广西南宁市第八中学2025-2026学年高三上学期9月统测数学试题

南宁八中2026届高三上学期9月年级统测 数学试题 (考试时间：9月2日下午15：50一17：50) 一、单选：本题共8小愿，每小思5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1.己知复数z鹉足iz=1-i,则=（· A.2 B、1 C.2 D.2 2.已知集合M=x-1>0、N=l,0.1,23到，则CMnN=（） A、2,33 B.{-l.0,1} C.{0,1,2,3} D.{-1,0,1,2,3} 3、为落实“双碳”目标，某环保组织调研10个国家2024年度的人均碳排放强度（单位：吨/人年），得到数据如下： 2,4,5,7,8,9,11,12,13,15.则该组数据的30%分位数是（) A..6 B、7 C.8 D.9 4.已知等差数列{a}的前n项和为Sn,a=4,S,=15,则{a,}的公差为(） A.4 B.3 C.2 D.1 5.若西数了)=m(0r-引水。>0)的图像的两个对格中心的最短距离为受，则/得的值为() A.2-√5 B.√5-2 C.2+5 D.-2-5 中，点F为抛物线C:y=prp>0)的焦点，点M在C上，若 横坐标为(， A号 B.号 .号 D.16 7.设fx)是定义在R上的奇函数，且f(2)=0.若f(x)在(0，+∞)上单调递减，则不篓式(x-1)f(x)>0的解集是 A.(-0,-2)U(1,2) B.(-2,0)U(1,2) C.(-2,0U(0,2) D.(-2,0)U(2,+∞) 8.己知函数fx)=2*+x-1,g(x)=log2x+x-1,h(x)=sinx+x-1的零点依次为x1,x2,为，则以下大小关系正 确的是（) A.,<x3<￥B.x1<x3<x2 C.x<x<x. D.x2<x<X 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的 得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9.如图，圆锥P0的底面半径为3，高为3，过PO靠近P的三等分点O作平行于底面的截面，以该截面为底面 挖去一个圆柱，则下列说法正确的是（) 试卷第1页，共4页 A. 圆维母线与底面所成的角为号 B.圆锥PO的侧面积为27 C.挖去圆柱的体积为25π D.剩下几何体的表面积为(27k45)π 10.若S,为数列{a,)的前n项和，且S。=2a,+1(neN),则下列说法中正确的是( A.a3=-4 B.S,=-64 C.{a}是等比数列 D.{Sn-1}是等比数列 1Ⅱ。已知直线)=+1与双曲线号卡=16>0)的图象相切，双曲线的左、右顶点分别齿44，左、右焦点分别为 ,F,若P(4,)是双曲线上一点，则下列说法正确助有() A、b=5 B.%=3 C。直线P4和直线P4的斜率的桑积为} D.s∠RP5=万 4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.曲线y=三在x=-1处的切线方程为 13.已知向量a,6满足引a=1,16上2，且|2ā-b=2则+a+b上 14.某盒子中有黑、白球各1个，记“从该盒子中随机抽取一个球，记录颜色后放回该球”为一次操作，重复以上操 作，首次集齐黑、白两种颜色的操作次数为随机变量X，则X的数学期望为， 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)某地区农户在推动农业机械化升级后，记录了某作物在接下来x(x=1,2,3,4,5)年的增长数据y(万 吨)，如下表所示： 1 y 26 3.7 50 64 93 (1)经探究x与y之间具有相关关系，求y关于x的经验回归方程)=x+a: (2)为了检验M,N两款机械设备的投放对某农作物的增收情况，在A,B两地区分别选取了两块相同面积的试验 田来记录某年的增收情况，得到的数据如下表： 地区 用M设备 用N设备 30 20 B 15 35 根据小概率值α=0.005的独立性检脸，能否认为增收情况与使用M,N两种不同设备有关？ 多.0626n0列 x-呵 -对 ,à=y-6: x- ②x= n(ad-bc)月 (其中n=a+b+c+d为样本容量)， (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 参考数据： 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16.15分)已知向量m-m经+人5恤列n-（血（任o, 设函数∫(x)=而元. ()化简∫(x)并写出∫(x)的最小正周期 O在AM0C中，角4C对的边分别为a6c,若/台)-1，。=万，△BC的面积为，D是线段BC的中点， 求AD的值. 175分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=120°，AB=2, AC∩BD=O,PO⊥底面ABCD,OP=2,点E在棱PD上. (I)求证：平面ACE⊥平面PBD; (2)当CE取得最小值时，求Z面角P-AC-E的余弦值. 试卷第3页，共4页 18.(17分)已知曲线C上任一点到两个定点(-1,0)和(1,0)的距离和为定值4. ()求C的方程： (②)过点F(L,O)的直线1（斜率存在且不为0）与C交于M,N两点，N关于x轴的对称点为P. (i)证明：直线PM过定点Q: (誼)对于（i)中的点2，求M回N四的取值范围， 19.(17分)已知4B,C是曲线y=fx)上不同的三点.若点AB,C的横坐标成等比数列，且曲线y=f()在 点B处的切线的斜率小于直线AC的斜率，则称f(x)是其定义域上的等比左偏函数”，.已知f(x)=a血x-2x, ()讨论∫()的极值点个数： (2)若a=-1,证明：f(x)是(0，+o∞)上的“等比左偏函数”； 何消a=1时，数列清是a=)+2点++，4-证明： 5 之a,<2n+1. 试卷第4页，共4页 《南宁八中2026届高三上学期9月年级统测数学试题》参考答案 题号 1 34 5 6 7 8 9 10 11 答案 B ACD ACD ABD 3.A【详解】数据从小到大为：2,4,5,7,8,9,11,12,13,15， 又10×30%=10x0.3=3,所以该组数据的30%分位数是5+7=6. 2 4.D【详解】已知a4=4,由通项公式a,=a+(n-1)d,当n=4时：a+3d=4(方程①)， 已知8，=15，由前n项和公式S.=[24+(n-1)2],当n=5时： 多引24+4d=15,化简得4+24=3（方程@），用方程①减去方程@：a+3-(a+2动=4-3三41， 5.A【详解]设强数了闪的最小正周期为7，由慰意可知子-受可得T=,@-受受1， 则間m居到-2-5 6.c【详解】由题意可知：F(号，0小因为as∠0M=子且∠0PM=0列，可知∠0FM为锐角， 则sm∠oM=V1-co∠ORM-号，a∠0nM-加∠O-A, cos∠OFM3' 设Mw,则0<名<号： [yo=2pxo 则以L=4,整理可得8-17匹+2p=0,解得6=号或=2p(舍去)，所以M的横坐标为号 3 7.B【详解】由题意可知f(x)>0的解集是(-∞-2)U(0,2),f(x)<0的解集是(-2,0)U(2,+∞). [x-1>0,∫x-1<0. 因为不等式(x-)f(x)>0等价于不等式组 )>0或<0， 所以不等式(x-1)f(x)>0的解集是(-2,0)U1,2). 8.B【详解】由题意，令f(x)=2+x-1=0,g(x)=log2x+x-1=0, (x)=sinx+x-1=0,2=-x+1,logx=-x+1,sinx=x+1, 作出函数y=2,y=log2x,y=six,y=-x+1图像，结合图象，可得x<x<,. 9.ACD因为圆锥P0的底面半径为3，高为3√5，所以母线长PA=6,则 Q40-名分甲圆维母线与底面所成的角为子故A正确： 圆锥P0的侧面积S=l=π×3×6=18π，故B错误； 答案第1页，共6页 因为0为P0的三等分点，所以OM=0A=1,MC=是P0=25,则圆柱的体积为25元，故C正确： 3 2 圆柱的侧面积S'=2πx1×2√5=45π，剩下几何体的表面积S=18π+4V5π+元×32=27m+4W3π，故D正确： 10.ACD【详解】当n=1时，S=2a,+1=a,→a41=-1, 当n≥2时，由Sn=2an+1有Sn1=2a-1+1,所以a,=S,-Sn=2a,-2a→a.=2a-1, 所以数列{a,}是以-1为首项，2公比的等比数列，故C正确： 43=a9°=-1×22=4，故A正确： 由5.=a0-g）.1-2）上2=5=上2-3江，故B错误 1-9 1-2 因为S,-1=-2”,所以{Sn-1}是等比数列，故D正确 1.ABD【详解】解：将y=+1代入苦茶=-1，整理得(6-42-8x-4-4=0, J△=64-462-44-46)=0，解得b=5,故A正确： b2-4≠0 将(4，)代入双曲线方程得：4-公=1，可得乃=9，即为。=3，故B正确： 4(-20),4(2,0,易得4=兰.么=益=3，C故错误 A A2 62124 由题意可知双曲线的焦距为2c=2万，则3%=号×2c以-3万， 又F(-√万，0，F(W7,0,P(4,±3)，所以P5卡V32+8,P℉卡√32-87， 所以S.%=支P听HPR引si血∠RPR=12sin∠RPR=3万，所以油∠FPR=5,放D正确 4 12y2cx+e【详解】对y=总求得得y--上之】 (ey=c,k=2e,切点为（←1，-9， 故切线方程为y+e=2c(x+),即y=2ex+e. 13.√万【详解】因为2a-6=2,所以(2a-}=4a2-4a.6+62=4, 又|a上1,162，所以a.五=1，所以a+b卡√(a+b耐=V+2ab+B=√7 14.3【详解】确定X的取值与概率 X2:第一次和第二次取到不同颜色，第一次取黑（概率》且第二次取白（概率， 或第一次取白（概率）且第二次取黑（概率）， P0=2=主×主+月×是= X=3:前啊到同色第三到异色前两次同色的概率：第一次取黑且第二次取黑（三×之， 答案第2页，共6页 或第一次取白且第二次取白兮×》，共支， 第三次取到异色的概率为立， P0=3)×=, X仁4：前三次取到同色。第四次取到异色。 前三次同色的概率为()（前两次同色基础上第三次继续同色）， 第四次取到异色的概率为， p00-(32×支=台， 以此类推， X=kk≥2)时，P(X=k)=()-1(前k-1次同色，第k次异色)， 数学期望公式为EX)=欢=2k×P仪=k)，代入概率得： E0=2×豆+3×寻+4×言++K×(-1+…为简化计算， 令S=2×2+3×是+4X君+… 则：s=2×+3×君+4×6+… 用s-S作差： s=1+是+言+… 观察右侧，+言+…是首项为子、公比为三的等比数列， 根据等比数列求和公式S等t,a为首项，为公比)，其和为品。， §=1+=多解得s=3, ∴.X的数学期望为3。 3(13分)【详解】(1)由题意得，+2+3+4+5=3，=26+牛064+3=54，y=971,之=3 5 5 5=》-5过-971-5x3×54-1161.à可-版=57，故经验回归方程为=161r+57 1-5x255-5x32 --6分 (2)零假设为H。:增收情况与设备相互独立，即增收情况与使用不同设备无关联. 则 7.10o30x3520x1时_1009.091>787w6 50×50×45×55 11 根据小概率值α=0.005的独立性检验，H,不成立，所以认为增收情况与使用M,N两种不同设备有关-13分 16,《15分)【详解】（由题意可得了国-质=血（任+m(任-小+5加xas [爱任-小m(任-小m2x=o任-（任-小9a2x 如任-2小血2x2x+9如2x=如2x+引，散最小正周期为7=受=行 2 .-6分 2)因为（台）-(4+}1，且4Q小，所以4+培-至解期4 31 由SABc= c血A=5c=3,得bc=6,由余弦定理r=8+c-2 bo即+e-be=7,解得+e=1B3, 2 又因为D是线段BC的中点，所以而=（西+AC),得 而-+c+2c网w-3+2x6对-号.4a- --15分 2 17.(15分)【详解】(1)因为P0⊥平面ABCD,ACc平面ABCD,所以PO⊥AC, 因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD 又因为BD∩PO=O,BDc平面PBD,POc平面PBD,所以AC⊥平面PBD, 又因为ACc平面ACE,所以平面ACE⊥平面PBD.--7分 (2)由PO⊥底面ABCD,AC,BDc底面ABCD,且底面ABCD为菱形可知OB,OD,OP两两垂直， 又当CE取得最小值时，有CE⊥PD, 以O为原点，OB,OC,OP分别为x,y,z轴建空间直角坐标系， 因为在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=2, 所以∠ABC=60°，△ABC为等边三角形，易得OB=V3,OC=1, 则P(0,02),40,-1,0),B(50,0,C(01,0),D(5,0,0, 易知0丽=(（1,0,0)为平面PAC的法向量， 又由(I)得AC⊥平面PBD,PDc平面PBD, 所以AC⊥PD,又因为CE⊥PD,AC∩CE=C,ACc平面ACE,CEc平面ACE, 所以PD⊥平面ACE,所以PD=（5,0,-2为平面ACE的法向量， 又cos0B,PD= 0丽P匝-5-2 P丽√万- 7， 所以二面角P-AC-E的余弦值为② -l5分 7 18.(17分)【详解】(1)因为4>2，由椭圆定义可知，曲线C为以(~1,0)和(1,0)为两焦点的椭圆， 其中2a=4,c=1,解得a2=4,b2=a2-c2=3, 故C的方程为父+片1：4分 4 (2)（1)依题意可设直线1的方程为x=my+1(m≠0)， 答案第4页，共6页 设M(xy),N(,),P(2-) x=my+1 联立得 +号-1+4+6侧-90， 由韦达定理得y+34+ 则直线PM的方程为y-为=+(x-x), 6-北 即y=2x-)+%=-+男点]2 x-+丛 -为 +为x- + -18m -6m 其中5》+丛.（+1》++业.2m++五=343m主4.4， %+2 %+y2 %+y2 -6m 3m2+4 则直线PM的方程为y=4+业(x-4),故直线PM过定点24,0：…10分 1-x2 (i)M0=(4-x,-y),N0=(4-x,-y2), M0·N@=(4-x(4-x)+2=(3-my)3-my2)+yy2=(m2+1)2-3m(y+)+9 -+”9=2 21 所以观：西的取直态留为学口 ，7分 19.(1分)【详解】()由/)=a血x-2x,xe0m,f)=是-2， ①当a≤0时，f'(x)<0,(x)在(0，+o)上单调递减， 函数∫(x)没有极小值点，也没有极大值点，函数x)的极值点个数为0： ②当a>0时，令f()>0,可得0<x<号，令f)<0,可得x>号， 故在(0)上单调递指，（会m上单润递减 “)在x=号处取得极大值，无极小值，f心)的极值点个数为1。 综上，当a≤0时，∫(x)的极值点个数为0：当a>0时，(x)的极值点个数为l.--6分 (2)4=-1时，f(x)=-血x-2x,设A(x,),C(32,2),不妨设0<x<x2,令xB=V 1-2, “了)-士2，曲线y=在点处切线的斜率∫代)=一 答案第5页，共6页 又ke-s)上=血s-a2. 为一为 为一元 要证f(x)是(0，o∞)上的“等比左偏函数"，只需证k-kc=一 1+血为-h五<0， x为为-为 金异则>1，即证-e应0-可 即证方才气c0,令，即证.公2<0， 令ea2-a+>0.则g)-=子1京-侵-<0， ·g(2)在1，+∞)上单调递减，∴g(2)<g()=0,所以f(2)是(0，+∞)上的“等比左偏函数”.--12分 3》当a=1时，f网=hx-2x,aa=f%)+2a,+1=恤a+ 1+1, 令=hx+士+1，x>0,则国-京=2， x2x21 2x2 仅当x>时，心>0，)在行上单调适瑞， 5 amm=h(a,),a=>1> a=a)=)0=, 1 从面%=e,)>}0=a=o)>…放a>21. 由(2)知x>1时，g=2nx-x+<0,故nx<芳-x>, 22x 又调为>1所以，2号法 2 即a<受+1，从而a-2<,-2刘，0，-2<a-2小水7a,-2k…<2(a-2)=22. 即a<2+,n22. 当m≥2时，】 ++2m++ 北-岂之2，又当=1时，4-213合上成 5 2 -17分 竺安销6而.共而