第二十五章 一元二次方程 单元测评 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 人教版九年级上册一元二次方程单元测评卷，整合多省市2026年中考真题，覆盖方程解法、根的判别式与关系、实际应用等核心知识，难度7:2:1适配单元复习，强化数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/30分|根的判别式（1题）、菱形面积与根（2题）、增长率（7题）|结合科技（仿生飞行器）、体育赛事情境，基础巩固| |填空题|5题/15分|根与系数关系（12题）、参数取值范围（13题）|注重根的性质应用，如14题用定义降次求值| |解答题|8题/75分|公式法与因式分解法解方程（16题）、增长率（19题）、利润函数（20题）、九宫格探究（21题）、矩形动点（23题）|综合题融合文化（赵爽弦图）、红色文旅、几何动态，如23题动点面积问题考查数学建模与推理，21题日历规律体现数学眼光|

第二十五章　一元二次方程　单元测评卷 （人教版 2026 秋新版·九年级上册·参照 2026 年山东省中考统考数学试卷结构与难度命制） 满分 120 分　　考试时间 120 分钟　　难度比（易∶中∶难）7∶2∶1 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（2026·上海·中考真题）下列方程中，没有实数根的是（　　） A. 　　B. C. 　　D. 2．（2026·四川宜宾·中考真题）已知方程 的两根恰好是某菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积是（　　） A. 4　　B. 5 C. 6　　D. 7 3．（2026·河南·中考真题）已知 是关于 的方程 的一个根，则 的值为（　　） A. 5　　B. -5 C. 1　　D. -1 4．（2026·安徽·中考真题）已知关于 的一元二次方程 （）有两个相等的实数根，则 的值为（　　） A. -2　　B. C. 　　D. 2 5．（2026·四川内江·中考真题）对于实数 、，定义运算“☆”如下：，例如：，则方程 的根的情况为（　　） A. 有两个不相等的实数根　　B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根　　D. 无法确定 6．（2026·四川广元·中考真题）若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为（　　） A. 　　B. C. 　　D. 7．（2026·山西·中考真题）某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作。今年 3 月份此款飞行器产量为 1200 台，5 月份的产量为 1600 台。若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为 ，则下列方程正确的是（　　） A. 　　B. C. 　　D. 8．（2026·四川凉山·中考真题）四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有 支球队进入决赛阶段，共比赛 72 场，根据题意可列关于 的方程为（　　） A. 　　B. C. 　　D. 9．（2026·湖北·中考真题）2026 年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事。楚超有 支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛 1 场），共需进行 136 场比赛，则可列方程（　　） A. 　　B. C. 　　D. 10．（2026·黑龙江绥化·中考真题）已知 、 是一元二次方程 的两个根，则 的值为（　　） A. 16　　B. -16 C. 20　　D. -20 二、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分．只要求填写最后结果） 11．（2026·山东·中考真题）若关于 的一元二次方程 的一个根是 10，则另一个根是____________。 12．（2026·四川眉山·中考真题）若方程 的两个根是 、，则 的值为____________。 13．（2026·四川甘孜·中考真题）若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是____________。 14．（2026·甘肃天水·中考真题）已知 是一元二次方程 的一个根，则代数式 的值是____________。 15．（2026·河北·中考真题）已知关于 的一元二次方程 有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则 =____________。 三、解答题（本题共 8 小题，共 75 分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 16．（本题 8 分）（1）（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）用公式法解方程：； （2）（2026·江苏连云港·中考真题）解方程：。 17．（本题 8 分）（2026·四川南充·中考真题）关于 的一元二次方程 。 (1) 求证：方程有两个不相等的实数根； (2) 已知方程的两个实数根分别为 、，且 ，求 的值。 18．（本题 8 分）（2026·新疆·中考真题）被誉为“东方数学瑰宝”的赵爽弦图，是我国古代证明勾股定理的经典方法之一。如图，已知正方形 的面积为 100，正方形 的面积为 4，求 的长。 19．（本题 9 分）（改编自 2026·四川眉山·中考真题）某食品厂原计划每月生产芝麻糕 2000 件。为响应文旅号召，该厂连续两个月提高产量后，月产量达到 2880 件。 (1) 若每个月产量的增长率相同，求月产量的增长率； (2) 若保持(1)中的增长率，再经过一个月，该食品厂的月产量将达到多少件？ 20．（本题 9 分）（2026·山东烟台·中考真题）为庆祝长征胜利 90 周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品。已知某款文创产品的成本价是每件 20 元，日销售量 （件）与每件售价 （元）的函数关系如图所示。 (1) 求 与 的函数表达式； (2) 文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利 525 元，且尽可能地让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？ 21．（本题 10 分）（2026·山东德州·中考真题）探究小组发现了日历中的数学奥秘。规定如下：在日历中选取某月，任意框出的 3×3 方格即“九宫格”，九宫格中心位置的数称为“中心数”。请完成以下探究任务。 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 (1) 如图，若九宫格的中心数为 ，四个角的数字分别是 、、、。 ① 用含 的代数式表示 ； ② 探究 是否为定值，请证明； (2) 若框选出的九宫格的中心数是方程 的根，求九宫格中最大的数。 22．（本题 11 分）（改编自 2026·四川巴中·中考真题）已知 、 是关于 的一元二次方程 的两个实数根。 (1) 求 的取值范围； (2) 求 的最小值。 23．（本题 12 分）（原创·参照 2025·天津·中考真题动点题型）如图，在矩形 中， cm， cm。点 从点 出发，沿边 以 1 cm/s 的速度向点 移动；点 从点 出发，沿边 以 2 cm/s 的速度向点 移动。两点同时出发，当点 到达点 时两点同时停止运动。设运动时间为 s（）。 图 2 （1）用含 的代数式表示线段 、 的长，并求当 时 的面积； （2）当 的面积为 22 cm2 时，求 的值； （3） 的面积能否等于 36 cm2？若能，求出 的值；若不能，请说明理由。 答案及解析 题型 题量 分值 题号 难度分布 选择题 10 小题 每小题 3 分，共 30 分 1～10 易 1～8；中 9；难 10 填空题 5 小题 每小题 3 分，共 15 分 11～15 易 11～13；中 14；难 15 解答题 8 小题 共 75 分 16～23 易 16～20；中 21 及 22(2)、23(2)；难 22(3)、23(3) 合计 23 小题 120 分 — 易 84 分（70%）；中 24 分（20%）；难 12 分（10%） 一、选择题 1．【答案】D 【解析】对于一元二次方程 ，当判别式 时，方程没有实数根。 A 项：，，，，方程有两个不相等的实数根； B 项：，，，，方程有两个不相等的实数根； C 项：，，，，方程有两个不相等的实数根； D 项：，，，，方程没有实数根。故选 D。 2．【答案】D 【解析】，左边因式分解得 ， 于是 或 ，解得 或 。 所以该菱形的两条对角线长分别为 2 和 7。 由菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，得 。故选 D。 3．【答案】D 【解析】把 代入方程 ，得 ，即 。 移项得 ，两边同除以 -2，得 。故选 D。 【方法】“已知一根求参数”的基本方法是代入：把根代入方程必使等号成立，从而转化为关于参数的一元一次方程。 4．【答案】D 【解析】因为方程有两个相等的实数根，所以 ， 展开整理得 ，即 ，所以 ，即 。 又 ，等式两边同除以 ，得 。故选 D。 5．【答案】A 【解析】由新定义，，即 ，化为一般形式得 。 这里 ，，，， 所以原方程有两个不相等的实数根。故选 A。 【归纳】新定义题的关键是按定义把“新运算”转化为熟悉的一元二次方程。 6．【答案】B 【解析】因为方程有两个相等的实数根，所以 ，即 ， 解得 。故选 B。 【易错警示】开方求 时正、负两个值都不能丢，漏掉负根是常见错误。 7．【答案】C 【解析】3 月份产量为 1200 台，月平均增长率为 ，则 4 月份产量为 台， 5 月份产量为 台。 由 5 月份实际产量为 1600 台，可列方程 。故选 C。 【模型】增长率（降低）率问题：，其中 是间隔的期数。本题从 3 月到 5 月间隔 2 个月，故 。 8．【答案】B 【解析】共有 支球队，每支球队需要和除自身外的 支球队比赛； 又每两队之间进行两场比赛，不需要去掉重复计数，所以总比赛场数为 场。 已知总比赛场数为 72 场，故可列方程 。故选 B。 9．【答案】A 【解析】共有 支球队，每支球队需和除自身外的 支球队各比赛 1 场，共 场次； 由于每场比赛被两队各计 1 次，需要去掉重复计数，所以总场次为 。 由总场次为 136 场，可列方程 。故选 A。 【比较】第 8 题“每两队赛两场”不去重，列 ；本题“单循环”要去重，列 ，注意区分。 10．【答案】A 【解析】这里 ，，。由根与系数的关系得 ，。 所以 。故选 A。 【归纳】若 （，）的两根为 、，则 ，。 二、填空题 11．【答案】2 【解析】由 得 或 ，解得 ，。 因为方程的一个根是 10，所以 ，因此方程的另一个根为 2。 12．【答案】-12 【解析】由根与系数的关系得 ，。 提公因式得 。 【方法】凡“两根的对称式”都可用根与系数的关系整体代入，不必解出方程的根。 13．【答案】 【解析】因为方程有两个不相等的实数根，所以 ，即 ，解得 。 14．【答案】6 【解析】因为 是方程 的一个根，所以 ，即 （降次）。 所以 。 【方法】“根的定义降次”：把根代入方程得到 ，整体代入求值，不必解出 。 15．【答案】 【解析】设方程的两根分别为 、。由根与系数的关系得 ，。 整理 ，即 ，配方得 ，解得 。 所以 。 验证判别式：，方程确有两个实数根，符合题意。 【易错警示】用根与系数的关系求出参数后，务必回代检验判别式（或根的存在性）。 三、解答题 16．【答案】(1) ，；(2) ， 【解析】(1) 移项化为一般形式：。这里 ，，， ， ，解得 ，。 （另解：本题也可用配方法——移项得 ，两边都加上 ，得 ，开方得 ，同解。） (2) 移项得 ，提取公因式 得 ， 于是 或 ，解得 ，。 【易错警示】(1) 中 -6 移项后变号，；求根公式的分母是 。(2) 不能两边同除以 ，否则会丢根。 17．【答案】(1) 见解析；(2) 的值为 4 或 -5 【解析】(1) 证明： 　　， 所以无论 取何实数，方程总有两个不相等的实数根。 (2) 由根与系数的关系得 ，。 因为 ，所以 ，即 ，。 代入 ，得 ， 整理得 ，即 ， 分解得 ，解得 或 。 【验证】由(1)知 恒成立，故 与 都满足方程有两个实数根。 18．【答案】 的长为 6 【解析】因为正方形 的面积为 100，正方形 的面积为 4， 所以 ，。 设 ，则 。 在 中，由勾股定理得 ， 即 ， 展开整理得 ，即 ， 分解得 ，解得 或 （舍去）， 所以 的长为 6。 【方法】几何图形中求线段长，常设未知数，用勾股定理（或面积关系）列一元二次方程求解，并注意舍去不合实际的负根。 19．【答案】(1) 月产量的增长率为 20%；(2) 3456 件 【解析】(1) 设月产量的增长率为 。由题意得 ， 即 ，开方得 ， 解得 ，。 增长率不能为负， 不符合实际，舍去。 答：月产量的增长率为 20%。 (2) （件）。 答：再经过一个月，月产量将达到 3456 件。 【易错警示】解应用题求出的根要代回实际情境检验：增长率必须满足 。 20．【答案】(1) ；(2) 每件售价为 35 元 【解析】(1) 设 。图象经过点 和 ，代入得 ，，解得 ，。 所以 与 的函数表达式为 。 (2) 每件盈利为 元，每天销售量为 件，由题意得 ， 展开整理得 ，分解得 ，解得 ，。 因为要尽可能地让利于顾客，所以取较小售价 。 答：该款文创产品每件的售价为 35 元。 【验证】当 时，每件盈利 15 元、日销 35 件，（元），符合题意。 【易错警示】应用题的两个根都要结合“让利于顾客”等实际条件取舍。 21．【答案】(1)① ；② 是定值，值为 28；(2) 19 【解析】(1)① 日历中左右相邻两数相差 1、上下相邻两数相差 7。九宫格中心数为 ， 角 在中心左上方，横方向退 1、竖方向退 7，所以 。 ② 由题意可得 （右上角），（左下角），（右下角）， ， 差与 无关，所以 为定值 28。 (2) 解方程 ，分解得 ，解得 ，。 因为中心数上方需有两行日历数， 时上方两行不存在（出现负数），不符合题意，舍去；所以中心数为 11。 九宫格中最大的数是右下角 。 所以九宫格中最大的数为 19。 22．【答案】(1) ；(2) 最小值为 【解析】(1) 因为方程有两个实数根，所以 ，即 ，解得 。 (2) 由根与系数的关系得 ，。 所以 。 因为 ，所以 随 的增大而减小； 由(1)知 ，当 取最大值 时， 取得最小值， 最小值为 。 【易错警示】“有两个实数根”对应 （含相等），不要漏掉等号；求最值时必须先确定参数的取值范围。 23．【答案】（1） cm， cm； cm2；（2）；（3）不能，理由见解析 【解析】（1）由题意 cm， cm，又 cm， 所以 cm， cm。 当 时，（cm），（cm）， 因为四边形 是矩形，所以 ， （cm2）。 （2）由题意得 ，即 ， 整理得 ，， 。 因为 ，而 ，所以 不合题意，舍去。 答： 的值为 。 （3）不能。理由如下： 假设 ，则 ，即 ， 配方得 ，解得 。 因为 ，所以 不合题意，故 的面积不能等于 36 cm2。 【另解】，在 内，， 故 ，面积不可能达到 36 cm2。 【易错警示】解应用题、动点题一定要把求出的根代回自变量的实际取值范围检验，本题 与 都是因超出 而被舍去的。 学科网（北京）股份有限公司 $