精品解析：广东省湛江市教研体联考2026-2027学年高三上学期开学数学试题

高三数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的实部为（ ） A. 1 B. 5 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以复数， 复数的实部为8. 2. 若椭圆的焦点在轴上，则的方程可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】焦点在轴的椭圆，满足的下面分母大于下面的分母，选项A,B,D都是下面的分母大， 只有选项C满足条件. 3. 若，，是三个互不重合的点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算将拆成，即可得到，从而得到垂直关系. 【详解】， 则，所以，即. 4. 某工厂抽检了个零件，并统计了这个零件的质量（单位：）的数据，得到如下表格： 质量/g 498 499 500 501 502 503 频数 48 56 16 20 50 30 由表可知这个零件的质量的第60百分位数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由表中数据可知，质量不超过的零件个数为，质量为的零件个数为， 因为，把这220个零件的质量按照从小到大的顺序排列， 第百分位数是第个与第个的平均数，因为第个与第个都是，所以第百分位数是. 5. 若一个三位数的十位数既大于个位数又大于百位数，则称这个三位数为伞数，其中十位数称为伞轴数．在用数字1，2，3，6，7，8组成的伞数中（可重复使用数字），伞轴数为7的伞数的总个数为（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 24 【答案】B 【解析】 【详解】由题意，伞数的十位数既大于个位数又大于百位数， 当伞轴数为7时，十位数为7，个位和百位只能从1，2，3，6中选， 则伞轴数为7的伞数的总个数为. 6. 设集合，，若的子集的个数为4，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由子集个数为，得到含有 2 个不同点，联立方程，只要就存在第二个不同交点. 【详解】集合的子集个数为，结合集合元素个数满足 ， 即中有2 个不同的交点， 联立，把代入得，得 ，即， 解得：，或， 对应点，点， 当时，，与是两个不同点，此时， 元素个数，子集数，满足题意； 当时，只有唯一交点，元素个数，子集数，不符合题意； 所以条件等价于，即. 7. 在同一平面直角坐标系内，函数 （，且），的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据图象确定参数的取值范围，再判断选项. 【详解】A.由可知，，，由的图象可知，，，参数取值不一致，故A错误； B. 由可知，，，由的图象可知，，，参数取值不一致，故B错误； C. 由可知，，，由的图象可知，，，参数取值一致，故C正确； D. 由可知，，，由的图象可知，，，参数取值不一致，故D错误； 8. 已知长方体的8个顶点均在球的球面上，，，二面角为，过线段的中点作球的截面，则该截面面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据长方体的性质得到为二面角的平面角，可得，进而求得，，可得球的半径为，，分析可得垂直于截面时，截面圆的面积最小，进而求解即可. 【详解】在长方体中，平面， 而平面，所以，又， 所以为二面角的平面角，即， 由，，则，即， 所以球的半径为，易得， 要使截面圆的面积最小，则垂直于截面，此时截面圆的半径为， 则截面面积的最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆：与圆：有公共点，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】由圆，圆的方程确定两圆的圆心和半径，结合条件可得，解不等式求的范围即可. 【详解】由题得圆：的圆心为，半径为； 圆：的圆心为，半径为； 因为圆与圆有公共点， 所以，又， 所以 由，可得， 由可得， 所以， 所以的最小值为，最大值为. 10. 若一个非等腰三角形的三条边的长度为，，，则（ ） A. 该三角形可能是锐角三角形 B. 该三角形不可能是钝角三角形 C. 当时，该三角形最小内角的余弦值为 D. 存在唯一的，使得该三角形的三边的长度可以构成等比数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，得到三角形三边长为，，．对于选项A、B、C，可借助特殊值法，代入不同的取值进行判断；对于选项D，先对三边长度情况进行分类讨论，再结合等比数列的性质，求得的方程，解出后，利用三角形三边关系判断是否满足题意． 【详解】令，则，，． 对于A，当时，该三角形的三边长为，，， 因为，所以该三角形最长边所对的角为锐角， 此时，该三角形为锐角三角形，A正确； 对于B，当时，，该三角形的三边长为，，， 该三角形最小内角的余弦值为，最大内角的余弦值为，则其最大内角为钝角，所以其为钝角三角形，B错误； 对于C，由上述可知，C正确； 对于D，因为，所以，． 当，即时，若三边的长度可以构成等比数列， 则，解得（负根已舍去），此时，满足要求； 当，即1时，若三边的长度可以构成等比数列， 则，解得舍去），此时，不满足要求． 所以存在唯一的，使得该三角形的三边的长度可以构成等比数列， 且，即，D正确． 11. 将容量为的总体分为两层，第一、二层的容量分别为，．现从这个总体中抽取容量为的样本，设第一、二层抽取的样本量分别为，，，，且．记简单随机抽样下，总体中两个特定不同个体都被抽中的概率为；记按比例分层随机抽样下，同属第一层、同属第二层、分属两层的两个特定不同个体都被抽中的概率分别为，，．下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式求，再逐项判断即可. 【详解】因为 从个个体抽个，包含指定个个体的抽样组合数为， 因此， 同理得，  结合关系，可得​​，， 所以，​ 又， 对于选项A；因为， 代入​​，化简得 ， 所以，A正确， 对于选项B；因为 结合选项A的结论，可得，B正确， 对于选项C，结合选项A的结论可得、， 所以  令，代入得：  ，显然​不成立，C错误， 对于选项D；因为， ， 因为，所以 结合，可得，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在点处的切线方程为_____________． 【答案】 【解析】 【详解】由题可得，所以曲线在点处的切线方程为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 13. 若双曲线：的离心率为，为的左支上一点，，分别为的左、右焦点，且，则_______________． 【答案】6 【解析】 【详解】由题可知，的标准方程为，离心率，解得， 由双曲线的定义可得，与联立，解得. 14. 定义符号函数，则函数的最小正周期为_______________，值域为_______________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】对于符号函数，可明确当取正数、零、负数时，能求得其函数值．对于化简得到的与是同号的，则，从而化简得到，再利用三角函数周期的判断方式即可得到其周期．然后对的取值范围进行分类讨论，化简函数中的绝对值符号与，借助辅助角公式与三角函数值域求法，求得原函数值域． 【详解】因为，且与同号， 所以． 因为符号函数， 所以，则． 因为函数，，的最小正周期分别为，，， 所以函数的最小正周期为，则的最小正周期为． 当时，，，， 则． 因为，所以的取值范围为． 当时，，，， 则． 因为，所以的取值范围为． 当时，，，， 则． 因为，所以的取值范围为． 当时，，，， 则． 因为，所以的取值范围为． 又，且的最小正周期为， 所以的值域为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 甲、乙参加激光射击体验项目，已知甲、乙每次射击命中目标的概率分别为，，且每人每次射击命中目标与否相互独立． （1）若甲、乙各射击1次，求这2人中恰有1人命中目标的概率； （2）若甲射击2次，乙射击1次，记甲、乙2人中至少命中目标1次的人数为，求的数学期望． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由独立事件概率乘法公式和互斥事件和事件概率公式即可求解； （2）确定的可能取值，求得对应概率即可求解. 【小问1详解】 若甲、乙各射击1次，则甲命中目标且乙未命中目标的概率为， 甲未命中目标且乙命中目标的概率为， 所以这2人中恰有1人命中目标的概率为． 【小问2详解】 的所有可能取值为0，1，2． 当时，甲两次均未命中目标且乙未命中目标， 所以． 当时，甲至少命中目标1次且乙命中目标，所以． 所以． 故． 16. 如图，三棱台的体积为，底面，为正三角形，，，且为的中点． （1）求． （2）证明：． （3）求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】（1） （2）证明：取的中点，连接，．因为为正三角形，所以． 根据三棱台的性质可得． 以为坐标原点，，的方向分别为，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，． 因为，， 所以，则，即 （3）． 【解析】 【详解】（1）解：因为为正三角形，所以根据三棱台的性质可得为正三角形， 由，，得的面积，的面积， 所以三棱台的体积，解得． （2）略 （3）解：连接，且． 设平面的法向量为， 则，， 令，得． 设直线与平面所成的角为， 则， 因为为锐角，所以，即直线与平面所成角的余弦值为． 17. 已知抛物线 ，的焦点分别为 ，且 . （1）求直线 的方程； （2）若直线 与从左到右分别交于 ， 两点，与 从左到右分别交于 ， 两点， 求 . 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据两焦点距离求出值得到焦点坐标，进而求出直线的方程； （2）再将直线分别与两个抛物线联立，得到四点的横坐标，由即可求解； 【小问1详解】 对于抛物线，其焦点坐标为， 对于抛物线，其焦点坐标为； 由两点间距离公式：， 已知，故，结合解得， 因此，直线的斜率， 由斜截式得直线方程为，即. 【小问2详解】 由（2）知,则，. 联立直线与的方程：， 设的横坐标为，得 联立直线与的方程：， 设的横坐标为，得， 因为点都在直线上，且斜率为， 所以 . 18. 如图，在矩形中，为边上的中点，，点，均在半圆的直径上，，均在半圆的弧上，作矩形，直线与半圆相切，点，均在半圆的直径上，，均在半圆的弧上，作矩形，如此无限继续下去，记矩形的面积为． （1）求； （2）求数列的通项公式； （3）若，求数列的前项和． 【答案】（1）4 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过直线与半圆相切，得到，即可求； （2）连接，通过，结合直线与半圆相切，得到，进而得到，即可求； （3）结合两角差的正切公式和裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 如图1，连接，则， 在矩形中，直线与半圆相切， 所以，，故． 【小问2详解】 如图2，连接，由题意可得：， 在矩形中，直线与半圆相切， 所以，． 由，得，所以， ，又， 所以是首项为2，公比为2的等比数列，故． 【小问3详解】 由（2）得，所以， 由，得， 所以数列的前项和： ． 19. 已知函数． （1）当时，证明：． （2）已知有三个极值点，记为，，． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 【答案】（1）证明：当时，，则． 令，得，在上单调递减，令，得，在上单调递增， 所以，即． （2）（ⅰ） （ⅱ）证明：不妨设． 由（ⅰ）知，当时，有三个极值点，且1为其中一个极值点，则， 且，，等式两边取对数并整理得，，． 设，则， 则，则在上单调递减，在上单调递增， 先证，即证，因为，且在上单调递增，所以只需证，即证． 令，， 则， 则在上单调递减，所以，则，则，则． 再证，即证，因为，且在上单调递减，所以只需证，即证． 令，，则，则在上单调递增，所以，则，则，所以． 故 【解析】 【分析】 (1) 消去参数后转化为纯指数函数不等式证明，通过求导研究函数单调性求出最大值，完成不等式放缩证明； (2)(i) 问对原函数求导因式分解后，把三个极值点问题转化为方程有两个不等于 1 的实根，借助数形结合得到参数的取值范围； (ii) 问确定一个极值点为 1，剩余两根做极值点偏移，分别证明两根和大于 2、积小于 1，判断两个因式符号，从而证出乘积小于 0. 【详解】（1）略 （2）（ⅰ）由，得或， 因为有三个极值点，所以有三个异号零点， 所以关于的方程有两个不等于1的解． 易知不是方程的解，设，则． 令，得或，在，上单调递减，令，得，在上单调递增． 当时，，若，则，若，则． 当时，，若，则，若，则． 所以，即的取值范围是． （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的实部为（ ） A. 1 B. 5 C. 8 D. 10 2. 若椭圆的焦点在轴上，则的方程可以为（ ） A. B. C. D. 3. 若，，是三个互不重合的点，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 某工厂抽检了个零件，并统计了这个零件的质量（单位：）的数据，得到如下表格： 质量/g 498 499 500 501 502 503 频数 48 56 16 20 50 30 由表可知这个零件的质量的第60百分位数为（ ） A. B. C. D. 5. 若一个三位数的十位数既大于个位数又大于百位数，则称这个三位数为伞数，其中十位数称为伞轴数．在用数字1，2，3，6，7，8组成的伞数中（可重复使用数字），伞轴数为7的伞数的总个数为（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 24 6. 设集合，，若的子集的个数为4，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在同一平面直角坐标系内，函数 （，且），的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知长方体的8个顶点均在球的球面上，，，二面角为，过线段的中点作球的截面，则该截面面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆：与圆：有公共点，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 10. 若一个非等腰三角形的三条边的长度为，，，则（ ） A. 该三角形可能是锐角三角形 B. 该三角形不可能是钝角三角形 C. 当时，该三角形最小内角的余弦值为 D. 存在唯一的，使得该三角形的三边的长度可以构成等比数列 11. 将容量为的总体分为两层，第一、二层的容量分别为，．现从这个总体中抽取容量为的样本，设第一、二层抽取的样本量分别为，，，，且．记简单随机抽样下，总体中两个特定不同个体都被抽中的概率为；记按比例分层随机抽样下，同属第一层、同属第二层、分属两层的两个特定不同个体都被抽中的概率分别为，，．下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在点处的切线方程为_____________． 13. 若双曲线：的离心率为，为的左支上一点，，分别为的左、右焦点，且，则_______________． 14. 定义符号函数，则函数的最小正周期为_______________，值域为_______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 甲、乙参加激光射击体验项目，已知甲、乙每次射击命中目标的概率分别为，，且每人每次射击命中目标与否相互独立． （1）若甲、乙各射击1次，求这2人中恰有1人命中目标的概率； （2）若甲射击2次，乙射击1次，记甲、乙2人中至少命中目标1次的人数为，求的数学期望． 16. 如图，三棱台的体积为，底面，为正三角形，，，且为的中点． （1）求． （2）证明：． （3）求直线与平面所成角的余弦值． 17. 已知抛物线 ，的焦点分别为 ，且 . （1）求直线 的方程； （2）若直线 与从左到右分别交于 ， 两点，与 从左到右分别交于 ， 两点， 求 . 18. 如图，在矩形中，为边上的中点，，点，均在半圆的直径上，，均在半圆的弧上，作矩形，直线与半圆相切，点，均在半圆的直径上，，均在半圆的弧上，作矩形，如此无限继续下去，记矩形的面积为． （1）求； （2）求数列的通项公式； （3）若，求数列的前项和． 19. 已知函数． （1）当时，证明：． （2）已知有三个极值点，记为，，． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $