精品解析：黑龙江大庆市大庆市九年级靓祥联考五月份阶段检测2025-2026学年九年级下学期5月阶段检测数学试题

2025−2026下学年大庆市九年级靓祥五月联考数学试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. π C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简，再根据有理数、无理数的定义判断即可． 【详解】解：A、是有理数，故此选项不符合题意； B、是无理数，故此选项符合题意； C、是有理数，故此选项不符合题意； D、是有理数，故此选项不符合题意． 2. 2025年前三季度，中国经济稳步向好，全国（国内生产总值）总量突破101万亿元人民币．将数据“101万亿”用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：101万亿． 3. 博物馆已逐渐成为公共文化服务和城市旅游的重要阵地与有效载体．下列四幅图是我国部分博物馆的标志，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念逐项分析即可，轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项符合题意． 故选：D． 4. 1.榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“卯”的实物图，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图，熟练掌握三视图的画法，是解题的关键．根据俯视图是从上向下观察到的图形，进行判断即可． 【详解】解：“卯”的视图是： 故选：A． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项法则是解本题的关键．各项合并得到结果，即可作出判断． 【详解】解：A、与不是同类项，无法合并，不符合题意； B、与不是同类项，无法合并，不符合题意； C、原式，不符合题意； D、原式，符合题意． 故选：D． 6. 当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的增减性，掌握一次函数，反比例函数以及二次函数的增减性是解题关键．根据函数的相关性质逐一判断即可． 【详解】解：A、在中，，则y随x的增大而减小，不符合题意； B、在中，，则当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； C、在中，，则y随x的增大而增大，符合题意； D、在中，，则二次函数开口向下，对称轴为直线，当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； 故选：C． 7. 嘉嘉在解关于x的一元二次方程时，不小心将一次项系数写成了，解出其中一个根是，现有以下两种说法： 甲：原方程必定有一个根是； 乙：当时，原方程有两个不相等的实数根． 则下列判断正确的是（ ） A. 甲对，乙错 B. 甲错，乙对 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都错 【答案】C 【解析】 【分析】先根据写错的方程的根得到a与b的关系，再进行验证甲、乙说法的正确性，分别用到一元二次方程根的定义和根的判别式的性质． 【详解】解：由题意可知，写错一次项系数后的方程为， ∵该方程一个根为， ∴将代入得， 解得， 甲：∵原方程为， ∴将代入原方程得， 解得， ∴是原方程的根，甲说法正确； 乙：由题意得，， 代入得， ， 当时，，即， ∴原方程有两个不相等的实数根，乙说法正确． ∴甲、乙都对． 8. 如图是小晨在学习了“赵爽弦图”的相关知识后，构造的“类赵爽弦图”．是等边三角形，，，是三个全等的三角形，是围成的小等边三角形．已知，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】如图所示，过点B作于点G，由全等三角形的性质得到，由等边三角形的性质得到，，求出，得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，过点B作于点G， ∵，，是三个全等的三角形， ∴， ∵是等边三角形 ∴，， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 故选：A． 【点睛】此题考查了勾股定理，等边三角形的性质，含30度角直角三角形的性质，全等三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 9. 由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成面积相等的三个小正方形（阴影部分），则图中的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握正方形的性质是解决问题的关键． 依题意得，所拼成的三个小正方形（阴影部分）的面积分别为，则三个小正方形的边长为，进而得，在中由勾股定理得，再由图形的拼接可知，进而求得得的长即可． 【详解】解：如图所示： ∵正方形的边长为1，即， ∴正方形的面积为1， ∵将正方形分割成七块，再拼成面积相等的三个小正方形（阴影部分）， ∴所拼成的三个小正方形的面积分别为， ∴三个小正方形的边长为， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， 由图形的拼接可知：， ∴． 故选：D． 10. 如图1，在中，D是边的中点．点E在斜边上，从点A出发，运动到点C时停止，设为，为．如图2，关于的函数图象与轴交于点，且经过和最高点两点．下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. y的最小值为64 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了动点问题、勾股定理、二次函数、解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 结合图象可求出的长，过点作交于点，由图2知，点为最高点，当点和点重合时，最大，根据三角函数和勾股定理可求出和，进而判断选项B和选项C；用的值可判断选项A；当，即点和点重合时，有最小值，进而判断选项D． 【详解】解：由图2可知，当时，，即， ∴， ∵D是边的中点， ∴； ∵， 即，，， 此时，， 如图，过点作交于点，则有为等腰三角形， ∴，； 由图2知，点为最高点， ∵当点和点重合时，最大， ∴，， ∴， ∴， 整理得， 解得或（负值舍去），故选项C错误； ∴，， ∴，，故选项B正确； ∴，故选项A错误； 由上图可知，当，即点和点重合时，有最小值，即最小， 此时， ∴， ∴的最小值为，故选项D错误．   故选：B ． 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 把因式分解的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 12. 函数的自变量x的取值范围是________________ 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件解答即可． 【详解】解： 由题意可得：， 解得：， 故答案为：且． 13. 已知的整数部分为，小数部分为，为有理数，若满足，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先估算和的范围，确定和的值，再代入方程，利用有理数和无理数的性质（无理数的系数必须为零）求解和，最后计算即可． 本题主要考查了估算无理数的大小，正确得出无理数的取值范围是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的整数部分． ∵， ∴的整数部分为2，小数部分． 代入方程得， 整理得， 由于为有理数，为无理数， ∴且， 解得． ∴． 故答案为：． 14. 数学活动课上，小晨所在的兴趣小组设置了一个跨学科的游戏活动：如图，他们把生活中的这几种现象的图片制成四张除正面内容不同外，其余都相同的卡片，其中卡片A，D属于物理变化，B，C属于化学变化．小晨将这些卡片背面朝上洗匀，然后放置在桌面上．若小晨从中随机抽取一张卡片，不放回，小轩再从剩余的卡片中随机抽取一张，他们两人抽到的卡片内容都是化学变化的概率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】列表得出共有12种等可能的结果，其中两人抽到的卡片内容都是化学变化的结果有6种，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： A B C D A （B，A） （C，A） （D，A） B （A，B） （C，B） （D，B） C （A，C） （B，C） （D，C） D （A，D） （B，D） （C，D） 由表可知，共有12种等可能的结果，其中两人抽到的卡片内容都是化学变化的结果有2种， ∴两人抽到的卡片内容都是化学变化的概率为． 15. 如图，已知扇形OAB的圆心角为60°，扇形的面积为6π，则该扇形的弧长为______． 【答案】2π 【解析】 【分析】首先根据扇形的面积公式求得扇形的半径，然后根据扇形的面积公式，(其中l为扇形的弧长），求得扇形的弧长． 【详解】解：设扇形的半径是r，则 ， 解得：r＝6， 则该扇形的弧长为， 故答案是：． 【点睛】本题考查了扇形面积和弧长的计算，熟练掌握扇形的面积公式和弧长的公式是解题的关键． 16. 如图，在菱形中，，对角线，点E、O分别在边、上，，半径为2，点P为上一动点，点Q为上一动点．当时，的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】在上取点F，使，连接，，连接交圆于点，得到，可得共线，再利用相似三角形的判定和性质，即可解答． 【详解】解：如图，在上取点F，使，连接，，连接交于点， 四边形是菱形， ， ， 四边形为平行四边形， ， 半径为2， ， ， ， ，， ， ， 共线，且与重合， 此时为与的交点，G与Q重合， ， ， ， ， ， ， ， 即， ． 17. 若关于的不等式组有且仅有3个整数解，且关于的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数的值之和为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组．先解不等式组，根据关于的一元一次不等式组有且仅有3个整数解，确定m的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程的解为非负数，可得且，进而得到且，问题随之得解． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， 关于的一元一次不等式组有且仅有3个整数解， 不等式组的解集为：，其整数解为：3、2、1， ∴， 解得：， 解方程，得， 关于的分式方程的解为的解为非负数， 且， 解得且， 且， 则所有满足条件的整数m的值之和是， 故答案为：． 18. 已知的图象向右平移1个单位，向下平移a个单位后，将x轴下方翻折至x轴上方，再将翻折后的右半支绕点A逆时针旋转90度后与左半支重合， ______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换，坐标与图形的变化，解决本题的关键是结合函数图象进行求解． 根据题意得出反比例函数图象关于对称，联立反比例函数与确定到，结合函数图象求解即可． 【详解】解：将图象向右平移1个单位，向下平移a个单位后，再将x轴下方翻折至x轴上方，再将翻折后的右半支绕点A逆时针旋转90度后与左半支重合， ∵反比例函数图象关于对称， ∴对称与旋转变换之后能与剩余部分重合的话需要两段图象关于直线对称， ∴联立得到， 即过点A与y轴垂直的直线方程为， 向下平移2个单位长度， ∴． 平移旋转后的图象如图所示： 故答案为：2 ． 三、解答题 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，根据负整数指数幂、特殊角三角函数将原式化简，再进行乘法运算，最后进行加减运算，掌握相应的运算法则、性质、公式及运算顺序是解题的关键． 【详解】解： ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，将分式化到最简是解题的关键．先把分式的分子、分母因式分解，约掉公因式变为，再同分母分式相加化简整理，最后把代入化简后的式子计算，即可解题． 【详解】解：原式 ； 把，代入上式得， 上式． 21. 2025年中国科技发展进入创新爆发期，创新指数首次跻身全球前十，在航空航天、清洁能源、高端制造等多领域斩获多项世界级突破．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．该校某调查小组对活动中模具设计水平进行调查，随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并整理，将其分成如下四组：A：，B：，C：，D：． 下面给出了部分信息： 其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89． 根据以上信息解决下列问题： （1）本次抽取的学生中成绩在B组的有       人，抽取学生成绩的中位数是       分； （2）请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数； 【答案】（1）15；83.5 （2）720人 【解析】 【分析】（1）先求出总人数，即可求在B组人数，根据中位数定义计算即可； （2）根据样本中不低于80分的占比来估计总体即可． 【小问1详解】 解：总人数为（人）， ∴在B组人数： （人）； ∵，， ∴中位数为C组第5、6个成绩的平均数， ∴中位数为：； 【小问2详解】 解：（人）， ∴估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数约720人． 22. 如图，小红同学为了测量小河对岸某塔的高度，他在与塔底B同一水平线上的点C处测得塔的顶端A的仰角为，接着他沿着坡度的斜坡向上行走10米到达点D处（点A、B、C、D、E、F在同一平面内），此时测得塔的顶端A的仰角为．（参考数据：，，，，） （1）求点D到的距离； （2）求塔的高度．（结果精确到0.1米） 【答案】（1）点D到的距离为5米 （2）塔的高度约为米 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形，含的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握斜坡的坡度即是正切值，利用锐角三角函数列方程求解． （1）过点D作于点G，利用坡度进行求解即可； （2）过点D作于点H，设，求出，利用两个直角三角形的锐角三角函数进行求解． 【小问1详解】 解：过点D作于点G． 在中， ， ，即， ∵米， 米， 答：点D到的距离为5米； 【小问2详解】 解：过点D作于点H，则四边形是矩形． 米， 设，则米， 在中， ， ， 在中，米， 米， 在中， ， ． 解得米， 答：塔的高度约为米． 23. 【问题背景】2026央视马年春晚播出后．晚会中的机器人备受大家喜爱．为满足儿童对机器人的需求，某玩具店决定购进，两种机器人玩具． 素材一：已知一个种机器人玩具比一个种机器人玩具价格贵10元． 素材二：玩具店用2500元购进A种机器人玩具的数量是用1500元购进B种机器人玩具数量的2倍． 【问题解决】 （1）若设购买一个种机器人玩具价格为元，直接写出用1500元购进种机器人玩具数量（用含的代数式表示），并求购进，两种机器人玩具的单价； （2）因销售良好，该玩具店决定再次购进A，B两种机器人玩具共60个进行销售，且总金额不超过3200元，求至少购进A种机器人玩具的数量． 【答案】（1）用1500元购进种机器人玩具数量为个，购进A，B两种机器人玩具的单价分别是50元/个，60元/个 （2）至少购进A种机器人玩具40个 【解析】 【分析】（1）根据题意可知用1500元购进种机器人玩具数量为个，列出分式方程并求出x的值，再检验是否符合题意，即可求解； （2）设购进种机器人玩具个，则购进种机器人玩具个，由题意列出一元一次不等式，求出a的取值范围，即可解答． 【小问1详解】 解：由题意，可知用1500元购进种机器人玩具数量为个，列方程，得 ， 解得， 经检验是原方程的解， ， 答：购进A，B两种机器人玩具的单价分别是50元/个，60元/个． 【小问2详解】 解：设购进种机器人玩具个，则购进种机器人玩具个，由题意，得， 解得， 答：至少购进A种机器人玩具40个． 24. 如图，在中，，为中点，为中点，过点作交延长线于点，连接． （1）证明：四边形为菱形； （2）与相交于点，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，根据全等三角形的性质可得：，根据可判定四边形是平行四边形，再根据直角三角形斜边中线性质得，据此即可得出结论； （2）连接交于点，根据菱形性质得，，，，进而得，在中，由勾股定理得，继而得，再证明是的中位线得，然后证明和相似，利用相似三角形的性质即可得出的长． 【小问1详解】 证明：， ， 点为的中点， ， 在和中，， ， ， 点为中点， ， ， 又， 四边形是平行四边形， 在中，，点为中点， ， 平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：连接交于点，如下图所示： 由（1）可知：四边形是菱形， ，，，， ， ， 点为中点， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ， ， ， ， 又点为中点， 是的中位线， ， ， ， ， ， 设，， ， 解得：， ． 25. “扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售量（件）与销售单价（元）之间存在一次函数关系，如图所示. （1）求与之间的函数关系式； （2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？ （3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围. 【答案】（1）；（2）单价为46元时，利润最大为3840元.（3）单价的范围是45元到55元. 【解析】 【分析】（1）可用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式； （2）根据利润=销售量×单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润； （3）首先得出w与x的函数关系式，进而利用所获利润等于3600元时，对应x的值，根据增减性，求出x的取值范围． 【详解】（1）由题意得： ． 故y与x之间的函数关系式为：y=-10x+700， （2）由题意，得 -10x+700≥240， 解得x≤46， 设利润为w=（x-30）•y=（x-30）（-10x+700）， w=-10x2+1000x-21000=-10（x-50）2+4000， ∵-10＜0， ∴x＜50时，w随x的增大而增大， ∴x=46时，w大=-10（46-50）2+4000=3840， 答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元； （3）w-150=-10x2+1000x-21000-150=3600， -10（x-50）2=-250， x-50=±5， x1=55，x2=45， 如图所示，由图象得： 当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用和一元二次方程的应用，利用函数增减性得出最值是解题关键，能从实际问题中抽象出二次函数模型是解答本题的重点和难点． 26. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A，B两点（点A在点B右侧），已知点A的坐标是，点B的纵坐标是． （1）求反比例函数和直线的表达式； （2）将直线沿y轴向上平移后的直线与反比例函数在第一象限内交于点C，如果的面积为15，求平移后的直线的函数表达式． 【答案】（1）; （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换以及三角形的面积．熟练掌握以上知识点是关键． （1）将点代入，求出反比例函数的表达式；可求出点坐标，再将，两点的坐标代入，利用待定系数法求出直线的表达式； （2）设直线与轴交于点，平移后的直线与轴交于点，连接，，则，依据，即可得出的面积与的面积相等，可求得，即可得出平移后的直线的函数表达式． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象过点，点的坐标是， ，即， 反比例函数的表达式为， 反比例函数的图象过点，的纵坐标是， 时，， ． 把点，代入得： ， 解得：， 直线的表达式为； 【小问2详解】 解：如图，设直线与轴交于点，平移后的直线与轴交于点，连接，， 令，则， ， ， 的面积与的面积相等， ， 即， ， ， ， 设平移后的直线的函数表达式为， 把代入，得， 解得， 平移后的直线的函数表达式为． 27. 如图，四边形内接于，为直径，，过点C作于点E，交的延长线于点H，连接交于点G． （1）求证：是的切线； （2）若点D为的中点，求证：； （3）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）32 【解析】 【分析】（1）连接，，证得 ，得出 ，则，则结论得证； （2）连接，得出，证明 ，则，证出，则可得出结论； （3）延长交于点F，得出 ，在中，，可求出，，证明 ，由可求出，再求出，则可得出的长． 【小问1详解】 证明：如图，连接，， ∵， ∴， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴ ， 又∵，， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，延长交于点F， ∵是的直径，， ∴， ∴， ∴ ， 在中，， ∴，， ∴ ， ∵ ，， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ，在中，， ∴ ． 28. 已知抛物线（为常数）． （1）求该抛物线的对称轴． （2）若抛物线与轴交于点． ①求的值． ②设，抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线之间．若直线之间的距离为（为常数）时，的最大值为6，求的值． 【答案】（1）直线 （2）①或8；②或24 【解析】 【分析】（1）先把抛物线的解析式化成顶点式，然后根据二次函数的性质求解即可； （2）①直接将代入抛物线得到t的方程求解即可；②分和8两种情况解答即可． 【小问1详解】 解：∵（为常数）， ∴对称轴为直线． 【小问2详解】 解：①把代入得：，解得：或8． ②由①得：或8， 当时，，， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线之间，且， ∴下方的平行线不能在顶点上方， ∵直线之间的距离为（为常数）时，的最大值为6， ∴下方的直线经过顶点，此时与抛物线两交点的横坐标分别为和， ∴，两交点为，此时，为直线， ∴； 当时，， ∵抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线之间，且， ∴下方的平行线在顶点上方， ∵直线之间的距离为（为常数）时，的最大值为6， ∴直线与对称轴右侧的抛物线交点横坐标分别为且要尽可能靠近对称轴， ∴，即：直线与对称轴右侧的抛物线交点分别为， ∴． 综上，或24． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025−2026下学年大庆市九年级靓祥五月联考数学试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. π C. D. 2. 2025年前三季度，中国经济稳步向好，全国（国内生产总值）总量突破101万亿元人民币．将数据“101万亿”用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 3. 博物馆已逐渐成为公共文化服务和城市旅游的重要阵地与有效载体．下列四幅图是我国部分博物馆的标志，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 1.榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“卯”的实物图，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 7. 嘉嘉在解关于x的一元二次方程时，不小心将一次项系数写成了，解出其中一个根是，现有以下两种说法： 甲：原方程必定有一个根是； 乙：当时，原方程有两个不相等的实数根． 则下列判断正确的是（ ） A. 甲对，乙错 B. 甲错，乙对 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都错 8. 如图是小晨在学习了“赵爽弦图”的相关知识后，构造的“类赵爽弦图”．是等边三角形，，，是三个全等的三角形，是围成的小等边三角形．已知，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 4 9. 由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成面积相等的三个小正方形（阴影部分），则图中的长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在中，D是边的中点．点E在斜边上，从点A出发，运动到点C时停止，设为，为．如图2，关于的函数图象与轴交于点，且经过和最高点两点．下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. y的最小值为64 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 把因式分解的结果是______． 12. 函数的自变量x的取值范围是________________ 13. 已知的整数部分为，小数部分为，为有理数，若满足，则的值为_______． 14. 数学活动课上，小晨所在的兴趣小组设置了一个跨学科的游戏活动：如图，他们把生活中的这几种现象的图片制成四张除正面内容不同外，其余都相同的卡片，其中卡片A，D属于物理变化，B，C属于化学变化．小晨将这些卡片背面朝上洗匀，然后放置在桌面上．若小晨从中随机抽取一张卡片，不放回，小轩再从剩余的卡片中随机抽取一张，他们两人抽到的卡片内容都是化学变化的概率是_________． 15. 如图，已知扇形OAB的圆心角为60°，扇形的面积为6π，则该扇形的弧长为______． 16. 如图，在菱形中，，对角线，点E、O分别在边、上，，半径为2，点P为上一动点，点Q为上一动点．当时，的长为______． 17. 若关于的不等式组有且仅有3个整数解，且关于的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数的值之和为_____． 18. 已知的图象向右平移1个单位，向下平移a个单位后，将x轴下方翻折至x轴上方，再将翻折后的右半支绕点A逆时针旋转90度后与左半支重合， ______． 三、解答题 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 2025年中国科技发展进入创新爆发期，创新指数首次跻身全球前十，在航空航天、清洁能源、高端制造等多领域斩获多项世界级突破．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．该校某调查小组对活动中模具设计水平进行调查，随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并整理，将其分成如下四组：A：，B：，C：，D：． 下面给出了部分信息： 其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89． 根据以上信息解决下列问题： （1）本次抽取的学生中成绩在B组的有       人，抽取学生成绩的中位数是       分； （2）请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数； 22. 如图，小红同学为了测量小河对岸某塔的高度，他在与塔底B同一水平线上的点C处测得塔的顶端A的仰角为，接着他沿着坡度的斜坡向上行走10米到达点D处（点A、B、C、D、E、F在同一平面内），此时测得塔的顶端A的仰角为．（参考数据：，，，，） （1）求点D到的距离； （2）求塔的高度．（结果精确到0.1米） 23. 【问题背景】2026央视马年春晚播出后．晚会中的机器人备受大家喜爱．为满足儿童对机器人的需求，某玩具店决定购进，两种机器人玩具． 素材一：已知一个种机器人玩具比一个种机器人玩具价格贵10元． 素材二：玩具店用2500元购进A种机器人玩具的数量是用1500元购进B种机器人玩具数量的2倍． 【问题解决】 （1）若设购买一个种机器人玩具价格为元，直接写出用1500元购进种机器人玩具数量（用含的代数式表示），并求购进，两种机器人玩具的单价； （2）因销售良好，该玩具店决定再次购进A，B两种机器人玩具共60个进行销售，且总金额不超过3200元，求至少购进A种机器人玩具的数量． 24. 如图，在中，，为中点，为中点，过点作交延长线于点，连接． （1）证明：四边形为菱形； （2）与相交于点，若，，求的长． 25. “扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售量（件）与销售单价（元）之间存在一次函数关系，如图所示. （1）求与之间的函数关系式； （2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？ （3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围. 26. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A，B两点（点A在点B右侧），已知点A的坐标是，点B的纵坐标是． （1）求反比例函数和直线的表达式； （2）将直线沿y轴向上平移后的直线与反比例函数在第一象限内交于点C，如果的面积为15，求平移后的直线的函数表达式． 27. 如图，四边形内接于，为直径，，过点C作于点E，交的延长线于点H，连接交于点G． （1）求证：是的切线； （2）若点D为的中点，求证：； （3）若，，求的长． 28. 已知抛物线（为常数）． （1）求该抛物线的对称轴． （2）若抛物线与轴交于点． ①求的值． ②设，抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线之间．若直线之间的距离为（为常数）时，的最大值为6，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $