专题08 轻松破解函数值域或最值的十大题型（题型专练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以十大题型为框架，系统整合观察法、配方法等求函数值域的核心方法，形成“题型-方法-变式”三阶训练体系，培养数学思维与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |十大题型|每题型1典例+3变式|涵盖观察、配方、图象等十大方法，明确适用场景与步骤|从基础函数值域求解到含参问题，构建“方法选择-变式应用-综合迁移”逻辑链，强化推理意识|

专题08 轻松破解函数值域或最值的十大题型 （题型突破·举一反三） 题型01 观察法求值域或最值 1 题型02 配方法求值域或最值 2 题型03 图象法求值域或最值 3 题型04 分离常数法求值域或最值 5 题型05 判别式法求值域或最值 5 题型06 换元法求值域或最值 6 题型07 单调性法求值域或最值 7 题型08 基本不等式法 8 题型09 反解法求值域或最值 9 题型10 由函数的值域或最值求参 10 ▌题型01 观察法求值域或最值 通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域或最值. 【典例1】（24-25高一上·河南驻马店·月考）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，所以， 所以函数的值域为.故选：B. 【变式1-1】（2026·湖北·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一上·重庆沙坪坝·月考）函数的值域为（    ） A． B． C． D．R 【变式1-3】24-25高一上·贵州遵义·阶段检测）已知函数的值域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． ▌题型02 配方法求值域或最值 对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域或最值. 【典例2】（2026高一·全国·专题练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求二次函数的对称轴，根据单调性确定闭区间上的最值. 【详解】函数的对称轴为， 在单调递减，在单调递增， 所以，， 当，， 故原函数的值域为. 【变式2-1】（24-25高一上·江西南昌·月考）函数的值域为 . 【变式2-2】（多选）（26-27高三上·河南驻马店·开学考试）已知函数 ，定义域，下列说法正确的是（    ） A． 在 处取得极小值 B．函数最小值为 C．函数最大值为3 D． 在区间单调递减 【变式2-3】（2026高三·全国·专题练习）已知函数，，求的最小值的表达式，并求出的最大值． ▌题型03 图象法求值域或最值 作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域或最值. 【典例3】（25-26高一上·浙江杭州·期中）若，记，则函数的最小值为（    ） A．0 B．1 C．3 D．12 【答案】C 【详解】 则的图象如下： ∴当或时，有最小值3.故选：C. 【变式3-1】（25-26高一上·湖南娄底·期末）已知，用表示中的较大者，记作的最小值为___________． 【变式3-2】（25-26高三·全国·一轮复习）定义为中的最小值，设，则的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 【变式3-3】.（24-25高一上·河北衡水·月考）已知函数 (1)作出函数的图象； (2)写出函数的单调区间； (3)当时，求的值域. ▌题型04 分离常数法求值域或最值 适用于形如的分式函数，第一步，对函数变形成形式；第二步，求出函数在定义域范围内的值域或最值. 【典例4】（25-26高一上·四川遂宁·期中）函数，的最大值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先常数分离，再根据函数单调性得出最值. 【详解】函数，单调递减， 所以当时，函数的最大值是. 故选：B. 【变式4-1】（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【变式4-2】（25-26高一上·重庆云阳·阶段检测）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·北京怀柔·模拟预测）已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（    ） A． B． C． D． ▌题型05 判别式法求值域或最值 将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；适用于形如的函数 将函数式化成关于的方程，且方程有解，用根的判别式求出的取值范围，即得函数的值域或最值. 【典例5】（24-25高一上·安徽淮南·月考）若函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】设，，， 时，， 时，因为，所以，解得，即且， 综上，最大值是，最小值是，和为6．故选：B． 【变式5-1】（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．0 【变式5-2】（24-25高三上·江苏扬州·期中）若实数，，满足，.用表示，，中最小的数，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高一上·浙江宁波·期中）函数的值域是 ． ▌题型06 换元法求值域或最值 通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域或最值. 【典例6】（25-26高二下·天津静海·阶段检测）已知，则函数的最小值为_______________． 【答案】11 【详解】令， 由，得，且． 将代入中， 可得， 因为，， 所以， 当且仅当，即时等号成立． 此时，则，满足题设条件， 故函数的最小值为11． 【变式6-1】（25-26高一上·云南昆明·期中）函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高一上·陕西西安·期末）已知正实数满足则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高二下·广西南宁·阶段检测）已知函数．则的最小值为___________． ▌题型07 单调性法求值域或最值 求函数值域或最值时，如果能够先判断函数的单调性，可以利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域或最值. 【典例7】（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数是奇函数且在区间上单调递增，则函数在区间上（    ） A．单调递增，有最小值 B．单调递增，有最大值 C．单调递减，有最小值 D．单调递减，有最大值 【答案】B 【分析】根据条件，利用奇函数的性质，即可求解. 【详解】奇函数图象关于原点对称，所以在关于原点对称区域内单调性相同， 函数是奇函数且在区间上单调递增，则函数在区间上单调递增， 又增区间为半开半闭区间，所以存在最大值. 故选：B. 【变式7-1】（25-26高一上·山东济南·阶段检测）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高二下·辽宁沈阳·期末）函数的最小值为（    ） A．0 B．4 C． D． 【变式7-3】（25-26高一上·浙江杭州·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． ▌题型08 基本不等式法 对于形如两数（式）和或积的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用求函数的值域（或最值）时，应满足三个条件：①；②（或）为定值；③取等号的条件为，三个条件缺一不可； 【典例8】（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于函数进行变形得，再利用基本不等式求最值即可． 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当时，取等号， 所以的最大值为． 【变式8-1】若正数x，y满足，则的最小值是（ ） A．6 B． C． D． 【变式8-2】（25-26高一上·四川成都·期末）设，则的最小值为__________． 【变式8-3】（25-26高一上·湖北宜昌·阶段检测）已知，，则的最小值为__________． ▌题型09 反解法求值域或最值 根据函数解析式反解出，根据的取值范围转化为关于的不等式(组)求解 【典例7】（24-25高一上·云南·期中）函数的值域为 . 【答案】 【详解】由，可得，所以原函数的反函数为， 由，反函数的定义域为， 所以原函数的值域为. 【变式9-1】.（24-25高一上·浙江宁波·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25高一上·四川成都·期中）函数的值域为 . ▌题型10 由函数的值域或最值求参 先确定函数值域表达式，转化为方程有解问题，结合参数范围分析，利用函数单调性或图象特征，验证端点值的适配性. 【典例10】．（24-25高三上·北京海淀·期末）已知函数存在最小值，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】分、、三种情况讨论，分别说明函数的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】当时，在上单调递增， 且当时，显然不存在最小值，故舍去； 当时，，则当时， 所以的最小值为，符合题意； 当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，， 当时，则在上单调递减， 要使函数存在最小值，则，解得，此时； 综上可得的取值范围是. 【变式10-1】（2026·江西南昌·二模）已知函数在定义域内有最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（25-26高一上·江苏无锡·期中）函数，的值域区间长度为，则b的值为（   ） A．1 B．4 C．3 D．2 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 轻松破解函数值域或最值的十大题型 （题型突破·举一反三） 题型01 观察法求值域或最值 1 题型02 配方法求值域或最值 3 题型03 图象法求值域或最值 5 题型04 分离常数法求值域或最值 8 题型05 判别式法求值域或最值 9 题型06 换元法求值域或最值 11 题型07 单调性法求值域或最值 14 题型08 基本不等式法 16 题型09 反解法求值域或最值 17 题型10 由函数的值域或最值求参 19 ▌题型01 观察法求值域或最值 通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域或最值. 【典例1】（24-25高一上·河南驻马店·月考）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，所以， 所以函数的值域为.故选：B. 【变式1-1】（2026·湖北·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】A表示函数定义域，B表示函数值域，据此可化简集合A，B，然后由交集定义可得答案. 【详解】A表示函数定义域，则； B表示函数值域，则.从而. 故选：D 【变式1-2】（24-25高一上·重庆沙坪坝·月考）函数的值域为（    ） A． B． C． D．R 【答案】C 【详解】函数的定义域为， 则，则，则， 则函数的值域为.故选：C 【变式1-3】24-25高一上·贵州遵义·阶段检测）已知函数的值域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数是的水平平移变换，水平平移不改变函数值域，故的值域为. 由，对的取值范围各减2，得，即. 故选：B ▌题型02 配方法求值域或最值 对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域或最值. 【典例2】（2026高一·全国·专题练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求二次函数的对称轴，根据单调性确定闭区间上的最值. 【详解】函数的对称轴为， 在单调递减，在单调递增， 所以，， 当，， 故原函数的值域为. 【变式2-1】（24-25高一上·江西南昌·月考）函数的值域为 . 【答案】 【详解】因为二次函数的值域为， 所以的定义域是，值域为. 【变式2-2】（多选）（26-27高三上·河南驻马店·开学考试）已知函数 ，定义域，下列说法正确的是（    ） A． 在 处取得极小值 B．函数最小值为 C．函数最大值为3 D． 在区间单调递减 【答案】ABC 【详解】因为函数的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为. 又函数的定义域为，所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以函数 在 处取得极小值，故A正确； 因为，所以函数最小值为 ，故B正确； 因为，，所以函数最大值为3，故C正确； 因为 在区间单调递增，故D错误. 【变式2-3】（2026高三·全国·专题练习）已知函数，，求的最小值的表达式，并求出的最大值． 【答案】， 【分析】将函数化成顶点式，然后分，和三种情况讨论求出，再分三种情况求的最大值即可. 【详解】由得， 当，即时， 的最小值为； 当，即时，在上为增函数， 所以最小值为； 当，即时，在上为减函数， 所以最小值为． 于是 当时，， 当，，一个开口向下的一元二次函数， 其对称轴，， 因此在内，； 当，，，其为一个减函数， 因此在，. 综上在处取得最大值为． ▌题型03 图象法求值域或最值 作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域或最值. 【典例3】（25-26高一上·浙江杭州·期中）若，记，则函数的最小值为（    ） A．0 B．1 C．3 D．12 【答案】C 【详解】 则的图象如下： ∴当或时，有最小值3.故选：C. 【变式3-1】（25-26高一上·湖南娄底·期末）已知，用表示中的较大者，记作的最小值为___________． 【答案】1 【分析】根据定义写出函数解析式的分段形式，数形结合确定其单调性并求最小值. 【详解】令，则，可得或， 令，则，可得， 所以的图象如下， 由图，在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为. 【变式3-2】（25-26高三·全国·一轮复习）定义为中的最小值，设，则的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】作出函数的图象，根据图象即可求解. 【详解】画出，，的图像，观察图像可知， 当时，， 当时，， 当时，， 所以的最大值在时取得为，故B正确． 【变式3-3】.（24-25高一上·河北衡水·月考）已知函数 (1)作出函数的图象； (2)写出函数的单调区间； (3)当时，求的值域. 【详解】（1）， 作出函数图象，如图所示： （2）由图可得：函数的单调增区间为， 单调减区间为； （3）因为函数在上递减， 所以， 所以的值域为. ▌题型04 分离常数法求值域或最值 适用于形如的分式函数，第一步，对函数变形成形式；第二步，求出函数在定义域范围内的值域或最值. 【典例4】（25-26高一上·四川遂宁·期中）函数，的最大值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先常数分离，再根据函数单调性得出最值. 【详解】函数，单调递减， 所以当时，函数的最大值是. 故选：B. 【变式4-1】（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】先判断在区间上的单调性，进而即可求在区间上的最大值． 【详解】由在上单调递增， 所以． 【变式4-2】（25-26高一上·重庆云阳·阶段检测）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分离常数后，得到函数值域. 【详解】， 因为，所以，故值域为． 故选：D 【变式4-3】（2026·北京怀柔·模拟预测）已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质求出函数值域得解. 【详解】依题意，， 显然，则，于是， 所以函数的值域是. 故选：C ▌题型05 判别式法求值域或最值 将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；适用于形如的函数 将函数式化成关于的方程，且方程有解，用根的判别式求出的取值范围，即得函数的值域或最值. 【典例5】（24-25高一上·安徽淮南·月考）若函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】设，，， 时，， 时，因为，所以，解得，即且， 综上，最大值是，最小值是，和为6．故选：B． 【变式5-1】（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】D 【分析】将已知转化为关于的二次方程，根据，可求得最值. 【详解】根据题意， 若方程有解，则， 即， 所以， 当时，，此时，即， 也就是说当且仅当时，. 故选：D 【变式5-2】（24-25高三上·江苏扬州·期中）若实数，，满足，.用表示，，中最小的数，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对称性，不妨设，已知变形为，，得是方程的两根，由判别式求得范围后可得． 【详解】不妨设是中的最小值，则由得， 由已知，， 所以是方程的两根， 所以，又，所以，，从而， 故选：D 【变式5-3】（24-25高一上·浙江宁波·期中）函数的值域是 ． 【答案】 【详解】由题知函数的定义域为， 所以，将整理得， 所以，当时，； 当时，，解得， 所以，，即函数的值域是 ▌题型06 换元法求值域或最值 通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域或最值. 【典例6】（25-26高二下·天津静海·阶段检测）已知，则函数的最小值为_______________． 【答案】11 【详解】令， 由，得，且． 将代入中， 可得， 因为，， 所以， 当且仅当，即时等号成立． 此时，则，满足题设条件， 故函数的最小值为11． 【变式6-1】（25-26高一上·云南昆明·期中）函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用换元法，令，再结合对勾函数的性质，即可得解. 【详解】令，则，， 令，由对勾函数的性质可知， 在上单调递减，在上单调递增， 在处取得最小值， 又因为， 因此在上的值域为， 故的值域为， 即函数在区间上的值域为， 故选：C. 【变式6-2】（24-25高一上·陕西西安·期末）已知正实数满足则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，代入已知等式，化为关于x的方程，由判别式非负，解得t的最大值. 【详解】设，则， 因为， 所以，即：， 所以， 解得：， 又因为，为正实数， 所以， 所以的最大值为. 故选：C. 【变式6-3】（25-26高二下·广西南宁·阶段检测）已知函数．则的最小值为___________． 【答案】 【分析】用换元法将转化为，则只需分析最小值即可求得最小值，从而得的最小值. 【详解】 ， 令，因为，则，所以原函数可化为， 令，对称轴，开口向上，所以时，单调递减，时，单调递增， 所以时，，即的最小值为. ▌题型07 单调性法求值域或最值 求函数值域或最值时，如果能够先判断函数的单调性，可以利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域或最值. 【典例7】（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数是奇函数且在区间上单调递增，则函数在区间上（    ） A．单调递增，有最小值 B．单调递增，有最大值 C．单调递减，有最小值 D．单调递减，有最大值 【答案】B 【分析】根据条件，利用奇函数的性质，即可求解. 【详解】奇函数图象关于原点对称，所以在关于原点对称区域内单调性相同， 函数是奇函数且在区间上单调递增，则函数在区间上单调递增， 又增区间为半开半闭区间，所以存在最大值. 故选：B. 【变式7-1】（25-26高一上·山东济南·阶段检测）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，即的定义域为， 函数均为减函数，故在上单调递减， 所以， 当， 所以函数的值域为． 故选：D． 【变式7-2】（24-25高二下·辽宁沈阳·期末）函数的最小值为（    ） A．0 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】先求函数单调性，即可得最值. 【详解】根据题意，函数的定义域为， 且由于在区间上单调递增， 在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递增， 所以． 故选：D． 【变式7-3】（25-26高一上·浙江杭州·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，解得，即的定义域为， 函数均为减函数，所以上单调递减， 所以， 所以的值域为. ▌题型08 基本不等式法 对于形如两数（式）和或积的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用求函数的值域（或最值）时，应满足三个条件：①；②（或）为定值；③取等号的条件为，三个条件缺一不可； 【典例8】（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于函数进行变形得，再利用基本不等式求最值即可． 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当时，取等号， 所以的最大值为． 【变式8-1】若正数x，y满足，则的最小值是（ ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】对变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】因为正数x，y满足， 所以， 所以， 当且仅当，即，又，时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C 【变式8-2】（25-26高一上·四川成都·期末）设，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】由， 得， 当且仅当，即时取等号． 【变式8-3】（25-26高一上·湖北宜昌·阶段检测）已知，，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】利用，结合基本不等式可求最小值. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. ▌题型09 反解法求值域或最值 根据函数解析式反解出，根据的取值范围转化为关于的不等式(组)求解 【典例7】（24-25高一上·云南·期中）函数的值域为 . 【答案】 【详解】由，可得，所以原函数的反函数为， 由，反函数的定义域为， 所以原函数的值域为. 【变式9-1】.（24-25高一上·浙江宁波·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得或，则函数定义域为， 由，得， 所以，得， 显然，所以， 所以， 由，得， 所以，所以， ，解得或， 由，得，，解得， 由，得，，解得， 综上，或， 所以函数的值域为，故选：D 【变式9-2】（24-25高一上·四川成都·期中）函数的值域为 . 【答案】 【详解】令，可得，可得，即， 由，可得，解得， 所以，函数的值域为. ▌题型10 由函数的值域或最值求参 先确定函数值域表达式，转化为方程有解问题，结合参数范围分析，利用函数单调性或图象特征，验证端点值的适配性. 【典例10】．（24-25高三上·北京海淀·期末）已知函数存在最小值，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】分、、三种情况讨论，分别说明函数的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】当时，在上单调递增， 且当时，显然不存在最小值，故舍去； 当时，，则当时， 所以的最小值为，符合题意； 当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，， 当时，则在上单调递减， 要使函数存在最小值，则，解得，此时； 综上可得的取值范围是. 【变式10-1】（2026·江西南昌·二模）已知函数在定义域内有最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合函数单调性及基本不等式求解即可. 【详解】当时，，当且仅当时取等号. 当时，在上单调递减，此时的值域为， 因为在定义域内有最小值，所以. 故实数的取值范围为. 【变式10-2】（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在上单调递增，在上单调递增， 所以当时，单调递增，则.又函数的值域为， 所以当，函数的值要取到内的所有实数，所以. 当，即时，函数在上单调递增，时，， 当趋近于1时，，即，所以，即实数a的取值范围是. 【变式10-3】（25-26高一上·江苏无锡·期中）函数，的值域区间长度为，则b的值为（   ） A．1 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】利用分类讨论法，结合对勾函数的值域来求其倒数函数的值域，即可求出b值 【详解】当时，由， 根据b的四个值都为正数，故只需要分析情形， 从而根据对勾函数的值域可知， 又根据值域区间长度为，故可知道， 则：， 又因为当时，，所以， 再根据值域区间长度为，可得，可得. 故选：A. 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 轻松破解函数值域或最值的十大题型 （题型突破·举一反三） ▌题型01 观察法求值域或最值 【典例1】B 【详解】因为，所以，所以， 所以函数的值域为.故选：B. 【变式1-1】D 【分析】A表示函数定义域，B表示函数值域，据此可化简集合A，B，然后由交集定义可得答案. 【详解】A表示函数定义域，则； B表示函数值域，则.从而. 故选：D 【变式1-2】C 【详解】函数的定义域为， 则，则，则， 则函数的值域为.故选：C 【变式1-3】B 【详解】函数是的水平平移变换，水平平移不改变函数值域，故的值域为. 由，对的取值范围各减2，得，即. 故选：B ▌题型02 配方法求值域或最值 【典例2】C 【分析】求二次函数的对称轴，根据单调性确定闭区间上的最值. 【详解】函数的对称轴为， 在单调递减，在单调递增， 所以，， 当，， 故原函数的值域为. 【变式2-1】 【详解】因为二次函数的值域为， 所以的定义域是，值域为. 【变式2-2】ABC 【详解】因为函数的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为. 又函数的定义域为，所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以函数 在 处取得极小值，故A正确； 因为，所以函数最小值为 ，故B正确； 因为，，所以函数最大值为3，故C正确； 因为 在区间单调递增，故D错误. 【变式2-3】， 【分析】将函数化成顶点式，然后分，和三种情况讨论求出，再分三种情况求的最大值即可. 【详解】由得， 当，即时， 的最小值为； 当，即时，在上为增函数， 所以最小值为； 当，即时，在上为减函数， 所以最小值为． 于是 当时，， 当，，一个开口向下的一元二次函数， 其对称轴，， 因此在内，； 当，，，其为一个减函数， 因此在，. 综上在处取得最大值为． ▌题型03 图象法求值域或最值 【典例3】C 【详解】 则的图象如下： ∴当或时，有最小值3.故选：C. 【变式3-1】1 【分析】根据定义写出函数解析式的分段形式，数形结合确定其单调性并求最小值. 【详解】令，则，可得或， 令，则，可得， 所以的图象如下， 由图，在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为. 【变式3-2】B 【分析】作出函数的图象，根据图象即可求解. 【详解】画出，，的图像，观察图像可知， 当时，， 当时，， 当时，， 所以的最大值在时取得为，故B正确． 【变式3-3】 【详解】（1）， 作出函数图象，如图所示： （2）由图可得：函数的单调增区间为， 单调减区间为； （3）因为函数在上递减， 所以， 所以的值域为. ▌题型04 分离常数法求值域或最值 【典例4】B 【分析】先常数分离，再根据函数单调性得出最值. 【详解】函数，单调递减， 所以当时，函数的最大值是. 故选：B. 【变式4-1】D 【分析】先判断在区间上的单调性，进而即可求在区间上的最大值． 【详解】由在上单调递增， 所以． 【变式4-2】D 【分析】分离常数后，得到函数值域. 【详解】， 因为，所以，故值域为． 故选：D 【变式4-3】C 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质求出函数值域得解. 【详解】依题意，， 显然，则，于是， 所以函数的值域是. 故选：C ▌题型05 判别式法求值域或最值 【典例5】B 【详解】设，，， 时，， 时，因为，所以，解得，即且， 综上，最大值是，最小值是，和为6．故选：B． 【变式5-1】D 【分析】将已知转化为关于的二次方程，根据，可求得最值. 【详解】根据题意， 若方程有解，则， 即， 所以， 当时，，此时，即， 也就是说当且仅当时，. 故选：D 【变式5-2】D 【分析】由对称性，不妨设，已知变形为，，得是方程的两根，由判别式求得范围后可得． 【详解】不妨设是中的最小值，则由得， 由已知，， 所以是方程的两根， 所以，又，所以，，从而， 故选：D 【变式5-3】 【详解】由题知函数的定义域为， 所以，将整理得， 所以，当时，； 当时，，解得， 所以，，即函数的值域是 ▌题型06 换元法求值域或最值 【典例6】11 【详解】令， 由，得，且． 将代入中， 可得， 因为，， 所以， 当且仅当，即时等号成立． 此时，则，满足题设条件， 故函数的最小值为11． 【变式6-1】C 【分析】运用换元法，令，再结合对勾函数的性质，即可得解. 【详解】令，则，， 令，由对勾函数的性质可知， 在上单调递减，在上单调递增， 在处取得最小值， 又因为， 因此在上的值域为， 故的值域为， 即函数在区间上的值域为， 故选：C. 【变式6-2】C 【分析】设，则，代入已知等式，化为关于x的方程，由判别式非负，解得t的最大值. 【详解】设，则， 因为， 所以，即：， 所以， 解得：， 又因为，为正实数， 所以， 所以的最大值为. 故选：C. 【变式6-3】 【分析】用换元法将转化为，则只需分析最小值即可求得最小值，从而得的最小值. 【详解】 ， 令，因为，则，所以原函数可化为， 令，对称轴，开口向上，所以时，单调递减，时，单调递增， 所以时，，即的最小值为. ▌题型07 单调性法求值域或最值 【典例7】B 【分析】根据条件，利用奇函数的性质，即可求解. 【详解】奇函数图象关于原点对称，所以在关于原点对称区域内单调性相同， 函数是奇函数且在区间上单调递增，则函数在区间上单调递增， 又增区间为半开半闭区间，所以存在最大值. 故选：B. 【变式7-1】D 【详解】，即的定义域为， 函数均为减函数，故在上单调递减， 所以， 当， 所以函数的值域为． 故选：D． 【变式7-2】D 【分析】先求函数单调性，即可得最值. 【详解】根据题意，函数的定义域为， 且由于在区间上单调递增， 在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递增， 所以． 故选：D． 【变式7-3】C 【详解】由题意得，解得，即的定义域为， 函数均为减函数，所以上单调递减， 所以， 所以的值域为. ▌题型08 基本不等式法 【典例8】B 【分析】对于函数进行变形得，再利用基本不等式求最值即可． 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当时，取等号， 所以的最大值为． 【变式8-1】C 【分析】对变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】因为正数x，y满足， 所以， 所以， 当且仅当，即，又，时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C 【变式8-2】 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】由， 得， 当且仅当，即时取等号． 【变式8-3】 【分析】利用，结合基本不等式可求最小值. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. ▌题型09 反解法求值域或最值 【典例7】 【详解】由，可得，所以原函数的反函数为， 由，反函数的定义域为， 所以原函数的值域为. 【变式9-1】D 【详解】由，得或，则函数定义域为， 由，得， 所以，得， 显然，所以， 所以， 由，得， 所以，所以， ，解得或， 由，得，，解得， 由，得，，解得， 综上，或， 所以函数的值域为，故选：D 【变式9-2】 【详解】令，可得，可得，即， 由，可得，解得， 所以，函数的值域为. ▌题型10 由函数的值域或最值求参 【典例10】 【分析】分、、三种情况讨论，分别说明函数的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】当时，在上单调递增， 且当时，显然不存在最小值，故舍去； 当时，，则当时， 所以的最小值为，符合题意； 当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，， 当时，则在上单调递减， 要使函数存在最小值，则，解得，此时； 综上可得的取值范围是. 【变式10-1】D 【分析】结合函数单调性及基本不等式求解即可. 【详解】当时，，当且仅当时取等号. 当时，在上单调递减，此时的值域为， 因为在定义域内有最小值，所以. 故实数的取值范围为. 【变式10-2】B 【详解】因为在上单调递增，在上单调递增， 所以当时，单调递增，则.又函数的值域为， 所以当，函数的值要取到内的所有实数，所以. 当，即时，函数在上单调递增，时，， 当趋近于1时，，即，所以，即实数a的取值范围是. 【变式10-3】A 【分析】利用分类讨论法，结合对勾函数的值域来求其倒数函数的值域，即可求出b值 【详解】当时，由， 根据b的四个值都为正数，故只需要分析情形， 从而根据对勾函数的值域可知， 又根据值域区间长度为，故可知道， 则：， 又因为当时，，所以， 再根据值域区间长度为，可得，可得. 故选：A. 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $