广西南宁市第二中学2027届高三上学期入学考数学试题

高三数学参考答案 题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 C D A B D B C A AB ABD ACD 4 3 56 【评分细则】 【1】第1～8题，凡与答案不符的均不得分． 【2】第9题，全部选对的得6分，有选错的不得分，每选对一个得3分；第10，11题，全部选对的得6分，有选错的不得分，每选对一个得2分． 【3】第12，13，14题，其他结果均不得分． 15．【解析】本题考查抛物线的方程与弦长，考查逻辑推理与数学运算的核心素养． 解：（1）将点的坐标代入，得， 1分 解得， 2分 所以C的方程为． 4分 （2）由（1）得C的焦点为， 5分 所以直线l的方程为．设，． 7分 由得，恒成立， 8分 则， 9分 所以． 13分 16．【解析】本题考查线面垂直与线面角，考查逻辑推理与直观想象的核心素养． （1）证明：因为平面，平面，所以． 1分 因为，，，所以根据可得， 3分 则，所以． 5分 因为，所以平面． 6分 （2）解：因为平面平面，所以与平面所成的角即为与平面所成的角． 7分 如图，取上靠近点A的三等分点M，连接，，则，，所以四边形是平行四边形，所以． 9分 因为平面，所以平面，所以即为与平面所成的角． 11分 因为，，， 13分 所以，即与平面所成角的正切值为． 15分 17．【解析】本题考查频率分布直方图、离散型随机变量的分布列与期望，考查逻辑推理与数学运算的核心素养． 解：（1）根据题意可得1个订单采用算法A准时送达的频率为， 1分 所以1个订单采用算法A准时送达的概率为0.5． 2分 （2）同（1）可得1个订单采用算法B准时送达的概率． 3分 记采用算法A的2个订单中准时送达的个数为U，采用算法B的1个订单中准时送达的个数为V，则，，． X的所有可能取值为0，1，2，3． 4分 ， 5分 ， 6分 ， 7分 ， 8分 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.1 0.35 0.4 0.15 9分 （3）方案一中，Y的所有可能取值为0，1，2． ， 10分 ， 11分 ， 12分 所以． 13分 方案二中，． 14分 因为，所以题中观点不正确． 15分 18．【解析】本题考查等差数列、数列求和、数列的新定义及对数的运算，考查逻辑推理与数学运算的核心素养． （1）解：因为， 2分 所以存在对数系，其对数系数为． 3分 （2）（i）解：设．因为存在对数系，所以． 设，则，，， 4分 所以是以2为首项，3为公差的等差数列，， 5分 所以当时，， 7分 即．因为，所以． 8分 又满足，所以． 9分 （ii）证明：由（i）得， 10分 因为，所以． 11分 （iii）证明：由（ii）得． 12分 设，则， 13分 所以， 15分 所以． 16分 因为，所以，即． 17分 19．【解析】本题考查导数在研究函数中的应用，考查数学运算与逻辑推理的核心素养及化归与转化的数学思想． （1）证明：当时，，则． 1分 令，得，在上单调递减，令，得，在上单调递增， 2分 所以，即． 3分 （2）（i）解：由，得或， 5分 因为有三个极值点，所以有三个异号零点， 所以关于x的方程有两个不等于1的解． 6分 易知不是方程的解，设，则． 令，得或，在，上单调递减，令，得，在上单调递增． 7分 当时，，若，则，若，则． 8分 当时，，若，则，若，则． 9分 所以，即a的取值范围是． 10分 （ii）证明：不妨设． 由（i）知，当时，有三个极值点，且1为其中一个极值点，则， 11分 且，，等式两边取对数并整理得，，． 设，则， 12分 则，则在上单调递减，在上单调递增， 先证，即证，因为，且在上单调递增，所以只需证，即证． 13分 令，， 则， 则在上单调递减，所以，则，则，则． 14分 再证，即证，因为，且在上单调递减，所以只需证，即证． 15分 令，，则，则在上单调递增，所以，则，则，所以． 16分 故． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，，则中的元素个数为 A．0 B．1 C．2 D．4 2．若向量，，则 A． B．1 C．2 D． 3．曲线在点处的切线方程为 A． B． C． D． 4．若球O的表面积为，则该球球面上两点间距离的最大值为 A．2 B．4 C．6 D．8 5．随机从某花圃内选取一盆花卉，它处于水肥适宜土壤的概率为0.8，处于干旱缺水土壤的概率为0.2，两种土壤状态不可能同时出现，且不存在其他土壤环境．已知花卉处在水肥适宜土壤中，正常开花的概率为0.9；处在干旱缺水土壤中，正常开花的概率为0.5．现从该花圃内随机选取一盆花卉，则该盆花卉能够正常开花的概率为 A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.82 6．已知直线与圆相切，则 A． B．4 C．或 D．4或 7．已知是奇函数，则的单调递增区间为 A．， B．， C．， D．， 8．定义变换，；变换，记，代表三次复合变换．若角，满足，，则 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若复数，则 A． B． C． D． 10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在C上，且，，则 A．C的焦距为6 B．的面积为 C．C的渐近线方程为 D．双曲线是等轴双曲线 11．如图，在长方体中，，，E，F分别为，的中点，O，分别为底面与底面的中心，以O为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设集合，集合，记为中所有点构成的几何体，则 A． B．是圆锥 C．的体积大于 D．， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若函数与的最小正周期相等，则 ▲ ． 13．设椭圆与的离心率相等，则 ▲ ． 14．某海滨旅游路线全线共设有14个标准化驿站，起点和终点这2个核心站点永久保留．为降低运营成本，计划对5个中途驿站予以关停，要求任意2个关停的驿站之间至少保留1个驿站正常运营，则不同的站点关停方案共有 ▲ 种． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知点在抛物线上． （1）求C的方程； （2）过C的焦点F作斜率为1的直线l，且l与C交于P，Q两点，求． 16．（15分）如图，在三棱台中，平面，，，． （1）证明：平面． （2）若H为的中点，求与平面所成角的正切值． 17．（15分）某物流园区使用无人配送车完成园区内的末端配送，为比较算法A与算法B的运行效果，技术人员分别随机抽取采用这两种算法完成的200个订单，记录从无人车出发到订单送达所用的时间（单位：分钟）．将配送时长分为，，，，，，共六组，得到如下频率分布直方图．园区规定：配送时长少于25分钟的订单为准时订单．以配送时长位于各区间的频率代替配送时长位于该区间的概率，假设每个订单是否准时送达相互独立． （1）求采用算法A时，1个订单准时送达的概率． （2）从总体中随机选取3个订单，其中2个采用算法A，1个采用算法B．设这3个订单中准时订单的个数为X，求X的分布列． （3）为兼顾算法测试与配送效率，调度中心提出两个方案：方案一为“动态调度方案”，即第1个订单采用算法A，若该订单准时送达，则第2个订单仍采用算法A，否则第2个订单改用算法B；方案二为这2个订单均采用算法B．设方案一中这2个订单中准时送达的个数为Y，方案二中这2个订单中准时送达的个数为Z．有人认为，，判断这一观点是否正确，并说明理由． 18．（17分）定义：在数列中，若（m为非零常数），则称存在对数系，常数m为的对数系数． （1）判断数列是否存在对数系．若存在，求出对数系数；若不存在，请说明理由． （2）已知数列存在对数系，且，，，． （i）求的通项公式． （ii）证明：． （iii）证明：． 19．（17分）已知函数． （1）当时，证明：． （2）已知有三个极值点，记为，，． （i）求a的取值范围； （ii）证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $