第7讲 二次函数一般式（2） 优等生讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦二次函数一般式（2）核心内容，系统梳理三种表达式（一般式、顶点式、交点式）及转化方法，衔接图象特征（开口方向、对称轴、顶点坐标等）与几何变换（平移、旋转、对称）规律，构建从表达式到性质应用的学习支架。 资料以“图象”为核心抓手，通过思维导图总览知识体系，知识总结表梳理关键内容，分考点例题精讲（如平移变换、区间最值）培养几何直观与推理能力，创新题结合实际问题提升模型意识。课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

第7讲 二次函数一般式（2） 优等生讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册 （精讲+典例+创新题+练习） 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解 二次函数 y = ax² + bx + c（a≠0）的三种表达式（一般式、顶点式、交点式）及其相互转化。 · 掌握 二次函数的图象特征：开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值，能熟练运用配方法求顶点。 · 理解 二次函数图象的几何变换（平移、旋转）规律，掌握“左加右减、上加下减”的口诀。 · 熟练运用 待定系数法，根据已知条件（三点、顶点、与 x 轴交点等）求二次函数解析式。 · 掌握 二次函数在给定区间上的最值问题，能结合图象分析参数对最值的影响。 · 体会 数形结合、分类讨论、方程思想在二次函数综合题中的应用。 ✨ 核心思想：以“图象”为抓手，贯通“式”与“形”，灵活运用变换与待定系数法。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 二次函数的三种表达式 · 一般式：（），适用于已知图象上任意三点的坐标。 · 顶点式：，顶点坐标为 ，对称轴为 ，适用于已知顶点坐标。 · 交点式（两根式）：，其中 为抛物线与 轴交点的横坐标，适用于已知与 轴交点。 ☆ 二次函数的图象与性质 · 开口方向：由 决定。当 时，开口向上；当 时，开口向下。 越大，开口越窄。 · 对称轴：直线 （一般式）；（顶点式）。 · 顶点坐标： 一般式：； 顶点式：。 · 最值： 当 时，抛物线开口向上，顶点为最低点，函数有最小值 （顶点式）或 ； 当 时，开口向下，顶点为最高点，函数有最大值。 · 增减性： 当 时，在对称轴左侧 随 增大而减小，右侧 随 增大而增大； 当 时相反。 图形示意（文字描述）： · 开口向上（a>0）：抛物线形状如“U”，顶点在最低处，对称轴垂直通过顶点。 · 开口向下（a<0）：抛物线形状如“∩”，顶点在最高处，对称轴垂直通过顶点。 ☆ 二次函数图象的几何变换 · 平移变换： · 左右平移：，口诀“左加右减”（ 变化）。 · 上下平移：，口诀“上加下减”（ 变化）。 · 总口诀：“左加右减，上加下减”，即向左平移 个单位， 变为 ；向下平移 个单位， 变为 。 · 旋转变换（绕原点旋转180°）： · 开口方向相反，顶点 变为 ，解析式变为 （顶点式）。 · 对称变换： · 关于 轴对称： 变为 ； · 关于 轴对称： 变为 。 平移示意图（文字说明）： 原函数 顶点 (0,0)。 向左平移2个单位 → ，顶点 (-2,0)； 向右平移2个单位 → ，顶点 (2,0)； 向上平移2个单位 → ，顶点 (0,2)。 ☆ 待定系数法求二次函数解析式 【例】已知一个二次函数的图像经过点 A(4,5)、 B(2,-3) 、 C(1,-4) 。 （1）求这个二次函数的表达式。 （2）写出这个二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点以及图像的变化规律。判断该图像有最高点还是最低点，并求出其坐标。 1. 求二次函数表达式 设所求二次函数的表达式为： 将三点坐标代入，得方程组： ① − ②，得： ② − ③，得： 由 ④ 和 ⑤ 联立： 解得： 将 ( a = 1 )，( b = -2 ) 代入 ③ 中： 因此，这个二次函数的表达式为： 2. 图像性质分析 将解析式配方为顶点式： 由此可得： · 开口方向：向上（因为 ( a = 1 > 0 )） · 对称轴：直线 ( x = 1 ) · 顶点坐标：(1, -4) · 变化规律： · 在对称轴左侧（( x < 1 )），图像下降； · 在对称轴右侧（( x > 1 )），图像上升。 · 最值：该图像有 最低点，坐标为(1, -4)。 3. 知识点总结 · 一般步骤：① 设出合适的函数表达式（一般式、顶点式、交点式）；② 将已知点的坐标代入，列出方程（组）；③ 解方程（组）求出待定系数；④ 写出解析式。 · 选用策略： · 已知三点坐标 → 设一般式 ； · 已知顶点坐标 → 设顶点式 ； · 已知与 轴交点 → 设交点式 。 · 注意：待定系数法体现了“方程思想”，是初中数学的重要方法。 ☆ 二次函数的最值问题 · 无区间限制：直接利用顶点坐标求最值。 时，最小值 ； 时，最大值 。 · 给定区间 ： · 若对称轴在区间内，则顶点处取一个最值（开口向上取最小值，开口向下取最大值），区间端点处取另一个最值； · 若对称轴在区间外，则函数在区间上单调，最值在区间端点处取得。 · 方法：配方法 → 确定对称轴 → 比较区间端点与对称轴的位置 → 求最值。 ☑ 知识总结表 类别 核心内容 方法/公式 一般式 （） 对称轴 ， 顶点 顶点式 顶点 ，对称轴 交点式 与 轴交点为 ， 开口方向 由 决定： 向上， 向下 越大，开口越窄 最值 顶点处取得（ 最小值， 最大值） 平移变换 左加右减（），上加下减（） 旋转180° 开口反向，顶点关于原点对称 待定系数法 设式 → 代入 → 解方程 → 得解析式 根据条件选一般式、顶点式或交点式 核心考点 ·典型例题方法精讲 【考点1】二次函数图象与几何变换（第1-14题） ※ 方法总结 · 平移规律：“左加右减，上加下减”。向左平移 个单位， 变为 ；向下平移 个单位， 变为 。 · 旋转180°：开口方向相反，顶点 变为 ，解析式 。 · 对称变换：关于 轴对称， 变为 ；关于 轴对称， 变为 。 · 平移距离：顶点平移的距离即为图象平移的距离，可用两点间距离公式计算。 · “平衡点”问题：同时满足平移前后两个函数解析式的点，联立方程求解。 1．（2026•宿城区二模）将抛物线y＝x2+2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的解析式为（　　） A．y＝x2+2x+2 B．y＝x2+2x﹣2 C．y＝（x﹣2）2+2x D．y＝（x+2）2+2x 【分析】根据上加下减的原则得出解析式即可． 【解答】解：由“上加下减“平移规律知：将抛物线y＝x2+2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为y＝x2+2x﹣2， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，掌握平移规律是解题的关键． 2．（2026•海珠区校级二模）对于抛物线y＝7（x﹣2）2﹣1，下列说法正确的是（　　） A．可由抛物线y＝7x2﹣1向左平移2个单位长度得到 B．当x＞2时，y随x的增大而增大 C．与y轴无交点 D．顶点坐标是（﹣2，﹣1） 【分析】根据二次函数顶点式的特点，结合平移规律、顶点坐标、增减性、与坐标轴交点的判断方法，逐一分析选项即可． 【解答】解：根据抛物线平移规律“左加右减”，y＝7x2﹣1向左平移2个单位长度，得到y＝7（x+2）2﹣1，故选项A不符合题意； 由条件可知抛物线顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x＝2， ∴抛物线开口向上，对称轴为x＝2， ∴当x＞2时，y随x的增大而增大，故选项B符合题意； 当x＝0时，y＝7×（﹣2）2﹣1＝27， ∴该抛物线与y轴交于（0，27），与y轴存在交点，故选项C不符合题意； 抛物线顶点坐标为（2，﹣1），不是（﹣2，﹣1），故选项D不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握该知识点是关键． 3．（2025秋•重庆校级月考）抛物线，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．抛物线关于直线x＝3对称 C．抛物线顶点坐标为（﹣3，﹣7） D．抛物线与y轴交于点（0，﹣7） 【分析】根据二次函数的顶点式的性质，包括开口方向、对称轴、顶点坐标和与y轴交点，据此相关性质进行逐项分析，即可作答． 【解答】解：由抛物线解析式可知图象开口向下，对称轴为直线x＝﹣3，顶点坐标为（﹣3，﹣7）， 故A，B选项不符合题意，C选项符合题意； 当x＝0时，， ∴抛物线与y轴交点为（0，﹣11.5）， 故D选项不符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的顶点式的性质，包括开口方向、对称轴、顶点坐标和与y轴交点，熟练掌握以上知识点是关键． 4．（2026•相城区二模）已知抛物线y＝x2﹣bx﹣3向左平移3个单位长度后，得到的抛物线正好与原抛物线关于y轴对称，则b的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3 【分析】求得平移前后的抛物线的对称轴，根据平移后的抛物线正好与原抛物线关于y轴对称，得到关于b的方程，解方程即可． 【解答】解：抛物线y＝x2﹣bx﹣3的对称轴为直线x， ∴抛物线y＝x2﹣bx﹣3向左平移3个单位长度后，得到的抛物线的对称轴为直线x3， ∵平移后的抛物线正好与原抛物线关于y轴对称， ∴3＝0， ∴b＝3． 故选：D． 【点评】本题考查了二函数的图象与几何变换，轴对称的性质，求得平移前后的抛物线的对称轴是解题的关键． 5．（2026•浙江模拟）将抛物线y＝3x2向下平移2个单位长度，所得新抛物线的表达式为y＝3x2﹣2　 ． 【分析】根据二次函数图象与几何变换解答即可． 【解答】解：根据二次函数图象的平移法则可知： 将抛物线y＝3x2向下平移2个单位长度，新抛物线的表达式为y＝3x2﹣2． 故答案为：y＝3x2﹣2． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握该知识点是关键． 6．（2023秋•乌鲁木齐期中）如图所示，已知抛物线C1，抛物线C2关于原点中心对称．如果抛物线C1的解析式为y＝（x+2）2﹣1，那么抛物线C2的解析式为 y＝﹣（x﹣2）2+1　 ． 【分析】根据抛物线C1的解析式确定抛物线的开口方向及顶点坐标，然后结合中心对称的性质确定抛物线C2的开口方向及顶点坐标，即可求解． 【解答】解：抛物线C1的解析式为y＝（x+2）2﹣1， ∴抛物线C1的开口向上，顶点坐标为（﹣2，﹣1）， ∵抛物线C1，抛物线C2关于原点中心对称， ∴抛物线C2的开口向下，顶点坐标为（2，1）， 抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+1． 故答案为：y＝﹣（x﹣2）2+1． 【点评】本题主要考查了二次函数的基本性质及关于原点中心对称的点的特点，熟练掌握运用二次函数的基本性质是解题关键． 7．（2026•道外区一模）将抛物线y＝x2+2的图象先向上平移4个单位再向右平移3个单位，得到新的抛物线的顶点坐标为　（3，6）　 ． 【分析】先确定原抛物线的顶点坐标，再根据平移规则计算平移后的顶点坐标即可． 【解答】解：原抛物线y＝x2+2的顶点坐标为（0，2）， 先向上平移4个单位，顶点纵坐标加4，得到顶点坐标为（0，6）， 再向右平移3个单位，顶点横坐标加3，得到新的顶点坐标为（3，6）， 故答案为：（3，6）． 【点评】本题考查了二次函数的平移，掌握二次函数的平移是解题的关键． 8．（2025秋•环翠区校级期中）将抛物线y＝ax2+bx﹣2向上平移3个单位长度后，经过点（﹣2，5），则8a﹣4b﹣13的值是　﹣5　 ． 【分析】将抛物线向上平移后得到新解析式，代入给定点坐标得到关于a、b的方程，再变形目标代数式求值． 【解答】解：抛物线y＝ax2+bx﹣2向上平移3个单位长度后，解析式为y＝ax2+bx+1． 由条件可得5＝a×（﹣2）2+b×（﹣2）+1， 5＝4a﹣2b+1， 4a﹣2b＝4， 2a﹣b＝2， 则8a﹣4b﹣13＝4（2a﹣b）﹣13，代入2a﹣b＝2得： 4×2﹣13＝8﹣13＝﹣5， 故答案为：﹣5． 【点评】本题考查了二次函数的平移，代数式求值，熟练掌握以上知识点是关键． 9．（2023秋•西湖区校级月考）将二次函数y＝x2﹣4x+5绕顶点旋转180°后的函数表达式是 y＝﹣（x﹣2）2+1　 ． 【分析】将函数图象其绕顶点旋转180°后，开口大小和顶点坐标都没有变化，变化的只是开口方向，据此可得出所求的结论． 【解答】解：∵y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1， ∴抛物线y＝x2﹣4x+5的顶点坐标为（2，1）， 将二次函数y＝x2﹣4x+5绕顶点旋转180°后，得y＝﹣（x﹣2）2+1． 故答案为：y＝﹣（x﹣2）2+1． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此题的关键． 10．（2025春•同步）将抛物线y＝（x+3）2向下平移4个单位长度，再向右平移 　1或5　 个单位长度后，得到的新抛物线经过原点． 【分析】先求出抛物线y＝（x+3）2向下平移4个单位长度后与x的交点坐标，然后再求出新抛物线经过原点时平移的长度． 【解答】解：抛物线y＝（x+3）2向下平移4个单位长度后的解析式为y＝（x+3）2﹣4， 令y＝0，则（x+3）2﹣4＝0， 解得，x1＝﹣1，x2＝﹣5， ∴抛物线y＝（x+3）2﹣4与x的交点坐标为（﹣1，0）和（﹣5，0）， ∴将抛物线y＝（x+3）2﹣4向右平移1个单位或5个单位后，新抛物线经过原点． 故答案为：1或5． 【点评】此题考查了二次函数图象的平移与几何变换．由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 11．（2025•冠县二模）二次函数y＝a（x﹣m）2+k（a，m，k为常数，且a≠0）中x和y满足下表： x … ﹣2 ﹣1 1 3 5 6 … y … 5 0 ﹣4 0 12 21 … 将原抛物线平移得到新抛物线，若点P（n，5）在新抛物线上，则n的值为 　±3　 ． 【分析】根据表格求得对称轴进而得出（2，5），（4，5）在抛物线y＝a（x﹣m）2+k上，根据平移得出（n﹣1，5）在y＝a（x﹣m）2+k，即可求解． 【解答】解：依题意，抛物线向左平移1个单位得出，点P（n，5）在新抛物线上， ∴（n+1，5）在y＝a（x﹣m）2+k上， 观察表格可得（﹣2，5）在抛物线上， 又对称轴为直线， ∴（4，5）也在原抛物线上， ∴n+1＝﹣2或n+1＝4， ∴n＝﹣3或3． 故答案为：±3． 【点评】本题考查了二次函数的平移，熟练掌握平移法则是关键． 12．（2025秋•鹿城区校级月考）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点P（1，8），且对称轴为直线x＝2． （1）求该二次函数的表达式； （2）将该二次函数的图象左右平移后，所得新图象经过原点，请写出平移的方式； （3）当t≤x≤t+2时，二次函数y＝﹣x2+bx+c的最大值与最小值的差为m，且m≥2，求实数t的取值范围． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可． （2）先将二次函数化为顶点式，设平移后的函数解析式，再根据新图象经过原点，求出平移的单位，从而确定平移方式； （3）先求出二次函数的顶点坐标，确定其最值情况．然后分三种情况讨论：t+2≤2（区间咋对称轴左侧）；t≥2（区间在对称轴右侧）；t＜2＜t+2（对称轴在区间内），分别求出每种情况下的最大值和最下值，再根据最大值与最小值的差m≥2，求出t的取值范围． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点P（1，8），且对称轴为直线x＝2， ∴， ∴， ∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2+4x+5； （2）∵y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9， 设将其左右平移h个单位后，函数解析式为y＝﹣（x﹣2﹣h）2+9， ∵新图象经过原点（0，0）， ∴0＝﹣（0﹣2﹣h）2+9， 即（2+h）2＝9， 开方得2+h＝±3， 当2+h＝3时，h＝1；当2+h＝﹣3时，h＝﹣5， ∴平移方式为：向右平移1个单位或向左平移5个单位． （3）∵抛物线的开口向下，对称轴是直线x＝2，顶点坐标为（2，9），当x＝2时，y有最大值9． ①当t+2≤2，即t≤0时，函数在x＝t取最小值，x＝t+2时取最大值，函数在t≤x≤t+2范围内递增． 此时x＝t时，y有最小值ymin＝﹣t2+4t+5； 当x＝t+2时，y有最大值ymax＝﹣（t+2）2+4（t+2）+5＝﹣t2+9， m＝ymax﹣ymin＝（﹣t2+9）﹣（﹣t2+4t+5）＝﹣4t+4， ∵m≥2， ∴﹣4t+4≥2， 解得t， ∵t≤0， ∴t≤0． ②当t≥2时，函数在t≤x≤t+2范围内递减． 此时x＝t时，y由最大值ymax＝﹣t2+4t+5； x＝t+2时，y有最小值 ymin＝﹣（t+2）2+4（t+2）+5＝﹣t2+9， 则m＝ymax﹣ymin＝4t﹣4， ∵m≥2， ∴4t﹣4≥2， ∴t， ∵t≥2， ∴t≥2． ③t＜2＜t+2，即0＜t＜2时，y的最大值为9， 若2﹣t≥t+2﹣2，即0＜t≤1时，x＝t时y取的最小值ymin＝﹣t2+4t+5， 则m＝9﹣（﹣t2+4t+5）＝t2﹣4t+4＝（t﹣2）2． ∵m≥2， ∴（t﹣2）2≥2，解得t≥2或t≤2， ∵0＜t≤1， ∴0＜t≤2， 若2﹣t＜t+2﹣2，即1＜t＜2时，x＝t+2时y取得最小值ymin＝﹣t2+9， m＝9﹣（﹣t2+9）＝t2， ∵m≥2， ∴t2≥2， 解得t或t， ∵1＜t＜2， ∴t＜2， 综上，实数t的取值范围是t≤2或t． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求二次函数的解析式，图象的平移、函数的最值等，分类求解是解题的关键． 13．（2025秋•内黄县月考）在二次函数中，x与y的几组对应值如下表所示． x … ﹣1 0 1 2 … y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 … （1）该二次函数的顶点坐标是　（1，﹣4）　 ，并求该二次函数的表达式； （2）在给出的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； （3）将该二次函数的图象向右平移个单位长度后得到一个新图象，在新图象上，当n﹣2≤x≤n+1时，函数的最小值为﹣3，直接写出n的值． 【分析】（1）先通过观察表中数据求得顶点坐标，再利用顶点式求解即可； （2）将表中数据通过描点，连线画函数图象； （3）先利用平移规律求出平移后的抛物线解析式，再分，两种情况讨论，分别求出n的值． 【解答】解：（1）∵当x＝0与x＝2时，函数值都是﹣3， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当x＝1时，y＝﹣4， ∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）， ∴设二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4， 又当x＝﹣1时，y＝0， ∴（﹣1﹣1）2a﹣4＝0， ∴a＝1， ∴二次函数的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4， 故答案为：（1，﹣4）； （2）如图， （3）y＝（x﹣1）2﹣4的图象向右平移个单位长度后得到的一个新图象的解析式为，即， 其顶点是，开口向上，最小值是﹣4（在顶点处）， ∵在新图象上，当n﹣2≤x≤n+1时，函数的最小值为﹣3， ∴不在n﹣2≤x≤n+1范围内， 令， 解得：，， 即当或时，的最小值为﹣3， 当时， ∴， 此时n﹣2≤x≤n+1在对称轴的左边， y随x的增大反而减小， 当x＝n+1时，y取到最小值﹣3， ∴， 解得：，（舍去）， 当时， ∴， 此时n﹣2≤x≤n+1在对称轴的右边， y随x的增大而增大， 当x＝n﹣2时，y取到最小值﹣3， ∴， 解得：（舍去），， 综上，或． 【点评】本题考查了y＝a（x﹣h）2+k的图象和性质，把y＝ax2+bx+c化成顶点式，y＝ax2+bx+c的最值，待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的平移等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 14．（2026•衢江区模拟）已知抛物线y＝﹣x2+bx﹣5，点A（1，0）在此抛物线上． （1）求b的值； （2）若点B（5，y1），C（m，y2）在该抛物线上，且y1＜y2，求m的取值范围； （3）将此抛物线向左平移n（n＞0）个单位，设平移中抛物线与y轴的交点为D（0，d），令d的最大值和最小值分别为d1，d2，若d1﹣d2＝12，求n的值． 【分析】（1）将点A坐标代入计算即可； （2）根据（1）中的结果，得出抛物线的解析式，据此结合抛物线的对称性及增减性即可解决问题； （3）对n≤3和n＞3的情况进行分类讨论，得出关于n的方程，据此求出n的值即可． 【解答】解：（1）由题知， 将A（1，0）代入y＝﹣x2+bx﹣5得， ﹣1+b﹣5＝0， 解得b＝6； （2）由（1）知， 抛物线表达式为y＝﹣x2+6x﹣5， 所以对称轴为直线x＝3， 则B（5，y1）关于直线x＝3对称点得坐标为（1，y1）． 因为抛物线的开口向下且y1＜y2， 所以1＜m＜5； （3）因为y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4， 所以抛物线的对称轴为直线x＝3，顶点坐标为（3，4），开口向下且与y轴的交点坐标为（0，﹣5）， 则当n≤3时，d1不超过4且d2＝﹣5， 所以此时不存在d1﹣d2＝12的情况； 当n＞3时，d1＝4． 又因为d1﹣d2＝12， 所以d2＝﹣8， 则平移后的抛物线与y轴交于点（0，﹣8）． 将点（0，﹣8）代入y＝﹣（x+n﹣3）2+4得， ﹣（n﹣3）2+4＝﹣8， 解得n或n（舍去）， 所以n的值为． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的最值，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 【考点2】二次函数的最值（第15-23题） ※ 方法总结 · 配方法：将一般式化为顶点式 ，直接读出最值 。 · 区间最值：先求对称轴，判断对称轴与给定区间的位置关系： · 对称轴在区间内 → 顶点处取一个最值，端点处取另一个； · 对称轴在区间外 → 区间端点为最值点。 · 最大值与最小值之差：利用对称性，结合开口方向，比较端点与顶点的函数值。 · 含参最值：分类讨论对称轴与区间的位置关系，建立方程求参数。 15．（2025秋•黄岩区期末）已知二次函数y＝ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（4，﹣1）． （1）求二次函数图象的对称轴； （2）若a＞0，当3≤x≤5时，函数最大值为9，求a的值； （3）已知函数图象经过A（t﹣1，m）、B（3﹣t，n），且n＜m＜b﹣1，求t的取值范围． 【分析】（1）利用待定系数法与二次函数的性质解答即可； （2）利用二次函数的性质得到当x＝5时，函数最大值为9，再利用待定系数法解答即可； （3）利用二次函数的性质得到a＜0，且t﹣1≠2，则t≠3，再利用二次函数的性质列出不等式解答即可． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（4，﹣1）， ∴16a+4b﹣1＝﹣1， ∴b＝﹣4a， ∴x2． ∴二次函数图象的对称轴为直线x＝2； （2）∵对称轴为直线x＝2，a＞0， ∴抛物线的开口向上，当x＞2时，y随x的增大而增大， ∵当3≤x≤5时，函数最大值为9， ∴当x＝5时，函数最大值为9， 由（1）知：b＝﹣4a， ∴y＝ax2﹣4ax﹣1， ∴25a﹣20a﹣1＝9， ∴a＝2． （3）∵y＝ax2+bx﹣1， ∴当x＝2时，y＝b﹣1， 即二次函数的极值为b﹣1， ∵n＜m＜b﹣1， ∴二次函数有最大值， ∴a＜0，且t﹣1≠2， ∴t≠3． ∵n＜m， ∴|t﹣1﹣2|＜|3﹣t﹣2|， 解得：t＞2 综上，t的取值范围为t＞2且t≠3． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，数形结合的思想方法，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 16．（2021秋•德城区校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4mm/s的速度移动．已知P，Q分别从A，B同时出发． （1）求△PBQ的面积S与出发时间t的函数关系式，并求出t的取值范围； （2）P在AB何处时，△PBQ的面积最大？ 【分析】（1）首先由路程、速度、时间的关系可得AP＝2t，BQ＝4t，BP＝12﹣2t；再由直角三角形的面积公式S△PBQBP•BQ，即可得出S与t的函数关系式，注意t的取值范围； （2）根据二次函数的性质易求得S△PBQ的最大值． 【解答】解：（1）由题意可得AP＝2t，BP＝12﹣2t，BQ＝4t，其中0＜2t＜12， 所以S＝（）×4t×（12﹣2t）， 整理，得：S＝﹣4t2+24t（0＜t＜6）． （2）∵S＝﹣4t2+24t＝﹣4（t﹣3）2+36， ∴当t＝3时，S取得最大值，为36． 故S与t的函数解析式为S＝﹣4t2+24t（0＜t＜6）． 当t为3s时，△PBQ的面积最大，为36mm2． 【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，可以根据函数关系式判断随着自变量的变化相应的函数图象如何变化． 17．（2025秋•东台市期末）若二次函数y＝﹣x2+4x+9在t≤x≤t+3的范围内的最大值为4，则实数t的值为（　　） A．﹣4或5 B．﹣1或5 C．﹣1或7 D．﹣4或7 【分析】二次函数开口向下，顶点为（2，13），最大值为13．由于要求区间内最大值为4（小于13），故对称轴为直线x＝2不在区间内，即区间完全在对称轴左侧或右侧．分两种情况讨论：①区间在左侧时，最大值在右端点取得；②区间在右侧时，最大值在左端点取得．分别解方程求t，并验证区间条件． 【解答】解：若二次函数y＝﹣x2+4x+9在t≤x≤t+3的范围内的最大值为4， ∵y＝﹣x2+4x+9＝﹣（x﹣2）2+13， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，13），为最高点， ①当x≤2时，抛物线随x的增大而增大， ∴当t+3＜2，即t＜﹣1，函数有最大值4， ∴﹣（t+3）2+4（t+3）+9＝4， 解得t＝﹣4或t＝2（舍去，t＜﹣1）， ∴t＝﹣4； ②当x≥2时，抛物线随x的增大而减小， ∴当t＞2时，即函数有最大值4， ∴﹣t2+4t+9＝4， 解得t＝5或t＝﹣1（舍去）， ∴t＝5， 综上，t的值为﹣4或5， 故选A． 【点评】本题考查二次函数的最值问题，熟练将二次函数解析式化为顶点式，再根二次函数的性质分两种情况解答是解题关键． 18．（2025秋•龙岩期末）若实数m，n满足m+n2＝3，则m2+10n2的最小值为（　　） A．3 B．5 C．7 D．9 【分析】根据m+n2＝3得到n2＝3﹣m≥0，m≤3，令y＝m2+10n2，得到y＝（m﹣5）2+5，根据二次函数的性质作答即可． 【解答】解：由题意可得：n2＝3﹣m≥0， ∴m≤3， 令y＝m2+10n2， 则y＝m2+10（3﹣m）＝（m﹣5）2+5， 根据二次函数的性质可得； 对称轴为直线m＝5， ∵a＝1＞0，m≤3， ∴当m＝3时，y最小值＝9． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 19．（2026春•萧山区月考）已知实数x、y满足x2+3x+y﹣3＝0，则y+x的最大值为　4　 ． 【分析】由x2+3x+y﹣3＝0，则y＝﹣x2﹣3x+3，故x+y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，然后利用二次函数的性质即可得到结论． 【解答】解：∵x2+3x+y﹣3＝0， ∴y＝﹣x2﹣3x+3． ∴x+y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4． ∵a＝﹣1＜0， ∴当x＝﹣1时，x+y的最大值为4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 20．（2026•阳谷县校级模拟）若二次函数y＝﹣x2﹣2x+c有最大值7，则c的值为　6　 ． 【分析】将二次函数解析式配方为顶点式，根据二次函数有最大值7，列出关于c的方程，求解即可得到c的值． 【解答】解：将二次函数解析式配方为顶点式可得y＝﹣（x2+2x）+c＝﹣（x+1）2+1+c， ∴二次函数开口向下， ∴二次函数的最大值为1+c， ∴1+c＝7， 解得c＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握该知识点是关键． 21．（2025秋•鲤城区校级期末）二次函数y＝x2+2x+m的最小值是﹣2，则m的值为　﹣1　 ． 【分析】先把y＝x2+2x+m配成顶点式得到y＝（x+1）2+m﹣1，根据二次函数的性质得到当x＝﹣1时，y有最小值为m﹣1，根据题意得m﹣1＝﹣2，然后解方程即可． 【解答】解：y＝x2+2x+m＝（x+1）2+m﹣1， ∵a＝1＞0， ∴当x＝1时，y有最小值为m﹣1， ∴m﹣1＝﹣2， ∴m＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了二次函数的最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法． 22．（2025秋•上虞区期中）已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，3），（2，﹣5）． （1）填空：b＝　﹣2　 ，c＝　3　 ． （2）当0≤x≤2时，求函数的最小值． （3）当﹣4≤x≤3时，求函数y＝﹣x2+bx+c的最大值与最小值的差． 【分析】（1）（0，3）是与y轴的交点，可得c＝3，再将（2，﹣5）代入求值，可求得b的值； （2）根据二次函数的解析式y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，利用二次函数的增减性可知x＝2时，y取得最小值y＝﹣22﹣2×2+3＝﹣5； （3）根据二次函数的解析式y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，当﹣4≤x≤3时，仅当x＝﹣1时，y取得最大值；仅当x＝3时，y取得最小值；再计算y的最大值与最小值之差． 【解答】解：（1）∵函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，3），（2，﹣5）． ∴c＝3，y＝﹣x2+bx+3， 将点（2，﹣5）代入可得：﹣5＝﹣22+2b+3，解得：b＝﹣2， ∴b＝﹣2，c＝3； 故答案为：b＝﹣2，c＝3； （2）由（1）知函数为y＝﹣x2﹣2x+3，即y＝﹣（x+1）2+4， ∴在对称轴直线x＝﹣1的右侧，y随x的增大而减小， ∴在0≤x≤2范围内，当x＝2时，函数取到最小值． ∴当x＝2时，函数的最小值为y＝﹣22﹣2×2+3＝﹣5； （3）∵y＝﹣（x+1）2+4，a＝﹣1＜0， ∴当x＝﹣1时，函数的最大值为4， 当x＝3时，函数的最小值为﹣12， ∴当﹣4≤x≤3时，函数的最大值与最小值的差为16． 【点评】本题考查了二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的特点是解本题的关键，难度适中． 23．（2025秋•海曙区期末）已知（﹣3，m），（1，n）为抛物线y＝﹣x2+kx（k为常数）上的两个点． （1）当n＝3时，求m的值； （2）若k≤﹣3，且当﹣3≤x≤1时，函数有最大值y＝4，求k的值． 【分析】（1）将（1，3）代入y＝﹣x2+kx求得k，得到解析式，然后把（﹣3，m）代入二次函数表达式求值即可； （2）若k≤﹣3，则，由于抛物线开口向下，分两种情况讨论：当x时，y＝4不合题意，当x＝﹣3时，y＝4符合题意，代入解析式求得k的值即可． 【解答】解：（1）当n＝3时，则（﹣3，m），（1，3）为抛物线y＝﹣x2+kx（k为常数）上的两个点， ∴﹣1+k＝3，解得k＝4， ∴y＝﹣x2+4x， 当x＝﹣3时，m＝﹣（﹣3）2+4×（﹣3）＝﹣21， 故m的值为：﹣21； （2）抛物线y＝﹣x2+kx（k为常数）的对称轴为直线x， 若k≤﹣3，则， ∵当﹣3≤x≤1时，函数有最大值y＝4， ∴当﹣3，即﹣6＜k≤﹣3时，x时，y＝4， ∴4，解得k＝﹣4或k＝4（不合题意，舍去）； 当3，即k≤﹣6时，x＝﹣3时，y＝4， ∴﹣9﹣3k＝4， ∴k（不合题意，舍去）． ∴k的值是﹣4． 【点评】本题考查二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【考点3】待定系数法求二次函数解析式（第24-37题） ※ 方法总结 · 一般式法：已知图象上三个点的坐标，设 ，代入三点坐标列三元一次方程组求解。 · 顶点式法：已知顶点坐标 ，设 ，再代入另一个点求 。 · 交点式法：已知与 轴交点 ，，设 ，再代入另一个点求 。 · 利用对称性：若已知两点纵坐标相同，则两点关于对称轴对称，可快速求对称轴。 24．（2025秋•萧县期末）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（1，0）和B（3，0）．求此二次函数解析式． 【分析】把点A（1，0）和B（3，0）代入函数解析式中，解方程组即可． 【解答】解：由条件可得， 解得， ∴二次函数解析式是y＝x2﹣4x+3． 【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 25．（2023秋•宁南县校级月考）若二次函数图象的顶点坐标为（2，﹣1），且图象过点（0，3），则该二次函数的解析式是（　　） A．y＝﹣x2+4x﹣5 B． C．y＝x2﹣4x+3 D． 【分析】由二次函数图象的顶点坐标为（2，﹣1），设二次函数顶点式y＝a（x﹣2）2﹣1，将（0，3）代入，再解方程即可得到答案． 【解答】解：∵二次函数图象的顶点坐标为（2，﹣1）， ∴设二次函数顶点式y＝a（x﹣2）2﹣1， ∵图象过点（0，3）， ∴3＝4a﹣1，解得a＝1， ∴该二次函数的解析式是y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3， 故选：C． 【点评】本题考查求二次函数解析式，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 26．（2025秋•栖霞市期中）已知一条抛物线经过A（0，10），B（m+2，n），C（4﹣m，n），D（3，1）四点，则抛物线的解析式为（　　） A．y＝x2+6x+10 B．y＝x2+3x+10 C．y＝x2﹣6x+10 D．y＝x2﹣3x+10 【分析】根据题意得到抛物线的对称轴为直线x3，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+k，解方程组即可得到结论． 【解答】解：∵B（m+2，n），C（4﹣m，n）， ∴抛物线的对称轴为直线x3， ∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+k， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝（x﹣3）2+1， 即y＝x2﹣6x+10， 故选：C． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，正确地求出函数的解析式是解题的关键． 27．（2026•寿县模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）过A（0，﹣2），B（4，﹣2），C（6，0），D（8，﹣2）四个点中的其中三个点，则符合要求的所有函数表达式中a+b+c的最小值是（　　） A． B． C． D． 【分析】首先确定二次函数可能经过A、B、C或者B、D、C或者A、D、C，画出图象后，只有经过B、D、C三点的二次函数，当x＝1时，y＝a+b+c的值最小，然后用待定系数法求出二次函数解析式，求出当x＝1时的函数值即可． 【解答】解：∵A、B、D的纵坐标相同， ∴二次函数不会同时经过A、B、D三点， ∴分三种情况讨论：①经过A、B、C；②经过B、D、C；③经过A、D、C； 三种图象如图所示， 很明显，经过B、D、C三点的二次函数，当x＝1时，y＝a+b+c的值最小， 将B（4，﹣2），C（6，0），D（8，﹣2）代入y＝ax2+bx+c可得： ， 解得， 所以二次函数的表达式为yx2+6x﹣18， 令x＝1得y， 故a+b+c的最小值为， 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式以及求函数值等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 28．（2025秋•江岸区校级同步）已知二次函数图象过（1，0），（3，0），其图象的开口和形状均与y＝x2的图象一致，那么该二次函数的表达式为（　　） A．y＝x2﹣4x+3 B．y＝2x2﹣4x+3 C．y＝x2+4x+3 D．y＝2x2+4x+3 【分析】由开口和形状与y＝x2一致得二次项系数a＝1，然后由过点（1，0），（3，0）求解即可． 【解答】解：∵图象开口和形状与y＝x2一致， ∴a＝1． 又∵图象过（1，0），（3，0）， ∴该二次函数的表达式为y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3． 故选：A． 【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 29．（2024秋•西华县期中）形状、开口方向与抛物线y＝2x2﹣x+3相同，且顶点为（﹣2，1）的二次函数解析式为（　　） A．y＝2（x+2）2+1 B．y＝2（x﹣2）2+1 C．y＝﹣2（x+2）2+1 D．y＝﹣2（x﹣2）2+1 【分析】根据二次函数的顶点式即可求解． 【解答】解：设抛物线的解析式为y＝a（x+2）2+1， ∵二次函数的图象形状与开口方向和抛物线y＝2x2﹣x+3相同， ∴a＝2， 则二次函数解析式为y＝2（x+2）2+1， 故选：A． 【点评】本题考查了根据顶点式运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，在解答时运用抛物线的性质求出a值是关键． 30．（2025秋•青山区期末）请写出一个顶点是原点的抛物线的解析式y＝x2（答案不唯一）　 ． 【分析】顶点是原点的二次函数解析式为y＝ax2（a为常数，且a≠0），据此可得答案． 【解答】解：顶点是原点的二次函数解析式为y＝ax2（a为常数，且a≠0）， 则：y＝x2（答案不唯一）． 故答案为：y＝x2（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 31．（2025春•同步）已知二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表： x … ﹣3 ﹣1 1 3 … y … ﹣4 2 4 2 … 则这个二次函数的解析式为 y　 ． 【分析】用待定系数法即可解决问题． 【解答】解：由题知， 将（﹣3，﹣4），（﹣1，2），（1，4）代入y＝ax2+bx+c得， ， 解得， 所以这个二次函数的解析式为y． 故答案为：y． 【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，熟知待定系数法是解题的关键． 32．（2026•紫金县校级二模）已知二次函数满足条件： ①图象过原点； ②当x＜2时，y的值随x值的增大而增大． 请你写出一个满足上述条件的二次函数的表达式：y＝﹣x2+4x（答案不唯一）　 ． 【分析】先推导出抛物线开口向下，对称轴为直线x满足x≥2，不妨设a＝﹣1，对称轴为x＝2，设抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+c，进而求出c＝4，即可解答． 【解答】解：当x＜2时，y随x的增大而增大， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x满足x≥2． 不妨设a＝﹣1，对称轴为x＝2， 设抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+c，由条件可得： ﹣（0﹣2）2+c＝0， 解得c＝4， ∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+4＝﹣x2+4x． 满足上述条件的二次函数的表达式为y＝﹣x2+4x（答案不唯一）． 故答案为：y＝﹣x2+4x（答案不唯一）． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握该知识点是关键． 33．已知二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣1，图象与y轴交点的纵坐标是﹣6，且经过点（2，10），则此二次函数的表达式为 y＝2（x+1）2﹣8　 ． 【分析】根据所给条件，利用待定系数法即可解决问题． 【解答】解：因为二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣1， 所以令二次函数的表达式为y＝a（x+1）2+k， 将点（0，﹣6）和（2，10）代入函数表达式得， ， 解得， 所以二次函数的表达式为y＝2（x+1）2﹣8． 故答案为：y＝2（x+1）2﹣8． 【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，熟知待定系数法是解题的关键． 34．（2025•锡林郭勒盟四模）已知二次函数y＝ax2+bx+c，当﹣1≤x≤1时，总有﹣1≤y≤1，有如下几个结论： ①当b＝c＝0时，0＜a≤1， ②当a＝1时，c的最大值为0： ③当x＝2时，y可以取到的最大值为7； 上述结论中，所有正确结论的序号是 　②③　 ． 【分析】根据题意可得二次函数为y＝ax2（a≠0），由﹣1≤x≤1时，总有﹣1≤y≤1即可得出|a|≤1且a≠0可判断①，把a＝1代入二次函数解析式，分类讨论对称轴位置与直线x＝﹣1及直线x＝1的位置关系可判断②，当抛物线开口向上，顶点为（0，﹣1），且经过（﹣1，1），（1，1）时，x＝2时y取最大值，从而判断③． 【解答】解：①当b＝c＝0时，则二次函数为y＝ax2（a≠0）， 当﹣1≤x≤1时，总有﹣1≤y≤1，则|a|≤1且a≠0， 故①错误． 当a＝1时，y＝x2+bx+c，抛物线开口向上， 当x时，y取最小值， 当﹣11时，x＝﹣1或x＝1时y取最大值， ∴或， ∵﹣11， ∴01． ∴由c≥﹣1可得c＝0． 当1时，b＞2，当x＝1时y＝1+b+c为最大值， ∵1+b+c≤1，b＞2， ∴c≤﹣2， 当1时，b＜﹣2，当x＝﹣1时y＝1﹣b+c为最大值， ∵1﹣b+c≤1，b＜﹣2， ∴c≤﹣2， 综上所述，c的最大值为0，②正确． ∵当﹣1≤x≤1时，总有﹣1≤y≤1， ∴当抛物线开口向上，顶点为（0，﹣1），且经过（﹣1，1），（1，1）时，x＝2时y取最大值， 如图， 设y＝ax2﹣1，把（1，1）代入y＝ax2﹣1得1＝a﹣1， 解得a＝2， ∴y＝2x2﹣1， 把x＝2代入y＝2x2﹣1得y＝7， ∴③正确， 故答案为：②③． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 35．（2025秋•呼和浩特月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c，其图象经过A（0，﹣3），B（﹣2，5），C（3，0）． （1）求二次函数的解析式及顶点坐标； （2）画出这个二次函数的图象； （3）根据图象，直接写出： ①当x＝　1　 时，函数有最　小　 值，该值为　﹣4　 ； ②当﹣2＜x＜2时，函数值y的取值范围是　﹣4≤y＜5　 ． 【分析】（1）把A（0，﹣3），B（﹣2，5），C（3，0）代入二次函数解析式y＝ax2+bx+c，求出a、b、c的值，得二次函数解析式，将解析式化为顶点式可得顶点坐标； （2）运用描点法画出二次函数的图象即可； （3）根据函数图象回答问题即可． 【解答】解：（1）由题意得，， ∴， ∴y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴顶点为（1，﹣4）； （2）结合（1）y＝（x﹣1）2﹣4，且顶点为（1，﹣4），对称轴是直线x＝1，故作图如下： （3）由图象得， ①当x＝1时，函数有最小值，该值为﹣4； ②当﹣2＜x＜2时，函数值y的取值范围是﹣4≤y＜5． 故答案为：①1；小；﹣4；②﹣4≤y＜5． 【点评】本题主要考查运用待定系数法求二次函数解析式、画二次函数图象以及二次函数图象与性质，正确求出二次函数解析式是解答本题的关键． 36．（2026•漳州模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+4的图象过点A（2，t），B（3，t）． （1）求a与b之间关系； （2）已知二次函数的y＝ax2+bx+4最小值为． ①求该二次函数的表达式； ②若M（x1，m），N（x2，m）为该二次函数图象上的不同两点，且m≠0，求证：． 【分析】（1）由点A（2，t），B（3，t）在该函数的图象上，所以，得到，即可解答； （2）①根据函数图象有最小值为，得到，由此求出a的值，得到函数解析式；②由对称性得到x1+x2＝5，代入等式左边和右边即可判断． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+4的图象的对称轴为， ， ， ∴； （2）①由（1）可得b＝﹣5a， ∴， 则函数图象的顶点坐标为． ∴a＞0，且， 解得a＝1，或a＝﹣26（舍去）． ∴该二次函数的表达式为y＝x2﹣5x+4． ②证明：∵点M（x1，m）在函数y＝x2﹣5x+4的图象上， ∴． 由①知，点M（x1，m），N（x2，m）关于直线对称， 不妨设x1＜x2，则， ∴x1+x2＝5，即x1＝5﹣x2， ∴， ∴． 【点评】此题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 37．（2026•仙游县模拟）如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为直线x＝2． （1）求此抛物线的表达式； （2）若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，当△OAB的面积为15时，求B的坐标． 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）设B（2，m）（m＞0），运用待定系数法求得直线OA的解析式为y＝x，设直线OA与抛物线对称轴交于点H，则H（2，2），BH＝m﹣2，利用三角形面积公式建立方程求解即可得出答案． 【解答】解：（1）∵抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为直线x＝2， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0）， 设抛物线解析式为y＝ax（x﹣4），把A（5，5）代入，得5a＝5， 解得：a＝1， ∴y＝x（x﹣4）＝x2﹣4x， 故此抛物线的解析式为y＝x2﹣4x； （2）∵点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限， ∴设B（2，m）（m＞0）， 设直线OA的解析式为y＝kx， 则5k＝5， 解得：k＝1， ∴直线OA的解析式为y＝x， 设直线OA与抛物线对称轴交于点H，则H（2，2）， ∴BH＝m﹣2， ∵S△OAB＝15， ∴（m﹣2）×5＝15， 解得：m＝8， ∴点B的坐标为（2，8）． 【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【考点4】创新及压轴题（第38-42题） ※ 方法总结 · 新定义问题：理解题目给出的新定义（如“三倍点”“横纵和”“极小和”“特征值”等），将其转化为数学条件，结合二次函数性质求解。 · 综合应用：将二次函数与面积、最值、存在性等问题结合，通常需要： · 建立函数模型（面积、距离等）； · 利用二次函数性质求最值或范围； · 分类讨论与数形结合。 · 压轴题策略：① 审清题意，挖掘隐含条件；② 设出关键变量，建立函数关系；③ 利用配方法或顶点式求最值；④ 验证结果是否符合实际。 38．（2026•建邺区二模）已知二次函数y＝x2+bx+2的图象经过点（1，﹣1）． （1）求该函数图象的顶点坐标； （2）若该函数的图象向右平移3个单位长度后经过点（2，m），求m的值． 【分析】（1）先求出b的值，再据此求出顶点坐标即可； （2）根据“左加右减”的平移法则求出平移后的函数解析式，再将点（2，m）代入计算即可． 【解答】解：（1）将点（1，﹣1）代入y＝x2+bx+2得， 1+b+2＝﹣1， 解得b＝﹣4， 所以二次函数解析式为y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2， 所以该函数图象的顶点坐标为（2，﹣2）； （2）由题知， 将该函数的图象向右平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为y＝（x﹣5）2﹣2， 将点（2，m）代入函数解析式得， m＝7， 所以m的值为7． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 39．（2025秋•桐乡市期末）已知二次函数y＝x2﹣4x+3． （1）求函数图象的对称轴与顶点坐标． （2）将函数图象向下平移m个单位长度，若平移后的图象经过点（4，﹣1），求m的值． 【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式，即可求解； （2）根据二次函数的平移规律即可求解． 【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴对称轴为直线x＝2， ∴顶点坐标为（2，﹣1）， 故答案为：对称轴直线为x＝2，顶点坐标为（2，﹣1）； （2）将函数图象向下平移m个单位长度，若平移后的图象经过点（4，﹣1）， ∵y＝（x﹣2）2﹣1向下平移m个单位长度， 则平移后函数为y＝（x﹣2）2﹣1﹣m， 将（4，﹣1）代入函数y＝（x﹣2）2﹣1﹣m， 得（4﹣2）2﹣1﹣m＝﹣1， 则m＝4， 故答案为：m＝4． 【点评】本题考查了二次函数的平移，二次函数的顶点式，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 40．（2025秋•天长市校级期中）当1≤x≤5时，请求出函数的最大值和最小值，并求出对应的x的值． 【分析】把二次函数化为顶点式，可知图象的开口方向和对称轴，由二次函数的图象和性质，结合x的取值范围，求解即可． 【解答】解：将抛物线解析式配方可得： ，， ∴函数图象开口向下，对称轴为直线x＝4， ∵1≤x≤5， ∴当x＝4时，函数取得最大值，最大值为4， ∴当x＝1时，y取得最小值，最小值为； ∴当x＝1时，y取得最小值为；当x＝4时，y取得最大值为4． 【点评】本题考查二次函数的最值，二次函数的顶点式，二次函数的图象和性质．熟练掌握以上知识点是关键． 41．（2026•西湖区一模）设二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示： x … ﹣1 0 1 2 … y … 0 3 m 3 … （1）求二次函数的表达式和m的值． （2）点A（n，y1），B（n+3，y2）都在二次函数图象上，且0＜n＜2，试比较y1，y2的大小，并说明理由． （3）当﹣1≤x≤t时，函数值的取值范围是，求t的值． 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可； （2）结合（1）中所求函数解析式及二次函数的性质即可解决问题； （3）根据二次函数的性质进行计算即可． 【解答】解：（1）由题知， 将（﹣1，0），（0，3），（2，3）代入y＝ax2+bx+c得， ， 解得， 所以二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3． 将（1，m）代入y＝﹣x2+2x+3得， m＝﹣1+2+3＝4； （2）y1＞y2，理由如下： 由（1）知， y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， 所以抛物线的对称轴为直线x＝1且开口向下． 因为0＜n＜2， 所以3＜n+3＜5， 则0≤|n﹣1|＜1，2＜|n+3﹣1|＜4， 所以y1＞y2； （3）因为二次函数解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4， 所以当x＝1时，y取得最大值4． 因为当﹣1≤x≤t时，函数值的取值范围是且， 所以t＜1． 将y代入y＝﹣（x﹣1）2+4得， ﹣（x﹣1）2+4， 解得t或． 因为t＜1， 所以t． 【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 42．（2026•池州一模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3a的图象过点A（1，t），B（3，t） （1）求的值； （2）已知二次函数y＝ax2+bx+3a的最小值为a2﹣6． ①求该二次函数的表达式； ②若M（x1，m），N（x2，m）为该二次函数图象上的不同两点，且m≠0，求证：． 【分析】（1）根据二次函数的对称性求解即可； （2）①先求出顶点坐标，然后根据最小值为a2﹣6列方程求解即可； ②先根据二次函数的对称性求出x1+x2＝4，然后把代入通过分解因式和约分后即可证得结论． 【解答】解：（1）二次函数图象的对称轴为． ∵点A（1，t），B（3，t）在该函数的图象上， ∴， ∴． （2）①由（1）可得b＝﹣4a，抛物线的对称轴为直线x＝2， ∴该函数的表达式为y＝ax2﹣4ax+3a， 当x＝2时，y＝﹣a，即函数图象的顶点坐标为（2，﹣a）． ∵函数的最小值为a2﹣6， ∴a＞0，且﹣a＝a2﹣6， 解得a1＝2，a2＝﹣3（舍去）． ∴该二次函数的表达式为y＝2x2﹣8x+6． ②证明：∵点M（x1，m）在函数的图象上， ∴． 由①知，即x1＝4﹣x2． ∴． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，熟练掌握以上知识点是关键． 课后巩固 · 针对性练习 · 作业1：二次函数图象的平移（左加右减，上加下减）→ 求平移后的解析式。 · 作业2：二次函数图象的平移与交点坐标 → 利用顶点坐标变化判断平移关系。 · 作业3：待定系数法（顶点式）→ 已知形状和开口方向、顶点坐标求解析式。 · 作业4：二次函数的最值（区间最值）→ 比较离对称轴远近确定函数值大小。 · 作业5：二次函数的最值（含参）→ 结合对称轴与区间位置，分类讨论求参数。 · 作业6：二次函数与不等式恒成立 → 利用判别式法求参数。 · 作业7：二次函数图象的平移与顶点坐标 → 平移后顶点在 轴上的条件。 · 作业8：平移与图象上点的坐标 → 代入法求平移距离，结合最值差求区间。 · 作业9：二次函数的最值（给定区间）→ 利用开口方向和对称轴求最值。 · 作业10：待定系数法（交点式）→ 利用对称性求与 轴交点，再求解析式。 · 作业11：待定系数法（一般式）→ 由表格数据求解析式，判断图象性质。 · 作业12：待定系数法与最值综合 → 由表格数据求解析式，结合区间最值求参数。 · 作业13：待定系数法与最值综合（含参）→ 分类讨论求参数的值。 · 作业14：二次函数与最短路径 → 利用对称性将线段和转化为两点间距离，结合抛物线对称轴求点坐标。 ❤ 复习建议： 本讲核心是“二次函数图象与性质”，重点掌握：三种表达式（一般式、顶点式、交点式）的灵活选择与互化；平移变换“左加右减，上加下减”的准确运用；配方法求顶点与最值，注意区间端点的比较；待定系数法的步骤与策略，根据条件选“式”；数形结合思想，借助图象直观理解性质与变换。 【作业1】（2025秋•南通期末）抛物线的函数表达式为y＝（x﹣2）2+1，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（　　） A．y＝（x+1）2+3 B．y＝（x﹣5）2+3 C．y＝（x﹣5）2﹣1 D．y＝（x+1）2﹣1 【分析】将坐标轴的平移转换为函数图象的平移：x轴向上平移2个单位相当于图象向下平移2个单位，y轴向左平移3个单位相当于图象向右平移3个单位，据此可得出结论． 【解答】解：∵x轴向上平移2个单位，相当于函数图象向下平移2个单位； ∵y轴向左平移3个单位，相当于函数图象向右平移3个单位； ∴平移后所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣5）2+1﹣2，即y＝（x﹣5）2﹣1． 故选：C． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键． 【作业2】（2026•新华区二模）如图，抛物线l1：y1＝a（x+1）2+2与抛物线l2：y2＝﹣（x﹣2）2﹣1交于点A（1，﹣2），以下结论： ①无论x取何值，y2总是负数； ②抛物线l2可由抛物线l1向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到； ③当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小； ④当直线y＝n与抛物线l1，l2有3个交点时，n＝﹣2． 下列说法正确的是（　　） A．只有①正确 B．只有②④正确 C．只有③④不正确 D．①②③④都正确 【分析】根据题意逐一对序号进行判断分析即可得到本题答案． 【解答】解：∵抛物线的开口向下，顶点为（2，﹣1）， ∴y2的最大值为﹣1， ∴无论x取何值，y2总是负数，故①正确； ∵抛物线l1：y1＝a（x+1）2+2过点A（1，﹣2）， ∴﹣2＝a（1+1）2+2， 解得：a＝﹣1， ∴， ∴l1的顶点坐标为（﹣1，2）， ∵， ∴l2顶点坐标为（2，﹣1）， ∴抛物线l2可由抛物线l1向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到的，故②正确； ， ∴当﹣3＜x＜1时，y1﹣y2的值随着x的增大而减小，故③错误； 根据题意得：当直线y＝n与抛物线l1，l2有3个交点时，直线y＝n过l2的顶点或点A， 此时n＝﹣1或n＝﹣2，故④错误． 故选：C． 【点评】本题考查二次函数顶点式的图象及性质，二次函数的平移等，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【作业3】（2024秋•献县月考）一条抛物线的开口方向与抛物线相同，顶点为（1，2），则其解析式可能为（　　） A．y＝2（x﹣1）2+2 B． C． D．或 【分析】根据抛物线的顶点坐标为（1，2），则抛物线的关系式为y＝a（x﹣1）2+2，再根据抛物线的开口方向与抛物线相同，可知a＞0即可． 【解答】解：∵抛物线的开口方向与抛物线相同， ∴a＞0， ∵抛物线的顶点坐标是（1，2）， ∴抛物线的关系式为y＝a（x﹣1）2+2． 观察A，B，C，D四个选项，只有y＝2（x﹣1）2+2符合题意． 故选：A． 【点评】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式，是基础知识要熟练掌握． 【作业4】（2025•铜山区三模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣mx+m2﹣m+2（m为常数）的图象经过点（0，2），点A（0，a）、B（1，b）在这个二次函数的图象上，且a＝b，则该二次函数有（　　） A．最小值 B．最小值 C．最小值2 D．最小值﹣2 【分析】根据题意求得该函数图象的对称轴为，求得m＝1，再根据二次函数的性质求解即可． 【解答】解：∵点A（0，a）、B（1，b）在二次函数y＝x2﹣mx+m2﹣m+2（m为常数）的图象上，且a＝b， ∴该函数图象的对称轴为直线， ∴， ∴m＝1， ∴该函数解析式为y＝x2﹣x+2， ∵1＞0， ∴该函数图象的开口向上， ∴当时，该二次函数有最小值， 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征，熟知以上知识是解题的关键． 【作业5】（2025秋•济南期中）已知二次函数y＝5（x﹣3）2+2，下列说法中错误的是（　　） A．其图象的开口向下 B．函数的最小值为2 C．其图象的对称轴为直线x＝3 D．其图象的顶点坐标为（3，2） 【分析】根据函数图象和性质逐个求解即可． 【解答】解：对于y＝5（x﹣3）2+2，则该函数的图象的开口向上，当x＝3时，y取最小值为2，对称轴为直线x＝3，顶点坐标为（3，2）， ∴A错误，BCD均正确． ∴不正确的是A． 故选：A． 【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 【作业6】（2024秋•韶关期末）已知抛物线的顶点坐标是（2，1），且抛物线经过点（3，0），则这条抛物线的函数表达式是（　　） A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2+1 C．y＝﹣（x+2）2+1 D．y＝﹣（x﹣2）2+1 【分析】由抛物线顶点坐标设其顶点式，再将点（3，0）代入求解可得． 【解答】解：设抛物线顶点式为：y＝a（x﹣2）2+1， 把点（3，0）坐标代入得：0＝a+1， 解得a＝﹣1， ∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2+1． 故选：D． 【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 【作业7】将顶点在原点的二次函数的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，如果所得新抛物线经过点（0，﹣3），那么新抛物线的表达式为y＝﹣（x+1）2﹣2　 ． 【分析】根据题意平移后的顶点为（﹣1，﹣2），设出函数解析式，代入（0，﹣3）即可求得解析式． 【解答】解：由题意可知，平移后的函数的顶点为（﹣1，﹣2）， 设平移后函数的解析式为y＝a（x+1）2﹣2， ∵所得的抛物线经过点（0，﹣3）， ∴﹣3＝a﹣2，解得a＝﹣1， ∴平移后函数的解析式为y＝﹣（x+1）2﹣2， 故答案为：y＝﹣（x+1）2﹣2． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 【作业8】（2024秋•芜湖月考）已知二次函数y＝2x2+4x﹣3，点A（﹣2，1），B（2，3）． （1）函数y的最小值为 　﹣5　 ． （2）若将二次函数沿y轴方向平移k个单位长度后与线段AB有两个交点，则k的取值范围为 　4≤k　 ． 【分析】（1）依据题意，由二次函数为y＝2x2+4x﹣3＝2（x+1）2﹣5，进而可以判断得解； （2）依据题意，由（1）可得，二次函数为y＝2（x+1）2﹣5，结合二次函数沿y轴方向平移|k|个单位长度，故平移后二次函数为y＝2（x+1）2﹣5+k，再求出直线AB为yx+2，又平移后与线段AB有两个交点，进而结合图象可得，当过A时有两个交点，当与AB相切时仅有一个，再联列方程组，可得x+2＝2（x+1）2﹣5+k，结合Δ＝49﹣16（﹣10+2k）＝0，求出k，又过A（﹣2，1）时，则1＝2（﹣2+1）2﹣5+k，最后由二次函数沿y轴方向平移k个单位长度后与线段AB有两个交点，即可判断得解． 【解答】解：（1）由题意，∵二次函数为y＝2x2+4x﹣3＝2（x+1）2﹣5， ∴当x＝﹣1时，y取最小值为﹣5． 故答案为：﹣5． （2）由（1）可得，二次函数为y＝2（x+1）2﹣5， 又∵二次函数沿y轴方向平移|k|个单位长度， ∴平移后二次函数为y＝2（x+1）2﹣5+k． 又∵A（﹣2，1），B（2，3）， ∴直线AB为yx+2． 又∵平移后与线段AB有两个交点， ∴结合图象可得，当过A时有两个交点，当与AB相切时仅有一个． 联列方程组， ∴x+2＝2（x+1）2﹣5+k． ∴Δ＝49﹣16（﹣10+2k）＝0． ∴k． 又过A（﹣2，1）时，则1＝2（﹣2+1）2﹣5+k， ∴k＝4． 又∵二次函数沿y轴方向平移k个单位长度后与线段AB有两个交点， ∴4≤k． 【点评】本题考查了抛物线和x轴的交点，涉及到二次函数图象上点的坐标特征，熟悉函数的图象和性质是解题的关键． 【作业9】（2025秋•丹阳市期末）若x﹣y+4＝0，则xy的最小值为　﹣4　 ． 【分析】根据已知易得：y＝x+4，从而可得xy＝x2+4x＝（x+2）2﹣4，即可解答． 【解答】解：∵x﹣y+4＝0， ∴y＝x+4， ∴xy＝x（x+4） ＝x2+4x ＝x2+4x+4﹣4 ＝（x+2）2﹣4， ∵（x+2）2≥0， ∴（x+2）2﹣4≥﹣4， 即xy≥﹣4， ∴xy的最小值为﹣4， 故答案为：﹣4． 【点评】本题考查了二次函数的最值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【作业10】（2025秋•宜兴市期末）已知抛物线开口向上，与y轴交于点（0，3），写出一个符合题意的抛物线表达式 y＝x2﹣4x+3（答案不唯一）　 ． 【分析】根据二次函数的性质得到二次项系数为正数，常数项为3，利用此要求写一个二次函数解析式即可． 【解答】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于点（0，3）， ∴二次项系数为正数，常数项为3， ∴符合题意的抛物线表达式可为y＝x2﹣4x+3． 故答案为：y＝x2﹣4x+3．（答案不唯一） 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． 【作业11】（2025春•同步）一个二次函数的图象与抛物线y＝﹣3x2的形状相同、开口方向相反，且顶点为（﹣1，2），那么这个函数的解析式是 y＝3（x+1）2+2　 ． 【分析】根据二次函数性质形状相同、开口方向相反则a＝3，设出解析式y＝3（x﹣h）2+k，根据顶点为（﹣1，2），即可得到答案． 【解答】解：∵二次函数的图象与抛物线y＝﹣3x2的形状相同、开口方向相反， ∴a＝3， 设二次函数的解析式为y＝3（x﹣h）2+k， ∵顶点为（﹣1，2）， ∴这个函数的解析式是y＝3（x+1）2+2， 故答案为：y＝3（x+1）2+2． 【点评】本题考查二次函数图象性质及顶点式，解题的关键是知道二次函数图形形状及开口方向相同即a的值是互为相反数． 【作业12】（2026•民权县一模）已知二次函数y＝ax2﹣x+c的图象的顶点坐标为（1，﹣2）． （1）求该二次函数的表达式，并在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象． （2）若点（m，b）在抛物线上，且满足b＜3，求m的取值范围． （3）当n≤x≤n+3时，二次函数的最大值与最小值的差为2，请直接写出n的取值． 【分析】（1）已知二次函数一般式y＝ax2﹣x+c和顶点坐标，可利用顶点坐标公式或顶点式代入求解参数a、c，再根据函数性质描点画图； （2）求b＝3时对应的m值，结合抛物线开口向上的性质，确定b＜3时m的范围； （3）抛物线开口向上，对称轴x＝1，顶点纵坐标﹣2（最小值），分区间在对称轴左侧、跨对称轴、在对称轴右侧三种情况讨论最值，结合“最值差＝2”列方程求解． 【解答】解：（1）设顶点式为y＝a（x﹣1）2﹣2， y＝ax2﹣2ax+a﹣2， 与原式y＝ax2﹣x+c对比一次项系数： ﹣2a＝﹣2， a， 常数项：a﹣2＝c，， ∴二次函数表达式为． 画图步骤： 对称轴为直线x＝1，顶点（1，﹣2）； 令y＝0，，x2﹣2x﹣3＝0，x1＝﹣1，x2＝3， 得到与x轴交点（﹣1，0）、（3，0）； 令x＝0，得到与y轴交点； 描点：（﹣1，0）、、（1，﹣2）、、（3，0），用平滑曲线连接． 图象如下： （2）当b＝3时，， 解得 ，， ∵，抛物线开口向上， ∴b＜3 时，． （3）二次函数，对称轴x＝1，最小值为﹣2， ①区间在对称轴左侧：n+3＜1，n＜﹣2， 二次函数的最大值为，最小值为 ， ∴， ∴，但（不合题意，舍去）； ②区间在对称轴右侧：n＞1， 二次函数的最大值为，最小值为， ， ∴，但（不合题意，舍去）； ③区间跨对称轴：n≤1≤n+3，﹣2≤n≤1，最小值为﹣2 此时最大值在区间端点取到： 若右端点更大：x＝n+3，，n＝0；（满足） 若左端点更大：x＝n，，n＝﹣1．（满足） 综上，n＝﹣1或n＝0． 【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，正确进行计算是解题关键． 【作业13】（2025秋•兴仁市期末）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）和B（3，0）， （1）求该二次函数的解析式及对称轴； （2）若点D是该二次函数图象与y轴的交点，点E是第四象限内二次函数上的点（不与B、D重合），连接DE、BD、BE，求△BDE面积的最大值． 【分析】（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入二次函数y＝ax2+bx+c求解即可； （2）先求出D（0，﹣3），进而求出直线BD解析式为y＝x﹣3，过E作EC⊥x轴交x轴于C，交直线BD于F，设E（e，e2﹣2e﹣3），则F（e，e﹣3），求出EF解析式，可知当时，EF有最大值，求出△BDE的面积，可知当EF最大时，△BDE的面积最大，即可求出△BDE面积的最大值． 【解答】解：（1）由条件可得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3， ∴对称轴为：直线； （2）由条件可得D（0，﹣3）， 设直线BD解析式为y＝kx+a， 将B（3，0）、D（0，﹣3）代入得： ， 解得：， 即直线BD解析式为y＝x﹣3， 如图，过E作EC⊥x轴交x轴于C，交直线BD于F， 设E（e，e2﹣2e﹣3），则F（e，e﹣3）， ∴， 可知当时，EF有最大值， ∵， ∴当EF最大时，△BDE的面积最大， 此时． 【点评】本题考查了二次函数的综合应用．熟练掌握相关知识点是关键． 【作业14】（2026•白银区校级模拟）抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，3）． （1）求这条抛物线的解析式； （2）如图，点P是抛物线对称轴上一点，连接AP，BP，当AP+BP最小时，求点P的坐标． 【分析】（1）把A点和B点坐标代入y＝﹣x2+bx+c得b、c的方程组，然后解方程组求出b、c，从而得到抛物线解析式； （2）抛物线与x轴的另一个交点为C，利用配方法得到y＝﹣x﹣1）2+4，则抛物线的对称轴为直线x＝1，再解方程得到﹣x2+2x+3＝0得C（3，0），连接BC交直线x＝1于P点，如图，利用两点之间线段最短可判断此时PA+PB最小，接着利用待定系数法求出直线BC的解析式为y＝﹣x+3，然后利用直线BC的解析式确定P点坐标． 【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（0，3）分别代入y＝﹣x2+bx+c得， 解得， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）抛物线与x轴的另一个交点为C， ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1， 当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴C（3，0）， 连接BC交直线x＝1于P点，如图， ∵PA＝PC， ∴PA+PB＝PB+PC＝BC， ∴此时PA+PB最小， 设直线BC的解析式为y＝mx+n， 把C（3，0），B（0，3）分别代入得， 解得， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3， 当x＝1时，y＝﹣x+3＝2， ∴P点坐标为（1，2）． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质和最短路线问题． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲 二次函数一般式（2） 优等生讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册 （精讲+典例+创新题+练习） 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解 二次函数 y = ax² + bx + c（a≠0）的三种表达式（一般式、顶点式、交点式）及其相互转化。 · 掌握 二次函数的图象特征：开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值，能熟练运用配方法求顶点。 · 理解 二次函数图象的几何变换（平移、旋转）规律，掌握“左加右减、上加下减”的口诀。 · 熟练运用 待定系数法，根据已知条件（三点、顶点、与 x 轴交点等）求二次函数解析式。 · 掌握 二次函数在给定区间上的最值问题，能结合图象分析参数对最值的影响。 · 体会 数形结合、分类讨论、方程思想在二次函数综合题中的应用。 ✨ 核心思想：以“图象”为抓手，贯通“式”与“形”，灵活运用变换与待定系数法。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 二次函数的三种表达式 · 一般式：（），适用于已知图象上任意三点的坐标。 · 顶点式：，顶点坐标为 ，对称轴为 ，适用于已知顶点坐标。 · 交点式（两根式）：，其中 为抛物线与 轴交点的横坐标，适用于已知与 轴交点。 ☆ 二次函数的图象与性质 · 开口方向：由 决定。当 时，开口向上；当 时，开口向下。 越大，开口越窄。 · 对称轴：直线 （一般式）；（顶点式）。 · 顶点坐标： 一般式：； 顶点式：。 · 最值： 当 时，抛物线开口向上，顶点为最低点，函数有最小值 （顶点式）或 ； 当 时，开口向下，顶点为最高点，函数有最大值。 · 增减性： 当 时，在对称轴左侧 随 增大而减小，右侧 随 增大而增大； 当 时相反。 图形示意（文字描述）： · 开口向上（a>0）：抛物线形状如“U”，顶点在最低处，对称轴垂直通过顶点。 · 开口向下（a<0）：抛物线形状如“∩”，顶点在最高处，对称轴垂直通过顶点。 ☆ 二次函数图象的几何变换 · 平移变换： · 左右平移：，口诀“左加右减”（ 变化）。 · 上下平移：，口诀“上加下减”（ 变化）。 · 总口诀：“左加右减，上加下减”，即向左平移 个单位， 变为 ；向下平移 个单位， 变为 。 · 旋转变换（绕原点旋转180°）： · 开口方向相反，顶点 变为 ，解析式变为 （顶点式）。 · 对称变换： · 关于 轴对称： 变为 ； · 关于 轴对称： 变为 。 平移示意图（文字说明）： 原函数 顶点 (0,0)。 向左平移2个单位 → ，顶点 (-2,0)； 向右平移2个单位 → ，顶点 (2,0)； 向上平移2个单位 → ，顶点 (0,2)。 ☆ 待定系数法求二次函数解析式 【例】已知一个二次函数的图像经过点 A(4,5)、 B(2,-3) 、 C(1,-4) 。 （1）求这个二次函数的表达式。 （2）写出这个二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点以及图像的变化规律。判断该图像有最高点还是最低点，并求出其坐标。 1. 求二次函数表达式 设所求二次函数的表达式为： 将三点坐标代入，得方程组： ① − ②，得： ② − ③，得： 由 ④ 和 ⑤ 联立： 解得： 将 ( a = 1 )，( b = -2 ) 代入 ③ 中： 因此，这个二次函数的表达式为： 2. 图像性质分析 将解析式配方为顶点式： 由此可得： · 开口方向：向上（因为 ( a = 1 > 0 )） · 对称轴：直线 ( x = 1 ) · 顶点坐标：(1, -4) · 变化规律： · 在对称轴左侧（( x < 1 )），图像下降； · 在对称轴右侧（( x > 1 )），图像上升。 · 最值：该图像有 最低点，坐标为(1, -4)。 3. 知识点总结 · 一般步骤：① 设出合适的函数表达式（一般式、顶点式、交点式）；② 将已知点的坐标代入，列出方程（组）；③ 解方程（组）求出待定系数；④ 写出解析式。 · 选用策略： · 已知三点坐标 → 设一般式 ； · 已知顶点坐标 → 设顶点式 ； · 已知与 轴交点 → 设交点式 。 · 注意：待定系数法体现了“方程思想”，是初中数学的重要方法。 ☆ 二次函数的最值问题 · 无区间限制：直接利用顶点坐标求最值。 时，最小值 ； 时，最大值 。 · 给定区间 ： · 若对称轴在区间内，则顶点处取一个最值（开口向上取最小值，开口向下取最大值），区间端点处取另一个最值； · 若对称轴在区间外，则函数在区间上单调，最值在区间端点处取得。 · 方法：配方法 → 确定对称轴 → 比较区间端点与对称轴的位置 → 求最值。 ☑ 知识总结表 类别 核心内容 方法/公式 一般式 （） 对称轴 ， 顶点 顶点式 顶点 ，对称轴 交点式 与 轴交点为 ， 开口方向 由 决定： 向上， 向下 越大，开口越窄 最值 顶点处取得（ 最小值， 最大值） 平移变换 左加右减（），上加下减（） 旋转180° 开口反向，顶点关于原点对称 待定系数法 设式 → 代入 → 解方程 → 得解析式 根据条件选一般式、顶点式或交点式 核心考点 ·典型例题方法精讲 【考点1】二次函数图象与几何变换（第1-14题） ※ 方法总结 · 平移规律：“左加右减，上加下减”。向左平移 个单位， 变为 ；向下平移 个单位， 变为 。 · 旋转180°：开口方向相反，顶点 变为 ，解析式 。 · 对称变换：关于 轴对称， 变为 ；关于 轴对称， 变为 。 · 平移距离：顶点平移的距离即为图象平移的距离，可用两点间距离公式计算。 · “平衡点”问题：同时满足平移前后两个函数解析式的点，联立方程求解。 1．（2026•宿城区二模）将抛物线y＝x2+2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的解析式为（　　） A．y＝x2+2x+2 B．y＝x2+2x﹣2 C．y＝（x﹣2）2+2x D．y＝（x+2）2+2x 2．（2026•海珠区校级二模）对于抛物线y＝7（x﹣2）2﹣1，下列说法正确的是（　　） A．可由抛物线y＝7x2﹣1向左平移2个单位长度得到 B．当x＞2时，y随x的增大而增大 C．与y轴无交点 D．顶点坐标是（﹣2，﹣1） 3．（2025秋•重庆校级月考）抛物线，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．抛物线关于直线x＝3对称 C．抛物线顶点坐标为（﹣3，﹣7） D．抛物线与y轴交于点（0，﹣7） 4．（2026•相城区二模）已知抛物线y＝x2﹣bx﹣3向左平移3个单位长度后，得到的抛物线正好与原抛物线关于y轴对称，则b的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3 5．（2026•浙江模拟）将抛物线y＝3x2向下平移2个单位长度，所得新抛物线的表达式为　 　 ． 6．（2023秋•乌鲁木齐期中）如图所示，已知抛物线C1，抛物线C2关于原点中心对称．如果抛物线C1的解析式为y＝（x+2）2﹣1，那么抛物线C2的解析式为 　 　 ． 7．（2026•道外区一模）将抛物线y＝x2+2的图象先向上平移4个单位再向右平移3个单位，得到新的抛物线的顶点坐标为　 　 ． 8．（2025秋•环翠区校级期中）将抛物线y＝ax2+bx﹣2向上平移3个单位长度后，经过点（﹣2，5），则8a﹣4b﹣13的值是　 　 ． 9．（2023秋•西湖区校级月考）将二次函数y＝x2﹣4x+5绕顶点旋转180°后的函数表达式是 　 　 ． 10．（2025春•同步）将抛物线y＝（x+3）2向下平移4个单位长度，再向右平移 　 　 个单位长度后，得到的新抛物线经过原点． 11．（2025•冠县二模）二次函数y＝a（x﹣m）2+k（a，m，k为常数，且a≠0）中x和y满足下表： x … ﹣2 ﹣1 1 3 5 6 … y … 5 0 ﹣4 0 12 21 … 将原抛物线平移得到新抛物线，若点P（n，5）在新抛物线上，则n的值为 　 　 ． 12．（2025秋•鹿城区校级月考）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点P（1，8），且对称轴为直线x＝2． （1）求该二次函数的表达式； （2）将该二次函数的图象左右平移后，所得新图象经过原点，请写出平移的方式； （3）当t≤x≤t+2时，二次函数y＝﹣x2+bx+c的最大值与最小值的差为m，且m≥2，求实数t的取值范围． 13．（2025秋•内黄县月考）在二次函数中，x与y的几组对应值如下表所示． x … ﹣1 0 1 2 … y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 … （1）该二次函数的顶点坐标是　 　 ，并求该二次函数的表达式； （2）在给出的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； （3）将该二次函数的图象向右平移个单位长度后得到一个新图象，在新图象上，当n﹣2≤x≤n+1时，函数的最小值为﹣3，直接写出n的值． 14．（2026•衢江区模拟）已知抛物线y＝﹣x2+bx﹣5，点A（1，0）在此抛物线上． （1）求b的值； （2）若点B（5，y1），C（m，y2）在该抛物线上，且y1＜y2，求m的取值范围； （3）将此抛物线向左平移n（n＞0）个单位，设平移中抛物线与y轴的交点为D（0，d），令d的最大值和最小值分别为d1，d2，若d1﹣d2＝12，求n的值． 【考点2】二次函数的最值（第15-23题） ※ 方法总结 · 配方法：将一般式化为顶点式 ，直接读出最值 。 · 区间最值：先求对称轴，判断对称轴与给定区间的位置关系： · 对称轴在区间内 → 顶点处取一个最值，端点处取另一个； · 对称轴在区间外 → 区间端点为最值点。 · 最大值与最小值之差：利用对称性，结合开口方向，比较端点与顶点的函数值。 · 含参最值：分类讨论对称轴与区间的位置关系，建立方程求参数。 15．（2025秋•黄岩区期末）已知二次函数y＝ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（4，﹣1）． （1）求二次函数图象的对称轴； （2）若a＞0，当3≤x≤5时，函数最大值为9，求a的值； （3）已知函数图象经过A（t﹣1，m）、B（3﹣t，n），且n＜m＜b﹣1，求t的取值范围． 16．（2021秋•德城区校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4mm/s的速度移动．已知P，Q分别从A，B同时出发． （1）求△PBQ的面积S与出发时间t的函数关系式，并求出t的取值范围； （2）P在AB何处时，△PBQ的面积最大？ 17．（2025秋•东台市期末）若二次函数y＝﹣x2+4x+9在t≤x≤t+3的范围内的最大值为4，则实数t的值为（　　） A．﹣4或5 B．﹣1或5 C．﹣1或7 D．﹣4或7 18．（2025秋•龙岩期末）若实数m，n满足m+n2＝3，则m2+10n2的最小值为（　　） A．3 B．5 C．7 D．9 19．（2026春•萧山区月考）已知实数x、y满足x2+3x+y﹣3＝0，则y+x的最大值为　 　 ． 20．（2026•阳谷县校级模拟）若二次函数y＝﹣x2﹣2x+c有最大值7，则c的值为　 　 ． 21．（2025秋•鲤城区校级期末）二次函数y＝x2+2x+m的最小值是﹣2，则m的值为　 　 ． 22．（2025秋•上虞区期中）已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，3），（2，﹣5）． （1）填空：b＝　 　 ，c＝　 　 ． （2）当0≤x≤2时，求函数的最小值． （3）当﹣4≤x≤3时，求函数y＝﹣x2+bx+c的最大值与最小值的差． 23．（2025秋•海曙区期末）已知（﹣3，m），（1，n）为抛物线y＝﹣x2+kx（k为常数）上的两个点． （1）当n＝3时，求m的值； （2）若k≤﹣3，且当﹣3≤x≤1时，函数有最大值y＝4，求k的值． 【考点3】待定系数法求二次函数解析式（第24-37题） ※ 方法总结 · 一般式法：已知图象上三个点的坐标，设 ，代入三点坐标列三元一次方程组求解。 · 顶点式法：已知顶点坐标 ，设 ，再代入另一个点求 。 · 交点式法：已知与 轴交点 ，，设 ，再代入另一个点求 。 · 利用对称性：若已知两点纵坐标相同，则两点关于对称轴对称，可快速求对称轴。 24．（2025秋•萧县期末）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（1，0）和B（3，0）．求此二次函数解析式． 25．（2023秋•宁南县校级月考）若二次函数图象的顶点坐标为（2，﹣1），且图象过点（0，3），则该二次函数的解析式是（　　） A．y＝﹣x2+4x﹣5 B． C．y＝x2﹣4x+3 D． 26．（2025秋•栖霞市期中）已知一条抛物线经过A（0，10），B（m+2，n），C（4﹣m，n），D（3，1）四点，则抛物线的解析式为（　　） A．y＝x2+6x+10 B．y＝x2+3x+10 C．y＝x2﹣6x+10 D．y＝x2﹣3x+10 27．（2026•寿县模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）过A（0，﹣2），B（4，﹣2），C（6，0），D（8，﹣2）四个点中的其中三个点，则符合要求的所有函数表达式中a+b+c的最小值是（　　） A． B． C． D． 28．（2025秋•江岸区校级同步）已知二次函数图象过（1，0），（3，0），其图象的开口和形状均与y＝x2的图象一致，那么该二次函数的表达式为（　　） A．y＝x2﹣4x+3 B．y＝2x2﹣4x+3 C．y＝x2+4x+3 D．y＝2x2+4x+3 29．（2024秋•西华县期中）形状、开口方向与抛物线y＝2x2﹣x+3相同，且顶点为（﹣2，1）的二次函数解析式为（　　） A．y＝2（x+2）2+1 B．y＝2（x﹣2）2+1 C．y＝﹣2（x+2）2+1 D．y＝﹣2（x﹣2）2+1 30．（2025秋•青山区期末）请写出一个顶点是原点的抛物线的解析式　 　 ． 31．（2025春•同步）已知二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表： x … ﹣3 ﹣1 1 3 … y … ﹣4 2 4 2 … 则这个二次函数的解析式为 　 　 ． 32．（2026•紫金县校级二模）已知二次函数满足条件： ①图象过原点； ②当x＜2时，y的值随x值的增大而增大． 请你写出一个满足上述条件的二次函数的表达式：　 　 ． 33．已知二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣1，图象与y轴交点的纵坐标是﹣6，且经过点（2，10），则此二次函数的表达式为 　 　 ． 34．（2025•锡林郭勒盟四模）已知二次函数y＝ax2+bx+c，当﹣1≤x≤1时，总有﹣1≤y≤1，有如下几个结论： ①当b＝c＝0时，0＜a≤1， ②当a＝1时，c的最大值为0： ③当x＝2时，y可以取到的最大值为7； 上述结论中，所有正确结论的序号是 　 　 ． 35．（2025秋•呼和浩特月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c，其图象经过A（0，﹣3），B（﹣2，5），C（3，0）． （1）求二次函数的解析式及顶点坐标； （2）画出这个二次函数的图象； （3）根据图象，直接写出： ①当x＝　 　 时，函数有最　 　 值，该值为　 　 ； ②当﹣2＜x＜2时，函数值y的取值范围是　 　 ． 36．（2026•漳州模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+4的图象过点A（2，t），B（3，t）． （1）求a与b之间关系； （2）已知二次函数的y＝ax2+bx+4最小值为． ①求该二次函数的表达式； ②若M（x1，m），N（x2，m）为该二次函数图象上的不同两点，且m≠0，求证：． 37．（2026•仙游县模拟）如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为直线x＝2． （1）求此抛物线的表达式； （2）若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，当△OAB的面积为15时，求B的坐标． 【考点4】创新及压轴题（第38-42题） ※ 方法总结 · 新定义问题：理解题目给出的新定义（如“三倍点”“横纵和”“极小和”“特征值”等），将其转化为数学条件，结合二次函数性质求解。 · 综合应用：将二次函数与面积、最值、存在性等问题结合，通常需要： · 建立函数模型（面积、距离等）； · 利用二次函数性质求最值或范围； · 分类讨论与数形结合。 · 压轴题策略：① 审清题意，挖掘隐含条件；② 设出关键变量，建立函数关系；③ 利用配方法或顶点式求最值；④ 验证结果是否符合实际。 38．（2026•建邺区二模）已知二次函数y＝x2+bx+2的图象经过点（1，﹣1）． （1）求该函数图象的顶点坐标； （2）若该函数的图象向右平移3个单位长度后经过点（2，m），求m的值． 39．（2025秋•桐乡市期末）已知二次函数y＝x2﹣4x+3． （1）求函数图象的对称轴与顶点坐标． （2）将函数图象向下平移m个单位长度，若平移后的图象经过点（4，﹣1），求m的值． 40．（2025秋•天长市校级期中）当1≤x≤5时，请求出函数的最大值和最小值，并求出对应的x的值． 41．（2026•西湖区一模）设二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示： x … ﹣1 0 1 2 … y … 0 3 m 3 … （1）求二次函数的表达式和m的值． （2）点A（n，y1），B（n+3，y2）都在二次函数图象上，且0＜n＜2，试比较y1，y2的大小，并说明理由． （3）当﹣1≤x≤t时，函数值的取值范围是，求t的值． 42．（2026•池州一模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3a的图象过点A（1，t），B（3，t） （1）求的值； （2）已知二次函数y＝ax2+bx+3a的最小值为a2﹣6． ①求该二次函数的表达式； ②若M（x1，m），N（x2，m）为该二次函数图象上的不同两点，且m≠0，求证：． 课后巩固 · 针对性练习 · 作业1：二次函数图象的平移（左加右减，上加下减）→ 求平移后的解析式。 · 作业2：二次函数图象的平移与交点坐标 → 利用顶点坐标变化判断平移关系。 · 作业3：待定系数法（顶点式）→ 已知形状和开口方向、顶点坐标求解析式。 · 作业4：二次函数的最值（区间最值）→ 比较离对称轴远近确定函数值大小。 · 作业5：二次函数的最值（含参）→ 结合对称轴与区间位置，分类讨论求参数。 · 作业6：二次函数与不等式恒成立 → 利用判别式法求参数。 · 作业7：二次函数图象的平移与顶点坐标 → 平移后顶点在 轴上的条件。 · 作业8：平移与图象上点的坐标 → 代入法求平移距离，结合最值差求区间。 · 作业9：二次函数的最值（给定区间）→ 利用开口方向和对称轴求最值。 · 作业10：待定系数法（交点式）→ 利用对称性求与 轴交点，再求解析式。 · 作业11：待定系数法（一般式）→ 由表格数据求解析式，判断图象性质。 · 作业12：待定系数法与最值综合 → 由表格数据求解析式，结合区间最值求参数。 · 作业13：待定系数法与最值综合（含参）→ 分类讨论求参数的值。 · 作业14：二次函数与最短路径 → 利用对称性将线段和转化为两点间距离，结合抛物线对称轴求点坐标。 ❤ 复习建议： 本讲核心是“二次函数图象与性质”，重点掌握：三种表达式（一般式、顶点式、交点式）的灵活选择与互化；平移变换“左加右减，上加下减”的准确运用；配方法求顶点与最值，注意区间端点的比较；待定系数法的步骤与策略，根据条件选“式”；数形结合思想，借助图象直观理解性质与变换。 【作业1】（2025秋•南通期末）抛物线的函数表达式为y＝（x﹣2）2+1，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（　　） A．y＝（x+1）2+3 B．y＝（x﹣5）2+3 C．y＝（x﹣5）2﹣1 D．y＝（x+1）2﹣1 【作业2】（2026•新华区二模）如图，抛物线l1：y1＝a（x+1）2+2与抛物线l2：y2＝﹣（x﹣2）2﹣1交于点A（1，﹣2），以下结论： ①无论x取何值，y2总是负数； ②抛物线l2可由抛物线l1向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到； ③当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小； ④当直线y＝n与抛物线l1，l2有3个交点时，n＝﹣2． 下列说法正确的是（　　） A．只有①正确 B．只有②④正确 C．只有③④不正确 D．①②③④都正确 【作业3】（2024秋•献县月考）一条抛物线的开口方向与抛物线相同，顶点为（1，2），则其解析式可能为（　　） A．y＝2（x﹣1）2+2 B． C． D．或 【作业4】（2025•铜山区三模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣mx+m2﹣m+2（m为常数）的图象经过点（0，2），点A（0，a）、B（1，b）在这个二次函数的图象上，且a＝b，则该二次函数有（　　） A．最小值 B．最小值 C．最小值2 D．最小值﹣2 【作业5】（2025秋•济南期中）已知二次函数y＝5（x﹣3）2+2，下列说法中错误的是（　　） A．其图象的开口向下 B．函数的最小值为2 C．其图象的对称轴为直线x＝3 D．其图象的顶点坐标为（3，2） 【作业6】（2024秋•韶关期末）已知抛物线的顶点坐标是（2，1），且抛物线经过点（3，0），则这条抛物线的函数表达式是（　　） A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2+1 C．y＝﹣（x+2）2+1 D．y＝﹣（x﹣2）2+1 【作业7】将顶点在原点的二次函数的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，如果所得新抛物线经过点（0，﹣3），那么新抛物线的表达式为　 　 ． 【作业8】（2024秋•芜湖月考）已知二次函数y＝2x2+4x﹣3，点A（﹣2，1），B（2，3）． （1）函数y的最小值为 　 　 ． （2）若将二次函数沿y轴方向平移k个单位长度后与线段AB有两个交点，则k的取值范围为 　 　 ． 【作业9】（2025秋•丹阳市期末）若x﹣y+4＝0，则xy的最小值为　 　 ． 【作业10】（2025秋•宜兴市期末）已知抛物线开口向上，与y轴交于点（0，3），写出一个符合题意的抛物线表达式 　 　 ． 【作业11】（2025春•同步）一个二次函数的图象与抛物线y＝﹣3x2的形状相同、开口方向相反，且顶点为（﹣1，2），那么这个函数的解析式是 　 　 ． 【作业12】（2026•民权县一模）已知二次函数y＝ax2﹣x+c的图象的顶点坐标为（1，﹣2）． （1）求该二次函数的表达式，并在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象． （2）若点（m，b）在抛物线上，且满足b＜3，求m的取值范围． （3）当n≤x≤n+3时，二次函数的最大值与最小值的差为2，请直接写出n的取值． 【作业13】（2025秋•兴仁市期末）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）和B（3，0）， （1）求该二次函数的解析式及对称轴； （2）若点D是该二次函数图象与y轴的交点，点E是第四象限内二次函数上的点（不与B、D重合），连接DE、BD、BE，求△BDE面积的最大值． 【作业14】（2026•白银区校级模拟）抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，3）． （1）求这条抛物线的解析式； （2）如图，点P是抛物线对称轴上一点，连接AP，BP，当AP+BP最小时，求点P的坐标． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $