4.1 投影 课前预习2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 本同步练习围绕投影核心概念，通过基础巩固、中档应用、提升拓展三层设计，实现从概念理解到综合实践的进阶，培养几何直观与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|平行投影、中心投影、正投影概念|单选1（影子方向判断）、填空10（投影类型），直接考查核心定义，强化抽象能力| |中档应用|相似三角形计算、投影长度求解|解答15（路灯高度计算）、填空11（手影相似应用），结合简单情境，发展推理意识| |提升拓展|跨学科实践、综合问题解决|解答18（圭表测量）、填空13（圆桌投影坐标），融入历史情境与坐标知识，提升应用意识|

4.1 投影 课前预习2026-2027学年北师大版 九年级数学上册 一、单选题 1．下列四幅图形中，表示同一时刻、同一地点的两棵小树在阳光下的影子的图形可能是（ ） A． B． C． D． 2．如图，从点观测建筑物的视角是（    ） A． B． C． D． 3．在一天中的四个不同时刻，小红观察了一个物体在阳光照射下投射在地面上的影子，其位置如图所示．按照时间先后顺序排列，正确的是（   ） A．①②③④ B．④①③② C．④③①② D．②①③④ 4．如图，一块含角的直角三角形木板，将它的直角顶点放置于直线上，点，点在直线上的正投影分别是点，点，若，，则在直线上的正投影的长是（    ） A． B． C． D． 5．如图，夜晚冬冬从点出发沿直线走向点，行进路线经过某路灯的正下方．在此过程中，他的影子会（    ） A．一直变长 B．一直变短 C．先变长，后变短 D．先变短，后变长 6．如图所示是一种液面微变监视器的基本原理图，光束发射器从点处始终以一定角度向被监视的液面发射一束细光，光束在液面的处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点，光电转换器将光信号转换为电信号并通过显示器显示出来．当液面上升至时，入射点就沿着入射光线的方向平移至处，反射光线也跟着向左平移至处，交于点，在处的法线交于点处的法线为．若，，则液面从上升至的高度为（    ） A． B． C． D． 7．如图，一路灯距离地面5.6米，身高1.6米的小方从距离灯的底部（点）5米的处沿所在直线走了7.5米到达点处，那么小方在点处影子的端点到在点处影子的端点的距离为（   ） A．5米 B．5.5米 C．7米 D．10.5米 8．如图，将一块面积为的三角形硬纸板平行于投影面放置，在光源的照射下形成的投影是．若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图①、图②所示，这两个图形的正投影分别是______． 10．陶渊明“采菊东篱下”时，菊花在太阳光下的影子属于________投影．（填“平行”或“中心”） 11．如图1是我们小时候常玩的手影游戏．在一次游戏中，小明的手距离墙壁3米，光源与小明手的距离为1米，如图2，在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，则小明的手与光源的距离应______（填“增加”或“减少”）______米． 12．公元前6世纪，古希腊学者泰勒斯用图1的方法巧测金字塔的高度．如图2，小明仿照这个方法，测量圆锥形小山包的高度，已知圆锥底面周长为．先在小山包旁边立起一根木棒，当木棒影子长度等于木棒高度时，测得小山包影子长为（直线过底面圆心），则： （1）小山包的半径为______； （2）小山包的高为______．（取） 13．如图，小明家的客厅有一张高0.8米（即米）的圆桌，圆桌的直径为1米，点处有一盏灯，圆桌在此灯光下的影子最外侧两点分别为、，以所在直线为轴，过点且垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，已知图中所有的点均在同一平面内，轴，米，点的坐标为，则点的坐标是___________． 三、解答题 14．如图，投影线的方向如箭头所示，画出圆柱体的正投影． (1) (2) 15．如图，公路旁有两个高度相同的路灯，小明上午上学时发现路灯在太阳光下的影子恰好落到里程碑E处，他自己的影子恰好落在路灯的底部C处；晚自习放学时，小明站在上午同一个地方，发现在路灯的灯光下自己的影子恰好落在里程碑E处． (1)在图中画出小明的位置（用线段表示），并画出光线，标出太阳光、灯光； (2)若上午上学时，高1米的木棒在太阳光下的影子为2米，小明身高为米，他离里程碑E恰好2米，求路灯的高． 16．如图，小李、婷婷、小高同时站在路灯下，其中小李和小高的影子分别是． (1)请你在图中画出路灯灯泡所在的位置（用点表示）； (2)画出婷婷此时在路灯下的影子（用线段表示）； (3)若小李的身高为，他的影长为，他距路灯底部，求路灯的高度．（精确到0.1m） 17．如图是某校校史荣誉室的正方形网格平面图，实线表示墙体或门．在点处安装了360度旋转摄像头，由于墙体的遮挡，阴影部分无法监控，这部分无法监控到的区域通常称为监控盲区． （1）小红同学进入校史荣誉室随意参观，站在监控盲区的概率是多少？ （2）为了监控效果更好，使得监控盲区最小，请你帮助学校在墙体上重新设计摄像头安装的位置，画出示意图，并说明理由． 18．综合与实践 【项目主题】某数学兴趣小组的同学们准备研究并制作中国古代用于测量太阳影子长度的天文仪器——圭表． 【项目准备】 ①小组内同学协同制作了如图1所示的圭表，直立于平地上测日影的标杆，叫作表；正南正北方向平放的测定表影长度的刻板，叫作圭．通过观察记录这根杆正午时影子的长短变化来确定季节和节气的变化．夏至日影子最短，冬至日影子最长． ②秋分时，表的影子的长度等于夏至和冬至影子的长度的平均值． ③如图2，为同学们制作的表，，的长度为，为圭．经查阅资料，夏至时太阳光线与水平地面的夹角为，冬至时太阳光线与水平地面的夹角为． 参考数据：，，，，，． 【项目任务】 任务一：（1）求的长度． 任务二：（2）求秋分时，表的影子的长度． 任务三：（3）秋分正午时，该小组的同学测得旗杆的影子在水平地面上的长度为，求旗杆的长度． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A C C D B D D 1．【答案】A 【知识点】平行投影 【分析】本题考查平行投影的性质，同一时刻、同一地点下，不同物体的影子方向相同，且物高与影长成比例，据此对各选项进行分析判断． 【详解】解：A．影子的方向相同，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，故本选项符合题意； B．影子的方向不相同，故本选项不符合题意； C．影子的方向不相同，故本选项不符合题意； D．树高与影子长度不成正比，故本选项不符合题意． 故选：A． 2．【答案】A 【知识点】视点、视角和盲区 【分析】根据视角的定义，由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角，即可判断． 【详解】如图所示，根据视角的定义，建筑物两端发出的光线在眼球内交叉的角为， 故选：A． 【点睛】本题考查了视角的定义，解题的关键是熟悉并掌握视角的定义． 3．【答案】C 【知识点】平行投影 【分析】本题考查平行投影的特点和规律：在不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变．注意图上方向与实际方向的联系． 不同时刻物体在太阳光下的影子的大小、方向改变的规律：就北半球而言，从早晨到傍晚物体的影子的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长． 【详解】解：根据平行投影的特点和规律可知，④，③是上午，①，②是下午， 根据影子的长度可知先后为④③①②， 故选：C． 4．【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形实际应用、正投影 【分析】根据角所对的直角边等于斜边的一半，可得，求出的长，再根据勾股定理可得的长；通过证明，再根据相似三角形的性质可得的长，进而得出的长． 【详解】解：在中，，， ，， 在中，， ，， ， ， ， ， ， 即在直线上的正投影的长是， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行投影，掌握相似三角形的判断与性质以及勾股定理是解答本题的关键． 5．【答案】D 【知识点】中心投影 【分析】本题考查了中心投影，掌握中心投影的定义是解答本题的关键．根据接近光源时，影子会变短，远离光源时，影子会变长解答即可． 【详解】解：如图，夜晚冬冬从点走向点，他的影子会先变短，再变长． 故选：D． 6．【答案】B 【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的判定与性质求解、平行投影 【分析】本题考查了平行光线，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质．先证明四边形是平行四边形，求得，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 7．【答案】D 【知识点】相似三角形实际应用、中心投影 【分析】本题主要考查的是相似三角形在实际中的中心投影的应用．利用相似三角形可以求得和的长，然后结合图形求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， 解得：； 由题意得， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴长为米． 故选：D． 8．【答案】D 【知识点】利用相似三角形的性质求解、平行投影 【分析】本题考查了平行投影性质和相似三角形面积比，熟练掌握平行投影下图形的相似性质、相似三角形的相似比及其与面积比的关系，是解决本题的关键． 根据平行投影性质得与相似，求出相似比，再根据面积比等于位似比的平方即可求解． 【详解】解：， ． 由题意得：， ． ． ． 故选：D． 9．【答案】圆、矩形 【知识点】正投影 【分析】本题考查了正投影的定义，解题的关键是掌握正投影的定义． 根据正投影的定义，确定圆锥和圆柱在平行光线下垂直投影的形状即可． 【详解】解： 因为圆锥的底面是圆，从顶点向底面作正投影， 得到的是圆，所以圆锥在平行光线的正投影下，其投影形状为圆； 因为圆柱的侧面展开图是矩形，从侧面作正投影，得到的是矩形，所以圆柱在平行光线的正投影下，其投影形状为矩形； 故答案为：圆、矩形． 10．【答案】平行 【知识点】平行投影 【分析】本题考查了平行投影． 太阳光可视为平行光，因此影子属于平行投影． 【详解】解：太阳光线是平行的，所以菊花在太阳光下的影子是平行投影． 故答案为：平行． 11．【答案】 增加 1 【知识点】相似三角形实际应用、中心投影 【分析】本题考查了中心投影、相似三角形的判定与性质，解题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题，根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可． 【详解】解：如图：点为光源，为小明的手，表示小狗手影，则，作，延长交于，则， ， ， ， ， ， ， 令，则， ∵在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，如图， 即， ，即， ， ∴光源与小明的距离应增加米， 故答案为：增加，1． 12．【答案】 【知识点】相似三角形实际应用、平行投影 【分析】此题考查平行投影，解题关键是根据通过三角形相似，将小山包的高转化为的长进行求解．根据平行投影，即可得相似三角形，那么可得到，根据圆锥底面周长求出圆锥底面圆的半径，最后推论出高． 【详解】连接，过作于， 由题意可知， ∴ ∵圆锥底面周长为． ∴，解得， ∵, ∴ ∴小山包的高为． 故答案为：，． 13．【答案】 【知识点】相似三角形实际应用、中心投影 【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的实际应用，由题意可推出；得出，进而得到 ，结合即可求解． 【详解】解：由题意得：轴， ∴ ∴， ， 即： 故答案为： 14．【答案】(1) 解：圆柱从上向下的正投影如图； ． (2) 解：圆柱从上向下的正投影如图； ． 【知识点】正投影 【分析】本题主要考查了正投影的定义，确定从上方看和从左侧看到的图形是解题的关键． （1）画出圆柱从上向下看到的图形即可； （2）画出圆柱从左向右看到的图形即可． 【详解】（1）略 （2）略 15．【答案】(1) 如图所示： (2)米 【知识点】相似三角形实际应用、平行投影 【分析】本题考查了投影以及相似三角形的判定与性质等知识点，掌握相关结论即可． （1）根据题意即可作图； （2）由题意得身高为米的小明在太阳光下的影子为米，即，，，证，得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵上午上学时，高1米的木棒在太阳光下的影子为2米， ∴身高为米的小明在太阳光下的影子为米，即，， ∵小明离里程碑E恰好2米， ∴， 由题意得：， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴路灯的高为米． 16．【答案】(1) 点即为所求； (2) 如图，即为所求； (3)路灯的高度约为 【知识点】中心投影、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了中心投影，相似三角形的性质与判定： （1）连接点B和小李的头部并延长，连接点D和小高的头部并延长，两条射线交于点P，点P即为所求； （2）连接点P与婷婷的头部与地面交于E，则点E与婷婷脚部的连线线段即为所求； （3）过点P作交延长线于H，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：过点作，交的延长线于点 由题意得： ， ；即： 答：路灯的高度约为． 17．【答案】（1）； （2）如图所示：根据对称性，摄像头安装在线段上时，监控盲区的面积最小，此时，监控盲区面积=2××1×2=2， 若摄像头不安装在线段PQ上，则监控盲区面积=×(CM+2)×2＞2． 【知识点】视点、视角和盲区、几何概率 【分析】（1）分别求出荣誉室面积和盲区面积，再利用概率公式，即可求解； （2）根据对称性，把摄像头安装线段上，计算出监控盲区的面积最小，即可得到结论． 【详解】解：（1）设小正方形的边长为1， ∴荣誉室面积=2×2+2×2+2×6=20，盲区面积=2×2-×2×1=3， ∴站在监控盲区的概率=3÷20=； （2）略 【点睛】本题主要考查几何概率，掌握概率公式和方格纸的面积的计算，是解题的关键． 18．【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】平行投影、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，平行投影，熟知相关知识是解题的关键． （1）解直角三角形求出的长，则可求出的长； （2）根据秋分时，表的影子的长度等于夏至和冬至影子的长度的平均值求解即可； （3）根据同一时刻，同一地方物长与影长的比值一定列出比例式求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴ ∴； （2）∵秋分时，表的影子的长度等于夏至和冬至影子的长度的平均值． ∴； （3）设旗杆的长度为， 由题意得，， 解得， 答：旗杆的长度为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $