26.2.2　 第1课时　二次函数y=ax²＋k的图象和性质 教学设计 2026-2027学年数学人教版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦二次函数y＝ax²＋k的图象和性质，通过彩虹桥实际情境（中间抛物线解析式y＝－x²＋10）导入，衔接上节课y＝ax²知识，以描点法画图象为支架，梳理开口方向、对称轴、顶点坐标及平移规律。 资料特色在于“观察—归纳—类比—猜想”探究过程，例1、例2通过列表描点对比y＝x²＋1与y＝x²－1等函数图象，培养几何直观和推理意识，结合桥梁实例渗透应用意识，助力学生发展抽象能力与创新意识，为教师提供清晰教学流程，提升课堂效率。

26.2.2　 第1课时　二次函数y＝ax2＋k的图象和性质 教学目标 1.会用描点法画出二次函数y＝ax2＋k的图象，并能说出开口方向、对称轴和顶点坐标. 2.理解二次函数y＝ax2＋k和二次函数y＝ax2的关系. 3.通过经历探究二次函数y＝ax2＋k的图象平移的规律，体验观察、归纳、类比、猜想的探索过程. 重点难点 重点：二次函数y＝ax2＋k的图象和性质. 难点：二次函数y＝ax2＋k和y＝ax2图象之间的关系. 教学过程 情景导入 许多桥梁都采用抛物线形设计，小明将他家乡的彩虹桥（如图①所示）按比例缩小后，绘制成如图②所示的示意图.图中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁，x轴表示桥面，y轴经过中间抛物线的最高点，左右两条抛物线关于y轴对称.经过测算，中间抛物线的解析式为y＝－x2＋10，那么这个二次函数图象是怎么画出来的呢？ 探究新知 探究点一　二次函数y＝ax2＋k的图象 【例1】在同一平面直角坐标系中，画出二次函数y＝x2＋1与y＝x2－1的图象. 【解析】利用列表、描点、连线画函数图象. 【解】列表： x … －2 －1 0 1 2 … y＝x2＋1 … 3 1 3 … y＝x2－1 … 1 － －1 － 1 … 　　描点、连线：用平滑的线顺次连接，如图. 探究点二　二次函数y＝ax2＋k的性质 【例2】在同一平面直角坐标系中画出二次函数y＝x2＋1与二次函数y＝－x2－1的图象.再从抛物线的开口方向、开口大小、形状、对称轴、顶点、增减性等方面说出两个函数图象的相同点与不同点. 【解析】先画出二次函数的图象，再分析两个二次函数图象的相同点与不同点. 【解】函数图象如图所示. 抛物线y＝x2＋1与抛物线y＝－x2－1的相同点：开口大小相同，形状相同，对称轴都是y轴. 抛物线y＝x2＋1与抛物线y＝－x2－1的不同点： 抛物线y＝x2＋1开口向上，顶点坐标是（0，1）. 当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大. 抛物线y＝－x2－1开口向下，顶点坐标是（0，－1）.当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小. 探究点三　二次函数y＝ax2与y＝ax2＋k的图象的位置关系 【例3】抛物线y＝ax2＋c与y＝－5x2的形状相同，开口方向一样，且顶点坐标为（0，3），则其所对应的函数解析式是什么？它是由抛物线y＝－5x2怎样平移得到的？ 【解析】由于抛物线y＝ax2＋c与y＝－5x2的形状相同，且开口方向一样，所以a＝－5，再利用顶点坐标可求出抛物线的解析式，最后根据抛物线平移的规律判断抛物线y＝－5x2是怎样平移得到抛物线y＝ax2＋c的. 【解】∵抛物线y＝ax2＋c与y＝－5x2的形状相同，开口方向也相同， ∴a＝－5. 又∵其顶点坐标为（0，3）， ∴c＝3， ∴抛物线的解析式为y＝－5x2＋3. 抛物线y＝－5x2＋3是由抛物线y＝－5x2向上平移3个单位长度得到的. 【规律总结】y＝ax2＋ky＝ax2y＝ax2－k（k＞0）.简记为“常数项加减上下移”，有关性质可结合图象分析. 课堂训练 1.抛物线y＝－3x2＋2的开口　　　　，对称轴是　　　　，顶点坐标是　　　　，函数有最　　　　值，最　　　　值为　　　　. 2.将二次函数y＝2x2－1的图象沿y轴向上平移2个单位长度，所得图象对应的函数解析式为　　　　　　　　　　　　　. 板书设计 第1课时　二次函数y＝ax2＋k的图象和性质 1.图象和性质：抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性. 2.图象的平移：上加下减. 课堂小结 本节课我们学会作二次函数y＝ax2和y＝ax2＋k的图象，并能比较它们的异同；能说出两个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；熟悉二次函数y＝ax2的图象上下平移的规律，体会了类比的思想. 教学反思 　　通过本节课的学习，学生学会在同一平面直角坐标系中，动手画二次项系数相同的二次函数图象.类比上节课所用的方法，通过观察图象，探究得出二次函数y＝ax2＋k的性质及其图象与y＝ax2的图象之间的位置关系，即函数图象的平移规律.学生亲身经历由特殊到一般的探究过程，体会数形结合思想在数学中的应用. 答案 课堂训练 1.向下　y轴　（0，2）　大　大　2 2.y＝2x2＋1 学科网（北京）股份有限公司 $