湖南常德市临澧县第一中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

2026年上学期高一年级期末考试试卷 数 学 时量：120分钟 总分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若复数满足，则（ ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ） A． B． C．或 D． 4．已知事件，发生的概率分别为，，则下列结论错误的是（ ） A．若与互斥，则 B．若，则 C．若，则与相互独立 D．若与相互独立，则 5．已知点，，，则在上的投影向量的坐标为（ ） A． B． C． D． 6．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（ ） A． B． C． D． 7．已知，，则等于（ ） A． B． C． D． 8．已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列叙述正确的是（ ） A．若幂函数的图象经过点，则该函数在上单调递减 B．命题“，”的否定是“，” C．函数的单调递增区间为 D．函数与函数互为反函数 10．函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．若在上恰好有三个零点，则 D． 11．棱长为1的正方体中，，，分别是，，的中点，则下列说法正确的有（ ） A．点在直线上运动时，三棱锥的体积不变 B．点在直线上运动时，直线始终与平面平行 C．直线与直线所成的角为 D．三棱锥的体积为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知函数的图象过定点，若且，，则的最小值为____________． 13．已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，则面积的最大值为____________． 14．在三棱锥中，，，，．若三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为____________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）已知集合，． （1）当时，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16．（本小题满分15分）在中，角，，所对的边分别为，，，已知向量，，且． （1）求角的大小； （2）若，求周长的取值范围． 17．（本小题满分15分）黄山原名“黟山”，因峰岩青黑，遥望苍黛而名，后因传说轩辕黄帝曾在此炼丹，故改名为“黄山”．黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一．明代旅行家、地理学家徐霞客两游黄山，赞叹说：“登黄山天下无山，观止矣！”又留“五岳归来不看山，黄山归来不看岳”的美誉．为更好地提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，求的值； （2）估计这100名游客对景区满意度评分的40%分位数（得数保留两位小数）； （3）景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在，的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率． 18．（本小题满分17分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点． （1）求证：平面； （2）求侧面与底面所成二面角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 19．（本小题满分17分） 已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，定义函数的“和谐向量”为非零向量，的“和谐函数”为．记平面内所有向量的“和谐函数”构成的集合为． （1）已知，，若函数为集合中的元素，求其“和谐向量”模的取值范围； （2）已知，设，且的“和谐函数”为，其最大值为，求． （3）已知，，设（1）中的“和谐函数”的模取得最小时的“和谐函数”为，，试问在的图象上是否存在一点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $2026年上学期高一年级期末考试试卷 数学（参考答案） (仅供参考，敬请校对后使用) 题号 1 5 6 > 8 10 11 答案 A 不 ABD ACD ABC 2V15 12.9 13.3 14.22元 15. 1)当a=l时， A={xx2-5x+4<0}=(1,4)B={xy=ln(2-x》=(-,2) 所以AUB=(0,4), …(5分) (2)因“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以集合A是集合B的真子集， 1 当a>0时，A=(a,4a）,所以只需4a≤2，解得 <a 2: 当a<0时，A=(4a,a是集合B的真子集，符合题意， 综上所述，实数a的取值范围是 ←.u0 (13分) 16.(1)m/,.'.asinB-3bcosA=0 由正弦定理，得sinAsinB-V3 sinBcosA=0 又sinB≠0，∴tanA=V3 A=π 由于0<A<元， (6分) 3,.............1111111116 2)a-5.1= ab c 3,由正弦定理sin4 sinB sinC,得b=2sinB,c=2sinC. be=6a+ac-mg-cj小sc受osc+c小asc+ v4-3 co),uc) mc+[剖 b+ce(5,25].则a+b+ce(5,35] 故△MBC周长的取值范围为(2V5,3V5] (15分) 17.(1)由频率分布直方图得： 10(0.005+0.01+0.015+x+0.04)=1 解得x=0.030 (4分) (2)由10(0.005+0.01+0.015)=0.3<0.4<10(0.005+0.01+0.015+0.03)=0.6 :40%分位数在区间80,90)内，令其为m, 0 则03+003×m-80)=04.解得m=80+ ≈83.33 .这100名游客对景区满意度评分的40%分位数为83.33分.…(9分) (3)评分在[50,60），[60,70)的频率分别为005,01， 0.05 则在[50,60)中抽取0.05+0. ×6=2 人，设为a,b, 0.1 ×6=4 在[60,70）中抽取0.05+0.1 人，设为C,D,E,F, (11分) 从这6人中随机抽取2人，基本事件有： {a,b}.{a,C}.{a,D}.{a,E}.{a,F}.b,Cb,D).b,E. 伍，F,{C,D,{C,E,{C,F},{D,E,{D,F.{EF,共15个 设事件A表示选取的2人评分分别在[50,60)和[60,70)内客1人， 则率件A包含的基本事件有：{a,C,{aD},{a,E,{a,F},{b,C, {,D}.E,F,共8个 P=m8 ÷选取的2人评分分别在[50,60)和[60,70)内各1人的概率为Pn15】 (15分) 18.(1)证明：在正方形ABCD中，CD⊥AD, 又侧面PAD⊥底面ABCD,侧面PAD∩底面ABCD=AD,CDC平面ABCD, 所以CD⊥平面PAD,又AMC平面PAD,所以CD⊥AM. 因为△PAD是正三角形，M是PD的中点，则AM⊥PD, 又CD∩PD=D,CD,PDc平面PCD, 所以AM⊥平面PCD: …（5分) (2)取AD,BC的中点分别为E,F,连接EF,PE,PF, 则EF=CD,又EFIICD,所以EF⊥AD, 在正△PAD中，PE⊥AD, 因为EF∩PE=E,EF,PECc平面PEF,则AD⊥平面PEF, 在正方形ABCD中，ADIIBC,故BC⊥平面PEF, 所以∠PFE是侧面PBC与底面ABCD所成二面角的平面角， 由CD⊥平面PAD,EFIICD, 则EF⊥平面PAD,又PEC平面PAD,所以EF⊥PE, 正方形ABCD的边长AD=2,则EF=2,PE=V3 所以PF=V7,则os∠PFE=E=25 PF-7, 27 故侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值为7. …(12分) (3)取AD,BC的中点分别为E,F,连接BE,PE, 在正△PAD中，PE LAD,因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD, 所以PE⊥平面ABCD, 所以PE⊥BE,AE=1,PE=V5,PB=√PE2+BE2=3+5=2W2, 所以△PAB为等腰直角三角形， Sarm-x2x2=2 2 设C到平面PAB的距离为d, 1 1 Vr-nc --SAARCX PE==Ve-PAB=3SAPm xd 则 3 所以d=V3】 即C到平面PAB的距离为V3 (17分) 19.(1)(x)=2cosx+cos(+)=2cosx+cosxcos0-sinxsin@--sin@sinx+(2+cos0)cosx 所以函数f()的“和谐向量”向量0=（←sin8,2+cos6) =/sin20+(2+cos0)2=4c0s0+5 因为os8e-1,川，所以4cos0+5e[L,9], 所以回的取值范国为3]， …(5分) (2)设i=(2c0sa,2sina）,万=(2c0sB,2sin6) 则OG=2a+6=(22cosa+eos),2((isina+sinB)】 (x)=2(cos+ucosB)sinx+2(isin+usinB)cosx =2(cosasinx+sinacosx)+2u(cosBsinx +sinBcosx) =2sin(x+a)+2usin(x+B)≤2元+2μ x+a=+2k元 助行在5，满视5+B=受+2 ，当且仅当x=时取等号，其中k,∈Z」 所以a-B=2(k-k)元，即a=b,所以a=B+2km,k∈Z, 元+4-1 所以(x)的最大值S=21+2“,所以S2, …（11分) (3)由1)知，当c0s0=-1时，@最小，此时0=(0，) 所以m(x)=cosr8(x)=2co 2, w.6=aae[2习现-2-).项=-2- 因为M0·N0=0 所以(c+2x-2)+(-3)t-6)=0,即2+2-9r+14=0, -3-空-r k-9s5 ,所以22，即2≤t≤7， 而1e[2,2],则t=2,当且仅当x=0时，等式()成立， 所以在y=8(的图象上存在一点2(0,2），使得M00=0.17分) 说明：解答题的其他解法按相应的评分标准给分。