精品解析：湖南省岳阳市华容县2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

华容县2024－2025学年度第二学期期末监测试卷 高一数学 注意事项： 1、本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页.时量120分钟，满分150分.答题前，考生要将自己的姓名、考号填写在答题卡上. 2、回答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷和草稿纸上无效. 3、回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案按题号写在答题卡上.写在本试卷和草稿纸上无效. 4、考试结束时，将答题卡交回. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.） 1. 已知，则复数对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 下列说法正确的是（　　） A. 若，则 B. 零向量没有方向 C. 相等向量的长度相等 D. 共线向量是在同一条直线上的向量 3. 如图所示，用符号语言可表达为（ ） A. ，， B. ，， C. ，，， D. ，，， 4. 某校高中生共有3600人，其中高一年级1300人，高二年级人，高三年级1100人，现采取分层抽样法抽取容量为36的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为（　　） A. 11，14，11 B. 12，12，12 C. 14，12，10 D. 13，12，11 5. 从2名男生和2名女生中任意选出两人参加学校辩论赛，则选出的两人恰好是两名女生的概率是（　　） A. B. C. D. 6. 已知的内角的对边分别为，且边上中线长为，则最大值为（　　） A. 3 B. C. 2 D. 7. 已知圆锥的底面圆的直径为2，侧面展开图是一个半圆，则圆锥的表面积等于（　　） A. B. C. D. 8. 某学校为了解学生身高（单位：cm）情况，采用分层随机抽样的方法从4000名学生中抽取了一个容量为80的样本．已知该校男生人数比女生多800人，抽样结果显示：男生样本的平均身高为178，方差为200；女生样本的平均身高为162，方差为185．则下列说法中不正确的是（　　） A. 抽取的样本里男生有48人 B. 每一位学生被抽中的可能性为 C. 估计该学校学生身高的平均值为171.6 D. 估计该学校学生身高的方差为253 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（　　） A. B. 复数的虚部为 C. 若，则复平面内对应的点位于第三象限 D. 已知复数z满足，则z是纯虚数 10. 已知向量，，下列结论正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则在上的投影向量为 11. 在如图所示的三棱锥中，，平面，，下列结论正确的为（　　） A. 直线与平面所成的角为 B. 二面角的正切值为 C. 到面的距离为 D. 两条异面直线与所成的角的余弦值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 某科技攻关青年团队共有8人，他们的年龄分别是29，35，40，36，38，34，32，41，则这8人年龄的25%分位数是_______. 13. 如图，AC为圆锥SO的底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，，E为线段AB上的动点，当时，圆锥的体积等于_________ 14. 若的角所对边，且满足，则角A的最大值为_____ 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，在中，，D为中点，E为上一点，且，的延长线与的交点为F. （1）用向量与表示 和 （2）用向量与表示 （3）求出 的值 16. 张先生在一家科技公司工作，每天早上自驾去公司上班.他统计了最近100次开车从家到公司的红灯等待时间并形成统计表，将数据分成了，，，，（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示. （1）求图中a的值，估计张先生最近100次红灯等候时间的平均数； （2）估计张先生红灯等待时间的上四分位数； （3）根据以上数据，估计张先生在接下来的20次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间不低于85秒的次数. 17. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且. （1）证明：平面平面； （2）求四棱锥外接球的表面积； （3）求三棱锥的体积. 18. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足. （1）求角A； （2）若角A的平分线交BC边于D且，求的面积的最小值. 19. 甲、乙两人在校园运动会“趣味数学挑战”中玩骰子游戏.规则如下：准备两个相同的六面骰子（点数1,2,3,4,5,6），甲先掷第一个骰子，记录点数为a（每次掷骰子后骰子独立，即后续掷骰子不受前次影响）.此时甲有两种选择： ①再掷一次骰子，记录点数为b，甲的最终挑战分数取两次中的较大值（即max{a，b}）； ②直接结束，甲的最终挑战分数为a. 随后乙掷一个骰子，记录点数为c，若c>甲的最终分数，则乙赢，否则甲赢.游戏结束. 问题： （1）若甲选择②（只掷1次），求甲赢的概率； （2）若甲选择①（掷2次），求甲赢的概率； （3）当甲第一次掷出的点数a为多少时，甲选择②赢得游戏的概率大于选择①的概率? 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华容县2024－2025学年度第二学期期末监测试卷 高一数学 注意事项： 1、本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页.时量120分钟，满分150分.答题前，考生要将自己的姓名、考号填写在答题卡上. 2、回答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷和草稿纸上无效. 3、回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案按题号写在答题卡上.写在本试卷和草稿纸上无效. 4、考试结束时，将答题卡交回. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.） 1. 已知，则复数对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先根据复数的减法运算求出复数，然后求出其在复平面对应的点，从而可求得结果. 【详解】因为，所以， 所以复数在复平面对应的点为，位于第四象限． 故选：D. 2. 下列说法正确的是（　　） A. 若，则 B. 零向量没有方向 C. 相等向量的长度相等 D. 共线向量是在同一条直线上的向量 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的相关概空可判断AC的真假；根据零向量的概念可判断B的真假，根据共线向量的概念可判断D的真假. 【详解】对A，由，不能得到方向相同，所以未必成立，故A错误； 对B：零向量的方向是任意的，故B错误； 对C：根据相等向量的概念，C正确； 对D：共线向量是指方向相同或相反的向量，故D错误. 故选：C 3. 如图所示，用符号语言可表达为（ ） A. ，， B. ，， C. ，，， D. ，，， 【答案】A 【解析】 【分析】结合图形及点、线、面关系的表示方法判断即可． 【详解】如图所示，两个平面与相交于直线，直线在平面内，直线和直线相交于点， 故用符号语言可表达为，，， 故选：A 4. 某校高中生共有3600人，其中高一年级1300人，高二年级人，高三年级1100人，现采取分层抽样法抽取容量为36的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为（　　） A. 11，14，11 B. 12，12，12 C. 14，12，10 D. 13，12，11 【答案】D 【解析】 【分析】根据分层抽样的定义求得抽样比，分别计算每个年级被抽到的人数，可得答案. 【详解】用分层抽样在各层中的每个个体被抽到的可能性为， 则在高一年级抽取的人数是（人）， 高二年级抽取的人数是（人）， 高三年级抽取的人数是（人）， 所以高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为13，12，11, 故选：D. 5. 从2名男生和2名女生中任意选出两人参加学校辩论赛，则选出的两人恰好是两名女生的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用列举法求出古典概率即可. 【详解】记2名男生为，2名女生为， 任意选出两人的样本空间为，共6个样本点， 设选出的两人恰好是两名女生为事件，则，共1个样本点， 故选出的两人恰好是两名女生的概率是. 故选：B. 6. 已知的内角的对边分别为，且边上中线长为，则最大值为（　　） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两角互补余弦值之和等于，然后分别在三角形中利用余弦定理求出两角的余弦，列出方程，然后利用基本不等式求出最值即可. 【详解】由题意得，， 所以，， 又，且是的中点，所以， 在中，， 在中，， 所以， 即，得，当且仅当取等号， 所以最大值为. 故选：C. 7. 已知圆锥的底面圆的直径为2，侧面展开图是一个半圆，则圆锥的表面积等于（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设母线长为，可得，再由圆锥的表面积公式计算可得. 【详解】因为圆锥的底面直径为2，即底面半径为， 设母线长为，则，则， 所以该圆锥的表面积为. 故选：B. 8. 某学校为了解学生身高（单位：cm）情况，采用分层随机抽样的方法从4000名学生中抽取了一个容量为80的样本．已知该校男生人数比女生多800人，抽样结果显示：男生样本的平均身高为178，方差为200；女生样本的平均身高为162，方差为185．则下列说法中不正确的是（　　） A. 抽取的样本里男生有48人 B. 每一位学生被抽中的可能性为 C. 估计该学校学生身高的平均值为171.6 D. 估计该学校学生身高的方差为253 【答案】D 【解析】 【分析】根据分层抽样的公式，以及利用每层样本的平均数和方差公式，代入总体的均值和方差公式，即可判断各选项． 【详解】依题意可得该校女生人数为人，男生人数为人， 则该校男女生人数之比为， 对于选项A，根据分层随机抽样，则抽到男生人数为人，故选项A正确； 对于选项B，每一位学生被抽中的可能性为，故选项B正确； 对于选项C，估计该学校学生身高的平均值为，故选项C正确； 对于选项D，估计该学校学生身高的方差为，故选项D错误． 故选：D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（　　） A. B. 复数的虚部为 C. 若，则复平面内对应的点位于第三象限 D. 已知复数z满足，则z是纯虚数 【答案】AC 【解析】 【分析】利用复数加减及幂运算即可判断A选项，根据复数的概念判断选项B，先化简复数，写出它的共轭复数对应点的坐标即可判断选项C，设复数代入中求出的值即可判断. 【详解】由 ， 故A选项正确； 复数的虚部为，故B选项不正确； 由， 所以对应点为 所以复平面内对应的点位于第三象限，故C正确； 设复数， 则， 即 所以，的值不确定，有可能为0， 故D不正确； 故选：AC. 10. 已知向量，，下列结论正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则在上的投影向量为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据平面向量模的坐标运算求解可判断A；根据平面向量垂直的定义和数量积的坐标运算可判断B；根据平面向量夹角的坐标运算公式求解可判断C；根据投影向量的定义求解可判断D. 【详解】对于A：若，则，解得，故A错误； 对于B：若，则，解得，故B正确； 对于C：若，则，又， ，， 所以，故C正确； 对于D：若若，则，， 则在上的投影向量为，故D错误． 故选：BC. 11. 在如图所示的三棱锥中，，平面，，下列结论正确的为（　　） A. 直线与平面所成的角为 B. 二面角的正切值为 C. 到面的距离为 D. 两条异面直线与所成的角的余弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据线面角的定义判断A，取中点为，连接，即可得到为二面角的平面角，求解可判断B，利用等体积法求解可判断C，利用定义法求得异面直线所成的角的余弦值可判断D. 【详解】因为平面，故为直线与平面所成的角， 又，所以， 故直线与平面所成的角不是，故A不正确； 如图，取中点为，连接，因为，所以， 又平面，平面面，， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 故为二面角的平面角， 因为，，所以是等边三角形， 所以，所以， 所以二面角的正切值为，故B正确； 因为，，所以， ，， 设到面的距离为，由，得， 所以，解得，故C正确； 如图，过分别作，交于点，连接， 则（或其补角）为异面直线所成的角， 因为，所以，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以两条异面直线所成的角的余弦值为，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 某科技攻关青年团队共有8人，他们的年龄分别是29，35，40，36，38，34，32，41，则这8人年龄的25%分位数是_______. 【答案】33 【解析】 【分析】将他们的年龄从小到大排序，根据百分位数的定义即可求得. 【详解】将他们的年龄从小到大排序为：29，32，34，35，36，38，40，41. 因，故这8人年龄的25%分位数是. 故答案为：33. 13. 如图，AC为圆锥SO的底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，，E为线段AB上的动点，当时，圆锥的体积等于_________ 【答案】## 【解析】 【分析】先将以为轴旋转到与共面，得到，结合，利用余弦定理求解得出，最后应用圆锥体积公式计算求解. 【详解】由，所以，又因为，且，所以， 所以，所以是等边三角形， 将以为轴旋转到与共面，得到，， 如图： 则，设 因为， 。 则，所以，所以， 圆锥的体积等于. 故答案为：. 14. 若的角所对边，且满足，则角A的最大值为_____ 【答案】 【解析】 【分析】首先由诱导公式二倍角公式得，进一步结合正弦定理以及两角和正弦公式有，在这里进一步有，进而可得，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 即，即，所以， 从而，即， 所以，显然， 又因为，所以，从而，所以， 所以， 所以， ， 当且仅当，即等号成立， 此时，因为，所以角A的最大值为. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，在中，，D为中点，E为上一点，且，的延长线与的交点为F. （1）用向量与表示 和 （2）用向量与表示 （3）求出 的值 【答案】（1），； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）（2）由向量的线性运算法则求解； （3）设，求得，再利用向量共线可得结论． 【小问1详解】 是中点， ， ； 【小问2详解】 ，则， ； 【小问3详解】 设，则，， 又向量共线，而不共线， 所以，解得． 16. 张先生在一家科技公司工作，每天早上自驾去公司上班.他统计了最近100次开车从家到公司的红灯等待时间并形成统计表，将数据分成了，，，，（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示. （1）求图中a的值，估计张先生最近100次红灯等候时间的平均数； （2）估计张先生红灯等待时间的上四分位数； （3）根据以上数据，估计张先生在接下来的20次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间不低于85秒的次数. 【答案】（1），79.5 （2）87.5 （3）6次 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图小矩形面积为1计算可得，再根据平均数的公式求解即可； （2）利用百分位数定义计算可得结果； （3）求出红灯等待时间不低于85秒的频率，即可估计出所求次数. 【小问1详解】 因为各组频率之和为1，组距为10， 所以， 解得. 平均数为. 【小问2详解】 因为前3组的频率为， 前4组的频率为， 所以上四分位数在第4组， 则上四分位数为. 所以红灯等待时间的上四分位数的估计值为87.5. 【小问3详解】 由题红灯等待时间不低于85秒的频率为， 故估计张先生在接下来的20次中红灯等待时间不低于85秒的次数为次. 17. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且. （1）证明：平面平面； （2）求四棱锥外接球的表面积； （3）求三棱锥的体积. 【答案】（1） 因为底面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 而平面，所以平面平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可证，，进而可证平面，可证结论； （2）由（1）可得，建立平面直角坐标系，可得，进而计算可求得，进而可求得四棱锥外接球的半径，可求解； （3）利用等体积法可求体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知平面，平面，所以， 建立如图所示的平面直角坐标系，所以． 设，因为，所以，，，． 从而． 所以，即， 四棱锥外接球的半径， 所以四棱锥外接球的表面积； 【小问3详解】 18. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足. （1）求角A； （2）若角A的平分线交BC边于D且，求的面积的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，结合三角变换公式和三角形内角和公式，可求，进而确定角的值. （2）根据余弦定理探索边满足的条件，再结合基本不等式和三角形的面积公式求面积的最小值. 【小问1详解】 ，由正弦定理可得 所以 所以 ， 因为，所以 所以， ， . 【小问2详解】 如图： 由 得 由 得 （当时等号成立） 故的面积的最小值为. 19. 甲、乙两人在校园运动会“趣味数学挑战”中玩骰子游戏.规则如下：准备两个相同的六面骰子（点数1,2,3,4,5,6），甲先掷第一个骰子，记录点数为a（每次掷骰子后骰子独立，即后续掷骰子不受前次影响）.此时甲有两种选择： ①再掷一次骰子，记录点数为b，甲的最终挑战分数取两次中的较大值（即max{a，b}）； ②直接结束，甲的最终挑战分数为a. 随后乙掷一个骰子，记录点数为c，若c>甲的最终分数，则乙赢，否则甲赢.游戏结束. 问题： （1）若甲选择②（只掷1次），求甲赢的概率； （2）若甲选择①（掷2次），求甲赢的概率； （3）当甲第一次掷出的点数a为多少时，甲选择②赢得游戏的概率大于选择①的概率? 【答案】（1） （2） （3）不论甲第一次掷出的点数a为多少时，甲选择②赢得游戏的概率都不会大于选择①的概率. 【解析】 【分析】（1）甲的最终分数为，乙掷骰子，根据，可求甲赢的概率； （2）设，分类讨论对应的概率，当乙掷出，概率为，进而计算可求得甲选择①时甲赢概率； （3）对于固定甲选择②时甲赢概率为：=，选择①时，甲的最终分数为，此时甲赢的概率为：=，进而对分类讨论可求得结论.． 【小问1详解】 甲的最终分数为（，每个点数的概率为）， 乙掷骰子（，每个点数的概率为），甲赢的条件是， 即乙的点数不超过甲的分数，对于每一个，甲赢的概率为. 所以； 【小问2详解】 设， 仅当概率； 当至少一个骰子为2且无更大的点数，概率； ， ， ， ， 当乙掷出，概率为，甲选择①时甲赢概率： ； 【小问3详解】 对于固定甲选择②时甲赢概率为：=， 选择①时，甲的最终分数为，此时甲赢的概率为： =， 分情况讨论的值： 1、当时，，故=， ， > ； 2、当时，，计算= ， > ； 3、当，，计算= ， > ； 4、当，，计算=， ， > ； 5、当，，计算=， ， > ； 6、当，计算=1，； 综上， ， 所以不论甲第一次掷出的点数a为多少时，甲选择②赢得游戏的概率都不会大于选择①的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $