第二十五章 一元二次方程 章末测试 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 人教版2024九年级上一元二次方程章末测试，覆盖定义、解法及实际应用，梯度合理适配单元复习，体现数学思维与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10小题|方程定义、解法选择、根的判别式|结合电影票房（第7题）等情境，基础巩固| |填空题|5小题|配方法求最值、根的判别式应用|几何直观（第14题面积问题），能力提升| |解答题|7小题|多种解法、根的判别式证明、增长率/利润模型|综合应用（第22题头盔销售利润），体现模型意识与推理能力|

人教版（2024）九年级上 第二十五章 一元二次方程 章末测试 一．选择题（共10小题） 1．若关于x的方程（3-a）x2-x=0是一元二次方程，则a的取值范围（　　） A．a≠0 B．a≠3 C．a＜3 D．a＞3 2．若关于x的一元二次方程x2+2x+m-1=0有一个根为1，则m的值为（　　） A．-2 B．-1 C．1 D．2 3．用配方法解一元二次方程x2-6x=3，配方正确的是（　　） A．（x+3）2=12 B．（x-3）2=12 C．（x+3）2=3 D．（x-3）2=3 4．一元二次方程x2-2x=x的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 5．解一元二次方程x2-2x=0，最适合的方法是（　　） A．直接开方法 B．因式分解法 C．配方法 D．公式法 6．若关于x的一元二次方程kx2+2x-1=0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≥-1且k≠0 B．k≥-1 C．k＞-1 D．k＞-1且k≠0 7．某部电影一经上映便受到广大观众的喜爱，已知第一天票房为2亿元，前三天票房累计约10亿元．若每天票房的增长率都为x,依题意可列方程为（　　） A．2（1+x）=10 B．2（1+x）2=10 C．2+2（1+x）2=10 D．2+2（1+x）+2（1+x）2=10 8．某单位响应绿色环保倡议，提出要节约用纸，逐步走向“无纸化”办公．据统计，该单位4月份用纸量为1000张，6月份用纸量下降至640张．则该单位用纸量的月平均下降率是（　　） A．8% B．10% C．15% D．20% 9．已知a是关于x的一元二次方程x2+3x-4=0的一个解，则2a2+6a+1的值为（　　） A．8 B．-8 C．9 D．-9 10．若关于x的一元二次方程kx2+4x-4=0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≥-1 B．k≤-1 C．k＞-1且k≠0 D．k≥-1且k≠0 二．填空题（共5小题） 11．已知（m-2）x|m|+3x+2=0是关于x的一元二次方程，则m=______． 12．关于x的二次三项式x2+2x+2的最小值是______． 13．若关于x的一元二次方程x2+x-m=0有实数根，则m的取值范围是 ______． 14．如图，在一块长AB=14m、宽BC=10m的长方形场地ABCD上，中间的阴影部分是一条宽度处处相等的小路，空白部分为劳动实践基地．如果劳动实践基地的面积为125m2，那么小路的宽度为______m. 15．已知α，β是关于x的一元二次方程x2-2x-3m2=0的两个实数根，且α+2β=5，则m=______． 三．解答题（共7小题） 16．（2025秋•三穗县期中）用适当的方法解下列方程： （1）x2-6x+3=0； （2）x2-3x=2x-6． 17．已知关于x的方程x2+ax+a-2=0． （1）证明：不论a取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）当a=1时，求该方程的根． 18．关于x的一元二次方程（ax-1）2=x有两个实数根x1，x2． （1）求实数a的取值范围． （2）求代数式的最大值或最小值． 19．某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为28米． （1）这个车棚的长和宽分别应为多少米？ （2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？ 20．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=10cm,BC=16cm,动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，连接PQ．如果P，Q两点分别从，A，B两点同时出发，出发时间为t（t＞0，单位：s）．有下列结论： （1）PB=______cm,BQ=______cm（用含t的式子表示）； （2）S△PBQ=______cm2（用含t的式子表示），S△PBQ的最大值是______； （3）当△PBQ的面积是9时，t的值是______． 21．某公司生产一种产品，当年产量至少为20吨，但不超过100吨时，其每吨的售价y（万元）与年产量x（吨）的函数关系如图所示． （1）求y关于x的函数解析式；（不用写定义域） （2）当这种产品的总售价为2400万元时，求该产品的年产量．（注：总售价=每吨售价×年产量） 22．骑车出行遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售400个，9月份销售576个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，经市场预测，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨0.5元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售量利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 人教版（2024）九年级上 第二十五章 一元二次方程 章末测试 (参考答案) 一．选择题（共10小题） 1、B 2、A 3、B 4、D 5、B 6、A 7、D 8、D 9、C 10、D  二．填空题（共5小题） 11、-2； 12、1； 13、m≥-； 14、1.5； 15、±1；  三．解答题（共7小题） 16、解：（1）x2-6x+3=0， ∴x2-6x+9=-3+9， ∴（x-3）2=6， ∴， 解得：，． （2）x2-3x=2x-6， ∴（x-3）（x-2）=0， ∴x-3=0或x-2=0， ∴x1=3，x2=2． 17、（1）证明：Δ=a2-4（a-2）=a2-4a+8=（a-2）2+4． ∵（a-2）2≥0， ∴（a-2）2+4＞0，即Δ＞0， ∴不论a取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）解：当a=1时，原方程为x2+x-1=0， Δ=12-4×1×（-1）=5， ∴x1=，x2=． 18、解：（1）由条件可得a2x2-（2a+1）x+1=0． ∵有两个实数根x1，x2， Δ=（2a+1）2-4a2 =4a+1≥0， ∴， 同时，二次系数a2≠0，即a≠0， ∴a的取值范围为，且a≠0； （2）由根系关系，得． ∴令 = =a2-2a-1+1 =a2-2a=（a-1）2-1． 当a=1时，y最小=-1． 19、解：（1）设平行于墙的边长为x米，则垂直于墙的边长为米， 依题意得：x•=80， 整理得：x2-28x+160=0， 解得：x1=8，x2=20． 又∵这堵墙的长度为12米， ∴x=8， ∴=10． 答：这个车棚的长为10米，宽为8米． （2）设小路的宽度是m米，则停放自行车的区域可合成长为（10-m）米，宽为（8-2m）米的长方形， 依题意得：（10-m）（8-2m）=54， 整理得：m2-14m+13=0， 解得：m1=1，m2=13． 当m=1时，10-m=9，8-2m=6，符合题意； 当m=13时，10-m=-3，不合题意，舍去． 答：小路的宽度是1米． 20、解：（1）根据题意得：PB=（10-t）cm,BQ=2t cm. 故答案为：（10-t），2t； （2） = =-t2+10t =-（t-5）2+25， ∴， 当t=5时S△PBQ最大值=25． 故答案为：-t2+10t,25； （3）当S△PBQ=9时，-（t-5）2+25=9， 解得t1=1，t2=9， 由题意知P点从A点运动到B点需10÷1=10秒，Q点从B点运动到C点需要16÷2=8秒， ∴0＜t≤8， ∴t2不符合题意，舍去， ∴t=1， 故答案为：1． 21、解：（1）设y关于x的函数解析式为y=kx+b（k≠0）， 将（20，70），（100，30）代入y=kx+b得：， 解得：， ∴y关于x的函数解析式为y=-0.5x+80； （2）根据题意得：x（-0.5x+80）=2400， 整理得：x2-160x+4800=0， 解得：x1=40，x2=120（不符合题意，舍去）． 答：该产品的年产量为40吨． 22、解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x, 根据题意得：400（1+x）2=576， 解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不符合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%； （2）设该品牌头盔的实际售价应定为y元，则每个的销售利润为（y-30）元，月销售量为600-×5=（1000-10y）个， 根据题意得：（y-30）（1000-10y）=10000， 整理得：y2-130y+4000=0， 解得：y1=50，y2=80， 又∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴y=50． 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元． 学科网（北京）股份有限公司 $