26.2.1 二次函数y=ax2的图象和性质-【初中学霸创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步教案（人教版·新教材）

该教案聚焦二次函数y=ax²的图象和性质，通过回顾一次函数“描点画图-观察归纳”的研究方法，引导学生类比迁移，搭建从一次函数到二次函数的学习支架，梳理函数研究脉络。 该资料以“特殊到一般”探究为主线，学生自主描点画y=x²、y=-x²等图象，观察对比归纳抛物线特征，培养几何直观与推理意识。分组讨论a值对开口方向、大小的影响，落实数学思维，提升学生观察归纳能力，为教师提供可操作的探究式教学流程。

26.2 二次函数的图象和性质 26.2.1 二次函数y=ax2的图象和性质 课题 二次函数y=ax2的图象和性质 课型 新授课 教学内容 教材第33-36页的内容 教学目标 1．使学生会用描点法画出y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念。 2．使学生经历、探索二次函数y=ax2图象性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯，使学生掌握形如y＝ax2的二次函数图象和性质，并会应用． 教学重难点 教学重点：使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=ax2的图象。 教学难点：用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数性质是教学的难点。 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 【探究1】同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的? (先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质) 【师生活动】这个问题比较宏观，学生回答可能杂乱无章，老师可以继续追问或引导学生回顾一次函数的相关研究内容和方法：通过描点法画出一次函数的图象，观察图象得出图象的特征和性质，在研究过程中，通过从特殊到一般的思路进行研究。 【探究2】类比探究y=ax2的图象和性质 我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?如果可以，应先研究什么? (可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象，在根据图象研究图象特征和性质) 【师生活动】学生独立用描点法（列表-描点-连线）画出二次函数y=x2的图象。 老师可根据现场情况继续追问。 老师追问1：你是如何描点画图的？ 老师追问2：你打算从哪些角度去观察图象、概括特征？ 【画图】画二次函数y=x2的图象。 解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表： x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y … 9 4 1 0 1 4 9 … (2)在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点； (3)连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数y=x2的图象，如图所示。 【师生活动】老师提问：观察这个函数的图象，它有什么特点? 让学生观察，思考、讨论、交流，归结为：它有一条对称轴，且对称轴和图象有一个交点。实际上，二次函数的图象都是类似的抛物线， 它们的开口或者向上或者向下． 抛物线概念：我们把二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象叫作抛物线y = ax2 + bx + c。 顶点概念：实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫作抛物线的顶点.顶点是抛物线的最低点或最高点． 【探究3】 问题1：在同一直角坐标系中，画出函数y=x2与y=-x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别? 问题2：在同一直角坐标系中，画出函数y=2x2与y=-2x2的图象，观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么? 问题3：将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么? 【师生活动】对于1，在学生画函数图象的同时，教师讲评时，要引导学生讨论选几个点比较合适以及如何选点。两个函数图象的共同点以及它们的区别，可分组讨论。交流，让学生发表不同的意见，达成共识，两个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，顶点坐标都是(0，0)，区别在于函数y=x2的图象开口向上，函数y=-x2的图象开口向下。 对于2，教师要继续巡视，指导学生画函数图象，两个函数的图象的特点；教师可引导学生类比1得出。 对于3，教师可引导学生从1的共同点和2的发现中得到结论：四个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，它的顶点坐标都是(0，0)． 【总结】函数y＝x2、y=-x2、y=2x2、y=-2x2是函数y=ax2的特例，由函数y＝x2、y=-x2、y＝2x2、y=-2x2的图象的共同特点，可猜想： 函数y=ax2的图象是一条________，它关于______对称，它的顶点坐标是______。 如果要更细致地研究函数y=ax2图象的特点和性质，应如何分类？为什么? 让学生观察y＝x2、y＝2x2的图象，填空： 当a>0时，抛物线y=ax2开口______，对称轴是y轴，在对称轴的左侧，抛物线从左到右______；在对称轴的右侧，抛物线从左到右______，______是抛物线的最低点。 【追问】图象的这些特点反映了函数的什么性质? 先让学生观察右图，回答以下问题： (1)XA，XB大小关系如何?是否都小于0？ (2)yA，yB大小关系如何? (3)XC，XD大小关系如何?是否都大于0? (4)yC，yD大小关系如何? (XA<XB，且XA<0，XB<0；yA>yB；XC<XD，且XC>0，XD>0，yC<yD) 【学生活动】让学生填空。 当X<0时，y随着x的增大而______，当X>0时，y随X的增大而______；当X＝______时，y=ax2 (a>0)取得最小值，最小值y=______.a越大，抛物线的开口越小. 以上结论就是当a>0时，函数y=ax2的性质。 2.探索新知，归纳知识 【探究】观察函数y＝-x2、y=-2x2的图象，试作出类似的概括，当a<0时，抛物线y＝ax2有些什么特点?它反映了当a<0时，函数y=ax2具有哪些性质? 【学生活动】让学生讨论、交流，达成共识。 当a<0时，抛物线y=ax2开口向下，对称轴是y轴，在对称轴的左侧，抛物线从左到右上升；在对称轴的右侧，抛物线从左到右下降，顶点抛物线的最高点。a越小，抛物线的开口越小. 图象的这些特点，反映了当a<0时，函数y=ax2的性质；当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小，当x=0时，y＝ax2取得最大值，最大值y＝0。 3.学以致用，应用新知 例1 在同一直角坐标系中，画出函数y =x2，y =2x2的图象. 解：分别列表，再画出它们的图象，如图. 4.随堂训练，巩固新知 （1）抛物线y＝﹣2x2的图象可能是（　　） A． B． C． D． 答案：A （2）已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是(　　) 答案：C （3）抛物线y=2x2的顶点坐标是（　　） A（2，0） B.（1，2） C.（0，0） D.（0，2） 答案：C （4）抛物线y=-3x2的对称轴是（　　） A.x=3 B.x=-3 C.x=0 D.y=0 答案：C （5）已知抛物线y＝ax2（a＞0）过A（﹣2，y1），B（1，y2）两点，则下列关系式中一定正确的是（　　） A．y1＞0＞y2 B．y1＞y2＞0 C．y2＞0＞y1 D．y2＞y1＞0 答案：B 5.课堂小结，自我完善 理解二次函数的概念，画出二次函数的图象，并借此探究y=ax2的图象特点和性质。 6.布置作业 课本P35练习。 先复习研究函数的一般方法。 由此对探究函数的框架进行架构，为后续二次函数图象和性质的研究铺垫。 在一次函数的学习中已经学习过描点法画一个函数的图象。老师需要关注学生能否选取适当的自变量的值，如形状不明时是否知道通过加密点来画图。 老师引导尝试从图象的形状、开口方向、对称性、顶点等方面描述二次函数的图象特征。 经历从特殊到一般的研究过程，归纳出函数y=ax2的图象特征。 老师引导学生概括观察的角度和方法。尝试类比探究特殊的二次函数y=x2的图象和性质，了解抛物线的相关概念。 经历从特殊到一般的研究过程，从特殊的数值入手，归纳出二次函数y=ax2的图象特征，a分为a＞0和a＜0等情况。 先归纳y=ax2的特点，先找共同点，再找不同点，不同点再就a＞0和a＜0两种情况进行考虑。 在a＞0和a＜0两种情况下，都有|a|越大，抛物线y=ax2的开口越小。 分a＞0与a＜0两种情况加以讨论，并且结合一些特殊点，采取“排除法”。 解有关二次函数的性质问题，最好利用数形结合思想，在草稿纸上画出抛物线的草图进行观察和分析以免解题时产生错误。 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。 板书设计 二次函数的图象和性质 类似一次函数的研究过程，用描点法画出二次函数y=x2的图象，并观察其特点，进而比对得到y=ax2的图象和性质。 教后反思 教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝ax2的图象与性质，体会数学建模的数形结合的思想方法。 学科网（北京）股份有限公司 $