专题03 相似三角形的基本模型（题型专练）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 该专项聚焦相似三角形五大核心模型，通过“基础知识-思维路径-关键技巧-易错提醒”四阶方法体系，构建从模型识别到问题解决的完整逻辑链，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A字型|1典例+3变式|平行/共角A字判定，比例线段转换，面积比应用|从平行性质到共角相似，构建“位置关系→角关系→比例”推导链| |8字型|1典例+3变式|平行/对顶8字相似判定，等积式转化|以交点为核心，通过平行或对顶角+角/边条件建立相似，强化比例交叉应用| |母子型|1典例+3变式|直角三角形斜高三组相似及等积式推导|基于AA相似原理，推导三组相似关系，突出等积式“先证后用”逻辑| |一线三等角|1典例+3变式|K字/等腰型相似构造，坐标差列方程|以“同线等角”为切入点，通过辅助线构建相似，培养坐标几何转化能力| |手拉手模型|1典例+3变式|共点等腰三角形SAS相似判定，旋转角处理|从“边比+夹角”双条件出发，通过旋转不变性推导相似，发展空间观念|

可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03相似三角形的基本模型 (题型突破举一反三) 目录 题型01A字型 题型028字型 题型03母子型 题型04一线三等角 题型05手拉手模型 题型01A字型 解题必备 AD AE DE 基础知识：平行A字型核心比例B-AC-BC-大：共角A字型需先由“一组公共角∠A+一组旁角等” 走AA。 思维路径：见D在AB上、E在AC上、DE与BC共线趋势→先查DE∥BC否（是则平行A,直接写比例）； 不平行则找“∠ADE=∠B”或“∠AED=∠C”→共角A。 关键技巧： ADAEk C是高频转换（由=k推，DB=AB一AD):问“梯形DBCE面积 S楼=Sc(1-k2）. 易错提醒：共角A的顶点对应容易乱一一∠A对∠A,∠D对∠B,∠E对∠C,写结论必须△ADE∽△ABC (不是△ADE∽△ACB,除非∠ADE=∠C才换)。 D 典例精析 1/12 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【典例1】(25-26八年级下·山东烟台期末)如图，△ABC中，∠ABC=90°，直尺的一边与BC重合， 另一边与AB,AC分别交于D,E两点，B,C,D,E处的读数分别为20,17,0,1（单位：cm).若直尺的宽 为l.8cm,则AB的长度是() D E mmxummmm 0 1 LI B C A.2.2cm B.2.4cm C.2.7cm D.2.8cm E 举一反目 【变式1-1】(2026安徽蚌埠三模)如图，BD,CE分别是△ABC的中线，BD与CE相交于点O,点 M,N分别在BO,CO上，四边形EMND是平行四边形.若BD=6,则BM的长度为() E D M B A.1 B.2 C.3 D.4 【变式1-2】(25-26七年级下·四川达州期末)如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AB=12,AC=11, 点D为AB边上一动点，点E在AC边上，DE∥BC,将△ADE沿DE翻折，点A的对应点为F,连接 BF.当△BDF为直角三角形时，AE的长为， B 【变式1-3】(25-26八年级下·吉林长春·期末)【教材呈现】 关于“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.”这一性质，教材给出两种不同的证 明方法. 己知：如图①，在△ABC中，点D,E分别是AB和AC的中点. 2/12 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 求证：DE 方法一：如图②，过点C作CF∥AB,且与DE的延长线交于点F.由平行线性质和己知条件，可以 T明：1DEe,CPE:从而推出四边形BCFD是平行四边形、可得DE”BC,DE=BF-8C。 方法二：如图①，利用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△ADE一△ABC,再利用 “相似三角形的对应边成比例，对应角相等”，可得DE∥BC,DE=2BC. 2 D D B 图① 图② D D M H B 图③ 图④ (1)请按照方法二写出完整证明过程. 证明： (2)【结论应用】如图③，在四边形ABCD中，AD=BC,点P是对角线BD的中点，点M、N分别是 DC、AB中点，∠MPN=118°，则∠PNM的度数是 (3)【拓展延伸】如图④，在四边形ABCD中，AC⊥BD,且AC=BD=8,点H、Q分别是AD、BC 的中点，则H0的长度是_ 题型028字型 解题必备 OA OBAB 基础知识：平行8字型核心比例0C=ODcD k；对顶8字型若无平行，需补“一组角相等+另一组角 或对顶角+边比”走AA或SAS。 思维路径：见两直线AB、CD交于O,且AB、CD各自两端点连线→先看有无平行（有则平行8，AA秒 杀)；无平行则扫“对顶己免费十还差一组角或两组边比”。 3/12 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 OA OB 关键技巧：平行8字型里0AOD=OB.OC这类等积式常考（由0C=OD交叉乘），看到“OA:OD=?” 先想到8字比例。 易错提醒：8字里“OA对应OC还是OD”看夹角一一∠AOB的夹边是OA、OB,∠COD的夹边是OC、O D,所以OAOC、OBOD,不要顺着字母排OAOD。 E 典例精析 【典例2】(25-26八年级下山东烟台期末)如图，铁路道口的栏杆短臂长1.2m,长臂长3.8m.当短 臂端点下降0.6m时，长臂端点上升（杆的宽度忽略不计）的高度是」 3.8m 0.6m 777777777777777777777777777 举一反三 BE 3 【变式21】(2026四川雅安一模)如图，在平行四边形4BCD中，CE5,DE交4C于点P,那 DE 么EF的值是 D 【变式2-2】(25-26九年级上广东茂名·阶段检测)【综合与实践】主题：X型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB,CD相交于点O,经 测量，得到AB=CD=136cm,OA=OC=51cm,OE=OF=34cm,现将晒衣架完全稳固张开，横杆链EF 成一条线段，测得EF=32cm, 4/12 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 (I)晒衣架完全稳固张开时，连接AC,证明：AC‖EF: (②)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地 面上？ 【变式2-3】(25-26八年级下江苏苏州期末)【项目式学习】 项目主题：学科融合一一用数学眼光观察世界 项目背景：学习完《相似图形》后，某学校科学小组的同学尝试用数学知识和方法研究物理光学问题 AM B 图1 图2 (1)我国古代墨子对光的直线传播、光的反射和小孔成像进行了研究.如图1，已知物体AB与其像AB 平行.小孔O到AB的距离OE=20cm,到AB的距离OF=16cm,物体AB的长为24cm,求像AB' 的长： 【项目任务二】 (2)人类对凸透镜特性的认知，最早源于对自然现象的观察与实践.如图2，在光路图中，直线表示光 轴，MN表示凸透镜(MN⊥光轴l),点O为光心，F为凸透镜的焦点.入射光线AE川光轴I,折射 光线EC经过焦点F,CD为物体AB经透镜所成的像(AB⊥光轴l,CD⊥光轴I).请写出物距BO、 焦距OF及像距OD之间的数量关系并说明理由， 题型03母子型 解题必备 基础知识：三组相似由AA推：△ACD与△ABC共∠A+都有直角；△CBD与△ABC共∠B+都有直角； △ACD与△CBD各有∠ACD=∠B、∠BCD=∠A。 衍生等积式（需现场推，不当定理套）： 5/12 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1. AC2=AD·DB(由△ACD∽△ABC) 2. BC2=BD·AB(由△CBD∽△ABC) 3. CD=AD·BD(由△ACD∽△CBD) 思维路径：见Rt△十斜边上高一立刻标三组相似→按所求线段选对应比例式。求AC用AC2=AD·DB;求 AD CD用CD'=AD·BD:求比值BD用AC2:BC 易错提醒：这三组等积式必须现场由AA证出才能用，答题直接写不给分。 D E 典例精析 【典例3】(2026·安徽蚌埠·三模)将△ABC和△ADE按如图所示的位置摆放，∠BAC=∠ADE=90°， AB=AC=AD=DE,则下列说法一定正确的是() A.AG2=FG.BG B.AF=FG C.△BAF∽△CAG D.∠BAF=∠AGF 三举一反目 【变式3-1】(25-26八年级下山东泰安期末)解决下列问题： D D B E C 图1 图2 (I)如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD=∠B.求证：AC2=AD·AB: (2)如图2，在oABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE=∠A.若BF=6,BE=4,求 6/12 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AD的长. 【变式32】(25-26八年级下山东泰安期末)已知，如图，在△ABC中，D是AC上的一点，∠CBD 的平分线交AC于点E,AE=AB=12,AD=9 (1)求AC的长： (2)若DF∥BC交AB于点F,求BF的长. 【变式33】(25-26八年级下·江苏苏州期末)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是边BC的中 点，连接AD,作BE⊥AD,垂足为E,连接CE. (I)求证：△DBEADAB: S△E=1 ②若3Anmc5,CE=2求4C的长. 1题型04一线三等角 解题必备 基础知识：“一线三等角”→两头的两个三角形相似。最常见两种：①直角型（三个90°，也叫K字型，坐 标里求点常用)；②等腰型（三个a,a任意，等腰Rt时a=45°是特例）。 思维路径（坐标背景最典型）：已知点A(:,y)、B(x2)在x轴上，C在直线上方，∠ACB=90°，CA= CB→构K字：过A作竖直线、过B作竖直线，与过C的水平线交→△ACD∽△BEC(D、E为垂足)，由 对应边比求C坐标。 AD CD 关键技巧：K字型在坐标求未知点时极好用一一竖对竖、横对横，CEBE,而AD、CE、CD、BE正好 是坐标差，列方程解。 易错提醒：三个等角必须在“同一直线的同侧”构三角形才相似；若一左一右则变成“一线三直角但反K”, 比例式要调对应边(AD对应BE,CD对应CE)。 7/12 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 典例精析 【典例4】(25-26八年级下山东泰安·期末)如图，在△ABC中，AB=AC=8,BC=7,点D是边 BC上一点，BD=4,点E在边AC上.若∠ADE=∠C,则CE的长为() E A.0.5 B.1 c.1.5 D.2 举一反王 【变式41】(25-26八年级下·山东淄博期末)如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AB的中点， 点F在AD上，EF⊥EC,则△CEF的面积为() E B A.5 B.6 C.8 D.10 【变式42】(25-26八年级下·江苏苏州期末)如图，在矩形ABCD中，过点A作AE⊥BD,垂足为 F,交BC于点E,CE=3BE,下列结论： ①△BEF∽△DBA;②3BF=DF; ③EFCD=I2V5;④阳边形CDFE S△ABr=92, 其中正确的结论有() 8/12 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D h B E A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【变式43】(25-26八年级下·山东烟台期末)探究不同情境，回答下面问题： A D 图1 图2 图3 (I)【观察与猜想】如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，连接DE与CF交于点 O,若∠EOC=90°，则DE和CF的数量关系是-； (2)【观察与猜想】如图2，在矩形ABCD中，AD:CD=3:2,点E、F分别在边AB、AD上，连接 DE与CF交于点O,若∠EOC=9O°，请猜想DE和CF的数量关系并进行证明： (3)【类比探究】如图3，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，连接DE与CF交于 DE AD 点0O:当∠EOC=∠A时，求证：CF=AB 小颖同学通过对比图2，发现图3中△ADE和△DCF并不相似，经过思考，提出了如下问题：能否构造 DE 以DE和CF为对应边的相似三角形来转化CF呢？请你根据小颍的思考完成证明，也可以用其他思路 完成证明. 题型05手拉手模型 E 解题必备 基础知识：共点十两组边成比例十夹角相等（即“共顶角的两个等腰三角形”）→SAS判相似。核心推导： AB AD AC AE (等腰比)十∠BAC=∠DAE→两边减公共∠DAC得∠BAD=∠CAE→△ABD∽△ACE 思维路径：见两个三角形共一个顶点、且各自有“两边比固定”（等腰、等边、正方形半角都符合）→先写 AB AD AC AE →再证夹角等（加减公共角）→SAS。 典型载体：正方形ABCD内一点E,∠EAD=∠EDC=I5°类；等边△ABC外一点D构等边△ADE类；等腰 9/12 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 三角形+旋转3045°类。 易错提醒：夹角是∠BAD与∠CAE,不是∠BAC与∠DAE直接对应（要通过”减公共角"这一步过渡，学生 常跳步)。 B 典例精析 【典例5】(2026广东深圳二模)【综合探究】 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个项点，然后将其中一个纸片 绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片ABC和BDE中，∠ACB=∠BDE=90°， BC=BD=6,AC=DE=8,旋转角为a(0°<a<360)」 B 图1 图2 备用图 备用图 AE (四【初步感知】如图L,连接AE,CD:将三角形纸片BDE绕点B旋转，求CD的值： (2)【深入探究】如图2，在三角形纸片BDE绕点B旋转过程中，当点D恰好落在△ABC的中线CF的延 长线上时，延长ED交AC于点G,求CG的长； (3)【拓展延伸】在三角形纸片BDE绕点B旋转过程中，试探究A,D,E三点，能否构成以AE为直角 边的直角三角形.若能，直接写出线段AD的长度；若不能，请说明理由， 三举一反目 【变式51】(2026江苏宿迁·一模)按要求解答问题： (I)【问题背景】已知D、E分别是△ABC的AB边和AC边上的点，且DE∥BC,则△ABC∽△ADE,把 △ADE绕着点A逆时针方向旋转，连接BD和CE,如图2，找出图中的另外一组相似三角形 一；并加以证明， 10112 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 (②)【迁移应用】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=0°，AB=V5,AC=5,D、E、M分别是AB、 AC、BC中点，连接DE. D B M ①如图，把Rt△ADE绕着点A逆时针方向旋转，在旋转过程中直接写出线段CE和BD始终存在的位置 关系和数量关系： B ②把Rt△ADE绕着点A逆时针方向旋转到如图所在的位置，连接CD和CE,取CD中点N,连接MN, 若MW=V3,求CE的长. D B (3)【创新应用】如图：AB=AC=AE=5,BC=2,△ADE是直角三角形，∠DAE=90°，将△ADE BF 2 绕着点A旋转，连接BE?P是BE上一点，BE5,连接CF,请直接写出CF的取值范围. E B 【变式5-2】(25-26九年级上·福建福州期中)综合与实践 在综合实践课上，老师组织同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动，下面是同学们进行相关问 11/12 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 题的研究：如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=9O°，点D是BC的中点，作正方形DEFG, 使点A,C分别在DG和DE上，连接AE,BG G D B D B D 图1 图2 备用图 (I)试猜想线段BG与AE的数量和位置关系为一： (2)将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度（旋转角度大于0°，小于或等于360°）.如图2， 在旋转过程中，请判断(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理 由： (3)在图2中，若BC=6,DG=9,AG=4N5,过点G作△BDG中BD边的高线，与DB的延长线交于点 P,请直接写出PD的长。 【变式53】(25-26九年级上浙江金华期中)数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重 合放置，固定顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质，已知三角形纸片 ABC和ADE中，AB=AD=2,BC=DE=4，,∠ABC=∠ADE=90° B 图1 图2 备用图 BD (四)如图L,连接BD:CE,在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究CE的值. (2)如图2，在纸片ADE绕点A旋转过程中，当点D恰好落在△ABC的中线BF上时，求DF的长， (3)在纸片ADE绕点A旋转过程中，连接CD,CE,试探究当∠DCE与△ABC一个内角相等时，求CE 的长 12112 专题03 相似三角形的基本模型 （题型突破·举一反三） 题型01 A字型 题型02 8字型 题型03 母子型 题型04 一线三等角 题型05 手拉手模型 ▌题型01 A字型 基础知识：平行A字型核心比例；共角A字型需先由“一组公共角∠A＋一组旁角等”走AA。 思维路径：见D在AB上、E在AC上、DE与BC共线趋势→先查DE∥BC否（是则平行A，直接写比例）；不平行则找“∠ADE＝∠B”或“∠AED＝∠C”→共角A。 关键技巧：是高频转换（由推，DB＝AB－AD）；问“梯形DBCE面积”时，用。 易错提醒：共角A的顶点对应容易乱——∠A对∠A，∠D对∠B，∠E对∠C，写结论必须△ADE∽△ABC（不是△ADE∽△ACB，除非∠ADE＝∠C才换）。 【典例1】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，中，，直尺的一边与重合，另一边与分别交于两点，处的读数分别为（单位：）．若直尺的宽为，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行判定两个三角形相似，利用相似三角形对应边成比例的性质，求出线段的长度． 【详解】解：由题意可知：，，，， ∴， ∴，即， 解得：． 【变式1-1】（2026·安徽蚌埠·三模）如图，，分别是的中线，与相交于点O，点M，N分别在上，四边形是平行四边形．若，则的长度为（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理得出，，根据平行四边形的性质得出，，，进而得出，，证明可得出，即可求解． 【详解】解：∵，分别是边，上的中线， ∴是的中位线， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1-2】（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，，，，点D为边上一动点，点E在边上，，将沿翻折，点A的对应点为F，连接．当为直角三角形时，的长为__________________． 【答案】或 【分析】根据题意分两种情况，根据折叠的性质分别求出的长，再证明，进而可知的长． 【详解】解析：∵， ∵将沿翻折，点的对应点为， 如图，当时，点在内， ∵， ∴， ∴， 由折叠得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴； 当时，点F在外， 同理可得， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴； 综上所述，的长为或． 【变式1-3】（25-26八年级下·吉林长春·期末）【教材呈现】 关于“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．”这一性质，教材给出两种不同的证明方法． 已知：如图①，在中，点分别是和的中点． 求证：． 方法一：如图②，过点作，且与的延长线交于点．由平行线性质和已知条件，可以证明，从而推出四边形是平行四边形，可得． 方法二：如图①，利用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明，再利用“相似三角形的对应边成比例，对应角相等”，可得，． (1)请按照方法二写出完整证明过程． 证明： (2)【结论应用】如图③，在四边形中，，点是对角线的中点，点、分别是、中点，，则的度数是_． (3)【拓展延伸】如图④，在四边形中，，且，点、分别是、的中点，则的长度是_． 【答案】(1)证明：∵点分别是和的中点， ∴， ∴ ， ， ∴， ∴， ， ∴，； (2) (3) 【分析】本题考查了中位线的运用，难点不大，掌握中位线性质即可求解； （1）利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可求解； （2）根据中位线性质可得是等腰三角形，即可求解； （3）在上取中点，连接，得是等腰直角三角形，即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：∵点是对角线的中点，点、分别是、中点， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴是等腰三角形， ∵， ∴； （3）解：如图，在上取中点，连接 ， ∵点、分别是、的中点，， ∴ ， ， ∵， ∴ ， ∴ . ▌题型02 8字型 基础知识：平行8字型核心比例；对顶8字型若无平行，需补“一组角相等＋另一组角或对顶角＋边比”走AA或SAS。 思维路径：见两直线AB、CD交于O，且AB、CD各自两端点连线→先看有无平行（有则平行8，AA秒杀）；无平行则扫“对顶已免费＋还差一组角或两组边比”。 关键技巧：平行8字型里这类等积式常考（由交叉乘），看到“”先想到8字比例。 易错提醒：8字里“OA对应OC还是OD”看夹角——∠AOB的夹边是OA、OB，∠COD的夹边是OC、OD，所以OA↔OC、OB↔OD，不要顺着字母排OA↔OD。 【典例2】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，铁路道口的栏杆短臂长，长臂长．当短臂端点下降时，长臂端点上升（杆的宽度忽略不计）的高度是________ ． 【答案】 【分析】先判断栏杆长短臂在升降过程中将形成两个相似三角形，再列方程求解即可． 【详解】解：设长臂端点升高x米， 由题意可知，栏杆长短臂在升降过程中将形成两个相似三角形， 则， 解得， 即长臂端点上升（杆的宽度忽略不计）的高度是． 【变式2-1】（2026·四川雅安·一模）如图，在平行四边形中，，交于点F，那么的值是______． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质得到，从而证得，利用相似三角形对应边成比例及已知线段比即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2-2】（25-26九年级上·广东茂名·阶段检测）【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (2)连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上 【分析】（1）根据，得出，根据可得，根据相似三角形的性质得出，即可证明； （2）过点作于，过点作于，根据等腰三角形“三线合一”的性质及勾股定理求出，根据，证明，得出，即可证明，根据相似三角形的性质求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：略 （2）解：如图，过点作于，过点作于， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上． 【变式2-3】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）【项目式学习】 项目主题：学科融合——用数学眼光观察世界 项目背景：学习完《相似图形》后，某学校科学小组的同学尝试用数学知识和方法研究物理光学问题 (1)我国古代墨子对光的直线传播、光的反射和小孔成像进行了研究．如图1，已知物体与其像平行．小孔到的距离，到的距离，物体的长为，求像的长； 【项目任务二】 (2)人类对凸透镜特性的认知，最早源于对自然现象的观察与实践．如图2，在光路图中，直线表示光轴，表示凸透镜（光轴），点为光心，为凸透镜的焦点．入射光线光轴，折射光线经过焦点，为物体经透镜所成的像（光轴，光轴）．请写出物距、焦距及像距之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2)解：，理由如下： ∵光轴，光轴，光轴， ∴（F为右侧的那点，下面一样）， ∵光轴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可证明， ∴，即， ∴． 【分析】（1）证明，得到，据此代入数值计算即可； （2）证明四边形是矩形，得到，证明，得到，证明，得到，则可得到． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 答：像的长为； （2）略 ▌题型03 母子型 基础知识：三组相似由AA推：△ACD与△ABC共∠A＋都有直角；△CBD与△ABC共∠B＋都有直角；△ACD与△CBD各有∠ACD＝∠B、∠BCD＝∠A。 衍生等积式（需现场推，不当定理套）： 1. （由△ACD∽△ABC） 2. （由△CBD∽△ABC） 3. （由△ACD∽△CBD） 思维路径：见Rt△＋斜边上高→立刻标三组相似→按所求线段选对应比例式。求AC用；求CD用；求比值用 易错提醒：这三组等积式必须现场由AA证出才能用，答题直接写不给分。 【典例3】（2026·安徽蚌埠·三模）将和按如图所示的位置摆放，，，则下列说法一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的判定，解答即可； 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴．故A正确． 由题意可知，，， ∴不一定等于． ∴不一定等于．故B错误． ∵无法判断和是否相等， ∴无法判断与是否相似，故C错误． ，，但的大小无法判断， ∴与不一定相等，故D错误． 【变式3-1】（25-26八年级下·山东泰安·期末）解决下列问题： (1)如图1，在中，D为上一点，．求证：； (2)如图2，在中，E为上一点，F为延长线上一点，．若，求的长． 【答案】(1)证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴． (2)9 【分析】（1）证出即可； （2）先得出，再证出，求出的长，由此即可得． 【详解】（1）证明：略． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 又∵， ∴． 【变式3-2】（25-26八年级下·山东泰安·期末）已知，如图，在中，是上的一点，的平分线交于点． (1)求的长； (2)若交于点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平分得，由等腰三角形的性质得，可得，即可证明，得到，求解即可； （2）由平行线的性质得到，有代入求得，结合即可． 【详解】（1）解：平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ，， ∴， ∴； （2）， ∴， ∵， ∴， ∴， ，，， ∴， ∴， ∴． 【变式3-3】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，是边的中点，连接，作，垂足为E，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． (2) 【分析】（1）得出，根据两角分别相等的两个三角形相似即可得证； （2）先证出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】（1）证明：略． （2）解：∵是边的中点， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，即， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）． ▌题型04 一线三等角 基础知识：“一线三等角”→两头的两个三角形相似。最常见两种：①直角型（三个90°，也叫K字型，坐标里求点常用）；②等腰型（三个α，α任意，等腰Rt时α＝45°是特例）。 思维路径（坐标背景最典型）：已知点A、B在x轴上，C在直线上方，∠ACB＝90°，CA＝CB→构K字：过A作竖直线、过B作竖直线，与过C的水平线交→△ACD∽△BEC（D、E为垂足），由对应边比求C坐标。 关键技巧：K字型在坐标求未知点时极好用——竖对竖、横对横，，而AD、CE、CD、BE正好是坐标差，列方程解。 易错提醒：​三个等角必须在“同一直线的同侧”构三角形才相似；若一左一右则变成“一线三直角但反K”，比例式要调对应边（AD对应BE，CD对应CE）。 【典例4】（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在中，，，点是边上一点，，点在边上．若，则的长为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】求出的长，证明得到，据此代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【变式4-1】（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，正方形的边长为，点为的中点，点在上，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据四边形为正方形，得出，，勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质求出，即可求出的面积． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∵为的中点， ， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ， ∴，即， ∴， ∴的面积． 【变式4-2】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在矩形中，过点作，垂足为，交于点，，下列结论： ①；②； ③；④， 其中正确的结论有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】设，则，利用相似三角形得出线段比例关系，结合勾股定理和面积公式逐一判断结论. 【详解】解：设， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ，故①正确； ， ， ，即，故②错误； ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ，解得， ， ， 在中，， ，故③正确； 在中，， ， ，， ， ，故④错误； 综上所述，正确的结论有①③，共2个. 【变式4-3】（25-26八年级下·山东烟台·期末）探究不同情境，回答下面问题： (1)【观察与猜想】如图，在正方形中，点、分别在边、上，连接与交于点，若，则和的数量关系是_； (2)【观察与猜想】如图，在矩形中，，点、分别在边、上，连接与交于点，若，请猜想和的数量关系并进行证明； (3)【类比探究】如图，在平行四边形中，点、分别在边、上，连接与交于点，当时，求证：． 小颖同学通过对比图，发现图中和并不相似，经过思考，提出了如下问题：能否构造以和为对应边的相似三角形来转化呢？请你根据小颖的思考完成证明，也可以用其他思路完成证明． 【答案】(1) (2)，证明如下：如图， ∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． (3)证明方法不唯一，例如： 方法1：以点为圆心，为半径画弧交于点， 则， ∴， 由平行四边形得， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 方法2：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）根据三角形全等对应边相等即可． （2）根据三角形相似对应边成比例求解即可． （3）根据三角形相似对应边成比例求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形， ∴，， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴． （2）略 （3）略 ▌题型05 手拉手模型 基础知识：共点＋两组边成比例＋夹角相等（即“共顶角的两个等腰三角形”）→SAS判相似。核心推导：（等腰比）＋∠BAC＝∠DAE→两边减公共∠DAC得∠BAD＝∠CAE→△ABD∽△ACE。 思维路径：见两个三角形共一个顶点、且各自有“两边比固定”（等腰、等边、正方形半角都符合）→先写→再证夹角等（加减公共角）→SAS。 典型载体：正方形ABCD内一点E，∠EAD＝∠EDC＝15°类；等边△ABC外一点D构等边△ADE类；等腰三角形＋旋转30°/45°类。 易错提醒：夹角是∠BAD与∠CAE，不是∠BAC与∠DAE直接对应（要通过"减公共角"这一步过渡，学生常跳步）。 【典例5】（2026·广东深圳·二模）【综合探究】 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为． (1)【初步感知】如图1，连接，，将三角形纸片绕点旋转，求的值； (2)【深入探究】如图2，在三角形纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长； (3)【拓展延伸】在三角形纸片绕点旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以为直角边的直角三角形．若能，直接写出线段的长度；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能，的长是或 【分析】（1）证明即可解答； （2）如图， 通过延长交于点，连接，得到四边形为矩形，设，先根据相似得，再证明三角形全等得，由勾股定理列方程即可解答； （3）分两种情况：如图和图，分别根据相似三角形和勾股定理即可解答． 【详解】（1）解： ∴， 由旋转得：， ， ， ∴； （2）如图2， 延长交于，连接交于， 由（1）知：， ∴， ∵是中线，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形， ∴，， ∵， ∴， 设， ∵， ， ∴， ， ， ，， ∴， ， 由勾股定理得：，即 解得， ； ∴ （3）分两种情况：①如图3，，过点作于，过点作于， ， ∴四边形是矩形， ， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ，即 ， ， 中，， ， 解得：(负值舍)， ∵， 即 ， ； ②如图，，过点作于， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， 由勾股定理得：； 综上，的长是或． 【变式5-1】（2026·江苏宿迁·一模）按要求解答问题： (1)【问题背景】已知D、E分别是的边和边上的点，且，则，把绕着点A逆时针方向旋转，连接和．如图2，找出图中的另外一组相似三角形__________；并加以证明． (2)【迁移应用】如图，在中，，，，D、E、M分别是、、中点，连接． ①如图，把绕着点A逆时针方向旋转，在旋转过程中直接写出线段和始终存在的位置关系和数量关系：__________、__________； ②把绕着点A逆时针方向旋转到如图所在的位置，连接和，取中点N，连接，若，求的长． (3)【创新应用】如图：，，是直角三角形，，将绕着点A旋转，连接，F是上一点，，连接，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①；；② (3) 【分析】（1）利用两边成比例夹角相等的两个三角形相似及相似三角形的性质； （2）①利用相似三角形的性质证明与之间的关系，本题即可求解； ②连接，利用相似三角形的性质求出，再利用三角形的中位线的性质，求解即可； （3）过点作，过点作，连接，证明，求出与本题即可求解． 【详解】（1）解：如图，， ， ， ， 又， ， ； （2）解：①如图，在中， ， ， ， 又， ． 如图，延长与相交于点，与相交于点， ， ， 又， ， ， ， 又， ， ， 即，． 故答案为：；； ②如图，连接， ， ， 又， ， ， 又∵M是的中点，N是的中点， ； ； （3）解：如图，过点作，过点作，连接， ，， ， ， 又， ， ， ， ， ， 即． 【变式5-2】（25-26九年级上·福建福州·期中）综合与实践 在综合实践课上，老师组织同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动，下面是同学们进行相关问题的研究：如图1，已知是等腰直角三角形，，点D是的中点，作正方形，使点A，C分别在和上，连接． (1)试猜想线段与的数量和位置关系为______； (2)将正方形绕点D逆时针方向旋转一定角度（旋转角度大于，小于或等于）．如图2，在旋转过程中，请判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由； (3)在图2中，若，，过点G作中边的高线，与的延长线交于点P，请直接写出的长． 【答案】(1)， (2)成立，理由见解析 (3) 【分析】（1）如图1，延长交于，由等腰直角三角形的性质及正方形的性质可以得出，进而利用全等三角形的性质，结合三角形的内角和定理得出结论； （2）如图2，连接，延长交于点K，交于点O，由等腰直角三角形的性质及正方形的性质可以得出，进而利用全等三角形的性质，结合三角形的内角和定理得出结论； （3）如图2，过点G作中边的高线，与的延长线交于点P，过A作于，先根据等腰直角三角形和正方形的性质得到，，设，由勾股定理可得，然后解方程得到，，证明，得，进而求得即可． 【详解】（1）解：，． 理由：如图1，延长交于． 是等腰直角三角形，，点是的中点， ，， ． 四边形是正方形， ． 在和中， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：，； （2）解：成立，连接，延长交于点K，交于点O， 在中，，点D是的中点， ∴，， ∴， 又∵四边形是正方形， ∴，且， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （3）解： 如图，过A作于， ∵是等腰直角三角形，，点是的中点，， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：，即， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质、正方形性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加合适辅助线是解答的关键． 【变式5-3】（25-26九年级上·浙江金华·期中）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质，已知三角形纸片和中，，，．    (1)如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值． (2)如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线上时，求的长． (3)在纸片绕点旋转过程中，连接，，试探究当与一个内角相等时，求的长． 【答案】(1) (2) (3)，， 【分析】（1）由旋转知，求得，根据，证明，利用相似比求解即可； （2）借助旋转所得的全等三角形证明，借助辅助线的垂直性质证得，进而借助相似比求解； （3）将固定绕点旋转问题转化为，将固定，绕点旋转，分别讨论于的三个内角相等时的情况，借助相似三角形研究． 【详解】（1）解：在中，， ， ， 由题意知，， ， 即， ， 又， ， ． （2）如图所示，连接，过点作， 由题意知，， ， 即， ， 又， ， ， 又为的中线，， ， ， ， 即， 又， 四边形为矩形， ， ， ， 由可得， ， ， ．    （3）在纸片绕点旋转过程中研究，相当于将固定，绕点旋转． ①如图所示，当时， 过点作，， ， ， 又， ， ， 又， ， 为矩形， ， 故， ， 为等腰直角三角形， ，，    ②当时， 过点作于，过点作于，过点作于， ， ， ， ， ， 由于，，， 四边形为矩形， 设，，则，， ，， ， ， ， ，，， 在和中， ，， ， 解得， ，为等腰直角三角形， ，， 由于，， ．    ③当时， 过点作于，过点作于，过点作于， ， ， ， ， ， 由于，，， 四边形为矩形， 设，，则，， ，， ， ， ， ，，， 在和中， ，， ， 解得， 在中，， ， ．    【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等，熟练掌握旋转的性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题3相似三角形的基本模型 (题型突破举一反三) 目录 题型01A字型 题型028字型 题型03母子型 题型04一线三等角 题型05手拉手模型 I题型01A字型 典例精析 【典例1】【答案】C 三举一反目 【变式1-1】【答案】B 11.22 【变式1-2】【答案】3或3 【变式1-3】 【答案】(I)证明：：点D,E分别是AB和AC的中点， .AD=BD-AB.AE-EC-AC AD AE 1 ∴.ABAC2’∠A=∠A .△ADE-△ABC, DE AE 1 BC=AC=2'∠ADE=∠ABC' :DE=BC,DE∥BC: 2 1/20 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)31° (3)4V2 题型028字型 典例精析 【典例2】【答案】1.9m 举一反三 【变式21】【答案】等 【变式2-2】 【答案】(1)证明：：OA=0C=51cm,OE=OF=34cm, .OA OC OE OF ,∠AOC=∠EOF ∴.△AOC∽△EOF, ∴∠A=∠OEF, .ACIl EF (2)解：如图，过点O作ON⊥EF于N,过点A作AM⊥BD于M, B MD .OE=OF=34cm,ON L EF,EF=32cm, E-FEF-16cm .0N=VOE2-EW2=V342-162=30cm, .AB=CD=136cm,OA=OC=51cm, .'AB-OA=CD-OC,OB=OD=136-51=85cm, OE OF .OB OD 2/20 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠EOF=∠BOD ∴.△DEFAOBD, .∠OEF=∠OBD :∠ONE=∠AMB=90°， .△OEN∽AABM. OE ON 34-30 AB AM. 即136AM, 解得：AM=120cm, ,连衣裙总长度小于120cm时，连衣裙才不会拖在地面上. 【变式2-3】 【答案】(I)解：，AB川A'B .∠A=∠A,LB=∠B'. .△AOB∽△AOB, A'B'OF A'B'16 AB=0E,即24=20， AB=9 cm, 96 答：像B的长为5cm: OB OF (②)解：ODOD-0F,理由如下： .AB⊥光轴1，CD⊥光轴l,MN⊥光轴l, .∠ABO=∠BOE=∠EOF=∠CDF=90°(F为MN右侧的那点，下面一样)， AE光轴1， ,AE⊥MN, .∠AE0=90°， ∴，四边形ABOE是矩形， ..OE AB ∠AOB=∠COD,∠ABO=∠CDO, .△ABO∽△CDO. CD OD .ABOB' 同理可证明△EOF∽△CDF, 3/20 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 OF OE OF AB DF CD, 即OD-OFCD' OB OF 0D0D-0F· 题型03母子型 典例精析 【典例3】【答案】A 三举一反目 【变式3-1】 【答案】(I)证明：在△ACD和△ABC中， ∠ACD=∠B ∠A=∠A ∴.△ACD∽△ABC, 、ACAD .ABAC’ .AC2=AD.AB (2)解：，四边形ABCD是平行四边形， .AD=BC,∠A=LC, ,∠BFE=∠A, ∠BFE=∠C, 在△BCF和△BFE中， [∠C=∠BFE ∠FBC=∠EBF' ∴.△BCFn△BFE, BC_BF BFBE' .BF=6,BE=4 BC6 解得BC=9, 又，AD=BC, 4/20 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .AD=9 【变式3-2】 【答案】(1)解：·BE平分∠CBD .∠CBE=∠DBE, AE AB. ∠ABE=∠AEB, .∠ABD+∠DBE=∠CBE+∠C, ∠DBE=∠CBE, .∠ABD=∠C, ∠A=∠A, .△ABD△ACB」 AD AB AB AC AD=9,AB=12, 912 12AC' AC=16: (2)DF∥BC, .∠ADF=∠C, ∠A=∠A, ∴△ADFP△ACB, AD AF “ACAB, AD=9,AC=16,AB=12, 9AF 1612’ AF=27 4, BF=AB-AF=12-27-21 44 【变式3-3】 【答案】(I)证明：，BE⊥AD, ∴.∠BED=90° 5/20 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠ABC=90°， ∴.∠BED=∠ABD, 在△DBE和△DAB中， [∠BED=∠ABD ∠BDE=∠ADB' ∴.△DBEP△DAB (2)解：，D是边BC的中点， ∴.DC=DB 由(1)已证：△DBE∽△DAB, DB DE DA DB' DC DE DA-DC' 在△DCE和△DAC中， DC_DE DA DC ∠CDE=∠ADC .△DCEm△DAC, 4C)2 :.S.DCE CE· CE=2' SDAC=5 解得AC=25或AC=-25<0(不符合题意，舍去)· 题型04一线三等角 典例精析 【典例4】(【答案】C 三举-反目 【变式41】【答案】A 【变式42】【答案】C 6/20 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式43】 【答案】(I)DE=CF (②)DE:CF=3:2,证明如下：如图， F D B ,矩形ABCD .∠A=∠ADC=90° ∠C0E=90°， .∠AED+∠ADE=∠DOC+∠ADE=90°， ∴.∠AED=∠DFC, .RIAADE∽RtADCF, AD DE DC CF' AD:CD=3:2, .DE:CF=3:2 (3)证明方法不唯一，例如： 方法1：以点C为圆心，CD为半径画弧交AD于点G, E 则CG=CD=AB, .∠CGD=∠CDG. 由平行四边形ABCD得∠A+∠CDG=180°， .∠CGF+∠CGD=180°， ∴.∠CGF=∠A,∠COE=∠A=∠DOF,∠ODF=∠ADE, ∠CFG=∠AED. .△ADEAGCF, DE AD CF AB' 方法2：如图， 7/20 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B .∠EOC=∠A,∠DOF=∠EOC, .∠DOF=∠A, .∠ODF=∠ADE, △ODF∽△ADE, DFOD DE AD' DE DF AD OD' 平行四边形ABCD .CDI‖AB,AB=CD, .∠A+∠ADC=180°， .∠EOC+∠COD=180°. ∴.∠ADC=∠COD .∠DCF=∠OCD .△OCFAOCD DF CF OD-CD DE DF DE CF AD CD AB=CD, DE CF .AD AB' DE AD .CF AB 题型05手拉手模型 典例精析 8/20 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【典例5】 【答案】(1)解：~∠ACB=∠BDE=90°，BC=BD=6,AC=DE=8, .AB=BE=10」 由旋转得：∠CBD=∠ABE, BC_BD AB BE' ∴△BCDn△BAE, AE BE 10 5 ·CDBD63 (2)如图2，延长CD交AE于H,连接BH交DE于M, E H N M B 图2 由(1)知：△BCD∽aBAE. ∴∠BAE=∠BCD」 .CF是中线，∠ACB=90°， .CF=AF=BF=5. ∴LBCF=∠FBC, .∠FBC=∠BAE, .∠AFH=∠BFC, :.△AFH≌aBFC(ASA), .CF=FH, ∴.四边形ACBH是平行四边形， :∠ACB=90°， .口ACBH是矩形， ∠AHB=90°，BH=AC=8, AB=BE, .AH=EH=BC=6, 设MH=x, 9/20 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,∠EHB=∠HAC=90°，∠AEG=∠HEM, ∴△AEG∽△HEM MH EH 1 ”AGAE2' ..AG=2x, :EH=BD=6,∠EMH=∠BMD.∠EHM=∠BDM=90°， .△EHM≌aBDM(AAS), .:BM=EM=8-x, 由勾股定理得：EM2=EH+MH2,即(8-x)}=62+x2, 7 解得x=4: 、4G=2×42 77 .CG=AC-AG=8-7=9 22 (3)分两种情况：①如图3，∠EAD=90°，过点B作B01AE于O,过点D作DP1B于P, B 图3 .∠AQP=∠DPQ=∠DAQ=90° ∴四边形ADPO是矩形， .∠ADP=90°，AQ=PD, 设AQ=PD=b. AB=BE,BQ⊥AE .A0=EO=b. .AE=2b, .∠ADP=∠BDE=90° ∴.LADE=∠BDP, ∠EAD=∠DPB=90°， 10120 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.△DAE∽△DPB, AE PB 2b PB DEBD,即8=6， :.PB-3b, 2 RtA BPD中，BP2+PD2=BD2, + 12 =62」 解得：b= 12W13 13 (负值舍)， ,△DAEr△DPB, 12V13 ADPD即AD =13, ED BD 86 “AD=16V3 13: ②如图4，∠AED=90°，过点B作BQ⊥AE于Q, E 图4 ∴∠BQE=∠AED=∠BDE=90° ∴四边形BDEO是矩形， ∴.EQ=BD=6 AB=BE,BQ⊥AE, .AE=2EQ=12, 由勾股定理得：AD=√AE2+DE2=V122+82=4V13: 综上，D的长是l6 3或4 举一反三 11/20 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式5-1】 【答案】(I)解：如图，△BADACAE B C ·,·△ABCC∽△ADE AB AC AD =AE' AB AD AC-AE 又：∠BAC=∠DAE, ∠BAD=∠CAE」 ∴.△BAD∽△CAE: (2)解：①如图，在Rt△ABC中， A D E B M C∠BAC=90° tan∠C=A C, .AB=3AC, BD=3EC」 如图，延长BD与CE相交于点F,与AC相交于点H, B M C∠BAC=∠DAE=∠90° ∠BAD=∠CAE 又：D V3 AC AE ∴.△BAD∽△CAE. 12/20 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴∠ABD=∠ACE, :∠AHB=∠CHF, .AABH∽△FCH, 又∠BAH=90°， .∠HFC=90°， .BF⊥EC, 即，BD⊥EC 故答案为：BD=V5EC:BD⊥EC: ②如图，连接BD, D B M C :'∠BAC=∠DAE=∠90° ∠BAD=∠CAE, ,AB-AD=5】 又 AC AE .△BAD∽△CAE, BDAB=3. EC-AC 又，M是BC的中点，N是CD的中点， :.BD=2MN=23: 6c-25=2 3 (3)解：如图，过点A作AK L BC,过点C作CJ⊥AB,连接FJ, D E :AB=AC=V5AK⊥BC 1 BK=CK=二BC=1. 2 ..AK=AC2-CK2=2, 13120 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又“2BC= AB-CJ Cw=45 W=Ac-C可-3 5 BU=AW=V5-35_2V5 55 .BJ:AB=2:5 BF:BE=2:5, BJ BF2 BA=BE-5' .FJ AE .△BJFABAE FJ BJ 2 AEAB 5 F=24B=25 ∴CJ-JF≤CF≤FJ+CJ, v5 即 5 S CFs 615 5· 【变式5-2】 【答案】(I)BG=AE,BG⊥AE (2)解：成立，连接AD,延长EA交BG于点K,交DG于点O, B D 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC的中点， .AD=BD=CD,AD⊥BC, ∴.∠ADG+∠GDB=90°， 又，四边形EFGD是正方形， DE=DG,且∠GDE=90°， 14120 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠ADG+∠ADE=90°， ∴.∠BDG=∠ADE 在△BDG和△ADE中， 「BD=AD ∠BDG=∠ADE GD=ED .△BDG≌△ADE(SAS), .BG=AE,∠BGD=∠AED」 又，∠KOG=∠DOE, .∠GK0=∠GDE=90°， .BG⊥AE: (3)解：如图，过A作AH⊥DG于H, PB DC ,△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点，BC=6, ∴AD=BD=CD=3, ,四边形EFGD是正方形，DG=9, .DE=DG=9. 设DH=x,则GH=9-x, 由勾股定理可得：AH2=AG2-GH2=AD2-DH2, 32-x2=(4-(9-x. 解得：=3，即DH= 3 .AH-AD-DHE 3, :GP⊥BD,AD⊥BD,AH⊥DG, .∠GPD=∠AHD=90°，∠GDP+∠GDA=90°=∠GDA+∠DAH, .∠GDP=∠DAH, 15/20 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .△DAHAGDP, AH AD PD=GD' 4√2 3-3, PD9 .PD=42 【变式5-3】 【答案】(1)解：在△ABC中，∠ABC=90°， .AC2=AB2+BC2=22+42=20, AC=25, 由题意知，△ABC≌△ADE, ∴∠BAC=∠DAE, 即∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE, .∠BAD=∠CAE, AB AD 又 AC AE △ADBAAEC, BD AB 25 CEAC25=5· (2)如图所示，连接CE,过点A作AM⊥CE, 由题意知，△ABC≌△ADE, ∴.∠BAC=∠DAE. 即∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE, ∴∠BAD=∠CAE, 又BD AC AE' ∴AADB∽△AEC, .∠ABD=∠ACE, 又：BF为△ABC的中线，∠ABC=90°， DF-CF-AC-5 ∴.∠FBC=∠FCB 16/20 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴∠FBC+∠ABD=∠FCB+∠ACE, 即∠ABC=∠BCE=90°， 又：AM⊥CE, ∴四边形ABCM为矩形， .AC=AE, ∴.ME=CM=AB=2, .CE=4, 由△ADB∽△AEC可得， AB BD 2 BD AC CE 25 4 BD=4 5, DF=BF-BD=5-45=5 51 5· E (3)在纸片ADE绕点A旋转过程中研究∠DCE,相当于将AC固定，△ADE绕点A旋转. ①如图所示，当LDCE=∠ABC=90°时， 过点A作AP⊥CD,AQ⊥CE, ∴.∠ADP+∠DAP=90°=∠ADP+∠EDC. .∠DAP=∠EDC, 又∠DCE=∠APD=90°， △APD△DCE, AP AD 1 CD DE2 又：A0⊥CE,AC=AE ∴.∠APD=∠DCE=∠AQC=90°，CQ=EQ .APCQ为矩形， 17120 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CE :AP=C0=E0=2 1 故4P2C5., CD CD-2 ..CD=CE, ∴△DCE为等腰直角三角形， DE=4,2CE2=DE2=16, .CE=22 P ②当LDCE=LBCA时， 过点A作AP⊥CD于P,过点E作EO⊥CD于O,过点A作AH⊥EO于H, '∠QDE+∠ADP=90°=∠QDE+DEQ, ∴∠QDE=∠PAD :∠APD=∠DQE=90°， :ADP△DEO, 、AD AP DP1 DE DO EO 2' 由于AP⊥CD,EO⊥CD,AH⊥EQ, ∴四边形APQH为矩形， 设AP=a,DP=b,则DQ=2a,EQ=2b, ∠ADE=90°=∠EQC.∠DCE=∠BCA=∠DEA, .AAED△ECQ, AD EO 1 DE CO 2, ..Co=4b AH=PO=2a-b,HE=a+2b,CP=CO-PO=5b-2a, .AC=AE 18/20 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在Rt△APC和Rt△AHE中， AC2=Ap2+Cp2=a2+(5b-2a},AE2=AH2+HE2=(2a-b)}+(a+2b)}2, ∴a2+(5b-2a2=(2a-b2+(a+2b)2, 解得a=b, :△ADP,△DEO为等腰直角三角形， ∴.2QE2=DE2,QE=2√2， EO1 由于c02,.C0=4W2, ∴.CE=VCQ2+E02=V32+8=2√10 ◇ E D ③当∠DCE=∠BAC时， 过点A作AP⊥CD于P,过点E作EO⊥CD于O,过点A作AH LEO于H, '∠QDE+∠ADP=90°=∠QDE+DEQ, ∴∠QDE=∠PAD ∠APD=∠DQE=90° ∴△ADPADEO. .4D-AP-DP 1 DE DO EO 2' 由于AP⊥CD,EO⊥CD,AH⊥EQ, 四边形APQH为矩形， 设AP=a,DP=b,则D0=2a,EQ=2b. :∠ADE=90°=∠EQC,∠DCE=∠BAC=∠DAE, △AEDP△ECQ」 :4D-g-1 DECQ2· 19120 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴C0=4b, AH=PO=2a+b,HE=2b-a,CP=CO+PO=2b+2a .AC=AE 在Rt△APC和Rt△AHE中， AC2=Ap2+Cp2=a2+(2b+2a2,AE2=AH+HE2=(2a+b}+(2b-a}, .a2+(2b+2a'=(2a+b+(2b-a, 解得b=8a, 在Rt△ADP中，a2+b2=4, 2 :a=6 CE=V56=163 131 D H 20120