26.2.2　 第3课时　二次函数y＝a（x－h）²＋k的图象和性质 教学设计 2026-2027学年数学人教版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质，通过圆形喷水池实际问题导入，衔接y=ax²的平移规律，构建从具体到抽象的学习支架，梳理图象特征与平移关系。 以实际问题驱动探究，喷水池、铅球问题培养数学眼光，例1例2的平移归纳发展推理意识，例3的建模应用强化模型观念。学生提升数形结合能力，教师获得结构化教学流程与实例支撑。

26.2.2　第3课时　二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质 教学目标 1.会用描点法画出二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象，并能说出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标. 2.理解抛物线y＝a（x－h）2＋k与y＝ax2之间的位置关系，探究两者的平移规律，体验观察、归纳、类比、猜想的探索过程. 3.了解二次函数的解析式与图象之间的关系. 重点难点 重点：二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质. 难点：抛物线y＝a（x－h）2＋k与y＝ax2之间的位置关系. 教学过程 情景导入 要修建一个圆形喷水池，在水池中心竖直安装一根水管，并在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离水池中心3m.水管的长度应为多长？ 探究新知 探究点一　二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象 【例1】已知将抛物线y＝－x2先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后得到抛物线y＝a（x－h）2＋k. （1）求出a，h，k的值； （2）在同一平面直角坐标系中画出二次函数y＝a（x－h）2＋k与y＝－x2的图象； （3）观察二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象，当x　　　　时，y随x的增大而增大；当x　　　　时，函数y取最　　　　值，最　　　　值为　　　　； （4）观察二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象，你能说出对于一切x的值，函数y的取值范围吗？ 【解析】先根据二次函数图象平移规律求出函数解析式，再画出函数图象，结合图象回答上面的问题. 【解】（1）由y＝－x2先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后得到的抛物线是y＝－（x－1）2＋2，∴a＝－，h＝1，k＝2. （2）函数y＝－（x－1）2＋2与y＝－x2的图象如图所示. （3）＜1　＝1　大　大　2 （4）由图象知，对于一切x的值，总有函数值y≤2. 探究点二　二次函数图象的平移 【例2】在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝－x2，y＝－x2－1，y＝－（x＋1）2－1的图象，列表比较这三条抛物线的对称轴和顶点坐标，并总结它们的平移规律. 【解析】列表，从表中数据的变化规律发现抛物线的移动规律. 【解】列表、描点、连线，如图所示. x y＝－x2 y＝－x2－1 y＝－（x＋1）2－1 －4 －8 －9 －5.5 －3 －4.5 －5.5 －3 －2 －2 －3 －1.5 －1 －0.5 －1.5 －1 0 0 －1 －1.5 1 －0.5 －1.5 －3 2 －2 －3 －5.5 3 －4.5 －5.5 －9 抛物线 对称轴 顶点坐标 y＝－x2， 即y＝－（x－0）2＋0 直线x＝0 （或y轴） （0，0） y＝－x2－1， 即y＝－（x－0）2＋（－1） 直线x＝0 （或y轴） （0，－1） y＝－（x＋1）2－1， 即y＝－[x－（－1）]2＋（－1） 直线x＝－1 （－1，－1） 　　抛物线y＝－x2向下平移1个单位长度得到抛物线y＝－x2－1，抛物线y＝－x2－1向左平移1个单位长度得到抛物线y＝－（x＋1）2－1. 【规律总结】二次函数中，a值相同，抛物线的形状、开口方向就完全相同，彼此间的位置可通过平移互相得到，平移的关键是先画出对称轴、顶点的平移，再画出抛物线的平移. 抛物线平移规律如图. 简记为“自变量加减左右移，常数项加减上下移”. 探究点三　二次函数y＝a（x－h）2＋k的简单应用 【例3】一名男生推铅球，铅球运行的路线是一条抛物线（如图），已知铅球出手高度为m，铅球水平运行4m时达到最大高度3m.这名男生推出铅球的水平距离OA是多少米？ 【解析】建立适当的平面直角坐标系，根据抛物线的顶点坐标和它经过的另一个点的坐标求出抛物线的解析式，最后令函数值y为0，求出相应的自变量x的值，即为OA的长. 【解】如图，以直线OA为x轴，过点O且和OA垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系. ∵抛物线的顶点坐标是（4，3）， ∴设二次函数的解析式为y＝a（x－4）2＋3. 把代入y＝a（x－4）2＋3，解得a＝－， 则二次函数的解析式为y＝－（x－4）2＋3. 令y＝0，得－（x－4）2＋3＝0， 解得x1＝－2（不合题意，舍去），x2＝10. 故这名男生推出铅球的水平距离为10m. 课堂训练 1.二次函数y＝（x－1）2＋3图象的顶点坐标是（　　） A.（1，3） B.（1，－3） C.（－1，3） D.（－1，－3） 2.已知二次函数图象的顶点坐标为（1，－1），且过原点（0，0）.求该函数的解析式. 3.已知二次函数y＝x2－2x－3. （1）用配方法将其化为y＝a（x－h）2＋k的形式； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象. 板书设计 第3课时　二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质 1.二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象. 2.二次函数图象的平移. 3.二次函数y＝a（x－h）2＋k的简单应用. 课堂小结 本节课我们学习了用描点法画二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象，会说出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标，还知道了抛物线y＝a（x－h）2＋k与抛物线y＝ax2之间的位置关系. 教学反思 　　通过本节课的学习，学生归纳总结出二次函数y＝a（x－h）2＋k的性质，并通过观察图象之间位置的关系进而总结规律，体会数形结合思想及由特殊到一般的数学方法.教师在教学中不但要善于设疑置难，而且还要让学生学会理论联系实际，所以在探究的过程中要多设计与实际问题相关的实例，以此提高学生学习数学的兴趣. 答案 课堂训练 1.A 2.解：∵二次函数图象的顶点坐标为（1，－1）， ∴可设函数的解析式为y＝a（x－1）2－1. 将（0，0）代入解析式中， 得0＝a（0－1）2－1， 解得a＝1， ∴函数的解析式为y＝（x－1）2－1. 3.解：（1）y＝x2－2x－3＝（x－1）2－4. （2）顶点坐标为（1，－4）.列表如下： x －1 0 1 2 3 y 0 －3 －4 －3 0 　　函数图象如图所示. 学科网（北京）股份有限公司 $