广东揭阳部分高中2026-2027学年高三上学期开学摸底调研数学试题

2027届高三开学摸底调研 数学试题 本试卷共4页,19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项: 1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在 试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答:用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和 答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.底面半径与高均为1的圆锥侧面积为 A.元 B.√2 C.2 D.(1+√2) 2.已知角a的始边与x轴非负半轴重合,终边落在直线y=2x上,则tan = A.0 B.1 C.√2 D.2 3.已知平面向量a=(m,m一2),b=(2m,4),若a与b共线且m≠0,则m= A.4 B.3 C.6 D.2 4.某次线性回归分析中,仅得到两个样本数据点(1,2)和(3,4).若仅利用这两个数据点,用最小二 乘法得到的经验回归方程为 A.y=3 B.y=-x+5 C.y=x+1 D.y=x-1 5.设A={(x,y)||x+|y≤2,x,y∈Z},B={(x,y)x2+y2≤4,x,y∈Z},则CBA的元素个数为 A.0 B.1 C.2 D.4 6.已知f(x)=sin(,WBx+p)(lp<受),且h(x)=f(x)+f(x)是偶函数,则p A.-至 B.- C.g D. 7.甲、乙两个转盘均标有数字1,2,3.甲转盘指向1的概率为p,指向2,3的概率相等;乙转盘指向 1的概率为q,指向2,3的概率相等,其中p,q∈(0,1).现独立地转动两转盘各一次,若“甲转盘 指向1”与“两个转盘指向相同的数字”相互独立,则q A B号 c D号 8.若函数f(x)=e十xlnx-ax的最小值为一1,则a= A.1 B.e-1 C.e D.e+1 数学第1页(共4页) 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知复数之=(a十i)3的实部等于a(a>0),且之和x2在复平面内对应的点分别为A,B,则 A.a=1 B.|z=55 C.A在第一象限内 D.B在第四象限内 10.某圆台的上底面与下底面圆心分别为O1,O2,半径分别为1,2.点A,B分别为上,下底面圆周 上的动点,且对任意A,B,直线AB与直线O1O2所成角大于30 ,则 A.OO<3 B.AO2>√2 C.直线BO与下底面所成角恒小于45 D.平面AOB与平面AO2B的夹角恒小于90 11.某厂在直线导轨上等距加工一列安装孔,测距模块与各孔中心共线,各孔均位于模块同侧,并 按到模块的距离由小到大编号,且孔数足够多.三点倍率标定时,需依次选择三个孔,使它们到 模块的距离构成递增等比数列.现场配有边长为L、对角线长为D的正方形检具.则 A.后两个标定孔的中心距大于前两个标定孔的中心距 B.第1孔到模块的距离为2L、孔距为L时,可选第1、3、7孔 C.第1孔到模块的距离为L十D、孔距为D时,可以完成标定 D.若有两个孔到模块的距离分别为L,D,则该孔列无法完成标定 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.抛物线y2=2px的焦点也是双曲线x2一2y2=1的一个焦点,则p= 13.竖直高为17m的楼上有一盏聚光灯,且该聚光灯为唯一光源.高为1.70m的人在零时刻从楼 底以4.5/s的速度水平直线远离楼底,则该人影子长度的变化率为 14.锐角 ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若2 a2sin B+2 abcos A=b(a2+2),则b的取 值范围为 .D为BC边上一点,且满足3BD=4CD,则AD的取值范围为 .(第 一空2分,第二空3分) 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分) 如图所示为四棱锥P一ABCD,已知底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD且AB=4,PA= AD=2. (1)证明:CD⊥PD; (2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值. 数学第2页(共4页) GD 16.(本小题满分15分) 已知数列{am}的前n项积Tm=n十1. (1)求{am}的通项公式; (2)若对任意正整数n,n十入≥a+a2十…十a,,求入的最小值. a23 an+l 17.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=e2x-2e-x,g(x)=e-1-xear-x2. (1)证明:f(x)>一2; (2)当a≤-1时,证明:g(x)≥0. 数学第3页(共4页) 18.(本小题满分17分) 设m,n,k均为正整数,且m≥2,k≤m一1.现需要对由m台同型号服务器组成的随机调度系 统进行测试,测试程序连续发送指令,每次测试指令均由系统独立、等可能地分配给其中一台服务 器.前n次测试结束后,记X,为至少接受过一次测试的服务器台数. (1)当m=n=4时,求X4的分布列; (2)证明:mP(Xm+1=k+1)=(k+1)P(Xm=k+1)十(m-k)P(Xm=k); (3)当n≥一1时,随着测试次数增加,判断实现全部服务器测试覆盖的概率的变化情况,并 给出证明 19.(本小题满分17分) 卫知辅圆C后+ =1(a>b>0)的右焦点为F,C上一点P1,)满足PF⊥x轴 (1)求C的方程; (2)过F且斜率为k的直线与C交于A,B两点. (1)记直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,求k1十k2一2k; ( )若直线PA,PB分别与x轴交于点Q,R,证明: PQR的外接圆经过异于P的定点. 数学第4页(共4页)】 GD参考答案及解析 数学 2027届高三开学摸底调研 数学参考答案及解析 一、选择题 1一D1一2.由事件E与事件F相互独立，得四 2 1.B【解析】圆锥的母线长为l=√+1平=√2，所以 =p(pg1-2）0-2).因为b∈(0,1)，所以g 圆锥的侧面积为S=πrl=π×1X√2=√2π.故选B. 2 2.D【解析】在角的终边上任取异于原点的点 01-P1-2,即2g=2pg十1-D-g十pg,整理 2 P(x,y),由y=2x,得ana=义=2Z=2.故选D. 得3g(1-p)=1-少.因为1-p≠0，所以9=号.故 3.A【解析】由题意可得a∥b,a=(m,m-2),b= 选B (2m,4),所以4m-2m(m-2)=0,解得m=4或m 8.D【解析】设函数f(x)在x=x。处取得最小值-1， =0(舍去).故选A. 其中xo>0,故有f'(xo)=0.由f(x)=e+lnx十1 4.C【解析】设经验回归方程为y=bx十a,由于两个 -a,得a=e0十lnxo十1.又f(xo)=-1,所以e'o十 样本点的横坐标不同，存在唯一一条直线同时经过这 xlnx-x(eo十1nx0十1)=-1，整理得(1一 两个样本点，此时残差平方和为0，达到最小值，因此 x0)(e0十1)=0.因为e0+1>0,所以x0=1,从而a 6专号=1，再由2=1十a,得a=1,故经验同归方程 =e十1.当a=e+1时，f(x)=e+lnx-e.当0<x 为y=x十1.故选C <1时，f(x)<0,f(x)单调递减；当x>1时，f(x) >0,f(x)单调递增，所以f(x)在x=1处取得最小 5,A【解析】若(x,y)∈A,则x2十y2≤(x+y)2≤ 值，且f(1)=-1,符合题意，故选D. 4,所以A三B.若(x,y)∈B,当xy=0时，x十y≤ 二、选择题 2;当xy≠0时，由x,y∈Z及x2+y2≤4，得x=y 9.BC【解析】由z=(a十i)3=(a3-3a)十(3a2-1)i, =1,从而x十y=2,所以B二A.因此A=B,故 实部等于a,得a-3a=a,即a(a2-4)=0,又a>0, CA=⑦，其元素个数为0.故选A. 得a=2,故A错误；此时=2+11i,e=√/22+11 6.C【解析】由f(x)=sin(3x十o),得f(x) =55,且点A(2,11)在第一象限内，故B,C正确；又 √3cos(W3x十p),所以h(.x)=(cosp-V3sinp)sinW3x 之=(2+11i)2=-117+44i,对应点B(-117,44)在 十(sine十√3cosp)cos√3x,由于h(x)为偶函数，所 第二象限内，故D错误.故选BC 以对任意x,均有h(x)-h(-x)=2(cosp-√3sinp)· 10.AC【解析】设OO2=h,线段AB在下底面内的投 n1=0.取r2得c0p5mg0,从面 影长度为p,则由两底面半径分别为1,2，得p≥1，且 当O,A,O2B方向相同时等号成立.设直线AB与直 mg怎结合g<号得g=吾做选C 线00所成角为9，则1am0=片，由题意得大> 7.B【解析】设事件E表示“甲转盘指向1”，事件F表 示“两个转盘指向相同的数字”，则P(E)=, m30-怎，所以<厅，故A正确：取友=1，则对 P(EnF)=pg,P(F)=g+2X1,P×1,9=pg十 任意A,B,均有tan≥1> ,满足题意，但AO2= 2 2 3 GD 数学 参考答案及解析 √+1=√2，故B错误；设直线BO1与下底面所成 理得p一2p-4=0,即(p一2)(p2十2p十2)=0.因 角为则an9=合<<1=m45,所以5 为p+2p十2=（p+1)2+1>0,所以p=2.故答案 为2. 放C正确：取h=厄，令1=15，并取0(00.0， 13.0.5m/s【解析】设人在某时刻与楼底的水平距离 2 O(0,0√2)，A(1,0,√2)，B(2t,2√1-t产，0)，则两 为，影长为，由相似三角形得，整理得 x十l 平面AOB,AO2B的法向量可分别取(0，√2， 1=奇，因为人每秒远离楼底4.5m,所以影长每秒 2√1-F),(-2√21-平，22t,2√1-t),二者 增加4.5=0.5m,故影长的变化率为0.5m/s.故答 的数量积为4t十4(1一)=0，此时两平面夹角为 9 90°，故D错误.故选AC 案为0.5m/s. 11.ABD【解析】设第n个孔到模块的距离为rn=a十 14.2,2):(22四，12 7,7 【解析】由正弦定理得sinB (n-1)d,其中a>0,d>0.选取第i,j,k个孔，其中i <j<k,令p=j-i,q=k-j,若其距离构成递增等 bsinA,代入已知等式并约去b,得a十2=2a· 比数列，则(5十pd)2=,[,十(p十q)d],整理得 (sinA+cosA).因为sinA十cosA≤√2，且2√/2a≤ pd=r(q-p).因为n>0,d>0,所以q>p,从而 a+2,所以a2十2=2a(sinA十cosA)≤2√2a≤a 后两个标定孔的中心距gd大于前两个标定孔的中 十2，从而两处等号同时成立，得a=√2，A=45°，因 心距d,故A正确：同时行产D为有理数当第1 为三角形为锐角三角形，所以45°<B<90°，由正弦 孔到模块的距离为2L,孔距为L时，第1,3,7孔到 定理得b=2sinB,故√2<b2.由3BD=4CD及BC 模块的距离依次为2L,4L,8L,构成等比数列，故B =2,得BD=4y2,CD=3Y.设∠ADB=,由B, 7 正确；由正方形的对角线长D=√2L,当a=L十D,d D,C三点共线，得cos∠ADC=-cosA.在△ABD =D时·分1十方为龙理数，而任意孔均有号 和△ACD中，由余弦定理得c=AD+BD 号十-1为无理数，不可能清足号一产，故C错 2AD·BDcos0,b2=AD2十CD2+2AD·CDcos 6. 因此bBD+c2CD=(AD+CD+2AD· 误；若有两个孔到模块的距离分别为L,D,则存在正 CDcos 0)BD(AD2+BD-2AD.BDcos 0)CD= 整数m,使得D-L=md,若距离为L的孔是第s个 (BD+CD)AD2BD.CD(BDCD)=BC(AD2 孔，则号当一-(g-1)=mE+1D-(-1)为无理 BD·CD),所以AD=46+3c24 7 5令x=B 数，因此该孔列不能选出三个孔完成标定，故D正 45°，则0°<x<45°，且b=√2(sinx十cosx),c= 确.故选ABD 三、填空题 20s,从而AD=碧+8如2r5os2红，取悦角 12.2【解析】由双曲线px2-2y=1,所以p>0,其焦 3 4 9,使sin9=号，cos9=行，则8sin2x+6c0s2.x= 点为(=√十，0小，抛物线y=2x的焦点为 10sin(2x+p).当0°<x<45时，6<10sin(2x+p)≤ (号0）由题意得号=√十两边平方并整 10,所以智<AD≤错故2厘<AD≤号故答 ·%2· GD 参考答案及解析 数学 案为，2(，号] (2)记b,= am=(n十1)2 (5分) an+l n(n+2), 四、解答题 则b,=1十 =1+号（） (8分) 15.解：(1)由四边形ABCD为矩形，且PA⊥平面ABCD, 得AD⊥CD,PA⊥CD, (2分) 所以6十6十…十6=n十受(1+号-清 因为PA∩AD=A,PA,ADC平面PAD, 所以CD⊥平面PAD. )=n+子-号（点十n2)长m+1分） 又因为PDC平面PAD,所以CD⊥PD. (5分) 即产是（十）对vn∈N成立. (2)由四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD, (12分) 所以AB⊥AD,PA⊥AB,PA⊥AD 以A为原点，分别以AB,AD,AP所在直线为x轴、 易知fm)=圣-（点十2）递增， y轴、之轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 故fm)<是故心是 (14分) 所以入的最小值为子 (15分) 17.解：(1)f(x)=2e2-2e-1. (2分) D 令f)=0,得=a1 (4分) x 则B(4,0,0),D(0,2,0),C(4,2,0),P(0,0,2), 所以f(x)在(-o∞，x)单调递减，在(x0,十∞)单 所以P3=(4,0,-2),DC-=(4,0,0),D2=(0,-2,2). 调递增， (5分) (8分) 图此)≥f)=(19）-2x1E 设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,x), 则n·DC=0,n…D2=0,故n=(0,1,1).(10分) n1士E--5-n15>-1-1=-2.7分) 2 2 2 设直线PB与平面PCD所成的角为O, (2)当a≤-1时，xer-xex=xex[ea+x一l]≤ 则si血9=cos(Pim=D店·n 0,即xer≤xe-x, PBn 故只需证明e-1-xe-x2≥0. (9分) 2 2 10 √4+(-2)F√+1 25.2 10 设h(x)=e-1-xex-x2, (12分) 则h'(x)=e-(1-x)ex-2x (11分) 设p(x)=h'(x),则p(x)=e2-(x-2)ex-2. 所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为√C 10 由(1)知，e2x-2e-x+2>0, (13分) 所以ep'(x)=e2x-2e-x+2>0, 16.解：(1)当n=1时，a1=T1=2. (1分) 从而'(x)>0, 当心2时=石只，且=1也满足此式 p(x)在(-∞，十∞)单调递增. (13分) 因为p(0)=h'(0)=0, (3分) 所以当x∈(-o,0)时，h(x)<0,h(x)单调 所以{a,}的通项公式为a,=”十 (4分) 递减； ·3· GD 数学 参考答案及解析 当x∈(0，十o)时，h'(x)>0,h(x)单调递增， 所以P(X+1=k+1)=生里p(X,=k+1)+m一k m m 因此h(x)≥h(0)=0.g(x)≥0得证. (15分) ·P(Xn=k), 18.解：(1)当m=n=4时，每次测试指令有4种等可能 也即得mP(X,+1=k十1)=(k十1)P(X,=k十1)十 的分配结果，故4次测试指令共有41=256种等可 能的分配结果.X1的所有可能取值为1,2,3,4. (m一k)P(Xn=k). (12分) (3)在(2)中取k=m-1, (1分) 当X,=1时，4次测试指令均分配给同一台服务器， mP(X+=m)=mP(X,=m)+P(X,=m-1). 故PX=D=章-品 (2分) 所以P(X+1=m)-P(X,=m)=1P(X,=m m 当X1=2时，先从4台服务器中选出2台，再将4次 1). (14分) 测试指令分配给这2台服务器，且每台服务器至少 当n≥m一1时，考虑如下分配结果：前一1次测试 接受一次测试，故P(X,=2)=C(21-2=21 指令分别分配给m一1台不同的服务器，其余n一m 41 641 十1次测试指令均分配给其中第一台服务器，该分 (3分) 当X,=3时，接受两次测试的服务器有4种选择，这 配结果发生的概率为（品）广>0，且在该分配结果下 两次测试的位置有C号种选择，其余两次测试分别分 有Xn=m-1. (16分) 配给另外3台服务器中的2台，共有A号种分配方 因此PX,=m-D≥（元）广”>0， 法，故P(X,=3)=4CA=9 (4分) 4 161 从而P(X+1=m)-P(Xn=m)>0. 当X,=4时，4次测试指令分别分配给4台服务器， 故当n≥一1时，实现全部服务器测试覆盖的概率 A13 随测试次数增加而增大 (17分) 故P(X1=4)= 4-321 (5分) 19.解：(1)记F(c,0),则由PF⊥x轴可知c=1, 所以X,的分布列如表 从而a2-b2=1. (1分) X 1 2 3 又因为2+品=1， 1 21 9 3 64 64 16 32 所以a-1+是a=a2(a-1), (6分) (2)增加一次测试后，至少接受过一次测试的服务器 解得a=4或d=子（合去）. (3分) 台数只能保持不变或增加1，因此事件Xm+1=k十1 因此C的方程为号+苦=1 (4分) 可分为两种互斥情况，若Xn=k十1，则第n十1次测 3 试指令需要分配给这k十1台已经接受过测试的服 (2)(i)设A(x1y1),B(x2,2),直线AB的方程 务器中的一台，该情况发生的概率为P(X,=k 为y=k(x-1). 2 +1). (8分) 由 得(3十4k2)x2-8k2x+4k2-12 若X,=k,则第n十1次测试指令需要分配给其余m y=k(x-1) 一k台尚未接受过测试的服务器中的一台，该情况 0, (6分) 发生的概率为二P(X,=k). 8k2 (10分) 所以x十x=3十46.9二46-12 m 3十4k2 ·4 GD 参考答案及解析 数学 3 3 由D可得十=号=-3。 x1-1 x1-1 9 同理，k,=k一2(x2-1) (8分) 所以(q-1)(,-1)=(2k-321)(2k-32) 9 9 所以+-2张=-号（十）》 4k一4k—3-46=一3干4环' q十r-2=-3· 4k-3(1十2)12k-6 (2k-3≈1)(2k-322)3十4k 21 x1x2-1-x2十1 =-号×82283依 8k2-2(3十4k2) (9+r-5)=6 3 =-×8=-1. x0-3, (10分) (ⅱ)由圆的几何性质，只需证明△PQR的外心在定 直线上 故1在定直线1：y=号-}上， (15分) 设Q(q,0),R(r,0),△PQR的外心为I(xyo), 从而△PQR的外接圆始终经过点P',其中P为P 记-1 关于（的对称点. 直线PA的方程为y一是=(k-子)(x-1), 由轴对称的性质可知，直线PP的斜率为-号，且线 3 故q=1一2k-3 段PP的中点M为直线PP'与l的交点， y=. 2 1 同理=1一2k-32 3 5x4 联立 得M器器) 由|IQ|=|IR|得，(xo-q)2十y6=(xo-r)2十 y- =- 坊，解得。=安 故on=20i-0币得p'(9-器)， 由|1Q|=|IP|得，(x-q)2+6=(x-1)2 综上，△PQR的外接圆经过异于P的定点 (。-号)广解得%=(9-0+g)小.12分) P'() (17分) ·%5 GD