专题12 相似三角形中母子型模型与手拉手模型的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 聚焦相似三角形核心模型，以“母子型+手拉手”为框架，通过通法提炼-题型归纳-压轴挑战三级体系，培养几何直观与推理能力，构建模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1通法总结|母子型用射影定理，手拉手找相似比与夹角，设参列方程|从模型特征到解法迁移，明确易错点| |题型归纳|5题型（各含1典例+3变式）|母子型抓双垂直/共角共边，手拉手结合特殊图形（三角形/矩形/正方形）证相似|从基础模型到特殊图形应用，逐步拓展| |压轴挑战|7道综合题|综合运用相似比、旋转性质、方程思想解决动态几何问题|对接中考压轴题型，提升复杂问题解决能力|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题12相似三角形中母子型模型与手拉手模型的五类综合题型 目录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、“母子”模型（斜射影模型） 题型二、双垂直模型（射影模型） 题型三、特殊三角形中的手拉手相似模型 题型四、矩形中的手拉手相似模型 题型五、正方形中的手拉手相似模型 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型特征：母子型为直角三角形斜边上的高（双垂直)或共角共边结构：手拉手为两个相似三角形共顶 点，通过旋转或平移保持对应边成比例。 -解题方法：母子型利用射影定理(AC2=AD×AB等)；手拉手找公共顶点处两组相似比，通过比例传递 或设参列方程求线段长度。 ~易错提醒：母子型中混淆对应边（如把斜边与直角边对应）；手拉手模型找错对应顶点致相似比反置： 未验证夹角相等导致相似关系不成立。 ◆◆ 夙题型归纳 精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、“母子”模型（斜射影模型） 典例1(25-26九年级上吉林长春开学考试)如图，等边△ABC的边长为4，点D,B,C,E在同一直线上， CE=8,∠BAD=∠E 1/79 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (I)求证：△ABD∽△ECA: (2)直接写出AD的长为」 【答案】(1)见解析 ②D=27 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质。 (I)根据等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB,从而得到∠ABD=∠ACE,即可求证： (2)根据△ABD∽△ECA,可得BD=2,从而得到DE=BD+BC+CE=14,再证明△ABD∽△EAD 即可求解。 【详解】(I)证明：，△ABC是等边三角形， ·∠ABC=LACB, .180°-∠ABC=180°-∠ACB. ∴.∠ABD=∠ACE, ∠BAD=∠E, ∴.△ABD∽△ECA; (2)解：：等边△ABC的边长为4， ∴AB=AC=BC=4, .·△ABD∽△ECA, AB BD 4 BD ·CEAC,即84， .BD=2, .DE BD BC CE =14. ∠BAD=∠E,∠ADB=∠ADE, .△ABD∽△EAD, AD BD AD 2 六DEAD,即14=AD, 2/79 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD=2V7 (负值舍去). 题型模版 1特征：直角三角形中，斜边上的高将原三角形分成两个小直角三角形，均与原三角形相似。 2.方法：由射影定理得AC2-ADAB、BC2=BDAB、CD=ADBD,或直接用相似比例求解。 变式1-1(25-26八年级下山东东营·期末)如图，在△ABC中，点P是△ABC的边AB上的一点. 小星：若∠ACP=∠B,则可证△ACPAABC AP AC 小红：若AC=AB,则可证△ACPAABC AC BC 小亮：若CP=AC,则可证△ACPABC (1)请判断三人的说法的对错：小星」 ,小红 一，小亮 (填“对”或“错”) (2)选择一种正确的方法，求证：△ACP∽aABC: ③)若△1 CPABC,且BP=lHC=6 求A的长 【答案】(1)对：对：错： (2)选择小星的方法： :∠ACP=∠B,∠CAP=∠BAC,有两组角对应相等， .△ACPP△ABC: 选择小红的方法： ·APAC ACAB,∠CAP=∠BAC,有两组边对应成比例且它们的夹角相等， △ACPn△ABC: (3)2 【分析】(1)有两角对应相等的两个三角形相似，据此可得小星的结果：有两边对应成比例，且它们的 夹角相等的两个三角形相似，据此可得小红的结果；有两边对应成比例，且一组角对应相等（不是成比例 3/79 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的两边的夹角)的两个三角形不一定相似，据此可得小亮的结果； (2)同(1)理证明即可： (3)设AP=x,则AB=1+x,利用相似三角形对应边成比例求解即可. 【详解】(I)解：若∠ACP=∠B,且∠CAP=∠BAC,有两个角对应相等，可判定△ACPAABC,小星 对； AP AC 若AC=AB,且∠CAP=∠BAC,有两边对应成比例且它们的夹角相等，可判定△ACP∽△ABC,小红对； AC BC 若CP=AC,且∠CAP=∠BAC,有两边对应成比例，且一组角对应相等，不能证明。ACPV6ABC,小 亮错： (2)证明：略： (3)解：设AP=x, BP=1,AC=6 .AB=1+x, ,△ACP∽△ABC, AP AC AC AB x 6 石1+x, 整理得：x2+x-6=0 解得：x=2或x=-3(舍)， ∴.AP=2 变式1-2(25-26九年级上吉林长春开学考试)如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠DAC=∠B.点E 在AD边上，CD=CE 4/79 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：△ABD∽aCAE: 9 (2)若AB=6: AC= 2,AD=5,则直接写出CD的长为 【答案】(I)证明：CD=CE, ∴.∠CED=∠CDE .∠CED=∠EAC+∠ACE,∠CDE=∠BAD+∠B 又∠DAC=∠B, ∴.∠ACE=∠BAD 又：∠DAC=∠B, ∴.△ABDP△CAE, 15 (②4 【分析】(I)根据已知条件可得∠ACE=∠BAD,即可证明△ABD∽aCAE: (2)结合(I)的结论△ABDACAE,对应边成比例可求出CE的长，即可解答， 【详解】(1)略 (2)解：△ABD∽△CAE, AB AD AC CE. 9 AB=6, AC= 2,AD=5, 65 2 .CE=15 .CD=CE=15 变式1-3(25-26八年级下山东泰安·期末)如图，在△ABC中，∠B=∠C,点P、D分别在边BC、AC上， ∠BAP=∠CPD 5/79 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (I)求证：△APD∽△ACP: (2)若AB=6,AD=2,求AP的长 【答案】(I)证明：∠B=∠C,∠BAP=∠CPD. ∴△BAP∽△CPD. ∠APB=LCDP, :点P、D分别在边BC、AC上， ∴∠APC+∠APB=180°，∠ADP+∠CDP=180°， .∠APC=∠ADP 又：∠DAP=∠PAC, ∴.△APDAACP ②36 【分析】(I)先证明△BAP∽△CPD,再根据等角的补角相等，得到∠APC=∠ADP,即可证明相似： (2)利用相似三角形对应边成比例求解即可. 【详解】(1)略 (2)解：△APDn△ACP, AP AD AC AP, .AP2=AC·AD .∠B=∠C .AB=AC=6. AD=2, ∴AP2=6×2=12 6/79 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.AP=2V3 AP=-213 或 (不符合题意，舍去)， ..AP 25 的长是 题型二、双垂直模型（射影模型） 典例2如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D. D (I)求证：△ACD∽△CBD: (2若CD=2BD=1 【答案】（①）证明见解析 (2)AD=2 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握两个三角形相 似的判定与性质是解决问题的关键 (I)由直角三角形两锐角互余得到∠A=∠BCD,再由两个三角形相似的判定定理求解即可得证； CD_AD (2)由(1)中△4CD∽△CBD得到BDCD,再将CD=√2，BD=1代入求解即可得到答案. 【详解】(1)证明：在Rt△ABC中，∠ACB=9O°，CD⊥AB于点D, ∴∠ADC=∠CDB=90°，∠A+∠B=90°， ∴∠B+∠BCD=90°， .∠A=∠BCD ∠ADC=∠CDB=90° .△ACD∽△CBD (2)解：△ACD∽△CBD, .CD-AD BD CD 7/79 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CD2=AD.BD, :CD=√2，BD=1 (2=ADx1, .AD=2. 题型模版 1.特征：直角三角形斜边上有两条垂直直线，形成三个相似直角三角形（母子相似）。 2.方法：利用射影定理(a2pc,b2=qc,hpq)或相似比列方程，己知两边求其余。 变式2-1(25-26九年级上甘肃张掖期中)射影定理：如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，如果 CD⊥AB CD2=AD·BDAC2=AB·ADBC2=AB·BD 垂足为D,那么有下列结论：① ；② ③ A D B ① ② (1)请你证明射影定理中的结论③，即BC2=AB·BD 【结论运用】请直接使用射影定理解决下面的问题， (2)如图②，在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，点E在边CD上，过点C作CF⊥BE 垂足为F,连接OF.求证：∠BOF=∠BED 【答案】 (1)∠ACB=90°，CD1AB, .∠ACB=∠CDB=90°. ∠B=∠B, ∴.△ABC∽△CBD, AB BC BC BD' 8/79 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BC2=AB·BD (2):四边形ABCD是正方形， ∠BCD=90°且AC⊥BD, .BC2=BD.OB ∠BCE=90°，CF⊥BE, BC2=BE·BF, BDOB=BE·BF, BD BF BEBO· ∠DBE=∠FBO, ∴ADBE∽aFBO, .∠BED=∠BOF 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质以及正方形的性质， (1)先证明△ABC∽△CBD,得对应边成比例，再将比例式转化为等积式即可： (2)直接利用射影定理得BC2=BDOB,BC2-BE,BF,由此得BDOB=BEBF,再将此等积式转化 为比例式，再根据“两边对应成比例，且夹角相等”证明△DBE∽aFBO,即可证明∠BED=∠BOF. 熟练掌握相似三角形的判定和性质，灵活运用射影定理是解题的关键. 【详解】略。 变式2-2(2025河南焦作·二模)(1)追根溯源 如图I,太阳直射在Rt△ABC上，AD为BC上的高，BD,CD,BC是位于同一条直线上的影子，则通过 LBAD=∠C∠B=∠ ,得到△MBD AB2=BD·BC ,进而得到 ，被称作射影定理. (2)拓展提升 如图2，在△ABC中，点D为BC上一点，∠BAD=∠C=30° ①求证：AB2=BD·BC; ②若AB=6,BD=3,点E为直线AC上一点，当△ECD为直角三角形时，请直接写出DE的长度. 9/79 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 图1 图2 【答案】(I)△CBA; (2)①∠BAD=∠C=30°，∠B=∠B, .△ABDACBA AB BD BC AB .'AB2=BD.BC, 9 ②2或3v5 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上 知识是解题的关键： (I)根据两角对应相等，证明△ABD∽aCBA, 根据相似三角形的性质，即可得证： (2)①同(I)证明△ABD∽aCBA,即可得证： ②根据相似三角形的性质求得BC=12,进而求得CD=9,然后根据含30度角的直角三角形的性质，勾股 定理，分类讨论，求得CE的长，即可求解， 【详解】解：：∠BAD=∠C,∠B=∠B, ,.△ABDACBA AB BD ·BCAB .AB2=BD.BC, 故答案为：△CBA」 (2)①略 ②AB=6,BD=3,AB2=BDBC 10/79 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..BC=4B36 =12 ∴.CD=BC-BD=12-3=9 如图， D ∠CE,D=90° 当 时， ∠C=30° 1 9 ..DE2=CD= 2 2 当∠CDE=90°时，DE=,CE CD=CE-DE =DE 3CD=35 综上所述，CE的长为2或3√5 变式2-3(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D.求证：AB=AD·AC: E D F 图① 图② (2)如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=9O°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E,延长BE交AC于点 48-即-1，求D和F元的值： AE AF F,若BCDC (3)在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为直线BC上的动点（点D不与B,C重合），直线BE⊥AD于 11/79 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB BD AF 点g,交直线4C于点P,若8CDC-m,请直接写出FC的所有可能的值（用含m的式子表示）， 【答案】(1)见解析： (2) AE=4, AF =2 ED FC AF (3)满足条件的FC的所有可能的值为m2+n或n2-n或n-n2 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，解题的 关键是熟练掌握并运用相关知识. AB AD (1)根据题意可证△ADB6ABC,从而可得AC=AB即AB'=AD:AC: AB BD (2)过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G,可得∠CGD=∠BED=90°，CG∥BF结合BC=DC 得ABDE2ACDG从而可知ED=GD=2EBC,同理①)可得B'=D.4E'BD=DE.D助 AE AB2 (2BD) 换为DEBD?= BD2 4气能-2，是后板6少时，时得出品2 4 (3)同理(2)考虑点D在线段BC上时、D在线段BC的延长线上时、点D在线段CB的延长线上时三种 情况即可 【详解】解：(1)证明：如图①， B D 图① :BD⊥AC∠ABC=90° .∠ADB=∠ABC=90°， 又：∠A=∠A, ∴△ADBP△ABC, AB AD AC AB 12/79 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB2=AD·AC. (2)解：方法一： 如图②，过点C作CG1AD交AD的延长线于点G, B F C 图② .·BE⊥AD ∴.∠CGD=∠BED=90°，CG∥BF AB BD =1 BC DC .AB=BC=2BD=2DC,BD=DC, 又：∠BDE=∠CDG, ∴△BDE≌△CDG(AAS) ED=GD=,EG 同理(1)可得：AB2=AD·AE,BD2=DEAD, AE AB2 (2BD) =4 DE- BD BD2 .AE =4DE. AE 4DE EG 2DE =2 CG∥BF, AF_AE=2 FC EG 方法二： 如图③，过点D作DG∥BF,交AC于点G, 13/79 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D F G C AB BD 图③ BC DC =1 :.BD=DC=L 2 ,AB=BC· DGIBF, FG BD 1 FCBC2·FC=2FG 同理(1)可得：AB2=AD·AE,BD2=DE·AD, AE AB2 (2BD-4 DE BD2 BD2 DGI BF, AF AE FG DE =4 AFAF -2 FC 2FG (3)解：点D为直线BC上的动点（点D不与B、C重合），有三种情况： (I)当点D在线段BC上时，如图④所示： 过点D作DG∥BF,交AC边于点G. B C AB BD 图④ BC DC=n ∴.BD=nDC BC=(n+1)DC AB=n(n+1DC .DGII BF, FG BD GC-DC=n, 14/79 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.FG=nGC, FG-FC.BD=nDC n+1 同理(I)可得：AB2=AD·AE,BD=DE·AD, 4E 4B n(n+1)DC=(n+1) DE BD2 (nDC) DG‖BF, AFA 、 FG DE =(m+1, AF =(n+1)2 即n,FC n+1 AF 化简得：FC =n2+n: (II当点D在线段BC的延长线上时，如图⑤所示： 过点D作DG∥BE,交AC边的延长线于点G. B F 图⑤ AF 同理可求得：FC =n2-n (I)当点D在线段CB的延长线上时，如图⑥所示： 过点D作DG∥BF,交CA边的延长线于点G D E G=- F 图⑥ AF 同理可求得： FC =n-n2 15/79 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AF 即满足条件的FC的所有可能的值为n2+n或n-n或n-n2. 题型三、特殊三角形中的手拉手相似模型 典例3(2026四川眉山中考真题)【问题背景】数学活动课上，老师和学生一起探究图形的旋转性质 己知，如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,BC=10,点D是BC边上的动点（不与点B,C 重合)，将线段AD绕点A逆时针旋转9O°得到线段AE，连接DE,CE,DE与AC交于点F, 图1 图2 图3 (1)【初步探究】如图1，在点D的运动过程中，试探究CE与BD的数量关系，并说明理由. (②【深入探究】如图2，当点D运动到CD=4时，求EF的长. MD 囹拓展延伸】如图3，点M为ED延长线上一点，且满足CE,当轮=k(k>时，求DF的 值（用含k的式子表示）· 【答案】()CE=BD,理由如下： 由旋转得∠DAE=90°，AD=AE ∠BAC=90 .∠DAE=∠BAC .∠DAC+∠CAE=∠DAC+∠BAD ∴.∠CAE=∠BAD AB=AC △ABD≌△ACE(SAS) ..CE=BD QR 16/79 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 (3)k- ABD≌△ACE(SAS) 【分析】(1)证明 即可得证； EF AE (②)先由勾股定理求解DE,然后根据等腰直角三角形求解AE,AB,再证明AEF6ABD得到BDAB 即可： DM DCDC 1 DMDM 1 (3)证明aMCD∽aMEC即可得到CM=CE=BDk,则FM=CMk,从而得解. 【详解】(1)略 (2)解：：BC=10,CD=4, 、.BD=BC-CD=6, AB=AC,∠BAC=90° ∴.∠B=∠ACB=45° △ABD≌△ACE .CE=BD=6,∠ACE=∠B=45°， ∴.∠DCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90° DE=DC+CE-6-23 在Rt△ADE中，AD=AE, DE=VAD2+AE2=N2AD∠AED=∠ADE=450 :4n=AE90e-号i=压， 2 同理可求AB=AC=2BC=)×10=55 2 ,∠AEF=∠B=45°，∠EAF=∠BAD=90°-∠DAF ∴.△AEF∽△ABD EF AE :BD AB 17/79 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EF 26 .652 解得EF=后 5 (3)解：由(I)可得，△ABD≌△ACE ∴.∠ECA=∠B=45° .MC=MF, .∠MCF=∠MFC, ∴.∠FCD+∠MCD=∠ECF+∠FEC .'∠DCF=∠ECF=45° ∴.∠MCD=∠MEC .∠M=∠M ∴.aMCD∽aMEC DM DC DC ·CM=CEBD BD 'DC =k(k>1) DM DCDC 1 ·CM CE BD k ..CM=FM DMDM 1 FM-CM-R DM 1 FDk-1· 题型模版 1特征：两个相似三角形共顶点旋转，对应边成比例且夹角相等，证相似得比例关系。 2方法：找公共顶点，由己知相似得两边对应成比例且夹角相等，证新三角形相似，用比例式求解。 变式3-1(26-27九年级全国暑假作业)探究下列问题： 18/79 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 ()【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD,CE,判断BD与CE的数量关系：- (②)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，连接BD,CE,写 出BD与CE的数量关系：-· AB AD 3 (3)【拓展提升】如图3，△ABC和A4DE都是直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，且BCDE4,连接 BD BD,CE,求CE的值， 【答案】(I)BD=CE BD-CE (2) 2 或CE=V2BD BD 3 (③)CE-5 【分析】(I)根据等边三角形的性质，证明△ADB≌△AEC,即可得解。 (2)根据等腰直角三角形的性质，直角边与斜边的关系，证明△ADB∽△AEC,再根据相似三角形的性 质，对应边的比等于相似比，即可求解。 AB AD 3 (3)根据BC=DE=4,∠ABC=∠ADE=90°，可证△ABC∽△ADE,可得∠DAB=∠EAC,在R△ABC 中，求出AC=5x,在Rt△ADE中，求出AE=5a,再证△DAB∽△EAC,根据相似三角形的性质即可求 解， 【详解】(I)解：：△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴.AD=AE,AB=AC,∠DAE=∠BAC=60°， :∠DAB=∠DAE-∠BAE=60°-∠BAE, ∠EAC=∠BAC-∠BAE=60°-∠BAE, ∴.∠DAB=∠EAC, 19/79 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△DAB和△EAC中， 「AD=AE DAB=∠EAC AB=AC △DAB≌△EAC(SAS) ∴BD=CE. (2)解：：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， AE=2AD AC=2AB 根据勾股定理得 AD AB 12 ·E=AC=2=, :∠ABC=∠ADE=90° .∠DAE=∠BAC=45°， :∠DAB=∠DAE-∠BAE=45°-∠BAE, ∠EAC=∠BAC-∠BAE=45°-∠BAE, .DAB=∠EAC, △ADB△AEC, ,BDAB√2 .BD=v CE或CE=N2BD AB AD 3 (3)解：BC=DE4,∠ABC=∠ADE=90°， ∴.△ABC△ADE, ·∠DAE=∠BAC ,∠DAB=∠DAE-∠BAE, ∠EAC=∠BAC-∠BAE ∴.∠DAB=∠EAC, 设AB=3x,BC=4x, 20/79 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在Ra1BC中，根据勾股定理得1C=VAB+BC=V9r+16F=5x 设AD=3a,DE=4a, 在Ra1DE中，根据勾股定理得4E=VD+DE=V9a+16a-5a, AD 3a 3 AB 3x 3 AE 5a5 AC 5x5 AD AB 3 ·AEAC5, ∴.△DAB∽△EAC, BD AB 3 ·CEAC5· 变式3-2(2026广东深圳二模)【综合探究】 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这 个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片ABC和BDE中，∠ACB=∠BDE=90°， BC=BD=6 AC=DE=8, a(0°<a<360） 旋转角为 E D B B C B 图1 图2 备用图 备用图 AE (①)【初步感知】如图L,连接AE'CD,将三角形纸片BDE绕点B旋转，求CD的值； (2)【深入探究】如图2，在三角形纸片BDE绕点B旋转过程中，当点D恰好落在△ABC的中线CF的延长 线上时，延长ED交AC于点G,求CG的长： (3)【拓展延伸】在三角形纸片BDE绕点B旋转过程中，试探究A,D,E三点，能否构成以AE为直角边的 直角三角形.若能，直接写出线段AD的长度：若不能，请说明理由， AE5 【答案】（①）CD3 21/79 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②CG9 16V13 (3)能，AD的长是13或4V13 【分析】(I)证明△BCDP△BAE即可解答： (2)如图2，通过延长CF交AE于点H,连接BH,得到四边形AHBC为矩形，设MH=x,先根据相 似得AG=2x,再证明三角形全等得EM=BM=8-x,由勾股定理列方程即可解答： (3)分两种情况：如图3和图4，分别根据相似三角形和勾股定理即可解答. 【详解】(1)解：∠ACB=∠BDE=90°，BC=BD=6,AC=DE=8, .AB=BE=10」 由旋转得：∠CBD=∠ABE, BC、BD ABBE· ∴BCD△BAE, AE BE 10 5 CD BD 6 3 (2)如图2，延长CD交AE于H,连接BH交DE于M, H N B 图2 由(I)知：△BCD∽aBAE, ·.LBAE=∠BCD ,CF是中线，∠ACB=90°， .CF AF=BF=5. :.LBCF=∠FBC, .∠FBC=∠BAE, 22/79 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠AFH=∠BFC, △AFH≌△BFC(ASA) ∴CF=FH, ∴四边形ACBH是平行四边形， ∠ACB=90°， ∴口ACBH是矩形， ·∠AHB=90°，BH=AC=8, AB=BE, 、AH=EH=BC=6, 设MH=x, .∠EHB=∠HAC=90°，∠AEG=∠HEM, ∴.△AEG∽△HEM. MH EH 1 AG AE 2 .AG=2x, :EH=BD=6,∠EMH=∠BMD,∠EHM=∠BDM=90°， △EHM≌△BDM(AAS) .BM =EM=8-x, 由勾股定理得：EM2=EH2+M,即8-=6+， 解得x=4 :AG=2×42: 77 :.CG-AC-AG=8-7_9 22 (3)分两种情况：①如图3，∠EAD=90°，过点B作B⊥AE于，过点D作DP L BO于P, 23/79 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 图3 .∴∠AQP=∠DPQ=∠DAQ=90° ∴四边形ADP吧是矩形， .∠ADP=90°，AQ=PD 设AQ=PD=b AB=BE,BQ⊥AE, 、Ag=EQ=b .'AE=2b, ,∠ADP=∠BDE=90° ∴.∠ADE=∠BDP, ,∠EAD=∠DPB=90°， ,△DAEP△DPB, AE PB 26 PB DEBD,即8=6， :.PB=3 2 Rt△BPD中，BP2+PD2=BD2, )2 =62 1213 b= 解得： 13(负值舍)， ,△DAEP△DPB, 12v13 AD PD ED BD' 即4D 86 24/79 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD=16V13 13； ②如图4，∠AED=90°，过点B作B0⊥AE于0， 图4 ∴.∠BQE=∠AED=∠BDE=90° ∴四边形BDEO是矩形， ..EO=BD=6. AB=BE,BQ⊥AE, ∴.AE=2EQ=12. 由勾股定理得： AD=VAE2+DE2=122+82=413 16W13 综上，AD的长是3或43 变式3-3(25-26八年级下·吉林·期末)综合与探究 【问题背景】我们学习了三角形的中位线定理，借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，如图1，探 索小组利用这个基本图形进行了探究活动，探究发现：若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存 在特殊的数量关系，请你和探索小组一起对此进行研究，如图1，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=4, 分别取AB,AC的中点D,E,作△ADE. 图1 图2 图3 图4 25/79 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BD ()初步发现：如图1，由三角形中位线构造△4DE一△4BC,可知：CE (2)猜想探究：如图2所示，将△ADE绕点A逆时针旋转，连接BD,CE.旋转过程中，线段BD和CE的 长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明. (③)结论应用：如图3，当DE所在直线首次经过点B时，则CE= (④延伸思考：如图4，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4,BC=3,分别取AB,BC的中点D,E. 作△BDE,将△BDE绕点B逆时针旋转，连接AD,CE.分别取AC,DE的中点M,N.当△BDE绕点B 旋转过程中，直接写出当△BMN面积最大时，△BDA的面积是 2 【答案】()2 CE=2BD (2)解： ,证明如下， 由题可得，△ABC和△ADE是等腰直角三角形， 、∠BAC=∠DAE=45°AC=V2ABAE=V2AD .∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, ∴.∠BAD=∠CAE, AC-AB AE-AD AC 2AB AB .AE2AD AD, AC AE .ABAD' .△BADACAE, BD ABAB 1 CEAC2AB2 .CE=2BD ③)CE=2V6 ④)4 26/79 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】(I)先根据中位线性质得到对应边比例、△ADE与△ABC的相似比，再结合D是AB中点得到 BD长度，用平行线等分线段定理计算比值： AB AD (2)旋转后∠BAD=∠CAE,先求出AC与AE的比值，证明。ABD和△ACE相似，即可得到BD与CE 的数量关系： (3)先根据DE过点B得到∠ADB=90°，用勾股定理求出BD的长度，再利用(2)得到的BD与CE的数 量关系计算CE: (4)根据勾服定理求出4C=VAB+BC=5,结合三角形中位线定理得到BD-)AB=2, 2 BE8C-子.DE4C-,根器直角=角形斜边上的中线等于制边的一单求出BM-4C- 5 2 2 2 2 2 BNDE,根据N到BM的距离≤BN,可知当BN L BME时，ABN面积最大，此时∠NBM二OP 2 分两种情况根据旋转的性质作答即可。 【详解】(I)解：，△ADE一△ABC, ∴∠ADE=∠B=90° :.DE∥BC, BD CE AD AE' BD AD ·CEAE, :AB,AC的中点为D,E,AB=BC=4, :1AD=2,AC=V4+4=4N2 :4E=2V2 BD_AD 22 CEAE222 (2)略 (3)解：由图1可得，AB,AC的中点为D,E, 27/79 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DE∥BC, AD=AB=2. ∴.△ABCn△ADE, .∠ADE=∠ABC=90°， ∴如图3，当DE所在直线过点B时，AD⊥BE, ∴在RtAABD中，BD=V√AB2-AD=V4P-2=25 BD 1 由(2)可得，CE2, 231 :.CE, 解得 E=26 (4)解：如图， M D ,在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4,BC=3, ÷4C=VAB2+BC=5 ,分别取AB,BC的中点D,B, :D=548=2,E-8c-.nE- 2，∠DBE=90°， :分别取AC,DE的中点M,N, .C B-DE- 21 N到BM的距离≤BN, ∴当BN⊥BM时，△BMN面积最大， 28/79 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 此时∠NBM=90° 如图，当N在BC上方时， E B 由旋转的性质可知∠EBC=90°， 即点E在线段AB上， 1 此时SBDM=亏AB×BD=二×4×2=4 如图，当N在BC下方时， B 同理可知即点D在线段BC上， 此时SD三2AB×BD=。×4x2=4 2 综上所述，当△BMN面积最大时，△BDA的面积是4. 题型四、矩形仲的手拉手相似模型 典例4(2026山东青岛模拟预测)如图1，在矩形ABCD中，AD=nAB,点M,P分别在边AB,AD上 (均不与端点重合)，且AP=nAM,以AP和AM为邻边作矩形AMWP,连接AN,CN. 29/79 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B B B N N M P P 图1 图2 图3 (I)如图2，当n=1时，BM与PD的数量关系为，C与PD的数量关系为_· 【类比探究】 (2)如图3，当n=2时，矩形AMNP绕点A顺时针旋转，连接PD,则CN与PD之间的数量关系是否发生 变化？若不变，请就图3给出证明：若变化，请写出数量关系，并就图3说明理由 【答案】() BM=PDCN=√2PD CN=5 PD (2)CN与PD之间的数量关系发生变化， 2 理由如下： 连接AC,如图所示： B M 如图1，在矩形ABCD和矩形AMNP中， 当n=2时，AD=2AB=2CD,AP=2AM=2PN, ..AC=AD2+CD2 2 AN =AP2+PN2 5 2 AP AC AN 5 AD AP 2 ~矩形AMNP绕点A顺时针旋转， .∠NAC=∠PAD 30/79 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·.△ANC∽△APD, CN_AC5 PD AD 2 :CN-5 PD. 2 【分析】(1)当n=1时，AD=AB,AP=AM,则AD-AP=AB-AM,所以BM=PD,再证明A、 C三点在同一条直线上，由勾股定理得1C=V5AD,MN=V2AP 所以CN=V2(AD-AP)=VPD 于是得到问题的答案： AC AN 5 (2)先求出ADAP2,再根据旋转得出∠NAC=∠PAD,从而证明△ANC∽△APD,即可得出答案. 【详解】(1)解：当n=1时，AD=AB,AP=AM, :AD-AP=AB-AM, .:BM=PD, ~四边形ABCD和四边形AMNP都是矩形，且AD=AB,AP=AM, ∴四边形ABCD和四边形AMNP都是正方形， ∴.AD=CD,AP=NP,∠D=∠APN=90°， ∠DAC=∠DCA=45°，∠PAN=∠PNA=45°. .∠DAC=∠PAN A、N、C三点在同一条直线上， AC2=AD2+CD2=2AD2,AN2=AP2+NP2 =2AP2, ∴AC=V2ADAN=√2AP ∴.CN=AC-AN=V2AD-√2AP=V2(AD-AP)=V2PD (2)略 题型模版 1.特征：两个矩形或含矩形边的三角形共项点旋转，对应边成比例且夹角相等，证相似。 2方法：利用矩形对边平行且相等，找公共顶点，由边成比例及夹角相等证相似，列比例式求解。 31/79 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式4-1(25-26八年级下浙江宁波期末)如图1，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AB'C'D,点 B、C、D的对应点分别为B、C、D',延长C"B交BC于点E,连结AE, 0 图1 图2 图3 (I)求证：AE平分∠BAB: (2)如图2，AB=3,BC=5,当C在CD的延长线上时，求BE的值： (3)如图3，连结BD,B'D',当点B落在BD上时，B'、D'、C共线，求AB:BC的值. 【答案】(I)证明：由旋转性质知AB=AB',∠AB'C'=∠ABC=90°， ∴.∠AB'E=90° 在Rt△ABE和RtAB'E中， AB=AB AE=AE, :.Rt△ABE≌RtAAB'E(HL) ∴.∠BAE=∠B'AE, 即AE平分∠BAB': 9 @5 6i5:5 【分析】(I)证明RtAABES≌RtAAB'E即可解答； (2)由旋转性质可得AC'=AC,C'B=CB=5,根据等腰三角形三线合一性质可得DC=CD=3,设 BE=B'E=x,则CE=BC-BE=5-x,C'E=CB+B'E=5+x,在RtACCE中，根据勾股定理可列方程 5-+6=5+,解方程即可： (3)先证明B'D为△CO'C'的中位线，设B'D=2m,则O'C'=4m,AC'=BD=2OC'=8m,进而得到 32/79 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BB'=6m' P=BPBB=3m、】 DP=5m'设AB=x'AD=BC=y,分别在R△ABP、Rt△ADP RtAABD 中，利用勾股定理得到关于、’、”的方程，计算可得 AB=x=2v6m BD=y=2v10m ,从 而求出AB:BC的值. 【详解】(1)略 (2)解：如图，连接AC、AC, D B 图2 在矩形ABCD中，CD=AB=3,AD=BC=5,∠BCD=∠ADC=90°， 由旋转性质得AC'=AC,CB'=CB=5, 当C在CD的延长线上时，∠ADC=∠ADC'=90°， 根据等腰三角形三线合一性质可得DC'=CD=3, .CC'=CD+DC=3+3=6」 由旋转性质知AB=AB,∠AB'C'=∠ABC=90°， ∴.∠AB'E=90° 在Rt△ABE和RtAAB'E中， AB=AB' AE=AE, ∴.Rt△ABE≌Rt△AB'E(HL) .BE=B'E, BE=B'E=x,CE=BC-BE=5-x,C'E=C'B'+B'E=5+x, 在RtACCE中，CE2+CC2=C'E2, 即5-+6=5+ 33/79 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得x=5 即BE的值为5 (3)连接AC交BD于点O,连接AC'交B'D'于点O',延长CB交BC于点E,连接AE交BB于点P, 连接CD, D 图3 :AC=AC'∠ADC=909 ∴AD为等腰△ACC'底边CC'上的高， ∴点D为CC的中点，∠ACD=∠ACD, 又：在矩形ABCD中，OC=OD ∴.∠ACD=∠BDC .∠BDC=∠AC'D. BD∥AC ACB'DACO'C CD CB' DC B'O' 1, .CB'=B'O', ∴B'D为△CO'C的中位线， wp-toc. 设B'D=2m,则O'C'=4m,AC'=BD=2O'C'=8m, .BB'=BD-B'D=8m-2m=6m. 由(1)知，AE垂直平分BB', 则BP=BP=号AB=3m,DP=Dg+BP=5m 设AB=x,AD=BC=y, 34/79 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在Rt△ABP中， AP2=AB2-BP2 =x2-(3m) 在RADP中，AP2=AD2-DP2=y2-(5m} 则-(6m=y2-5mj}'o 在Rt△ABD中， BD2=AB2+AD2=x2+y2=(8m)2 联立①②可得=2√6m,y=210m 即4B=2√6m.BC=2V0am 所以AB:BC=2W6m:2V10m=V15:5. 变式4-2(2026广东汕头·二模)在矩形ABCD中，AB=3,BC=4.将矩形ABCD绕点A逆时针旋转 n(0<n<90) 得到矩形AEFG,点B的对应点为点B,点C的对应点为点F,点D的对应点为点G,FE的 延长线交BC于点H G H 图1 图2 图3 (I)如图1，求证：BH=EH; (2)连接CF,连接BE并延长交CF于点P. ①如图2，求证：BP平分CF; ②如图3，连接AP,交EF于点O,若AP平分△EFP的面积，求AP的长. 【答案】（①）证明：连接AH, ~将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG,∠ABC=90°， 35/79 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB=AE∠ABC=∠AEF=∠AEH=90° AH=AH ∴Rt△ABH≌Rt△AEH(HL） .BH=EH (2)①证明：如图2，过点C作CM∥EF交EP的延长线于点M, O -M 图2 ∴.∠FEP=∠M .BH=EH, ∴.∠EBH=∠BEH」 又∠FEP=∠BEH, ∴∠EBH=∠M. .BC=CM ~将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG, .:BC=EF ∴.EF=CM 又∠EPF=∠MPC. ∴.△EFP≌△MCP(AAS) ∴.FP=CP BP平分CF: 36/79 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1713 ②13 【分析】(I)利用“HL”证明Rt△ABH≌Rt△AEH即可： (2)①利用等腰三角形的判定和性质，得出BC=CM, 再结合旋转的性质，证明△EFP2aMCP(11S)即 可 OP FO ②连接AC、AF,根据旋转和三线合一的性质可得AP⊥CF,再证明△FOP∽△AQE,得到E0AO, 银据三角形面积平分、得业Q=0-号F=2,进面求出40：，P0=正 13 【详解】(1)证明：略 (2)解：①略： ②如图，连接AC、AF, G 将矩形 绕点A逆时针旋转得到矩形 9 ABCD AEFG .AF=AC,AE=AB=3,EF=BC=4. ..FP=CP, ∴AP⊥CF .∠QPF=∠AEQ=90° 。 :∠FQP=∠AQE .△FQP∽△AQE P-F№ EQAQ· ~AP平分△EFP的面积， 37/79 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.FQ=EQ=5EF=2 2 在Rt△AEO中， A0=VAE2+E02=V32+22=V3 Pg=E0F2=2x2_43 AO 1313. P=40+PQ=B+4E_17国 13 Γ13. 变式43(2026山西长治三模)综合与探究 【问题情境】 活动课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动.小星拿出两张全等的矩形纸片ABCD 和AEFG,重叠放置，矩形纸片ABCD固定不动，将矩形纸片AEFG绕点A逆时针旋转.己知AB=6, BC=8 图1 图2 备用图 (I)如图1，当点E落在边AD上，点G落在线段BA的延长线上时，连接AC,AF,CF,试判断 △ACF的形状，并说明理由. 【思考探究】 (2)如图2，当点G落在边BC上时，连接DF交AG于点O,求证：O是DF的中点. 【拓展延伸】 (3)在矩形纸片AEFG旋转的过程中，当AD∥FG时，直线CG与直线AD,EF分别交于点P,旦，请 直接写出PQ的长。 【答案】（①）等腰直角三角形 理由：由题意知，AB=GF,，BC=AG,∠B=∠G=90° 38/79 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △ABC≌AFGA(SAS) ∴.AC=AF,∠ACB=∠FAG .∠GAF+∠BAC=∠ACB+∠BAC=90°， ∴∠FAC=90°， ∴△FAC是等腰直角三角形. (2)证明：由题意可得，AG=AD,FG=CD=AB, 如图1，过点D作DM1AG于点M,连接DG, 图1 .∠ADG=∠AGD :AD‖BC, .∠ADG=∠DGC, .∠AGD=∠DGC. 又：∠C=90°，DM⊥AG. .:DC=DM, ..FG=DM. 在△FOG和△DOM中， ∠FGO=∠DMO=90° ∠GOF=∠MOD FG=DM ∴.△FOG≌△DOM(AAS) ∴OF=OD .O是DF的中点： 39/79 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5√6519W17 (3)14或2 【分析】山证明△MBC≌FGA(SMS),则4C=F,∠ACB=∠FAG,证明∠FAC=90,即可得到结 论： (2)由题意可得，AG=AD,FG=CD=AB,如图1，过点D作DM⊥AG于点M,连接DG,证 明 FOG≌△DOM(AAS) ,即可得到OF=OD: (3)分点G在BA的延长线上和点G在AB的延长线上两种情况进行解答即可. 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：①当点G在BA的延长线上时，如图3， D B CAD‖BC ∴.AGAP∽AGBC GA AP 8AP GBBC,即148， 解得AP=32 7 PE=AE-AP=6-32_10 77· FG∥AD, AGFOAPEO, GF FO EP EO' 68+EQ 即10E0, 7 40/79 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得0=2： 在Rt△PEO中，由勾股定理得 PO=EP2+EO 9 5v65 14 ②当点G在AB的延长线上时，如图，同①可得△PDC∽aPAG, E D P B ,即 F 、PDCD PD 6 G Q PA-AG PD+88 解得PD=24 ADIFG,ADNBC. ..GF Il BC ∴∠QGF=∠GCB ∠QFG=∠GBC=90° AQFGAGBC GF FO 6 FO CB=BG,即88-6， 3 解得F0=2, EP=E1+AD+DP=6+8+24=38,E0=EF+FQ=8+3-19 22· 在RAPO,由有歌定建科0-P+0-8- 5√65.1917 综上所述，P四的长为4或2 41/79 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型五、正方形中的手拉手相似模型 典例5(25-26九年级上·甘肃兰州·期中)背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图1所示 的位置摆放（点EAD在同一条直线上），小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： D 图1 图2 图3 (1)如图2，将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转，则BE与DG的数量关系为一， 位置关系为 (直接写出答案) AE AB 1 (2)如图3，把背景中的正方形分别改成矩形AEFG和矩形ABCD,且AGAD2,AE=2,AB=5, 将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，判断BE与DG的数量关系和位置关系，并说明理由： (3)在(2)的条件下，小组发现：在旋转过程中，DE2+BG的值是定值，请求出这个定值.（直接写出 答案) 【答案】(I)BE=DG,BE⊥DG (2) BE 1 解：DG2,BE⊥DG,理由如下： 如图3，设BE与DG交于Q,BE与AG交于点P, E 图3 AE AB 1 AG=AD-2 AE=2'AB=5' ∴.AG=4,AD=10、 42/79 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,四边形AEFG和四边形ABCD为矩形， .∠EAG=∠BAD=90° .∠EAB=∠GAD AE AB 1 AGAD2' ∴.△EAB∽△GAD. BE AB 1 ÷DGAD2·∠BEA=∠AGD· ∠APE=∠GPQ ·.∠EAP=∠G0P=90°， BE⊥DG: .DE2+BG2=145 (3) 【分析】(I)延长DG交BE于M,交AB于N,由四边形ABCD、四边形EFGA为正方形，则AB=AD 4E=AG,∠B4D=∠G4E=90心，然后证明△D1G≌，B1(S4S）,再通过性质即可求解， (2)设BE与DG交于Q,BE与AG交于点P,由四边形AEFG和四边形ABCD为矩形，则 ∠EAG=∠BAD=90°，所以∠EAB=∠GAD,证明△EAB∽△GAD,然后通过相似三角形性质即可求解； (3)连接GE,BD,由(2)知，AG=4,AB=5,AD=10,由勾股定理得 EG2=AE2+AG=22+42=20,BD2=AD2+AB2=102+52-125,然后通过 DE2+BG2=DO2+QE2+0G2+0B2=EG2+BD2 即可求解. 【详解】(1)解：如图2，延长DG交BE于M,交AB于N, 图2 :四边形ABCD、四边形EFGA为正方形， .AB=AD,AE=AG,∠BAD=∠GAE=90°， 43/79 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BAE=∠DAG, △DAG≌△BAE(SAS) .BE=DG,∠ADG=∠ABE, .∠AND=∠BNM. ∴.∠BMN=∠NAD=90°， ∴BE⊥DG, 故答案是：BE=DG,BE⊥DG: (2)略 (3)解：如图3，连接GE,BD, E 图3 由(2)知，AG=4,AB=5,AD=10, .EG2=AE2+AG=22+42=20,BD2=AD2+AB2=102+52=125. 由(2)知∠GQP=90° .∠GQP=∠EQD=∠BQD=∠BQG=90° DE2+BG=DQ2+QE2+QG2+QB2=EG2+BD2=20+125=145 题型模版 1.特征：两个正方形共顶点旋转，对应边成比例且夹角为90°，证相似得线段关系。 2方法：由正方形四边相等，找公共顶点，利用两边成比例且夹角相等(90°)证相似，用比例式求解长度。 变式5-1(2026山东济南二模)【问题发现】 在一次数学探究课上，小明把正方形ABCD和正方形CEFG如图1摆放到一起，连接BE、DG,然后把正 方形CEFG绕点C顺时针旋转. 44/79 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G 图1 图2 图3 (1)小明发现，无论如何旋转，线段BE和DG的数量关系是 直线BE和DG位置关系是 (2)【类比探究】 连接AF、AC,延长BE交AF所在直线于点P,小明进一步研究发现，无论如何旋转，线段AF与线段 BE的比值及∠APB的度数也是固定的.如图2，当正方形CEFG旋转至正方形ABCD外侧且B、C、G 三点共线时. ①求线段AF与线段BE的比值及∠APB的度数： ②如图3，连接BD交4C于点0，交4F于点H,当BC=35,M=5PF时，求EC的长 【答案】(I)BE=DG,BE⊥DG 20v2450 【分析】(I)利用正方形性质得BC=CD,CE=CG,∠BCD=∠ECG=90°，证△BCE≌aDCG,推出 线段相等：再利用角的代换证垂直： (2)①证△ACF∽△BCE,得到线段比值：利用相似三角形对应角及三角形内角和求角度； ②连接 ，先求正方形对角线，利用相似得1F=V2BE,用 CF AOHP△ACF△APB∽△ABH+PFAF 求 最后由勾股定理求CE 【详解】(I)解：·四边形ABCD、CEFG是正方形， ∴BC=CD,CE=CG,∠BCD=∠ECG=90°， ∴∠BCD+∠DCE=∠GCD+∠DCE, 即∠BCE=∠DCG, 在△BCE和△DCG中： BC=CD ∠BCE=∠DCG CE=CG 45/79 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△BCE≌△DCG(SAS) ∴BE=DG 延长BE交CD于M,交DG于N, 由△BCE≌aDCG得∠CBE=∠CDG. :∠BMC=∠DMN,∠CBE+∠BMC=90°. ∴.∠CDG+∠DMN=90°， .∠DNM=90°， 即BE⊥DG, A G 图1 (2)解：①连接CF, ~四边形ABCD、CEFG是正方形， .AC=V2BCCF=V2CE∠ACB=∠FCE=45° .∴∠ACB+∠ACE=∠FCE+∠ACE, 即∠BCE=∠ACF, AC_CF= 且BC=CE ∴△ACFn△BCE, .AF_AC=V2,∠CAF=∠CBE, BEBC 设BE交AC于Q, ~∠BQC=∠A0P,∠CBE+∠BOC=135°， .∠CAF+∠AQP=135°. ∴.∠APB=45° 46/79 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 图2 ②连接CF,如图3所示， .BC=35 ,正方形MBCD, AC-BD=BC=310.04=0B=OC-OD-310 2 南0得△4C,BCEG=5,即r=5BE BE :∠AOH=∠ACF=90°，∠HAO=∠CAF, ,∴△AOH△ACF, 又AC=2AO, .AF =2AH =10PF AP=9PF '∠ABH=∠APB=45°，∠BAP=∠BAH, ∴.△APB∽△ABH, .AB2 AP.AH =9PF.5PF =45PF2, ..AB=3V5PF 又B=35 PF=1, AF=10」 在R△4CF中，CF=VAF2-AC=02-(3O=i0, CE=CF 5 47/79 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 图3 变式5-2(2026九年级下河南商丘·学业考试)如图1，在正方形ABCD中，AB=4,在AD上取一点E, 使得E=V 5,以为边作正方形MEF ,连接 BE,CF G G B E E D 图1 图2 备用图 BE (1)问题发现：CF的值是 一；直线BE,CF所夹锐角的度数是一； (2)拓展探究：如图2，正方形AEFG绕点A顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请结合图2证明； 若不成立，请说明理由； (3)解决问题：在旋转过程中，当点E到直线AB的距离为√2时，请直接写出CF的长 2 .450 【答案】(1)2 (2)结论仍然成立，见解析 6CF=36或2 BEAE√2 【分析】(I)通过证明△AEB∽△AFC,可得CFAF2,∠ABE=∠ACF,即可求解； BE AE (2)通过证明△AEB∽△AFC,可得CFAF2，∠ABE=∠ACF,即可求解： 48/79 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)分两种情况讨论，由勾股定理可求BE的长，即可求解， 【详解】(I)解：如图①，连接AF,连接AC交BE于O,延长BE交FC于H, 图① :四边形ABCD和四边形AEFG是正方形， ,.∠DAC=∠EAF=45°，∠AEF=∠ABC=∠DAB=90°，EA=EF,BA=BC AC-AB+BC-AB.AF-EEF-AE ZEAC=ZE4B:4C AB .△AEB∽△AFC. BE AE ∴CF=AF=2'LABE=LACF' 又，∠AOB=∠COE, ∴.∠BAC=∠BHC=45°， (2)解：结论仍然成立，理由如下：如图②，连接AF,连接AC交BE于O,延长BE交FC于H, G B E H D 图② :四边形ABCD和四边形AEFG是正方形， :4C=V5AB,AF=V2AE∠BAC=∠EAF=450 4E=V2=4C ∠FAC=∠EAB,AE AB· ∴.△AEB∽△AFC, 49/79 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BEAE√2 CF AF -2∠ABE=∠ACF 又：∠AOB=∠COE, ∴，∠BAC=∠BHC=45°； ()解：如图③，当点E在直线D的左鲫时，过点B作HL8于，则H=5 G B E 图③ :E=V5 :4H=VAE-EH=3-2=1 .'BH AB+AH=5, :BE=VBH+EH-2+25=35 BE√2 CF 2 :CF=36 如图@，当点B在直线1D的右侧时，过点B作EH LAB于H,则 EH =V2 B G D 图④ 4E= 50/79 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :H=VAE2-EH=3-2=1 ∴.BH=AB-AH=3, BE=BH2+EH=9+2= BE√2 :CF=2 综上所述： CF=36或2 变式5-3综合与实践 如图1，在正方形 BCD中，8=4，在BC上取一点G,使得CG=5,以cG为边作正方形 EFG,连 接AF,DG」 【问题发现】 DG (1)AF的值是 一，直线DG,AF所夹锐角的度数是 【拓展探究】 (2)如图2，正方形CEFG绕点C顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请结合图2证明；若不成 立，请说明理由、 【解决问题】 DC √2 (3)如图3，在旋转过程中，当点G到直线DC的距离为2时，请直接写出F的长. 图1 图2 图3 【答案】(1)2,45°：(2)成立，见解析：(3)36或√22 【分析】(I)连接FC,连接AC交DG于O,延长DG交AF于H,通过证明△DcC∽aAFC,可得 51/79 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DG CG 2 AFCF=2,∠FAC=∠GDC,即可求解； DG_CG (2)通过证明△DGC∽△AFC,可得AFCF 2,∠FAC=∠GDC,,,即可求解： (3)分两种情况讨论，由勾股定理可求BE的长，即可求解. 【详解】解：(1)如图1，连接FC,连接AC交DG于O,延长DG交AF于H, 图1 ,四边形ABCD和四边形CEFG是正方形， :.DA=DC,∠ADC=∠CGF=90°，GC=GF,∠ACB+∠FCG=45°+45°=90°=∠ACF AC=2DC,FC=2CG ∴由勾股定理得 ·∠ACF=∠OCG'DC ==FC CG' △DGC∽△AFC, DG CG2 ·APCF2,∠FAC=∠GDC 又：∠AOH=∠D0C, .∠AH0=∠ACD=45°， 2 故答案为：2,45： (2)结论仍然成立，理由如下：如图2，连接FC,连接AC交DG于O,延长DG交AF于H, H G 图2 ,四边形ABCD和四边形CEFG是正方形， 52/79 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .DA=DC,∠ADC=∠CGF=∠DCB=90°，GC=GF, ∠ACB+∠FCG+∠BCG=45°+45°+∠BCG=90°+∠BCG=∠ACF, 而∠DCG=∠BCD+∠BCG=90°+∠BCG, ∴∠DCG=∠ACF, AC=2DC,FC=2CG 由勾股定理得 C-5-C DC CG' ∴.aDGC∽△AFC, DG CG2 ·AF-CF=2,∠FAC=∠GDC 又：∠AOH=∠D0C, .∠AH0=∠ACD=45°， ∴结论仍然成立： GBC (3)当点在右侧，过点G作 GH L DC交DC延长线于点H,则9 GH=2 H CG=√5 ..HC=VGC2-GH =1 .DH=DC+CH=4+1=5, .DG=VGH+DH=+()-33 :0G2 AF2 AF=3V6 53/79 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当点C在BC左侧，过点9 GH⊥DC 于点H,则GH=5 B G :CG=5 ..HC=GC2-GH=1 ∴.DH=DC-CH=4-1=3, DG=VGH+DHE-3+= ,DG=2 AF=22: AF=3V6 综上所述： 同压轴挑战一文克离难压轴，突威思维上保 1.(2026安徽六安三模)在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C旋转得到△DEC,点A的对应点D 在边AB上，连接BE. E C C 图1 图2 图3 54/79 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)如图1，求证：△BCE∽aACD: (2)如图2，当BE=4,BD=3时，求AC的长： BC 4 (3)如图3，过点E作AB的平行线交AC的延长线于点F,连接DF交BC于K·当AC3时，直接写出 DK FK的值. 【答案】(I)证明：，将△ABC绕点C旋转得到△DEC,点A的对应点D在边AB上， .∠ACB=∠DCE=90°，AC=DC,BC=EC. .∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD,即∠ACD=∠BCE, “BCEC,∠ACD=∠BCE, AC DC ∴.△BCEAACD: ②4C=V5 (3)25 【分析】(1)根据旋转得到∠ACB=∠DCE=90°，AC=DC,BC=EC,结合相似三角形的判定即可求解； (2)根据旋转的性质，三角形内角和定理及相似三角形的判定得到EB⊥BD,由勾股定理得到 DE=5=AB,则AD=2,根据相似三角形的性质得到BC=2AC,在由勾股定理列式求解即可： (3)根据题意 BC=4化，AC=3x,其中x>0,由勾股定理得到4B=5x,证明 ABCD≌ECF(4SA),结 合矩形的判定得到四边形EFDB是矩形，则FD⊥AB,点C是AF的中点，所以CF=CD=CA=3x,判定 ACK,C4:得到CK-,8K=。白向段定程得到K-,正明。FCK得到 KD=21x 20, 由此即可求解。 【详解】(1)略 (2)解：：将△ABC绕点C旋转得到aDEC,点A的对应点D在边AB上， 、∠ACB=∠DCE=90°，AC=DC,BC=EC,AB=DE, :∠CAD=∠CDA,LCBE=LCEB,LABC=LDEC, 55/79 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设∠A=x, 在△ABC中，∠ABC=90°-∠A=90°-x. 由(I)△BCEACD得到，∠CBE=∠A=x, :.∠EBD=∠CBE+∠ABC=x+90°-x=90°，即EB⊥BD, 在Rt△EBD中，BE=4,BD=3, DE-VBE+BD=5=4B AD=AB-BD=5-3=2, ,△BCE△ACD. AD AC 2 1 ·BEBC42 .BC=2AC, 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2, 4C+(2AC=5 解得， AC=5 (负值舍去)： BC 4 (3)解：在Rt△ABC中，AC3, 设BC=4x,AC=3x,其中x>0, :.AB=VBC2+AC2=V4x}+(3x)}=5x. 由(2)可知，∠EBD=∠CBE+∠CBD=90°， EF∥AB, ∴，∠BEF=180°-∠EBD=180°-90°=90°， ·.LCEB+LCEF=90°， 又∠CBE=LCEB, .∠CEF=∠CBD. :∠BCD+∠BCE=90°，∠BCE+∠ECF=90° .∠BCD=∠ECF,且BC=EC, 56/79 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △BCD≌AECF(ASA) .BD=EF, 又EFIBD,∠EBD=90°， 四边形EFDB是矩形， .∠BDF=∠DFE=9O,BE=DF,则FD⊥AB, :∠A+∠AFD=∠CDA+∠CDF=90°， ∴.∠AFD=∠CDF, .CF=CD=CA=3x,即点C是AF的中点， :.在Rt△ADF中，∠AFD=90°-∠A=∠ABC,且∠FCK=∠BCA=90°， ∴.△FCK∽aBCA. FC BC 4 3x 4 ·CKAC3,即CK=3, ..Ck=9x 4.BK=BC-CK =4x-9x=7x 44 在RrCK,K=+CK-af-[ 4 ,·∠CFK=∠DBK,∠CKF=∠DKB .AFCK∽aBDK, 7x 4 KD ∴.BK_DK,即15x9x, FK CK 44 解得，KD= 21x 20, 21x DK_207 ∴.FK15x25. 4 2.(2026新疆乌鲁木齐·三模)【问题呈现】 △CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，CB=mCA,CE=mCD,连接AD,BE,探究 AD,BE的关系. 57/79 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图① 图② 图③ 【问题探究】 (I)如图1，当m=1时，直接写出AD,BE的位置关系：-；数量关系：-： (2)如图2，当m≠1时，(1)中的结论是否成立？若成立，给出证明：若不成立，说明理由； 【拓展应用】 ③当m=V5,4B=4W万，DE=4时，将△CDE绕点C旋转，使A,D,g三点给好在同一直线上，求E 的长 【答案】(I)AD⊥BE,AD=BE (②)AD⊥BE成立，AD=BE不成立，证明如下： 如图，延长BE交AD于点G, G▣ B ∠ACB=∠DCE=90° .∠DCA+∠ACE=∠ACE+∠ECB=90°， .∠DCA=∠ECB, ..CB=mCA,CE=mCD, DC_AC_1 CE BC m' ∴.ADCAAECB. AD 1 ·∠DAC=∠CBE,BEm' :.BE=mAD: ,∠AFG=∠BFC, 58/79 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠AGB=∠ACB=90°， .BE⊥AD: ③)BE=654V5 或 【分析】(1)延长BE交AD于点G,根据m=1,得出AC=BC,DC=EC,证明△DCA≌aECB,得出 ∠DAC=∠CBE,根据三角形内角和求出∠AGB=∠ACB=90°，进而求解即可： AD 1 (2)延长BE交AD于点G,证明aDC4aECB,得出∠DAC=∠CBE,BEm,根据三角形内角和求 出∠AGB=∠ACB=90°，即可证明结论： (3)分两种情况，当点E在线段AD上时，当点D在线段AE上时，分别画出图形，根据勾股定理求出结 果即可 【详解】(I)解：如图，延长BE交AD于点G, D C B ,m=1, .AC=BC,DC=EC, ,∠ACB=∠DCE=90° .∠DCA+∠ACE=∠ACE+∠ECB=90°， ∴∠DCA=∠ECB △DCA≌△ECB(SAS) .∠DAC=∠CBE,AD=BE, :∠AFG=∠BFC, ∴.∠AGB=∠ACB=90°， BE⊥AD: (2)略 (3)解：当点E在线段AD上时，连接BE,如图所示： 59/79 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设AE=x,则AD=AE+DE=x+4, 由(2)可知，△DCAPAECB, BE BC :AD AC =m=√5 :BE=5AD=5(x+4)=5x+4N5 由(2)可知，BE⊥AD, ∠AEB=90°， 根据勾股定理得：AE2+BE2=AB2, 即+3x+45=(47列. 解得：x=2或x=8(舍去)， 此时 E=V3x+43=65 当点D在线段AE上时，连接BE,如图所示： E 设AD=y,则AE=AD+DE=y+4」 由(2)可知，△DCAAECB」 BE_BC=m=3 ·ADAC BE=3AD=y 60/79 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由(2)可知，BE⊥AD, .∠AEB=90°， 根据勾股定理得：AE2+BE2=AB2, 即0+4+(5y°=(4万列. 解得：y=4或y=6(舍去)， BE=3y=43 此时 综上可知， BE=6V34V3 或 3.(25-26八年级下江苏淮安·期末)数学实验能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程， 更是培养动手能力，创新能力的一种手段.小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一 基本图形（如图①）产生了如下问题，请同学们帮他解决. 在△ABC中，点D为边AB上一点，连接CD D ① B D D ③ ④ 【初步探究】 ()如图O,在R1aABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,则△ACDn△_na· (2)如图②，若∠ACD=∠B,求证：AC2=AD·AB； 【尝试应用】 (3)如图③，在(2)的条件下，若点D为AB的中点，CB=4,求CD的长； 【创新提升】 ④如图O,点E为CB的中点，连接DE,若∠CDB=∠CBD=0,∠ACD=∠EDB,4C=75 直接写 出AD的长为_ 【答案】(I)CBD;ABC: 61/79 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)证明：：∠ACD=∠B,∠A=∠A, ∴.△ACD△ABC, AC AD ·ABAC, AC2=AD·AB; ⊙)2v2 网② 【分析】(1)根据直角三角形两锐角互余，可知∠CAD=∠BCD,即可根据两角分别相等的两个三角形相 似得到结论： (2)根据题意易得△ACD∽aABC,然后根据相似三角形对应边成比例即可解答： AD√2 (3)先由AC=AD·AB,结合点D为AB的中点，可推出AC2,进而根据△ACD∽aABC,列出比 例式即可解答： (4)取BD的中点F,连接CF、EF,根据三角形的中位线性质可知EF‖CD,CD=2EF,接着由等角 CD AD 对等边和三线合一可推出CF⊥BD,∠ADC=∠EFD=150°，从而证得△ADCAEFD,得到DFEF, D=23 EF=26 CF 然后由30度直角三角形的性质和勾股定理，结合比例式可推出 3 3 ,即可在Rt△ACF 中，利用勾股定理建立方程求得CF,进而得到AD的长. 【详解】(1)解：，∠ACB=90°，CD⊥AB, ·.∠ACB=∠ADC=∠CDB=90° ·.∠CAD+∠CBD=∠BCD+LCBD=90°， .∠CAD=∠BCD △ACDACBD ,∠CAD=∠BAC, 62/79 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△ACD∽△ABC, ,.△ACDACBD△ABC: (2)略 (3)解：由(2)可知，△ACDn△ABC,AC2=AD·AB, AD CD .AC BC' 又点D为AB的中点，即AB=2AD, AC2=AD·2AD=2AD2, nADV2 AC 2 CB=4, :CD=22 (4)解：如图，取BD的中点F,连接CF、EF, D ④ 点E为CB的中点， ∴EF是△BCD的中位线， .EF II CD,CD=2EF, ·.∠EFB=∠CDB ,∠CDB=∠CBD=30° ·CD=CB,∠EFB=∠CDB=30°， ∴CF⊥BD,∠ADC=∠EFD=180°-30°=150°， 又，∠ACD=∠EDB, ∴.△ADCP△EFD CD AD 六DFEF· 63/79 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠CFD=90°，∠CDF=30°， CD=2CF DF=CD:-CF2=3CF ..EF =CF, AD CD 2CF 2 EFDF3CF3 ÷AD-25Er2 -CF, 3 3 4F-AD+DF-25 CF+CF-55CF 3 3 在Ra1CF中，4C=75,AC2=AF2+CF2 .Cr=3 :(负值已舍)， .AD= 53√7 3 =√21. 2 4.(2026湖北武汉·一模)在△ABC中，点D在边BC上，BD=3DC.请完成下列问题： E D D C D 图1 图2 备用图 ()如图1，点G在边AB上，2GB=3AG,AD与CG交于点O.过点D作DM∥AB,交CG于点M,请 AO 直接写出图1中的两对相似三角形是 OD的值为 (2)如图2，在(I)的条件下，过点O的直线分别交边AB,AC于点E,F（点E不与A,B重合，点F 不与A,C重合). AE 4AF ①若EB3,求FC的值： 64/79 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB AC ②设AE=m,AF=”,则m'n之间满足的等量关系是 8 【答案】(ACDMS∽ACBG'△ODMAOAG:3 (2)①4；②2m+6n=11 【分析】(I)由DM∥AB可得△CDM∽aCBG,△ODMAOAG,再由相似的性质，结合aODM∽aOAG AO 即可得到OD: (2)①过点E作EL‖BC交AD于K,过点F作FL∥CD交AD于L,则△AEK∽△ABD,△AFL∽△ACD, AO AF 再由相似的性质结合OD的值计算FC即可： ②根据相比可得K-4DL-D,BK=D,F-CD,进而可得识 EK _3n m m OK= 侣日40,0L-(日)D,再由OeK0r符到2登0瓷再代入求解即可： EK_OK 【详解】(I)解：~DM‖AB .△CDM∽ACBG,△DMAOAG: DM CD GB CB 又BD=3DC, .CD1 CB4,则DM=4 又2GB=3AG, 2 DM 3 :.AG=GB,则AG8· 3 又△ODMOAG, OD DM 3 OAAG8· A08 即0D3: 65/79 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)①如图，过点E作EL BC交AD于K,过点F作FL∥CD交AD于L, C.·BD=3DC AF 设CD=a,则BD=3a,设AC=t, AE 4 EB 3, AE 4 AB7 EK∥BC,FL∥BC ∴.△AEK∽△ABD,△AFL∽aACD,∠KEO=∠LFO, 又∠EOK=∠FOL, .EOK△FOL, KO EK LO FL .'△AEKAABD. :4E=K4 AB AD BD7. ∴EK=4BD=2aAK=4AD 7， > :△AFL△ACD, AF AL FL =X, AC AD CD .FL=xa,AL=xAD, :A08 0D3 AO-AD.OD-3AD 11 11 66/79 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0=a0-4K=84D-40-号 40，oL=-40=D-景4D(-)0 11 KO EK LOFL' 12 AD 77 12 .8 7x,解得4， x=- 5 AF4 AC 5, AF FC=4: ②由①知△AEKP△ABD,△AFL∽△ACD, AE AK EK 1 AF AL LF 1 AB AD BD m'AC AD CD n AK=1AD,AL=上AD,EK=上BD,LF=CD, h n m n .BD=3DC, EK_nBD_3n LF mCD m' A0 8 由(1)知0D3: 40-840,则or-(倍D,0=L-40-日D, 11 ELBC,FL∥CD, .EK I LF, AOEK∽△OFL, 81 3n_11m EK OK m 1 8,3n 8mn-11n, “LFOL n 11 m 11m-8mn 整理得2m+6n=11。 5.(2026海南儋州二模)探究正方形、矩形背景下的线段关系及路径问题，并完成以下问题 67/79 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 图1 图2 图3 【问题发现】 (I)如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作正方形CEFG 连接DG、BE,求证：①△BEC≌△DGC: ②DG=BE: 【类比探究】 (②)如图2，四边形ABCD是矩形，AB=6,BC=10,点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右 侧作矩形CEFG,且CG:CE=3:5,连接DG、BE.判断线段DG与BE有怎样的数量关系和位置关系， 并说明理由； 【拓展提升】 (3)如图3，在(2)的条件下，当点E从点A运动到点D时，请求出点G运动路径的长度 【答案】(I)证明：①由题意可得四边形ABCD和四边形ECGF为正方形， ∴BC=CD,EC=CG,∠BCD=∠ECG=90° 又：∠BCE+∠ECD=LBCD,LECD+LDCG=∠ECG. .∠BCE=∠DCG. 在△BEC和△DCG中， 「BC=CD ∠BCE=∠DCG EC=CG △BEC≌ADGC(SAS) ②，△BEC≌△DGC, :.BE=DG 2解：BE=DG 3 DG⊥BE' 68/79 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 理由如下：延长BE、GD相交于点H,如下图： H 图2 在矩形ECGF、矩形ABCD中，∠ECG=∠BCD=90°， .LDCG=∠BCE. CD:CB=6:10=3:5,CG:CE=3:5. ..CD:CB=CG:CE, ∠DCG=∠BCE, .△BEC∽△DGC, DG CG 3 ·.BECE5,LBEC=∠DGC' .BE= 在矩形ECGF中，∠FEC=∠FGC=∠F=90°， .∠HEF+∠BEC=180°-∠FEC=90°，∠FGH+∠DGC=90° .∠HEF=∠FGH ∴∠H=∠F=90°， DG⊥BE; (3)点G的运动路径长6. 【分析】(I)①利用SAS即可证明△BEC≌△DGC;②根据全等三角形的性质即可求证； DG CG 3 (2)通过证明△BEC∽△DGC,可得BE=CE5,∠BEC=∠DGC,延长BE、GD相交于点H.因为 矩形ECGF,所以∠FEC=∠FGC=90°，所以∠HEF+∠BEC=180°-∠FEC=90°，∠FGH+∠DGC=90°， 所以∠H=∠F=90°，即可求解： (3)作EN⊥BC于N,GM⊥BC交BC的延长线于M.首先证明点G的运动轨迹为MG所在的直线，当 点E是从点A运动到D点时，点G从点H运动到点M,即可求解. 69/79 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)证明：①略：②略： 2)解：E-0 ，DG⊥BE, 证明：略： (3)解：作EN⊥BC于N,GM⊥BC交BC的延长线于M,如下图： E ==G M 图3 可得∠ENC=∠CMG=90°，∠ECN+∠MCG=∠MCG+∠CGM=90° ∴LECN=∠CGM, .aECN∽aCGM, EC EN 5 CG CM 3 ..EN=AB=6, .CM=18 ∴.点G的运动轨迹是直线MG,当点E是从点A运动到D点时， 当点E与点A重合时，BE=AB=6, 由(2)得DG=BE=18 3 J =S=DH,即H与点G重合， 当点B与点D重合时，连接DM,DM=GD+CM_6 5,BE=BD=V6+102=234. DG-3BE-34 由(2)得 5 5=DM ,即M与点G重合， ∴.点G从点H运动到点M, 又，HM=AB=6 70/79 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴，点G的运动路径长6. 6.(2026广西南宁·二模)在研究几何图形的变换规律时，常常遵循从一般到特殊、再从特殊到一般的探 究思路，通过观察猜想、严谨推理、归纳提炼，开展研究 (1)【初步感知】如图1，在正方形ABCD的内部取一点E,连接BE,将线段BE绕点B顺时针旋转9O°得 到线段BE,连接AE,CE',则AE与CE的数量关系是 :∠ABE与∠CBE'的数量关系是 E 图1 (2)【特例研究】如图2，在(1)的前提下，当∠AEB=90°时，延长AE交EC的延长线于点F,求证：四 边形BEFE'是正方形. 图2 (3)【类比探究】如图3，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,在其内部取一点E,使∠AEB=90°，将线段 BG 4 BE绕点B顺时针旋转90得到线段BE',延长BE'至点G,使BE=3,连接GC,延长GC交AE的延长 线于点F. 71/79 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G 图3 ①求证：四边形EBGF是矩形： ②连接DF,若DF=5,请直接写出FG的值. 【答案】(I)AE=CE,∠ABE=∠CBE (2)见解析 V5 (3)①见解析：② 【分析】(1)利用正方形边长相等、内角为直角，结合旋转得边相等、旋转角90°，等量代换推出夹角相 等，通过SAS证三角形全等，得出边与角的关系. (2)借助全等三角形对应角相等得到直角，结合旋转直角，判定四边形为矩形：再由旋转性质得邻边相 等，进而证出正方形， (3)①由矩形与旋转性质推出两组角相等，结合己知边长比例，证两边成比例且夹角相等，得到三角形 相似：利用相似传递直角，依据三个内角为直角判定矩形.②按比例设未知数，结合矩形性质转化线段： 作垂线构造相似三角形，把线段统一用含未知数式子表示：在直角三角形中套用勾股定理列方程求解，算 出最终线段长度， 【详解】(I)解：~四边形ABCD是正方形 .AB=BC,∠ABC=90° 由旋转性质得：BE=BE,∠EBE'=90° ,∠ABC-∠EBC=∠EBE'-∠EBC ∴.∠ABE=∠CBE 在△ABE和△CBE'中 72/79 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=BC ∠ABE=∠CBE' BE=BE' ,∴.△ABE≌ACBE'(SAS) ∴AE=CE,∠ABE=∠CBE' (2)证明：由(1)得∠AEB=∠CE'B=90° ∴.∠BE'F=90° 又∠AEB=90°，则∠FEB=90°， 由旋转知∠EBE'=90° .四边形BEFE有三个内角为直角， ∴四边形BEFE是矩形， 又：BE=BE, .矩形BEFE是正方形： (3)①证明：四边形ABCD是矩形， .∠ABC=90°， 由旋转性质得：BE=BE',∠EBE'=90°， .∠ABE+∠EBC=∠CBG+∠EBC=90°， ∠ABE=∠CBG, BG 4 己知BE3,又AB=6:BC=8, AB 6 3 AB BE BC84,即BCBG, 在△ABE与△CBG中 AB BE BC-BG ∠ABE=∠CBG ·△ABE∽△CBG ∴∠CGB=∠AEB=90° 又∠AEB=90°，可得∠FEB=90°，且∠EBG=90°， ∴.四边形EBGF三个内角均为直角， 73/79 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 四边形EBGF是矩形， ②解：设BE=3x, :BE绕点B顺时针旋转90°得到BE', :BE'=BE=3x,∠EBE'=90°， BG 4 BE'3 BG=3BE=4x, :四边形EBGF为矩形， .∴FG=BE=3x,EF=BG=4x,∠AFE=90°， 在Rt△ABE中，∠AEB=90°，AB=6, AE2=AB2-BE2=62-(3x)2=36-9x2 由勾股定理得： 过点D作DH⊥AF,垂足H落在线段AF上， B E .∠DHA=90° ~四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=90°，AD=BC=8. .∠BAE+∠DAH=90°， 又'：∠BAE+∠ABE=90°， ∴∠ABE=∠DAH, 在△ABE和△DAH中 ∠AEB=∠DHA=90 ∠ABE=∠DAH .△ABEADAH BE AE AB 6 3 ·AHDH AD84' 74/79 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AH=3BE=4x, 4 DH=AE 3 DH=164B2=16(36-9x2)=64-16x2. 9 .AF=AE+EF=AE+4x, ..HF AF-AH AE+4x-4x=AE, .HF2=AE2=36-9x2, 在Rt△DHF中，∠DHF=90°，DF=5, 由勾股定理可得：DF2=DH2+HF2, 52=(64-16x2)+(36-9x2） 25=100-25x2, x2=3, :线段长度为正数，且点E在矩形内部， x=5 .FG=3x, .FG=33 7.(2026河南开封模拟预测)综合与实践 图1 图2 备用图 【初步探究】 (L)如图1，在△ABC中，∠ACB=90,AC=2BC,M为边AB上一点，N为边AC的中点，CM⊥BN于点 AM O,则∠ACM的度数为 BM的值为. 75/79 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【类比探究】 (2②)如图2，在△ABC中，∠ACB=90,AC=BC,M为边AB上一点，N为边AC的中点，CM1BN于点 AM O.请根据题意补全图形（无需尺规作图），并仅就图2的情形，求BM的值； 【拓展延伸】 (3)在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,M为边AB上一点，N为边AC的三等分点.将△ABC沿AB所在 AM 直线翻折，点C的对应点为C',连接MN,C'M·若MN⊥CM,请直接写出BM的值. 【答案】(1)45°；2 (2)补全图形： B4M、1 BM2 AM (③)BM的值为2或5 【分折1山先证明C=4C=BC,再用三线合一得到A∠CM=45过点4作APLAC于点4，交 AM CM的延长线于点P,△AMPBMC,即可得到BM的值为2： (②)过点A作1P11C于点4，交CM的延长线于点P,证明△C1P2BCW(HMS ,得到P=CW,再 AM 1 证明AAPM∽aBCM,即可得到BM2: (③)分两种情况讨论，利用等腰直角三角形的性质、勾股定理以及全等三角形的判定和性质求解即可. 【详解】(1)解：，N是AC的中点，AC=2BC, 1 .NC=AC=BC CM⊥BN, :∠ACM=∠BCM=ACB=45 76/79 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图，过点A作AP⊥AC于点A,交CM的延长线于点P, 则∠P=∠ACM=45°， .AP=AC=2BC, :∠PAC=∠ACB=90°， AP∥BC, .△AMP∽△BMC, AM AP BM BC =2 (2)解：补全图形： A M B 如图，过点A作AP⊥AC于点A,交CM的延长线于点P, .∠PAC=90° :∠NCO+∠P=90°，∠NCO+∠BNC=90° ∴.∠P=LBNC, 在△CAP和△BCN中， 77/79 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠P=∠BNC ∠CAP=∠BCN AC=CB ∴ACAP≌△BCN(AAS) .AP=CN, :∠PAC=90°，∠ACB=90° ∠PAC+∠ACB=180°， .AP∥BC, △APM∽△BCM, AM AP CN 1 BM BC AC 2: (3)解：∠ACB=90°，AC=BC, .∠CAB=∠CBA=45°， 由折叠的性质知∠CAB=∠C'AB=45°， ∴∠CAC'=90° 由折叠的性质知△ACM≌△AC'M, ∠AC'M=∠ACM, MN⊥C'M, ∴.∠CAC=C'MW=90°， 根据四边形内角和可知，∠CNM=∠ACM=180°-∠ANM, ∴∠CNM=∠ACM, ∴.CM=MN=C'M 分别过点NC作AB的垂线，垂足分别为点P,Q, .∠NPM=∠MQC'=∠NMC'=90° :∠PNM=90°-∠PMN=LQMC', .MN =C'M, △NMP≌△MC'Q(AAS) 78/79 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设4C=3V2a AB=6a 则 CN=2AN 分两种情况：①当 时，W=2a M B 2AP=NP-AN=a CQ-48-30 2 .PM=C'0=3a, .AM=4a,BM=2a, AM_4a=2 BM 2a ②当1W=2Cw AN=2v2a 时， B AP-NP= AN=2a 同理AM=5a,BM=a, AM=50=5 BM a AM 综上可知，BM的值为2或5， 79/79函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题12相似三角形中母子型模型与手拉手模型的五类综合题型 目录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、“母子”模型（斜射影模型） 题型二、双垂直模型（射影模型） 题型三、特殊三角形中的手拉手相似模型 题型四、矩形中的手拉手相似模型 题型五、正方形中的手拉手相似模型 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型特征：母子型为直角三角形斜边上的高（双垂直)或共角共边结构：手拉手为两个相似三角形共顶 点，通过旋转或平移保持对应边成比例。 -解题方法：母子型利用射影定理(AC2=AD×AB等)；手拉手找公共顶点处两组相似比，通过比例传递 或设参列方程求线段长度。 ~易错提醒：母子型中混淆对应边（如把斜边与直角边对应）；手拉手模型找错对应顶点致相似比反置： 未验证夹角相等导致相似关系不成立。 ◆◆ 夙题型归纳 精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、“母子”模型（斜射影模型） 典例1(25-26九年级上吉林长春开学考试)如图，等边△ABC的边长为4，点D,B,C,E在同一直线上， CE=8,∠BAD=∠E 1/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B (I)求证：△ABD∽△ECA: (2)直接写出AD的长为 题型模版 1.特征：直角三角形中，斜边上的高将原三角形分成两个小直角三角形，均与原三角形相似。 2.方法：由射影定理得AC2=AD·AB、BC=BDAB、CD=ADBD,或直接用相似比例求解。 变式1-1(25-26八年级下山东东营期末)如图，在△ABC中，点P是△ABC的边AB上的一点. 小星：若∠ACP=∠B,则可证△ACP∽△ABC AP AC 小红：若AC=AB,则可证△ACP△ABC AC BC 小亮：若CP=AC,则可证△ACP∽△ABC ()请判断三人的说法的对错：小星一，小红一 一，小亮」 一.（填“对”或“错”） (②)选择一种正确的方法，求证：△ACP∽aABC: ③若ACP.ABC,且BP=AC=6,求AP的长 变式1-2(25-26九年级上吉林长春开学考试)如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠DAC=∠B.点E 在AD边上，CD=CE」 E B D (I)求证：△ABDACAE: 2/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②若AB=6,4C=9。 2,AD=5,则直接写出CD的长为 变式1-3(25-26八年级下山东泰安期末)如图，在△ABC中，∠B=∠C,点P、D分别在边BC、AC上， ∠BAP=∠CPD (I)求证：△APD∽aACP: (2)若AB=6,AD=2,求AP的长. 题型二、双垂直模型（射影模型） 典例2如图，在R△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D. D (I)求证：△ACD∽△CBD: (2)若 CD=2 BD=1 求AD 题型模版 1特征：直角三角形斜边上有两条垂直直线，形成三个相似直角三角形（母子相似）。 2.方法：利用射影定理(apc,b2=qc,h-pq)或相似比列方程，已知两边求其余。 变式21(25-26九年级上·甘肃张掖期中)射影定理：如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，如果 CD⊥AB D2=AD·BDAC2=AB·AD。BC2=AB·BD 垂足为D,那么有下列结论：① ：② ；③1 3/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D C F D B B ① ② (1)请你证明射影定理中的结论③，即BC2=AB,BD 【结论运用】请直接使用射影定理解决下面的问题. (2)如图②，在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，点E在边CD上，过点C作CF⊥BE, 垂足为F,连接OF.求证：∠BOF=∠BED 变式2-2(2025河南焦作·二模)(1)追根溯源 如图I,太阳直射在Rt△ABC上，AD为BC上的高，BD,CD,BC是位于同一条直线上的影子，则通过 ∠BAD=∠C∠B=∠B ，得到AABD AB2=BD·BC 一，进而得到 ，被称作射影定理。 (2)拓展提升 如图2，在△ABC中，点D为BC上一点，∠BAD=∠C=30°. ①求证：AB2=BD·BC: ②若AB=6,BD=3,点E为直线AC上一点，当△ECD为直角三角形时，请直接写出DE的长度. A B D D 图1 图2 变式23(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D.求证：AB2=ADAC: 4/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D 图① 图② (2)如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E,延长BE交AC于点 A8-BD-1,求D和下C的值： 、AEAF F,若BCDC (3)在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为直线BC上的动点（点D不与B,C重合），直线BE⊥AD于 AB BD AF 点E,交直线4C于点F,若BC-DC=m,请直接写出FC的所有可能的值（用含n的式子表示）· 题型三、特殊三角形中的手拉手相似模型 典例3(2026四川眉山·中考真题)【问题背景】数学活动课上，老师和学生一起探究图形的旋转性质. 己知，如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,BC=10,点D是BC边上的动点（不与点B,C 重合)，将线段AD绕点A逆时针旋转9O°得到线段AE，连接DE,CE,DE与AC交于点F. 图1 图2 图3 ()【初步探究】如图1，在点D的运动过程中，试探究CE与BD的数量关系，并说明理由. (2)【深入探究】如图2，当点D运动到CD=4时，求EF的长， MD (3)【拓展延伸】如图3，点M为ED延长线上一点，且满足MC=MF，当DC BD=kk>)时，求DF的 值（用含k的式子表示）， 题型模版 1.特征：两个相似三角形共顶点旋转，对应边成比例且夹角相等，证相似得比例关系。 2方法：找公共顶点，由己知相似得两边对应成比例且夹角相等，证新三角形相似，用比例式求解。 5/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式3-1(26-27九年级全国暑假作业)探究下列问题： 图1 图2 图3 ()【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD,CE,判断BD与CE的数量关系：- (②)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，连接BD,CE,写 出BD与CE的数量关系：- AB AD3 (③)【拓展提升】如图3，AABC和。ADE都是直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，且BC=DE=4,连接 BD BD,CE,求CE的值. 变式3-2(2026广东深圳二模)【综合探究】 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这 个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片ABC和BDE中，∠ACB=∠BDE=90°， BC=BD=6AC=DE=8,旋转角为 (0°<a<360) E D B C B 图1 图2 备用图 备用图 AE (四【初步感知】如图1，连接AE,CD:将三角形纸片BDE绕点B旋转，求CD的值： (②)【深入探究】如图2，在三角形纸片BDE绕点B旋转过程中，当点D恰好落在△ABC的中线CF的延长 线上时，延长ED交AC于点G,求CG的长： (3)【拓展延伸】在三角形纸片BDE绕点B旋转过程中，试探究A,D,E三点，能否构成以AE为直角边的 直角三角形.若能，直接写出线段AD的长度；若不能，请说明理由. 6/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式3-3(25-26八年级下·吉林期末)综合与探究 【问题背景】我们学习了三角形的中位线定理，借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，如图1，探 索小组利用这个基本图形进行了探究活动，探究发现：若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存 在特殊的数量关系，请你和探索小组一起对此进行研究，如图1，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=4, 分别取AB,AC的中点D,E,作△ADE. 图1 图2 图3 图4 BD ()初步发现：如图1，由三角形中位线构造△4DE一△ABC,可知：CE (2)猜想探究：如图2所示，将△ADE绕点A逆时针旋转，连接BD,CE.旋转过程中，线段BD和CE的 长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明， (3)结论应用：如图3，当DE所在直线首次经过点B时，则CE= (④延伸思考：如图4，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4,BC=3,分别取AB,BC的中点D,E. 作△BDE,将△BDE绕点B逆时针旋转，连接AD,CE.分别取AC,DE的中点M,N.当△BDE绕点B 旋转过程中，直接写出当△BMN面积最大时，△BDA的面积是 题型四、矩形中的手拉手相似模型 典例4(2026山东青岛模拟预测)如图1，在矩形ABCD中，AD=nAB,点M,P分别在边AB,AD上 (均不与端点重合)，且AP=nAM,以AP和AM为邻边作矩形AMNP,连接AN,CN. B B B M P P 图1 图2 图3 (I)如图2，当n=1时，BM与PD的数量关系为，CN与PD的数量关系为_· 7/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【类比探究】 (2)如图3，当n=2时，矩形AMNP绕点A顺时针旋转，连接PD,则CN与PD之间的数量关系是否发生 变化？若不变，请就图3给出证明：若变化，请写出数量关系，并就图3说明理由， 题型模版 1.特征：两个矩形或含矩形边的三角形共项点旋转，对应边成比例且夹角相等，证相似。 2方法：利用矩形对边平行且相等，找公共顶点，由边成比例及夹角相等证相似，列比例式求解。 变式41(25-26八年级下·浙江宁波期末)如图1，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AB'CD',点 B、 C、D的对应点分别为B、C'、D,延长CB交BC于点E,连结AE C 图1 图2 图3 (I)求证：AE平分∠BAB': (2)如图2，AB=3,BC=5,当C在CD的延长线上时，求BE的值： (3)如图3，连结BD,B'D',当点B'落在BD上时，B'、D'、C共线，求AB:BC的值 变式42(2026~广东汕头二模)在矩形ABCD中，AB=3,BC=4.将矩形ABCD绕点A逆时针旋转 n(0<n<90) 得到矩形AEFG,点B的对应点为点B,点C的对应点为点F,点D的对应点为点G,FE的 延长线交BC于点H. G G G H H H 图1 图2 图3 (I)如图1，求证：BH=EH; (2)连接CF,连接BE并延长交CF于点P. ①如图2，求证：BP平分CF: ②如图3，连接AP,交EF于点O,若AP平分△EFP的面积，求AP的长. 8/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式43(2026山西长治三模)综合与探究 【问题情境】 活动课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动.小星拿出两张全等的矩形纸片ABCD 和AEFG,重叠放置，矩形纸片ABCD固定不动，将矩形纸片AEFG绕点A逆时针旋转.已知AB=6, BC=8 图1 图2 备用图 (I)如图1，当点E落在边AD上，点G落在线段BA的延长线上时，连接AC,AF,CF,试判断 △ACF的形状，并说明理由. 【思考探究】 (2)如图2，当点G落在边BC上时，连接DF交AG于点O,求证：O是DF的中点. 【拓展延伸】 (3)在矩形纸片AEFG旋转的过程中，当AD∥FG时，直线CG与直线AD,EF分别交于点P,Q,请 直接写出PQ的长 题型五、正方形中的手拉手相似模型 典例5(25-26九年级上·甘肃兰州期中)背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图1所示 的位置摆放（点E、A小D在同一条直线上），小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： 图1 图2 图3 9/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)如图2，将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转，则BE与DG的数量关系为， 位置关系为 一；（直接写出答案） AE AB1 (2)如图3，把背景中的正方形分别改成矩形AEFG和矩形ABCD,且AGAD2,AE=2:AB=5, 将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，判断BE与DG的数量关系和位置关系，并说明理由： (3)在(2)的条件下，小组发现：在旋转过程中，DE2+BG的值是定值，请求出这个定值.（直接写出 答案) 题型模版 1特征：两个正方形共顶点旋转，对应边成比例且夹角为90°，证相似得线段关系。 2方法：由正方形四边相等，找公共顶点，利用两边成比例且夹角相等(90°)证相似，用比例式求解长度。 变式5-1(2026山东济南二模)【问题发现】 在一次数学探究课上，小明把正方形ABCD和正方形CEFG如图1摆放到一起，连接BE、DG,然后把正 方形CEFG绕点C顺时针旋转， G 图1 图2 图3 (I)小明发现，无论如何旋转，线段BE和DG的数量关系是 直线BE和DG位置关系是 (2)【类比探究】 连接AF、AC,延长BE交AF所在直线于点P,小明进一步研究发现，无论如何旋转，线段AF与线段 BE的比值及∠APB的度数也是固定的.如图2，当正方形CEFG旋转至正方形ABCD外侧且B、C、G 三点共线时. ①求线段AF与线段BE的比值及∠APB的度数： ②图5，在接BD交4C于点0，交4F于点片，当BC=35,=5PF时，求EC的长 变式5-2(2026九年级下河南商丘·学业考试)如图1，在正方形ABCD中，AB=4,在AD上取一点E, 使得EV5 以E为边作正方形1EFG,连接 BE,CF 10/16 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G B B E 图1 图2 备用图 BE (1)问题发现： CF的值是 直线BE,CF所夹锐角的度数是 (2)拓展探究：如图2，正方形AEFG绕点A顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请结合图2证明， 若不成立，请说明理由： (3)解决问题：在旋转过程中，当点E到直线AB的距离为√2时，请直接写出CF的长. 变式5-3综合与实践 如图1，布E方形16CD中，8=4，在C上康-点G,使得CG=5,以0为位作正方形C G,连 接AF,DG 【问题发现】 DG (1)AF的值是 直线DG,AF所夹锐角的度数是 【拓展探究】 (2)如图2，正方形CEFG绕点C顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请结合图2证明；若不成 立，请说明理由、 【解决问题】 DC (3)如图3，在旋转过程中，当点G到直线DC的距离为2时，请直接写出1F的长. 图1 图2 图3 11/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同压轴挑战一支克高难压轴，突发思维上保 1.(2026安徽六安·三模)在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C旋转得到△DEC,点A的对应点D 在边AB上，连接BE. B B C 图1 图2 图3 (I)如图1，求证：△BCE∽aACD: (2)如图2，当BE=4,BD=3时，求AC的长： BC 4 (3③)如图3，过点E作AB的平行线交AC的延长线于点F,连接DF交BC于K·当AC=3时，直接写出 DK FK的值. 2.(2026新疆乌鲁木齐·三模)【问题呈现】 △CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB=∠DCE=9O°，CB=mCA,CE=mCD,连接AD,BE,探究 AD,BE的关系. 图① 图② 图③ 【问题探究】 (I)如图1，当m=1时，直接写出AD,BE的位置关系：-；数量关系：-： (2)如图2，当m≠1时，(1)中的结论是否成立？若成立，给出证明：若不成立，说明理由： 【拓展应用】 6)当m=V5,4=47,DE=4时，将△CDE绕点C旋转，使A,D,区三点恰好在同一直线上，求BE 12/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的长 3.(25-26八年级下·江苏淮安期末)数学实验能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程， 更是培养动手能力，创新能力的一种手段.小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一 基本图形（如图①）产生了如下问题，请同学们帮他解决. 在△ABC中，点D为边AB上一点，连接CD ① ② C ③ ④ 【初步探究】 (I)如图①，在R1aABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,则△ACD△_a_、 (2)如图②，若∠ACD=∠B,求证：AC2=AD·AB: 【尝试应用】 (③)如图③，在(2)的条件下，若点D为AB的中点，CB=4,求CD的长： 【创新提升】 ④如图@，点E为CB的中点，连接DE,若∠CDB=∠CBD=30°，∠ACD=∠EDB,4C=7 CB ，直接写 出AD的长为_ 4. (2026湖北武汉·一模)在△ABC中，点D在边BC上，BD=3DC.请完成下列问题： C D D D 图1 图2 备用图 (I)如图1，点G在边AB上，2GB=3AG,AD与CG交于点O.过点D作DM∥AB,交CG于点M,请 A0 直接写出图1中的两对相似三角形是 OD的值为. 13/16 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图2，在(1)的条件下，过点O的直线分别交边AB,AC于点E,F(点E不与A,B重合，点F 不与A,C重合). AE 4 AF ①若EB=3,求FC的值： AB AC ②设Em,A行=”，则m,n之间满足的等量关系是 5.(2026海南儋州·二模)探究正方形、矩形背景下的线段关系及路径问题，并完成以下问题 D E D C 图1 图2 图3 【问题发现】 ()如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作正方形CEFG, 连接DG、BE,求证：①△BEC≌△DGC; ②DG=BE: 【类比探究】 (2)如图2，四边形ABCD是矩形，AB=6,BC=10,点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右 侧作矩形CEFG,且CG:CE=3:5,连接DG、BE.判断线段DG与BE有怎样的数量关系和位置关系， 并说明理由； 【拓展提升】 (3)如图3，在(2)的条件下，当点E从点A运动到点D时，请求出点G运动路径的长度. 6.(2026广西南宁·二模)在研究几何图形的变换规律时，常常遵循从一般到特殊、再从特殊到一般的探 究思路，通过观察猜想、严谨推理、归纳提炼，开展研究 (I)【初步感知】如图1，在正方形ABCD的内部取一点E,连接BE,将线段BE绕点B顺时针旋转90°得 到线段BE,连接AE,CE',则AE与CE的数量关系是 :∠ABE与∠CBE的数量关系是 14/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D C 图1 (②)【特例研究】如图2，在(1)的前提下，当∠AEB=90°时，延长AE交E'C的延长线于点F,求证：四 边形BEFE'是正方形. D 图2 (3)【类比探究】如图3，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,在其内部取一点E,使∠AEB=90°，将线段 BG 4 BE绕点B顺时针旋转90°得到线段BE,延长BE至点G,使BE=3,连接GC,延长GC交AE的延长 线于点F. D E 图3 ①求证：四边形EBGF是矩形： ②连接DF,若DF=5,请直接写出FG的值. 7.(2026河南开封模拟预测)综合与实践 15/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M 图1 图2 备用图 【初步探究】 (I)如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC,M为边AB上一点，N为边AC的中点，CM⊥BN于点 AM O,则∠ACM的度数为 BM的值为 【类比探究】 (②)如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,M为边AB上一点，N为边AC的中点，CM⊥BN于点 AM O.请根据题意补全图形（无需尺规作图），并仅就图2的情形，求BM的值： 【拓展延伸】 (③)在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,M为边AB上一点，N为边AC的三等分点.将△ABC沿AB所在 AM 直线翻折，点C的对应点为C',连接MN,CM·若MN⊥CM,请直接写出BM的值. 16/16