能保证平行． 【详解】解：选项A中，， 根据平行线分线段成比例定理的逆定理，则， 选项B、C、D的比例关系均不一定能推出，可排除， 故选：A 2．【答案】A 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，主要考查了第四比例线段的作法，要熟练掌握并灵活运用．根据第四比例线段的定义列出比例式，再根据平行线分线段成比例定理对各选项图形列出比例式即可得解． 【详解】解：即， ．根据作图可知：，符合题意，故该选项符合题意； ．根据作图可知：，不符合题意，故该选项不符合题意； ．线段x无法作出，不符合题意，故该选项不符合题意； ．线段x无法作出，不符合题意，故该选项不符合题意； 故选：A． 3．【答案】C 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键． 过点作于点，交于点，根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， ∵纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 4．【答案】D 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 5．【答案】A 【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、根据菱形的性质与判定求线段长、由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，菱形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，判定四边形是菱形是解此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．根据已知得出是线段的垂直平分线，推出，，求出，，得出四边形是菱形，根据菱形的性质得出，根据平行线分线段成比例定理得出，代入求出即可． 【详解】解：∵根据作法可知：是线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：A． 6．【答案】C 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例． 作交于点，交于点，由图可知，，根据平行线分线段成比例定理计算即可． 【详解】解：作交于点，交于点， 由图可知，， ∵，，，，为一组平行线， ∴． 故选：C． 7．【答案】C 【知识点】相似三角形的判定综合、选择或补充条件使两个三角形相似、利用两角对应相等判定相似、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似、利用平行判定相似 【分析】利用相似三角形的判定定理逐一分析判断即可． 【详解】解：①，， ，故①符合题意； ②， ，不能确定，故②不符合题意； ③，， ，故③符合题意； ④， ， 此时不确定，故不能确定，故④不符合题意； ⑤，， ，故⑤符合题意； 综上所述，符合题意的有3个． 8．【答案】 【知识点】由平行判断成比例的线段、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求出即可． 【详解】解：如图，由题意，得：，，，，    ∴， ∴， ∴点M对应的数是：； 故答案为：． 9．【答案】2 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查平行线分线段成比例．根据如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边进行求解即可． 【详解】解：由题意，当，即：时，； 故答案为：2． 10．【答案】22.5 【知识点】由平行判断成比例的线段、等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形 【分析】作EM//BC交AC于点M，证明△AEM是等腰直角三角形，可得AM=，再由平行线分线段成比例定理可证，从而可得AP=AE，然后根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：作EM//BC交AC于点M， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD//BC，∠BAC=90°，∠BAC=45°， ∴EM//AD， ∴∠AEM=90°， ∴△AEM是等腰直角三角形， ∴AE=EM． ∵AE2+EM2+AM2， ∴AM=， ∵EM//AD， ∴． ∵， ∴， ∴AP=AE， ∴∠AEP=∠APE=(180°-45°) ÷2=67.5°， ∴90°-67.5°=22.5°， 故答案为：22.5． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，以及平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解答本题的关键． 11．【答案】24 【知识点】坐标与图形、根据矩形的性质求线段长、根据图形面积求比例系数（解析式）、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】先设点D坐标为（m，n），则OC=m，CD=AB=n，k=mn再根据三角形面积公式可求得BC·OE=24，根据AB∥OE得出，即BC·OE=AB·OC，进而求解mn即可． 【详解】解：由题中矩形可知， AB=CD，CD⊥x轴，AB∥CD∥OE， 设点D坐标为（m，n），则OC=m，CD=AB=n， ∵矩形ABCD的顶点D在反比例函数的图象上， ∴k=mn， ∵BCE的面积是12， ∴·BC·OE=12，即BC·OE=24， ∵AB∥OE， ∴，即BC·OE=AB·OC=24， ∴k=mn=CD·OC=AB·OC=24， 故答案为：24． 【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义、矩形的性质、坐标与图形、平行线分线段成比例、三角形面积公式，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合思想将△BCE的面积和点D坐标联系起来是解答的关键． 12．【答案】(1) 图1中，即为所求． (2) 如图，直线即为所求 【知识点】由平行判断成比例的线段、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定证明 【分析】（1）根据正方形的判定和性质画出图形即可； （2）根据平行分线段成比例定理画出图形即可. 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，正方形的判定和性质，平行分线段成比例定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 13．【答案】(1) 如图所示， 直线即为所求； (2) 【知识点】由平行判断成比例的线段、尺规作一个角等于已知角 【分析】本题考查了作一个角等于已知角的尺规作图以及平行线分线段成比例． （1）根据作一个角等于已知角，再根据同位角相等，两直线平行即可作答； （2）根据平行线分线段成比例即可作答． 【详解】（1）略 （2）由作图可知， 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 14．【答案】(1) (2) 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】（1）由得到，然后代数求解； （2）由得到，然后结合得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵， ，即， ； （2）解：∵， ， ， ， ， ． 15．【答案】(1)10 (2)①；②不发生变化，长度为 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、由平行判断成比例的线段、等腰三角形的性质和判定、矩形与折叠问题 【分析】（1）设，根据折叠可得，，利用勾股定理，在中，，即，即可解答； （2）①过点A作于点G，根据勾股定理求出的长，由，所以，在中，由，，所以，根据M是的中点，所以H是的中点，根据中位线的性质得到； ②作，交于点Q，求出，，得出，根据，得出，根据，证出，得出，再求出，最后代入即可得出线段的长度不变． 【详解】（1）解：设，则，， 在中，， 即， 解得：， 即． （2）解：①如图2，过点A作于点G， 由（1）中的结论可得：，，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∵M是的中点， ∴ ∴H是的中点， ∴． ②当点M、N在移动过程中，线段的长度是不发生变化； 作，交于点Q，如图3， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， 在和中，， ∴． ∴， ∴． ∴当点M、N在移动过程中，线段的长度是不发生变化，长度为． 【点睛】此题考查了四边形综合，用到的知识点是全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，关键是做出辅助线，找出全等三角形． 16．【答案】（1）①；②；③等边（2）①3② 【知识点】折叠问题、根据正方形的性质证明、点与圆上一点的最值问题、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】（1）①利用圆的基本性质，即可求解； ②根据折叠的性质，利用勾股定理，即可求解； ③利用勾股定理，求得，即可求解； （2）①由题意知点在以点E为圆心，半径长为2的圆上，的面积要最大，只要以为底的高最长即可，此时当时，的面积最大； ②当E、、C三点共线时，取得最小值，即取得最小值，且最小值为的长，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）①点在以点E为圆心，的长为半径的圆上； ②根据折叠的性质知：，，， ， ； ③， ∴为等边三角形； 故答案为：①，②，③等边； （2）①∵， ∴， 故点在以点E为圆心，半径长为2的圆上， ∴的面积要最大，只要以为底的高最长即可， ∴当时，的面积最大，如图： 的面积最大值； ②∵， ∴， ∴， ∵P为的中点， ∴Q为的中点， ∴为的中位线， ∴，即， ∴， 当E、、C三点共线时，取得最小值，即取得最小值，且最小值为的长， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：①；②． 【点睛】本题考查了圆的性质，矩形的性质、图形的折叠、等腰三角形的性质等，有一定的综合性，难度适中，其中（2）①当时，△ABB'的面积最大；②当E、、C三点共线时，取得最小值是解本题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $