精品解析：湖南岳阳市华容县2025-2026学年下学期期末质量监测高一数学试卷

2025－2026学年度第二学期教学质量监测卷 高一数学 注意事项： 1、本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页.时量120分钟，满分150分.答题前，考生要将自己的姓名、考号填写在答题卡上. 2、回答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷和草稿纸上无效. 3、回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案按题号写在答题卡上.写在本试卷和草稿纸上无效. 4、考试结束时，将答题卡交回. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.） 1. 复数z＝2－i在复平面内对应的点位于(　 　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先找到复数对应的点，再确定对应的点所在的象限. 【详解】由题得复数z对应的点为（2，-1），所以对应的点在第四象限. 故选D 【点睛】本题主要考查复数的几何意义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 2. 在△ABC中，，设＝，＝，则用，表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合图形，利用向量的四则运算化简即得. 【详解】 如图，. 3. 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件. 为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用比例分配的分层随机抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n等于（　　） A. 10 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】C 【解析】 【详解】依题意，抽样比为，则由，解得. 4. 已知一组数据的平均数和方差分别为2026，27，若向这组数据中再添加一个数据为2026，新数据组的平均数和方差分别为，，则（　　）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设原数据个数为，则原数据总和为，原方差满足，即. 添加数据2026后，新数据总和为，因此新平均数 ，排除C、D选项； 方差，即，故A错误，B正确. 5. 若a，b表示直线，α表示平面，则以下命题中正确的是（　　） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则或与异面 【答案】D 【解析】 【详解】A，若，可能有，也可能是，A错； B，若，可能相交，可能平行也可能异面，B错； C，，可能有，也可能是，C错； D，由线面平行的定义知D正确. 6. 已知的内角，，所对的边分别为，，，若满足条件，的有两个，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理用表示，再借助的范围求解即得. 【详解】在中，由正弦定理得，则， 由满足条件，的有两个，得，且，即， 因此，所以. 故选：A 7. 已知S，A，B，C是球O表面上的不同点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝1，BC＝.若球O的表面积为4π，则SA＝ A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据已知把补成如图所示的长方体．因为球O的表面积为4π，所以球O的半径R＝1,2R＝＝2，解得SA＝1，故选B． 8. 如图，正方形的边长为2，圆半径为1，点在圆上运动，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量的加法可得，再由向量数量积的运算即可得解. 【详解】设与的夹角为，则， ， 因为， 所以， 故选：C 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法错误的有（　　） A. 设一批产品的次品率为，从中任取100件，则必有10件次品 B. 明天降雨概率为，则明天可能不下雨 C. 连续投10次骰子，则连续投出10个1是不可能事件 D. 某市气象台预报“明天本市降水概率为”，指的是该市气象台专家中，有认为明天会降水，认为不会降水. 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，次品率为是概率统计概念，表示大量重复试验中次品所占比例的期望，并不保证100件中恰好10件次品，所以A错误，符合题意； 对于B，概率为表示事件发生的可能性很大，但仍有的可能不发生，所以“可能不下雨” ，所以B正确，不符合题意； 对于C，连续投出10个1的概率为 ，是可能发生的，不是不可能事件，所以C错误，符合题意； 对于D ，“降水概率为”表示降水的可能性为，不是指专家意见的比例，所以D错误，符合题意． 10. 已知，则下列结论正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若与的夹角为锐角，则 D. 若|+|=， 则或 【答案】ABD 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示判断A，根据向量数量积的坐标运算判断BCD. 【详解】对于选项A，，则，，A正确； 对于选项B，，则，，B正确； 对于选项C，与的夹角为锐角，则，， 但当时，与同向，夹角为，C错； 对于选项D，，解得或，D正确. 11. 如图1，在边长为2的正方形中，，，分别为，，的中点，沿、及把这个正方形折成一个四面体，使得、、三点重合于，得到四面体（如图2）.下列结论正确的是（ ） A. 顶点在面上的射影为的重心 B. 与面所成角的正切值为 C. 二面角的余弦值为 D. 过点的平面截四面体的外接球所得截面圆的面积的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】折叠问题，关键是抓住其中的不变量. 选项A：由于､､两两垂直，可证在面上的射影为的垂心； 选项B：根据线面角的定义法求解； 选项C：根据二面角的定义即可求解； 选项D：将四面体补成长方体，找出球心，将问题转化为过一定点作球的截面求截面圆面积最值问题. 【详解】对于A项，由于､､两两垂直，故在面上的射影为的垂心， 理由如下：如图，过点作平面，交平面于点， 因为平面，平面，所以， 又因为，，，都在平面内，且相交于点， 所以平面，又平面，所以， 又，所以平面，又平面，所以. 同理可证，，所以在面上的射影为的垂心. 故A项错误； 对于B项，设为中点，则，，， 故平面，故平面平面， 所以在平面上的射影为， 与平面所成角为，，，，，故B项正确； 对于C项，如图，取EF的中点，因为，所以， 由因为，所以，所以二面角的平面角即为； 又因为在中，，，，所以，故C项正确； 对于D项，设为四面体的外接球球心，平面，连接，， 当过点的截面经过球心时截面圆面积最大，面积为； 当垂直截面圆时，截面圆面积最小， 此时，，， ，截面圆面积为， 得截面圆面积取值范围是. 故D项正确. 故选：BCD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 表示虚数单位，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为且 所以. 13. 甲、乙、丙三人依次进行投篮，一人投不中则换下个人投，直到有人投中或三人都投过一次为止．已知甲、乙、丙三人投中的概率分别为，若每个人是否投中相互独立，则有人投中的概率为___________． 【答案】##0.9375 【解析】 【分析】根据相互独立事件及对立事件的概率公式计算可得答案． 【详解】“有人投中”的对立事件为“三人投篮都不中”， 故所求概率为． 14. 如图，两个完全相同的正四棱柱和“垂直贯穿”构成一个多面体，其中的侧棱与的侧棱垂直．的一组相对的侧棱与的一组相对的侧棱分别交于，，，四点，另外一组相对的侧棱与的另一组相对的侧棱分别交于，两点．已知和的底面边长为，侧棱长为3，则该多面体的体积为________ 【答案】## 【解析】 【分析】由题意用两个柱体体积减去重叠部分体积，计算即可 【详解】如图两个正四棱柱的重叠部分为多面体，取的中点I， 则多面体可以分成8个全等三棱锥， 则，且平面，， 则， 该“十字贯穿体”的体积即为. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知，，且与夹角为． （1）求； （2）求与的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先计算的值，再代入向量模的计算公式，即可求解； （2）代入向量夹角的余弦公式，即可求解. 【小问1详解】 ∵，且与夹角为， ∴， ∴； 【小问2详解】 ， ∴ 16. 某烘焙店为调研某款全麦面包的质量情况，随机抽取了100个这款全麦面包，将称重后得到的数据分成六组，分别为[，，…，（单位：克），得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值，并估计这100个样本数据的平均数；（同一组中的数据以该组所在区间的中点值为代表） （2）若样本在内的平均质量是65克，方差是6，在内的平均质量为75克，方差是3，求这两组质量的总方差． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，列出方程求得，结合平均数的计算公式，即可求解； （2）根据题意，利用分层抽样的方差的计算公式，即可求解. 【小问1详解】 解：由频率分布直方图的性质，可得， 解得． 各组的组中值依次为，对应频率依次为， 所以数据的平均数 ， 所以估计这100个样本数据的平均数为． 【小问2详解】 解：由于样本数据在与内的频率之比为， 所以两组的总平均数为， 所以总方差． 17. 的内角的对边分别为，已知. （1）求角的值； （2）若的面积为，且，求的周长. 【答案】（1） （2）18 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和三角形内角关系定理化简即得； （2）利用三角形面积求出的值，再由余弦定理求出的值，即得三角形的周长. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 即，即， ∴上式化为，即 【小问2详解】 因为的面积为， 所以， 解得：， 由已知及余弦定理得，即， 将代入得：， 即，得， 则， 的周长为. 18. 如图所示，正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，是的中点，是侧棱上的点，且. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正切值. （3）平面交于，求. 【答案】（1）连接，与交于点，连接， 因为四边形为正方形， 所以为中点，且 又，则，又平面，， 故平面 ，又平面， 所以平面平面． （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直判定定理进行证明； （2）根据线面所成角的定义确定为直线与平面所成的角，再求出相关线段，算出正切值； （3）由比例得，由中位线得，根据面面平行性质定理得，求出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为是正四棱锥，所以平面， 因为是的中点，取为的中点，则，所以平面 从而为直线与平面所成的角， 在中，， 所以，且，， 在中，, 所以直线与平面所成角的正切值为 【小问3详解】 ，则 ， 又为中点，为中点，， 因为平面，平面，所以平面， 同理平面，，平面， 所以平面平面， 平面平面 ，平面平面 ， 故得，则. 19. 蜂巢（图1）是由许多正六边形的中空柱状体（蜂房）连接而成，其设计有着深刻的数学原理，我国著名数学家华罗庚曾专门研究蜂房的结构，著有《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》. 用数学的眼光去看蜂房的结构，如图2在正六棱柱ABCDEF- A'B'C'D'E'F'的三个顶点A、C、E处分别用平面BFM，平面BDO，平面DFN截掉三个相等的棱锥，，，平面BFM，平面BDO，平面DFN交于一点，则这三个平面与正六棱柱的侧面与底面围成了封闭的几何体，就形成了蜂房结构. 已知，. （1）求该正六棱柱的表面积； （2）判断四边形是否为菱形，并证明你的结论； （3）当蜂房结构的表面积最小时，求平面MFPB与平面FBD所成的锐二面角的正切值. 【答案】（1） （2）四边形是菱形， 证明如下： 连接，，，， ，，为平行四边形，， 同理可得， ， 又，，， 为平行四边形，故， 又平面，平面，平面， 又平面，平面平面， 故，同理可得， 又，故四边形为菱形． （3） 【解析】 【分析】（1）利用公式计算即可； （2）先证明平面，再利用线面平行的性质证即可； （3）取中点K，得为平面与平面所成的锐二面角的平面角， 计算表面积，设，结合三角函数值域求范围. 【小问1详解】 【小问2详解】 略 【小问3详解】 取中点K，连接、， 由，为等腰三角形，可得，， 为平面与平面所成的锐二面角的平面角， 设，，则，， ， ，， 令， 则，得， 当 时，表面积最小，此时， 故当蜂房结构的表面积最小时，平面与平面所成的锐二面角的平面角的正切值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第二学期教学质量监测卷 高一数学 注意事项： 1、本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页.时量120分钟，满分150分.答题前，考生要将自己的姓名、考号填写在答题卡上. 2、回答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷和草稿纸上无效. 3、回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案按题号写在答题卡上.写在本试卷和草稿纸上无效. 4、考试结束时，将答题卡交回. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.） 1. 复数z＝2－i在复平面内对应的点位于(　 　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 在△ABC中，，设＝，＝，则用，表示为（　　） A. B. C. D. 3. 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件. 为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用比例分配的分层随机抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n等于（　　） A. 10 B. 12 C. 13 D. 14 4. 已知一组数据的平均数和方差分别为2026，27，若向这组数据中再添加一个数据为2026，新数据组的平均数和方差分别为，，则（　　）. A. B. C. D. 5. 若a，b表示直线，α表示平面，则以下命题中正确的是（　　） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则或与异面 6. 已知的内角，，所对的边分别为，，，若满足条件，的有两个，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知S，A，B，C是球O表面上的不同点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝1，BC＝.若球O的表面积为4π，则SA＝ A. B. 1 C. D. 8. 如图，正方形的边长为2，圆半径为1，点在圆上运动，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法错误的有（　　） A. 设一批产品的次品率为，从中任取100件，则必有10件次品 B. 明天降雨概率为，则明天可能不下雨 C. 连续投10次骰子，则连续投出10个1是不可能事件 D. 某市气象台预报“明天本市降水概率为”，指的是该市气象台专家中，有认为明天会降水，认为不会降水. 10. 已知，则下列结论正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若与的夹角为锐角，则 D. 若|+|=， 则或 11. 如图1，在边长为2的正方形中，，，分别为，，的中点，沿、及把这个正方形折成一个四面体，使得、、三点重合于，得到四面体（如图2）.下列结论正确的是（ ） A. 顶点在面上的射影为的重心 B. 与面所成角的正切值为 C. 二面角的余弦值为 D. 过点的平面截四面体的外接球所得截面圆的面积的取值范围是 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 表示虚数单位，则__________. 13. 甲、乙、丙三人依次进行投篮，一人投不中则换下个人投，直到有人投中或三人都投过一次为止．已知甲、乙、丙三人投中的概率分别为，若每个人是否投中相互独立，则有人投中的概率为___________． 14. 如图，两个完全相同的正四棱柱和“垂直贯穿”构成一个多面体，其中的侧棱与的侧棱垂直．的一组相对的侧棱与的一组相对的侧棱分别交于，，，四点，另外一组相对的侧棱与的另一组相对的侧棱分别交于，两点．已知和的底面边长为，侧棱长为3，则该多面体的体积为________ 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知，，且与夹角为． （1）求； （2）求与的夹角的余弦值． 16. 某烘焙店为调研某款全麦面包的质量情况，随机抽取了100个这款全麦面包，将称重后得到的数据分成六组，分别为[，，…，（单位：克），得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值，并估计这100个样本数据的平均数；（同一组中的数据以该组所在区间的中点值为代表） （2）若样本在内的平均质量是65克，方差是6，在内的平均质量为75克，方差是3，求这两组质量的总方差． 17. 的内角的对边分别为，已知. （1）求角的值； （2）若的面积为，且，求的周长. 18. 如图所示，正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，是的中点，是侧棱上的点，且. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正切值. （3）平面交于，求. 19. 蜂巢（图1）是由许多正六边形的中空柱状体（蜂房）连接而成，其设计有着深刻的数学原理，我国著名数学家华罗庚曾专门研究蜂房的结构，著有《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》. 用数学的眼光去看蜂房的结构，如图2在正六棱柱ABCDEF- A'B'C'D'E'F'的三个顶点A、C、E处分别用平面BFM，平面BDO，平面DFN截掉三个相等的棱锥，，，平面BFM，平面BDO，平面DFN交于一点，则这三个平面与正六棱柱的侧面与底面围成了封闭的几何体，就形成了蜂房结构. 已知，. （1）求该正六棱柱的表面积； （2）判断四边形是否为菱形，并证明你的结论； （3）当蜂房结构的表面积最小时，求平面MFPB与平面FBD所成的锐二面角的正切值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $