26.1 二次函数的概念-【初中学霸创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步教案（人教版·新教材）

该教案聚焦二次函数概念，通过正方体表面积、球队比赛场次、产量增长三个实际探究活动导入，衔接一次函数知识，复习函数、坐标等旧知，以类比方法构建从具体到抽象的学习支架。 特色在于情境化与结构化结合，用实际问题抽象函数关系培养数学眼光（抽象能力），类比一次函数归纳概念发展数学思维（推理意识），矩形场地种花、商品利润等实例强化数学语言（模型意识）。助力学生建立数学与生活联系，提升应用能力，为教师提供清晰教学路径与可操作活动设计。

第二十六章 二次函数 单 元 备 课 第二十六章 本章所需课时数 13课时 课标要求 1.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。 2.能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系。 3.会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题。 4.知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。 教材分析 本章内容是学生已经学习了一次函数和正比例函数的基础上展开的，中间有一段时间的间隔，注意复习已学函数和坐标中点的特征。在整个学习过程中体现类比、数形结合和归纳的思想。 主要内容 本章的主要内容是二次函数的图象、性质及应用。主要包括三节：第26.1节“二次函数的概念”，第26.2节“二次函数的图象和性质”，第26.3节“二次函数与一元二次方程”是在研究二次函数与一元二次方程的联系，第26.4节“实际问题与二次函数”是用二次函数的图象和性质解决实际问题。 教学目标 1.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。 2.能用描点法画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质。 3.会用配方法将数字系数的二次函数的解析式化为y=a（x-h）2+k的形式，并能由此得到二次函数图象的定点坐标，能说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单实际问题。 4.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。 5.知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数。 课时分配 26.1 二次函数的概念 1课时 26.2 二次函数的图象和性质 5课时 26.3 二次函数与一元二次方程 2课时 26.4 实际问题与二次函数 3课时 数学活动 小结 2课时 教与学建议 1.注意复习已学的一次函数，对称的坐标表示，配方法等相关知识。 2.关注数形结合的研究方法。 3.加强对实际问题的分析。 26.1 二次函数的概念 课题 二次函数的概念 课型 新授课 教学内容 教材第30-32页的内容 教学目标 1．理解、掌握二次函数的概念和一般形式。 2．会利用二次函数的概念解决问题。 3．列二次函数解析式解决实际问题。 教学重难点 教学重点：能够根据实际问题，熟练地列出二次函数解析式，并求出函数的自变量的取值范围。 教学难点：能够根据实际问题，熟练地列出二次函数解析式，并求出函数的自变量的取值范围。 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 【探究1】正方体的六个面是全等的正方形(如图)，设正方体的棱长为x，表面积为y.显然，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数，它们的具体关系是什么？ 【师生活动】 老师提示：设正方体的棱长为x，表面积为y，它们有什么联系呢？ 学生回答：y=6x2. 老师引导：对于上面的式子，x取一个值，y是不是都有一个值与之对应？ 学生肯定回答后，老师追问：反过来，对于y的每一个值，x都有唯一的值与之对应吗？ 学生回答、交流，老师总结：y是x的函数，具体关系可表示为y=6x2。 【探究2】n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n之间有什么关系？ 分析：每个队要与其他（n-1）个球队各比赛一场，那么n个球队要比赛n（n-1）场比赛，但甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛总场数是n（n-1），从而m=n（n-1），即m=n2-n. 【师生活动】借鉴探究一中的活动进行，最终得出m是n的函数。 【探究3】某种产品现在的年产量是20 t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y（单位：t）将由x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？ 分析：这种产品的原产量是20t，一年后的产量是20（1+x）t，在经过一年后的产量是20（1+x）（1+x）t，即两年后的产量y=20（1+x）2，即y=20x2+40x+20. 【师生活动】借鉴探究一中的活动进行，最终得出y是x的函数。 老师提问：对上面问题中的函数进行观察，有什么共同点？ 学生从自变量的个数，式子的次数等方面入手，讨论交流，发表自己的意见。 老师点评，总结。 2.类比探究，归纳概念 【思考】函数①②③有什么共同点? 在上面的问题中，函数都是用自变量的二次式表示的。 一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数，叫作二次函数.其中x是自变量，a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 提示：（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a,b,c为常数，且a≠ 0; （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 3.学以致用，应用新知 例 (1)一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S关于半径r的函数解析式. (2)一种产品某年的销售量为8万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是x.写出两年后产品的年销售量y(单位:万件)关于x的函数解析式. 解：（1）S=4πr2. （2）y=8x2-16x+8. 4.随堂训练，巩固新知 （1）下列各式中，y是x的二次函数的是（　　） A．y＝3x B．y＝x2+（3﹣x）x C．y＝（x﹣1）2 D．y＝ax2+bx+c 答案：C （2）已知二次函数y＝1﹣5x+3x2，则二次项系数a＝　 　，一次项系数b＝　 　，常数项c＝　 　． 答案：3 ﹣5 1 （3）如图，某公园内有一块长为100 m、宽为80 m的矩形场地，计划修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进种植花卉．设修建的道路宽为x m，如果种植花卉的面积为y m2，那么y与x之间的函数解析式为（　　） A. y＝8000﹣100x﹣80x B．y＝（100﹣x）（80﹣x）+x2 C. y＝（100﹣x）（80﹣x） D. y＝100x+80x 答案：C （4）某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。若设每件商品降价x元，该商品每天的利润为y元，求y与x的函数解析式。 分析：如果不降低售价，该商品每件利润是10－8=2(元)，一天总的利润是(10－8)×100=200(元)。若每件商品降价x元，则每件商品的利润是(10－8－x)元，一天可销售约(100＋100x)件商品。 解：y=x(20－2x)，即 y=－2x2＋20x（0≤x≤2）。 5.课堂小结，自我完善 （1）请叙述二次函数的定义． （2）许多实际问题可以转化为二次函数来解决，请联系生活实际，编一道二次函数应用题，并写出函数解析式。 6.布置作业 课本P31练习，P32习题26.1。 二次函数的概念是通过具体问题引入的。 关键是让学生明白2点：（1）每个队比赛（n-1）场，比赛的场次是n（n-1）的一半。 一年后的产量可以表示为20+20x，也可以表示为20（1+x），用后者更易于表示出再经过一年后的产量。 学生已经具备有关一元二次方程一般形式的知识，并且学过了一次函数的意义，可以对二次函数的意义有进一步的理解。能根据给出的函数解析式判断一个函数是不是二次函数。 能根据给出的函数解析式判断一个函数是不是二次函数。 紧扣定义中的两个特征：①a≠0；②自变量最高次数为2的二次三项式ax2＋bx＋c。 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。 利润=(售价－进价)×销售量。 注意此时x的值不可以任意取，0≤x≤2。 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 二次函数的概念 通过具体问题引入二次函数的概念，类比一元二次方程和一次函数进行探究学习. 教后反思 教学过程中，强调判断一个函数为二次函数的三个条件，可对比已学过的一次函数，进一步巩固函数的有关知识。研究学习的套路跟一元二次方程和一次函数一致。 学科网（北京）股份有限公司 $